《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示教學(xué)案 理 北師大版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2021版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習 第二章 函數(shù)概念與基本初等函數(shù) 第1講 函數(shù)及其表示教學(xué)案 理 北師大版（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1講函數(shù)及其表示一、知識梳理1函數(shù)與映射的概念函數(shù)映射兩集合A，B設(shè)A，B是兩個非空的數(shù)集設(shè)A，B是兩個非空的集合對應(yīng)關(guān)系f：AB如果按照某種確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個數(shù)x，在集合B中都有唯一確定的數(shù)f(x)和它對應(yīng)如果按某一個確定的對應(yīng)關(guān)系f，使對于集合A中的任意一個元素x，在集合B中都有唯一確定的元素y與之對應(yīng)名稱稱f：AB為從集合A到集合B的一個函數(shù)稱對應(yīng)f：AB為從集合A到集合B的一個映射記法yf(x)(xA)對應(yīng)f：AB是一個映射2.函數(shù)的有關(guān)概念(1)函數(shù)的定義域、值域在函數(shù)yf(x)，xA中，x叫做自變量，x的取值范圍A叫做函數(shù)的定義域；與x的值相對應(yīng)的y值叫做

2、函數(shù)值，函數(shù)值的集合f(x)|xA叫做函數(shù)的值域顯然，值域是集合B的子集(2)函數(shù)的三要素：定義域、值域和對應(yīng)關(guān)系(3)相等函數(shù)：如果兩個函數(shù)的定義域和對應(yīng)關(guān)系完全一致，則這兩個函數(shù)相等，這是判斷兩函數(shù)相等的依據(jù)(4)函數(shù)的表示法表示函數(shù)的常用方法有：解析法、圖象法、列表法3分段函數(shù)若函數(shù)在其定義域的不同子集上，因?qū)?yīng)關(guān)系不同而分別用幾個不同的式子來表示，這種函數(shù)稱為分段函數(shù)注意分段函數(shù)是一個函數(shù)，而不是幾個函數(shù)，分段函數(shù)的定義域是各段定義域的并集，值域是各段值域的并集常用結(jié)論幾種常見函數(shù)的定義域(1)f(x)為分式型函數(shù)時，定義域為使分母不為零的實數(shù)集合(2)f(x)為偶次根式型函數(shù)時，定義

3、域為使被開方式非負的實數(shù)的集合(3)f(x)為對數(shù)式時，函數(shù)的定義域是真數(shù)為正數(shù)、底數(shù)為正且不為1的實數(shù)集合(4)若f(x)x0，則定義域為x|x0(5)指數(shù)函數(shù)的底數(shù)大于0且不等于1.(6)正切函數(shù)ytan x的定義域為.二、教材衍化1下列函數(shù)中，與函數(shù)yx1是相等函數(shù)的是()Ay()2By1Cy1 Dy1解析：選B.對于A，函數(shù)y()2的定義域為x|x1，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于B，定義域和對應(yīng)關(guān)系都相同，是相等函數(shù)；對于C，函數(shù)y1的定義域為x|x0，與函數(shù)yx1的定義域不同，不是相等函數(shù)；對于D，定義域相同，但對應(yīng)關(guān)系不同，不是相等函數(shù)，故選B.2函數(shù)yf(x)的圖

4、象如圖所示，那么f(x)的定義域是_；值域是_；其中只有唯一的x值與之對應(yīng)的y值的范圍是_答案：3，02，31，51，2)(4，53函數(shù)y的定義域是_解析：x2.答案：2，)一、思考辨析判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)函數(shù)yf(x)的圖象與直線xa最多有2個交點()(2)函數(shù)f(x)x22x與g(t)t22t是相等函數(shù)()(3)若兩個函數(shù)的定義域與值域相同，則這兩個函數(shù)是相等函數(shù)()(4)若集合AR，Bx|x0，f：xy|x|，則對應(yīng)關(guān)系f是從A到B的映射()(5)分段函數(shù)是由兩個或幾個函數(shù)組成的()(6)分段函數(shù)的定義域等于各段定義域的并集，值域等于各段值域的并集()答案：(1)

5、(2)(3)(4)(5)(6)二、易錯糾偏(1)對函數(shù)概念理解不透徹；(2)對分段函數(shù)解不等式時忘記范圍；(3)換元法求解析式，反解忽視范圍1已知集合Px|0x4，Qy|0y2，下列從P到Q的各對應(yīng)關(guān)系f中不是函數(shù)的是_(填序號)f：xyx；f：xyx；f：xyx；f：xy.解析：對于，因為當x4時，y4Q，所以不是函數(shù)答案：2設(shè)函數(shù)f(x)則使得f(x)1的自變量x的取值范圍為_解析：因為f(x)是分段函數(shù)，所以f(x)1應(yīng)分段求解當x1時，f(x)1(x1)21x2或x0，所以x2或0x1；當x1時，f(x)141，即3，所以1x10.綜上所述，x2或0x10，即x(，20，10答案：(，

6、20，103已知f()x1，則f(x)_解析：令t，則t0，xt2，所以f(t)t21(t0)，即f(x)x21(x0)答案：x21(x0)函數(shù)的定義域(多維探究)角度一求函數(shù)的定義域 (1)(2020安徽宣城八校聯(lián)考)函數(shù)y的定義域為()A(1，3B(1，0)(0，3C. 1，3 D1，0)(0，3(2)(2020華南師范大學(xué)附屬中學(xué)月考)已知函數(shù)f(x)的定義域是1，1，則函數(shù)g(x)的定義域是()A0，1 B(0，1)C0，1) D(0，1【解析】(1)要使函數(shù)有意義，x需滿足解得1x0或00且1x1，解得x0，所以t1，故f(x)的解析式是f(x)lg (x1)答案：lg (x1)3已

7、知函數(shù)f(x)滿足2f(x)f3x，則f(x)_解析：因為2f(x)f3x，把中的x換成，得2ff(x).聯(lián)立可得解此方程組可得f(x)2x(x0)答案：2x(x0)4已知函數(shù)f(1)x2，則f(x)的解析式為_解析：法一(換元法)：設(shè)t1，則x(t1)2，t1，代入原式有f(t)(t1)22(t1)t22t12t2t21.故f(x)x21，x1.法二(配湊法)：因為x2()2211(1)21，所以f(1)(1)21，11，即f(x)x21，x1.答案：f(x)x21(x1)分段函數(shù)(多維探究)角度一分段函數(shù)求值 (1)(2020江西南昌一模)設(shè)函數(shù)f(x)則f(5)的值為()A7B1C0 D

8、(2)若函數(shù)f(x)則f(f(9)_【解析】(1)f(5)f(53)f(2)f(23)f(1)(1)221.故選D.(2)因為函數(shù)f(x)所以f(9)lg 101，所以f(f(9)f(1)2.【答案】(1)D(2)2角度二已知函數(shù)值求參數(shù) 設(shè)函數(shù)f(x)若f(m)3，則實數(shù)m的值為_【解析】當m2時，由m213，得m24，解得m2；當0m2時，由log2m3，解得m238(舍去)綜上所述，m2.【答案】2角度三與分段函數(shù)有關(guān)的方程、不等式問題 (1)(2020安徽安慶二模)已知函數(shù)f(x)若實數(shù)a滿足f(a)f(a1)，則f()A2 B4C6 D8(2)(一題多解)(2020安徽皖南八校聯(lián)考)

9、已知函數(shù)f(x)則滿足f(2x1)0.當0a1時，由f(a)f(a1)，即2a，解得a，則ff(4)8，當a1時，由f(a)f(a1)，得2a2(a1)，不成立故選D.(2)法一：由f(x)可得當x1時，f(x)1，當x1時，函數(shù)f(x)在1，)上是增加的，且f(1)log221，要使得f(2x1)3，即不等式f(2x1)f(3x2)的解集為(3，)，故選B.法二：當x1時，函數(shù)f(x)在1，)上是增加的，且f(x)f(1)1，要使f(2x1)3.故選B.【答案】(1)D(2)B分段函數(shù)問題的求解思路(1)根據(jù)分段函數(shù)的解析式，求函數(shù)值的解題思路先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段

10、的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應(yīng)從內(nèi)到外依次求值(2)已知分段函數(shù)的函數(shù)值，求參數(shù)值的解題思路先假設(shè)所求的值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，構(gòu)造關(guān)于參數(shù)的方程然后求出相應(yīng)自變量的值，切記要代入檢驗(3)已知分段函數(shù)的函數(shù)值滿足的不等式，求自變量取值范圍的解題思路依據(jù)不同范圍的不同段分類討論求解，最后將討論結(jié)果并起來 1(2020河南鄭州質(zhì)量測評)已知函數(shù)f(x)則不等式f(x)1的解集為()A(，2 B(，0(1，2C0，2 D(，01，2解析：選D.當x1時，不等式f(x)1為log2x1，即log2xlog22，因為函數(shù)ylog2x在(0，)上是增加的，所以1x2；當x1(舍去)所

11、以f(x)1的解集是(，01，2故選D.2已知函數(shù)f(x)若f(a)3，則f(a2)_解析：當a0時，若f(a)3，則log2aa3，解得a2(滿足a0)；當a0時，若f(a)3，則4a213，解得a3，不滿足a0，所以舍去于是，可得a2.故f(a2)f(0)421.答案：3(2020閩粵贛三省十校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x2)則f(2)_解析：f(2)f(42)642.答案：2分類討論思想在分段函數(shù)中的應(yīng)用 設(shè)函數(shù)f(x)則滿足f(x)f1的x的取值范圍是_【解析】當x0時，f(x)2x1恒成立，當x0，即x時，f2x1，當x0，即0，則不等式f(x)f1恒成立當x0時，f(x)fx1x2x1，所

12、以x0.綜上所述，x的取值范圍是.【答案】解決分段函數(shù)問題的關(guān)鍵是“對號入座”，即根據(jù)自變量取值的范圍，準確確定相應(yīng)的對應(yīng)法則，代入相應(yīng)的函數(shù)解析式，轉(zhuǎn)化為一般的函數(shù)在指定區(qū)間上的問題，解完之后應(yīng)注意檢驗自變量取值范圍的應(yīng)用總之，解決分段函數(shù)的策略就是“分段函數(shù)，分段解決”，即應(yīng)用分類討論思想解決 設(shè)函數(shù)f(x)若f(a)1，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：若a0，則f(a)1713，故3a0；若a0，則f(a)11，解得a1，故0a1.綜上可得3a0時，每一個x的值對應(yīng)兩個不同的y值，因此不是函數(shù)圖象；中當xx0時，y的值有兩個，因此不是函數(shù)圖象；中每一個x的值對應(yīng)唯一的y值，因此是函數(shù)圖象故選

13、B.2函數(shù)f(x)的定義域為()A0，2) B(2，)C0，2)(2，) D(，2)(2，)解析：選C.由題意得解得x0，且x2.3(2020延安模擬)已知f2x5，且f(a)6，則a等于()A. BC. D解析：選A.令tx1，則x2t2，f(t)2(2t2)54t1，則4a16，解得a.4下列函數(shù)中，同一個函數(shù)的定義域與值域相同的是()Ay Byln xCy Dy解析：選D.對于A，定義域為1，)，值域為0，)，不滿足題意；對于B，定義域為(0，)，值域為R，不滿足題意；對于C，定義域為(，0)(0，)，值域為(，1)(0，)，不滿足題意；對于D，y1，定義域為(，1)(1，)，值域也是(

14、，1)(1，)5已知函數(shù)f(x)則f(f(1)()A B2C4 D11解析：選C.因為f(1)1223，所以f(f(1)f(3)34.故選C.6已知函數(shù)yf(2x1)的定義域是0，1，則函數(shù)的定義域是()A1，2 B(1，1C. D(1，0)解析：選D.由f(2x1)的定義域是0，1，得0x1，故12x11，所以函數(shù)f(x)的定義域是1，1，所以要使函數(shù)有意義，需滿足解得1x0.7下列函數(shù)中，不滿足f(2 018x)2 018f(x)的是()Af(x)|x| Bf(x)x|x|Cf(x)x2 Df(x)2x解析：選C.若f(x)|x|，則f(2 018x)|2 018x|2 018|x|2 0

15、18f(x)；若f(x)x|x|，則f(2 018x)2 018x|2 018x|2 018(x|x|)2 018f(x)；若f(x)x2，則f(2 018x)2 018x2，而2 018f(x)2 018x2 0182，故f(x)x2不滿足f(2 018x)2 018f(x)；若f(x)2x，則f(2 018x)22 018x2 018(2x)2 018f(x)故選C.8設(shè)xR，定義符號函數(shù)sgn x則()A|x|x|sgn x| B|x|xsgn|x|C|x|x|sgn x D|x|xsgn x解析：選D.當x0時，|x|x，x|sgn x|x，xsgn|x|x，|x|sgn x(x)(1

16、)x，排除A，B，C，故選D.9若二次函數(shù)g(x)滿足g(1)1，g(1)5，且圖象過原點，則g(x)_解析：設(shè)g(x)ax2bxc(a0)，因為g(1)1，g(1)5，且圖象過原點，所以解得所以g(x)3x22x.答案：3x22x10已知函數(shù)f(x)若f(a)f(1)0，則實數(shù)a的值等于_解析：因為f(1)2，且f(1)f(a)0，所以f(a)21，則實數(shù)m的取值范圍是_解析：f(f(0)f(1)ln 10；如圖所示，可得f(x)的圖象與直線y1的交點分別為(0，1)，(e，1)若f(m)1，則實數(shù)m的取值范圍是(，0)(e，)答案：0(，0)(e，)綜合題組練1設(shè)f(x)，g(x)都是定義

17、在實數(shù)集上的函數(shù)，定義函數(shù)(fg)(x)：對任意的xR，(fg)(x)f(g(x)若f(x)g(x)則()A(ff)(x)f(x) B(fg)(x)f(x)C(gf)(x)g(x) D(gg)(x)g(x)解析：選A.對于A，(ff)(x)f(f(x)當x0時，f(x)x0，(ff)(x)f(x)x；當x0，(ff)(x)f(x)x2；當x0時，(ff)(x)f 2(x)002，因此對任意的xR，有(ff)(x)f(x)，故A正確，選A.2(2020河南鄭州第二次質(zhì)量檢測)高斯是德國著名的數(shù)學(xué)家，近代數(shù)學(xué)奠基者之一，享有“數(shù)學(xué)王子”的稱號，用其名字命名的“高斯函數(shù)”為設(shè)xR，用x表示不超過x的

18、最大整數(shù)，則yx稱為高斯函數(shù)例如：2.13，3.13，已知函數(shù)f(x)，則函數(shù)yf(x)的值域為()A0，1，2，3 B0，1，2C1，2，3 D1，2解析：選D.f(x)1，因為2x0，所以12x1，所以01，則02，所以113，即1f(x)3，當1f(x)2時，f(x)1，當2f(x)3時，f(x)2.綜上，函數(shù)yf(x)的值域為1，2，故選D.3具有性質(zhì)ff(x)的函數(shù)，我們稱為滿足“倒負”變換的函數(shù)，給出下列函數(shù)：f(x)x；f(x)x；f(x)其中滿足“倒負”變換的函數(shù)是()A BC D解析：選A.對于，fxf(x)，滿足題意；對于，fxf(x)，不滿足題意；對于，f即f故ff(x)，滿足題意綜上可知，滿足“倒負”變換的函數(shù)是.故選A.4已知函數(shù)f(x)的值域為R，則實數(shù)a的取值范圍是_解析：由題意知yln x(x1)的值域為0，)，故要使f(x)的值域為R，則必有y(12a)x3a為增函數(shù)，且12a3a0，所以12a0，且a1，解得1a.答案：16