《2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題55 圓錐曲線的探索性、存在性問題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題55 圓錐曲線的探索性、存在性問題（28頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、2022年高考數(shù)學大一輪復習 熱點聚焦與擴展 專題55 圓錐曲線的探索性、存在性問題縱觀近幾年的高考試題，高考對圓錐曲線的考查，一般設置一大一小兩道題目，主要考查以下幾個方面：一是考查橢圓、雙曲線、拋物線的定義，與橢圓的焦點三角形結合，解決橢圓、三角形等相關問題；二是考查圓錐曲線的標準方程，結合基本量之間的關系，利用待定系數(shù)法求解；三是考查圓錐曲線的幾何性質，小題較多地考查橢圓、雙曲線的幾何性質；四是考查直線與橢圓、拋物線的位置關系問題，綜合性較強，往往與向量結合，涉及方程組聯(lián)立，根的判別式、根與系數(shù)的關系、弦長問題、不等式、范圍、最值、定值、定點、定直線、存在性和探索性問題等.本專題在分析研

2、究近幾年高考題及各地模擬題的基礎上，重點說明利探索性、存在性問題的解法.1、在處理圓錐曲線中的存在性問題時，通常先假定所求的要素（點，線，圖形或是參數(shù)）存在，并用代數(shù)形式進行表示.再結合題目條件進行分析，若能求出相應的要素，則假設成立；否則即判定不存在2、存在性問題常見要素的代數(shù)形式：未知要素用字母代替（1）點：坐標 （2）直線：斜截式或點斜式（通常以斜率為未知量）（3）曲線：含有未知參數(shù)的曲線標準方程3、解決存在性問題的一些技巧：（1）特殊值（點）法：對于一些復雜的題目，可通過其中的特殊情況，解得所求要素的必要條件，然后再證明求得的要素也使得其它情況均成立.（2）核心變量的選?。阂驗榻鉀Q存在

3、性問題的核心在于求出未知要素，所以通常以該要素作為核心變量，其余變量作為輔助變量，必要的時候消去.（3）核心變量的求法：直接法：利用條件與輔助變量直接表示出所求要素，并進行求解間接法：若無法直接求出要素，則可將核心變量參與到條件中，列出關于該變量與輔助變量的方程（組），運用方程思想求解.4.探索性問題命題背景寬，涉及知識點多，綜合性強，探究平分面積的線、平分線段的線，或探究等式成立的參數(shù)值，探索定點、定值的存在性等常與距離、傾斜角、斜率及方程恒成立問題綜合，形成知識的交匯化解探索性問題的方法：首先假設所探求的問題結論成立、存在等，在這個假設下進行推 理論證，如果 得到了一個合情合理的推理結果，

4、就肯定假設，對問題做出正面回答，如果得到一個矛盾的結果，就否定假設，對問題作出反面回答在這個解題思路指導下解決探索性問題與解決具 有明確結論的問題沒有什么差別【經典例題】例1.【2018屆江蘇省南京師大附中考前模擬】如圖，已知橢圓C： (ab0)的左、右焦點分別為F1、F2，若橢圓C經過點(0，)，離心率為，直線l過點F2與橢圓C交于A、B兩點 （1）求橢圓C的方程；（2）若點N為F1AF2的內心（三角形三條內角平分線的交點），求F1NF2與F1AF2面積的比值；（3）設點A，F(xiàn)2，B在直線x4上的射影依次為點D，G， E連結AE，BD，試問當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD是否相交于定點

5、T？若是，請求出定點T的坐標；若不是，請說明理由【答案】（1） （2） （3）見解析 （2）因為點N為F1AF2的內心，所以點N為F1AF2的內切圓的圓心，設該圓的半徑為r.則. （3）若直線l的斜率不存在時，四邊形ABED是矩形，此時AE與BD交于F2G的中點(，0)， 下面證明：當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD相交于定點T(，0).設直線l的方程為yk(x1)，化簡得(34k2)x28k2x4k2120，因為直線l經過橢圓C內的點(1，0)，所以0，設A(x1，y1)，B(x2，y2)，則x1x2，x1x2. 0， 所以點T(，0)在直線AE上， 同理可證，點T(，0)在直線BD上.

6、 所以當直線l的傾斜角變化時，直線AE與BD相交于定點T(，0).例2.【2018屆浙江省金華市浦江縣高考適應性考試】設橢圓左右焦點為上頂點為,離心率為且.（）求橢圓的方程； （）設是軸正半軸上的一點，過點任作直線與相交于兩點，如果，是定值，試確定點的位置，并求的最大值.【答案】(1) .(2) ,.（）設的方程為 x*/k/w 它滿足這時這時.例3.【2018屆廣東省東莞市考前沖刺】在直角坐標系中，已知拋物線的焦點為，若橢圓：經過點，拋物線和橢圓有公共點，且.（1）求拋物線和橢圓的方程； （2）是否存在正數(shù)，對于經過點且與拋物線有兩個交點的任意一條直線，都有焦點在以為直徑的圓內？若存在，求出

7、的取值范圍；若不存在，請說明理由.【答案】（1）,（2）所以，解得，所以拋物線，焦點，由題意知解得所以橢圓：故拋物線的方程為，橢圓的方程為.（2）假設存在正數(shù)適合題意，由題意知直線的斜率一定存在，設直線的方程為由消去，整理得由題意知恒成立，所以恒成立因為，所以，解得又因為，所以故存在正數(shù)適合題意，此時d 取值范圍為.例4.【2018屆山東省日照市校際聯(lián)考】已知橢圓：的焦距為，以橢圓的右頂點為圓心的圓與直線相交于，兩點，且，.（1）求橢圓的標準方程和圓的方程；（2）不過原點的直線與橢圓交于，兩點，已知直線，的斜率，成等比數(shù)列，記以線段，線段為直徑的圓的面積分別為，的值是否為定值？若是，求出此值；

8、若不是，說明理由.【答案】（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2） 為定值，定值為.【解析】分析：（1）設為的中點，連接，則 ，所以 ，又，所以， 由已知得,所以橢圓的方程為， ，所以，所以，所以，所以圓的方程為 則 故為定值，該定值為例5.【2018屆江西省重點中學協(xié)作體第二次聯(lián)考】已知橢圓： 的離心率為，短軸為.點滿足.(1)求橢圓的方程；(2)設為坐標原點，過點的動直線與橢圓交于點、，是否存在常數(shù)使得為定值？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】（1）.（2）答案見解析.【解析】分析：（1）由題意結合平面向量數(shù)量積的坐標運算可得的方程為.（2）當不為軸時，設：，、.聯(lián)立與的方程可

9、得，結合韋達定理和平面向量數(shù)量積的坐標運算可得.當為軸時，也滿足上述結論.則存在使得所以， .因為為定值，所以，解得.此時定值為.當為軸時，.綜上，存在使得為定值.例6.【2018屆四川省成都市第七中學三診】設、分別是橢圓的左、右焦點.若是該橢圓上的一個動點，的最大值為1.（1）求橢圓的方程；（2）設直線與橢圓交于兩點，點關于軸的對稱點為(與不重合)，則直線與軸是否交于一個定點？若是，請寫出定點坐標，并證明你的結論；若不是，請說明理由.【答案】(1) ;(2)見解析.設，則，當，即點為橢圓長軸端點時，有最大值1，即，解得，故所求的橢圓方程為（2）由得消去x整理得，顯然設，則，即當直線與軸交于定

10、點例7.【2018屆山東省威海市二?！恳阎獧E圓：的左右焦點分別為，且離心率為，點為橢圓上一動點，面積的最大值為.（1）求橢圓的標準方程； （2）設分別為橢圓的左右頂點，過點作軸的垂線，為上異于點的一點，以為直徑作圓.若過點的直線（異于軸）與圓相切于點，且與直線相交于點，試判斷是否為定值，并說明理由.【答案】（1）（2）3【解析】分析：(1)根據題意得關于a,b,c的方程組，解之即得橢圓的方程.(2)先求出點,所以，設點，則，圓的半徑為則直線的方程為的方程設為，則化簡得由，得所以點,所以點在橢圓上，即.例8.【2018屆河北省武邑中學一模】已知橢圓經過點，且兩個焦點的坐標依次為和.（1）求橢圓的

11、標準方程；（2）設是橢圓上的兩個動點，為坐標原點，直線的斜率為，直線的斜率為，若，證明：直線與以原點為圓心的定圓相切，并寫出此定圓的標準方程.【答案】(1);(2)見解析.詳解：（1）由橢圓定義得 ，即，又，所以，得橢圓的標準方程為（2）設直線的方程為，直線的方程與橢圓方程聯(lián)立，消去得，當判別式時，得，所以直線與一個定圓相切，定圓的標準方程為.例9.【2018屆上海市徐匯區(qū)二模】如圖，是橢圓長軸的兩個端點，是橢圓上與均不重合的相異兩點，設直線的斜率分別是.(1)求的值；(2)若直線過點，求證：；(3)設直線與軸的交點為(為常數(shù)且)，試探究直線與直線的交點是否落在某條定直線上？若是，請求出該定直

12、線的方程；若不是，請說明理由【答案】（1）（2）見解析（3）落在定直線上（3）同（2）法，由點的縱坐標，求出直線的方程，聯(lián)立兩直線方程，求出其交點的橫坐標與點的坐標無關，從而可判斷交點落在定直線上，從而問題可得解.試題解析：(1)設，由于，所以，因為在橢圓上，于是，即，所以. (2)設直線，由得，于是， (3)由于直線與軸的交點為，于是，聯(lián)立直線與橢圓的方程，可得，于是因為直線，直線，于是，所以，即直線與直線的交點落在定直線上例10.【2018屆山東省濰坊市二模】已知平面上動點到點的距離與到直線的距離之比為，記動點的軌跡為曲線.（1）求曲線的方程；（2）設是曲線上的動點，直線的方程為.設直線與

13、圓交于不同兩點， ，求的取值范圍；求與動直線恒相切的定橢圓的方程；并探究：若是曲線： 上的動點，是否存在直線： 恒相切的定曲線？若存在，直接寫出曲線的方程；若不存在，說明理由.【答案】（1）；（2）見解析【解析】分析：（1）設設，根據動點到點的距離與到直線的距離之比為，.詳解：（1）設，由題意，得.整理，得，所以曲線的方程為.（2）圓心到直線的距離直線于圓有兩個不同交點， x/k.w又當， 時，直線的方程為；當， 時，直線的方程為，根據橢圓對稱性，猜想的方程為.下證：直線與相切，其中，即.由消去得： ，即.恒成立，從而直線與橢圓： 恒相切.若點是曲線： 上的動點，則直線： 與定曲線： 恒相切.

14、【精選精練】1【2018屆寧夏銀川市第二中學二模】設動圓P(圓心為P)經過定點(0，2)，被x軸截得的弦長為4，P的軌跡為曲線C(1) 求C的方程(2) 設不經過坐標原點O的直線l與C交于A、B兩點，O在以線段AB為直徑的圓上，求證：直線l經過定點，并求出定點坐標.【答案】（1）；（2）【解析】分析：(1)由圓的幾何性質布列方程組，消去參數(shù)即可得到軌跡方程；（2）設不經過坐標原點O的直線的方程為，則：，解得：，利用根與系數(shù)的關系表示垂直關系可得，從而得到直線l經過定點.詳解：（1）設動圓P圓心為，半徑為，被x軸截得的弦為依題意的： 化簡整理得：，或（舍去）所以直線l經過定點2【2018屆遼寧省

15、部分重點中學協(xié)作體模擬】已知是橢圓上的一點，是該橢圓的左右焦點，且.（1）求橢圓的方程；（2）設點是橢圓上與坐標原點不共線的兩點，直線的斜率分別為，且.試探究是否為定值，若是，求出定值，若不是，說明理由.【答案】(1) 橢圓;(2)見解析.【解析】分析：(1)由，可得，根據橢圓定義，可得，從而所以 所以，因此，橢圓 .（用待定系數(shù)法，列方程組求解同樣給分）（2）設直線，由消去y得因為，所以即，解得 所以，點睛：本題主要考查待定待定系數(shù)法求拋物線及橢圓標準方程、圓錐曲線的定值問題以及點在曲線上問題，屬于難題. 探索圓錐曲線的定值問題常見方法有兩種： 從特殊入手，先根據特殊位置和數(shù)值求出定值，再證

16、明這個值與變量無關； 直接推理、計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.3【2018屆吉林省梅河口市第五中學二模】已知橢圓：的左、右焦點分別為，右頂點為，且過點，圓是以線段為直徑的圓，經過點且傾斜角為的直線與圓相切.（1）求橢圓及圓的方程； （2）是否存在直線，使得直線與圓相切，與橢圓交于兩點，且滿足？若存在，請求出直線的方程，若不存在，請說明理由.【答案】（1）橢圓的方程為，圓的方程為；（2）不存在由題可知，解得 ，所以橢圓的方程為，圓的方程為.（2）假設存在直線滿足題意.由，可得，故（）當直線的斜率不存在時，此時的方程為 因為直線與圓相切，所以，整理得由消去y整理得，設，則，因為

17、，所以，則，即，所以，所以，整理得由得，此時方程無解.故直線不存在由（i）（ii）可知不存在直線滿足題意.4【2018屆河北省武邑中學四模】已知橢圓，為左焦點，為上頂點，為右頂點，若，拋物線的頂點在坐標原點，焦點為.（1）求的標準方程；（2）是否存在過點的直線，與和交點分別是和，使得？如果存在，求出直線的方程；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）；（2）或（2）依題意可知的方程為，假設存在符合題意的直線，設直線方程為，聯(lián)立方程組，得，由韋達定理得，則，聯(lián)立方程組，得，由韋達定理得，所以，若，則，即，解得，所以存在符合題意的直線方程為或.點睛：求橢圓的標準方程，關鍵是基本量的確定，方法有待定系

18、數(shù)法、定義法等.直線與圓錐曲線的位置關系中的弦長、面積等問題，可以利用韋達定理把弦長、面積等表示為直線方程中某參數(shù)的函數(shù)關系式，進而把弦長、面積等問題歸結為方程的解或函數(shù)的值域等問題.5【2018屆湖南省長沙市長郡中學模擬卷（二）】已知動點到定直線：的距離比到定點的距離大2.（1）求動點的軌跡的方程；（2）在軸正半軸上，是否存在某個確定的點，過該點的動直線與曲線交于，兩點，使得為定值.如果存在，求出點坐標；如果不存在，請說明理由.【答案】（1）（2）化簡得，所以軌跡的方程為.（2）假設存在滿足條件的點（），直線：，有 ，設，有， ，據題意，為定值，則，于是，則有解得，故當時，為定值，所以.6.

19、【2018屆浙江省杭州市學軍中學模擬】是拋物線的焦點，是拋物線上位于第一象限內的任意一點，過 三點的圓的圓心為，點到拋物線的準線的距離為.（）求拋物線的方程；（）若點的橫坐標為，直線與拋物線有兩個不同的交點與圓有兩個不同的交點，求當 時，的最小值.【答案】(1) .(2) .【解析】分析：（1）設，先求得，再根據拋物線的定義求得p=1，即得拋物線的方程.(2)先求出，再利用換元和導數(shù)求其最小值.詳解：（1）拋物線的焦點，設 又到的距離令，則令，則時.點睛：（1）本題主要考查拋物線的簡單幾何性質，考查直線和拋物線的位置關系，意在考查學生對這些知識的掌握能力和分析推理能力計算能力.(2)解答本題的

20、關鍵有兩點，其一是求出，這個計算量有點大.其二是換元得到新的函數(shù).7【2018屆安徽省宿州市第三次檢測】已知橢圓的中心為坐標原點，焦點在軸上，離心率，以橢圓的長軸和短軸為對角線的四邊形的周長為.（）求橢圓的標準方程；（）若經過點的直線交橢圓于兩點，是否存在直線 ，使得到直線的距離滿足恒成立，若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.【答案】()；()答案見解析.則存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.詳解：（）設橢圓的標準方程為，又，由，解得，.所以橢圓的標準方程為.（）若直線的斜率不存在,則直線為任意直線都滿足要求；，.綜上可知存在直線，使得到直線的距離滿足恒成立.點睛：(1)解答直線與橢圓

21、的題目時，時常把兩個曲線的方程聯(lián)立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數(shù)的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系(2)涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形8【2018屆安徽省示范高中（皖江八校）5月聯(lián)考】如圖已知拋物線的焦點為，圓，直線：與拋物線和圓從下至上順次交于四點，.（1）若，求的值；（2）若直線于點，直線與拋物線交于點，設，的中點分別為，求證：直線過定點.【答案】（1）；（2）得， () ， ,用替換可得，的直線方程為，化簡得，直線過定點.9.【2018屆重慶市三診】已知橢圓的離心率為，經過橢圓的右焦點的弦中最短弦長為2.（1）

22、求橢圓的的方程；（2）已知橢圓的左頂點為為坐標原點，以為直徑的圓上是否存在一條切線交橢圓于不同的兩點，且直線與的斜率的乘積為？若存在，求切線的方程；若不存在，請說明理由.【答案】(1);(2).【解析】分析：第一問利用題中所給的橢圓的離心率，以及焦點弦中通徑最短的結論，以及橢圓中三者之間的關系求得橢圓的方程；第二問先設出切線方程，利用圓心到直線的距離等于半徑，得到系數(shù)之間的關系，與橢圓方程聯(lián)立，根據題的條件，得到相應的等量關系式，最后求得結果即可.詳解：（1）由題意有：；（2）設切線方程為，則有，時，；時，；所以直線為.10.【2018屆天津市河北區(qū)二模】設橢圓C：的左、右焦點分別為、，上頂點

23、為A，在x軸負半軸上有一點B，滿足為線段的中點，且AB。（I）求橢圓C的離心率；（II）若過A、B、三點的圓與直線：相切，求橢圓C的方程；（III）在（I）的條件下，過右焦點作斜率為k的直線與橢圓C交于M，N兩點，在x軸上是否存在點P(m，0)使得以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形？如果存在，求出m的取值范圍；如果不存在，說明理由?！敬鸢浮浚ǎ唬ǎ?；（）。數(shù)的關系可得MN的中點Q的坐標為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則，由此得到，整理得，最后可求得詳解：（I）ABAF2，為的中點，即橢圓C的離心率為 （II）過A、B、F2三點的圓的圓心為F1(-c，0)，半徑r=2c直線：相切

24、，解得c=1又，橢圓C的方程為（III）由(I)知，F(xiàn)2(1，0)，直線MN的方程為，MN的中點Q的坐標為，若以PM，PN為鄰邊的平行四邊形是菱形，則,整理得，故存在滿足題意的點P，且m的取值范圍是(點睛：（1）存在性問題通常采用“肯定順推法”，將不確定性問題明朗化其步驟為：假設滿足條件的元素(點或參數(shù))存在，并用待定系數(shù)法設出，根據題意列出關于待定系數(shù)的方程（方程組），若方程（組）有實數(shù)解，則元素(點或參數(shù))存在；否則元素(點或參數(shù))不存在（2）解析幾何中求范圍或最值時，首先建立關于某一參數(shù)為為變量的目標函數(shù)，再根據函數(shù)的特征求出范圍或最值11.【2018屆相陽教育“黌門云”模擬卷】設圓(圓

25、心為)：,圓圓心為： ,定點，為直線上異于的一點，和分別為圓、圓上異于 的點，滿足,直線和交于點,記的軌跡為曲線.(1) 求證: 曲線為橢圓(或橢圓的一部分)，并寫出的方程；(2) 設的上頂點為,過點的直線與橢圓交于兩點(異于)，求證: 直線和的斜率之和為定值，并求出這個定值.【答案】（1）；（2）故， 故的軌跡是以為焦點、長軸為 的橢圓 (去掉軸上的點)， 其方程為：. (2) 依題意：，設，當直線不與軸平行時，設其方程為，其中.代入橢圓方程化簡得：， 故,.又 =；當直線與軸平行時，其方程為，代入橢圓解得， 此時，故為定值. 12【2018屆河南省名校壓軸第二次考試】已知橢圓的上、下焦點分別為，上焦點到直線的距離為3，橢圓的離心率.（1）求橢圓的方程；（2）橢圓，設過點斜率存在且不為0的直線交橢圓于兩點，試問軸上是否存在點，使得？若存在，求出點的坐標；若不存在，說明理由.【答案】(1);(2)見解析.又橢圓的離心率，所以，又，求得，.橢圓方程為.（2）存在.理由如下：由（1）得橢圓，設直線的方程為，聯(lián)立，消去并整理得. .將，代入（*）并整理得，整理得，即，當時，無論取何值均成立. 存在點使得.