《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 文 新人教A版》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國(guó)通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十章 統(tǒng)計(jì)與統(tǒng)計(jì)案例、概率 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 文 新人教A版（13頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6節(jié)幾何概型最新考綱1.了解隨機(jī)數(shù)的意義，能運(yùn)用模擬方法估計(jì)概率；2.了解幾何概型的意義.知 識(shí) 梳 理1.幾何概型的定義如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長(zhǎng)度(面積或體積)成比例，則稱(chēng)這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱(chēng)為幾何概型.2.幾何概型的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無(wú)限多個(gè)；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.3.幾何概型的概率公式P(A).常用結(jié)論與微點(diǎn)提醒1.幾何概型的基本事件的個(gè)數(shù)是無(wú)限的，古典概型中基本事件的個(gè)數(shù)是有限的，前者概率的計(jì)算與基本事件的區(qū)域長(zhǎng)度(面積或體積)的大小有關(guān)，而與形狀和位置無(wú)關(guān).2.幾何概型中，線段的端點(diǎn)、圖形

2、的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.診 斷 自 測(cè)1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.()(2)從區(qū)間1，10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是.()(3)概率為0的事件一定是不可能事件.()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()答案(1)(2)(3)(4)2.(必修3P140練習(xí)1改編)有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是()解析如題干選項(xiàng)中圖，各種情況的概率都是其面積比，中獎(jiǎng)的概率依次為P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A

3、)P(C)P(D)P(B).答案A3.(2016全國(guó)卷)某路口人行橫道的信號(hào)燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時(shí)間為40秒.若一名行人來(lái)到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A. B. C. D.解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為.答案B4.(2018莆田質(zhì)檢)從區(qū)間(0，1)中任取兩個(gè)數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長(zhǎng)，則所取的兩個(gè)數(shù)使得斜邊長(zhǎng)度不大于1的概率是()A. B. C. D.解析任取的兩個(gè)數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸).故所求概率P.答案B5.如圖所示，在邊長(zhǎng)為1的正方形中隨機(jī)撒1 000粒豆子，

4、有180粒落到陰影部分，據(jù)此估計(jì)陰影部分的面積為_(kāi).解析由題意知，這是個(gè)幾何概型問(wèn)題，0.18，因?yàn)镾正1，所以S陰0.18.答案0.18考點(diǎn)一與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型【例1】 (1)(2016全國(guó)卷)某公司的班車(chē)在7：30，8：00，8：30發(fā)車(chē)，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車(chē)站乘坐班車(chē)，且到達(dá)發(fā)車(chē)站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車(chē)時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是()A. B. C. D.(2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個(gè)圓弧，在DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為_(kāi).解析(1)如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸：小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖

5、中線段AB上，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車(chē)的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P.(2)以A為圓心，以AD1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C，P，B.依題意，點(diǎn)P在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點(diǎn)，則事件“點(diǎn)P在上發(fā)生”.又在RtABC中，易求BACBAC.故所求事件的概率P.答案(1)B(2)規(guī)律方法1.解答幾何概型問(wèn)題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對(duì)象和對(duì)象的活動(dòng)范圍，當(dāng)考查對(duì)象為點(diǎn)，且點(diǎn)的活動(dòng)范圍在線段上時(shí)，用“線段長(zhǎng)度”為測(cè)度計(jì)算概率，求解的核心是確定點(diǎn)的邊界位置.2.(1)例1第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測(cè)度”計(jì)算幾何概型的概率，

6、導(dǎo)致錯(cuò)求P.(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動(dòng)，扇形中有關(guān)落點(diǎn)區(qū)域問(wèn)題時(shí)，應(yīng)以角對(duì)應(yīng)的弧長(zhǎng)的大小作為區(qū)域度量來(lái)計(jì)算概率.事實(shí)上，當(dāng)半徑一定時(shí)，曲線弧長(zhǎng)之比等于其所對(duì)應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比.【訓(xùn)練1】 (1)(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域?yàn)镈.在區(qū)間4，5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD的概率是_.(2)(2018西安調(diào)研)在區(qū)間1，1上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_(kāi).解析(1)由6xx20，得2x3，即D2，3.故所求事件的概率P.(2)直線ykx與圓(x5)2y29相交的充要條件是圓心(5，0)到直線ykx的距離小于3.則3，解得k.故所求事件的概率P.答

7、案(1)(2)考點(diǎn)二與面積有關(guān)的幾何概型(多維探究)命題角度1與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型【例21】 (2017全國(guó)卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱(chēng).在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.解析設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為2，則面積S正方形4.又正方形內(nèi)切圓的面積S12.所以根據(jù)對(duì)稱(chēng)性，黑色部分的面積S黑.由幾何概型的概率公式，概率P.答案B命題角度2與線性規(guī)劃的交匯問(wèn)題【例22】 由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，由不等式組確定的平面區(qū)域記為2，若在1中隨機(jī)取一點(diǎn)，則該點(diǎn)恰好在2內(nèi)的概率為_(kāi)

8、.解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C .由幾何概型的概率公式，所求概率P.答案規(guī)律方法1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對(duì)所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的判斷及面積的計(jì)算，基本方法是數(shù)形結(jié)合.2.解題時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.【訓(xùn)練2】 (1)(2016全國(guó)卷)從區(qū)間0，1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似

9、值為()A. B. C. D.(2)(2018石家莊調(diào)研)在滿足不等式組的平面內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)M(x0，y0)，設(shè)事件A“y02x0”，那么事件A發(fā)生的概率是()A. B. C. D.解析(1)如圖，數(shù)對(duì)(xi，yi)(i1，2，n)表示的點(diǎn)落在邊長(zhǎng)為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)表示的點(diǎn)落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi).由幾何概型的概率計(jì)算公式知P，又P，所以，故.(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域(即ABC)，其面積為4.事件A“y02x0”表示的區(qū)域?yàn)锳OC，其面積為3.所以事件A發(fā)生的概率是.答案(1)C(2)B考點(diǎn)三與體積有關(guān)的幾何概型【例3】 (1)(2

10、018深圳模擬)一只蜜蜂在一個(gè)棱長(zhǎng)為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過(guò)程中始終保持與正方體6個(gè)表面的距離均大于1，稱(chēng)其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A. B. C. D.(2)已知正三棱錐SABC的底面邊長(zhǎng)為4，高為3，在正三棱錐內(nèi)任取一點(diǎn)P，使得VPABCVSABC的概率是()A. B. C. D.解析(1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個(gè)正方體的中心為中心，且棱長(zhǎng)為1的小正方體內(nèi).這個(gè)小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故安全飛行的概率為P.(2)由題意知，當(dāng)點(diǎn)P在三棱錐的中截面ABC以下時(shí)，滿足VPABCVSABC，又V錐SABCV錐SABCV錐SABC.事件

11、“VPABCVSABC”的概率P.答案(1)C(2)A規(guī)律方法1.對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.2.本題易忽視基本事件的等可能性，錯(cuò)用“長(zhǎng)度”度量，誤求P.【訓(xùn)練3】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_(kāi).解析設(shè)四棱錐MABCD的高為h，由于S正方形ABCD1，V正方體1，且S正方形ABCD.h，則點(diǎn)M在正方體的下半部分，故所求事件的概率P.答案基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：30分鐘)一、選擇題1.為了測(cè)量某陰影部分的面積，作一

12、個(gè)邊長(zhǎng)為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機(jī)投擲600個(gè)點(diǎn)，已知恰有200個(gè)點(diǎn)落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計(jì)陰影部分的面積是()A.4 B.3 C.2 D.1解析由投擲的點(diǎn)落在陰影部分的個(gè)數(shù)與投擲的點(diǎn)的個(gè)數(shù)比得到陰影部分的面積與正方形的面積比為，所以陰影部分的面積約為93.答案B2.如圖，“天宮一號(hào)”運(yùn)行的軌跡是如圖的兩個(gè)類(lèi)同心圓，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無(wú)規(guī)則地自由運(yùn)動(dòng)，運(yùn)行過(guò)程中，則點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離小于3 km的概率為()A. B. C. D.解析根據(jù)幾何概型公式，小于3 km的圓環(huán)面積為(3222)5；圓環(huán)總面積為(4222)12，所以點(diǎn)P與點(diǎn)O的距離

13、小于3 km的概率為P.答案B3.(2018濰坊一中質(zhì)檢)在區(qū)間0，2上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.解析由1log1，得x2，解得0x，所以事件“1log1”發(fā)生的概率為，故選A.答案A4.(2018成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個(gè)全等直角三角形圍成一個(gè)小正方形，直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運(yùn)小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為()A. B. C. D.解析大正方形的面積是34，大正方形的邊長(zhǎng)是，由直角三角形的較短邊長(zhǎng)為3，得四個(gè)全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長(zhǎng)為2，面積為4，小花朵落在小正方形內(nèi)

14、的概率為P.答案B5.有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點(diǎn)O為這個(gè)圓柱底面圓的圓心，在這個(gè)圓柱內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)P，則點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1.故點(diǎn)P到點(diǎn)O的距離大于1的概率P1.答案B6.(2018西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0，e上隨機(jī)取一個(gè)實(shí)數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是()A. B.1C. D.解析當(dāng)0x1時(shí)，恒有f(x)exe，不滿足題意.當(dāng)1xe時(shí)，f(x)ln xe.由ln xee，得1xe.所求事件的概率P1.答案B7.已知平面區(qū)域D(x，y)|1x1，1y1，在區(qū)域D內(nèi)任取一點(diǎn)

15、，則取到的點(diǎn)位于直線ykx(kR)下方的概率為()A. B. C. D.解析由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點(diǎn)為中心的正方形，根據(jù)圖形的對(duì)稱(chēng)性知，直線ykx將其面積平分，如圖，故所求概率為.答案A8.(2018福州調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，點(diǎn)A在x軸上，點(diǎn)B的坐標(biāo)為(1，0)，且點(diǎn)C與點(diǎn)D在函數(shù)f(x)的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.解析因?yàn)樗倪呅蜛BCD為矩形，B(1，0)且點(diǎn)C和點(diǎn)D分別在直線yx1和yx1上，所以C(1，2)，D(2，2)，E(0，1)，則A(2，0).因此S矩形ABCD6，S陰影1|CD|.由幾何概型，所求事件的概率

16、P.答案B二、填空題9.在區(qū)間2，4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.解析由|x|m，得mxm.當(dāng)m2時(shí)，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去.當(dāng)2m4時(shí)，由題意得，解得m3.答案310.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_(kāi).解析因?yàn)閂AA1BDVA1ABDAA1SABDAA1S矩形ABCDV長(zhǎng)方體，故所求概率為.答案11.(2018華師附中聯(lián)考)在區(qū)間0，4上隨機(jī)取兩個(gè)實(shí)數(shù)x，y，使得x2y8的概率為_(kāi).解析由x，y0，4知(x，y)構(gòu)成的區(qū)域是邊長(zhǎng)為4的正方形及其內(nèi)部，其中滿足x2y8的區(qū)域?yàn)槿鐖D所

17、示的陰影部分.易知A(4，2)，S正方形16，S陰影12.故“使得x2y8”的概率P.答案12.在區(qū)間0，5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(kāi).解析設(shè)方程x22px3p20的兩負(fù)根為x1，x2，則解得p2.又因?yàn)閜0，5，得p(2，5，故所求概率為.答案能力提升題組(建議用時(shí)：10分鐘)13.(2018西北工大附中調(diào)研)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B. C. D.解析由|z|1得(x1)2y21，由題意作圖如圖所示，則滿足條件的區(qū)域?yàn)閳D中陰影部分，yx的概率為.答案D14.在區(qū)間0，1上任取兩個(gè)數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x2axb2無(wú)零點(diǎn)的概率為()A. B. C. D.解析要使該函數(shù)無(wú)零點(diǎn)，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2b128得x212x320，解得4x8，故所求的概率等于.答案16.小波通過(guò)做游戲的方式來(lái)確定周末活動(dòng)，他隨機(jī)地往單位圓內(nèi)投擲一點(diǎn)，若此點(diǎn)到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點(diǎn)到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書(shū).則小波周末不在家看書(shū)的概率為_(kāi).解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書(shū)的概率為P.答案13