《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 一 平行線等分線段定理學(xué)案 新人教A版選修4-1》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2018-2019學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一講 相似三角形的判定及有關(guān)性質(zhì) 一 平行線等分線段定理學(xué)案 新人教A版選修4-1（10頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、一平行線等分線段定理學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解平行線等分線段定理的證明過(guò)程及性質(zhì).2.能獨(dú)立證明平行線等分線段定理的推論1、推論2.3.能應(yīng)用定理和推論解決相關(guān)的幾何計(jì)算問(wèn)題和證明問(wèn)題.知識(shí)鏈接1.三角形、梯形的中位線定理的內(nèi)容是什么？提示(1)三角形中位線平行于第三邊，并且等于它的一半.(2)梯形的中位線平行于兩底，并且等于兩底和的一半.2.如圖，已知ADEFBC，E是AB的中點(diǎn)，則DG_，H是_的中點(diǎn)，F(xiàn)是_的中點(diǎn).提示BGACDC預(yù)習(xí)導(dǎo)引1.平行線等分線段定理文字語(yǔ)言如果一組平行線在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等符號(hào)語(yǔ)言已知abc，直線m，n分別與a，b，c交于點(diǎn)A，B

2、，C和A，B，C，且ABBC，則ABBC圖形語(yǔ)言作用證明同一直線上的線段相等2.推論1文字語(yǔ)言經(jīng)過(guò)三角形一邊的中點(diǎn)與另一邊平行的直線必平分第三邊符號(hào)語(yǔ)言在ABC中，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)D作DEBC，交AC于點(diǎn)E，則點(diǎn)E平分AC圖形語(yǔ)言作用證明線段相等，求線段的長(zhǎng)度3.推論2文字語(yǔ)言經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)且與底邊平行的直線必平分另一腰符號(hào)語(yǔ)言在梯形ABCD中，ADBC，E為AB的中點(diǎn)，過(guò)E作EFBC，交CD于F，則F平分CD圖形語(yǔ)言作用證明線段相等，求線段的長(zhǎng)度要點(diǎn)一平行線等分線段定理例1如圖，在AD兩旁作ABCD，且ABCD，A1，A2為AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，C1，C2為CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，連接A

3、1C，A2C1，BC2，求證把AD分成四條線段的長(zhǎng)度相等.證明如圖，過(guò)點(diǎn)A作直線AM平行于A1C，延長(zhǎng)DC交AM于點(diǎn)M，過(guò)點(diǎn)D作直線DN平行于BC2，延長(zhǎng)AB交DN于點(diǎn)N，由ABCD，A1，A2為AB的兩個(gè)三等分點(diǎn)，點(diǎn)C1，C2為CD的兩個(gè)三等分點(diǎn)，可得四邊形A1CC1A2，四邊形A2C1C2B為平行四邊形，所以A1CA2C1C2B，所以AMA1CA2C1C2BDN，因?yàn)锳A1A1A2A2BCC1C1C2C2D，由平行線等分線段定理可知，A1C，A2C1，BC2把AD分成的四條線段的長(zhǎng)度相等.規(guī)律方法解決此題的關(guān)鍵是找出平行線等分線段定理的基本條件，找準(zhǔn)被一組平行線截得的線段.跟蹤演練1如圖，

4、ABCDEF，且AOODDF，OE6，則BC()A.3 B.6 C.9 D.4解析如圖，過(guò)O作一直線與AB，CD，EF平行，因?yàn)锳OODDF，由平行線等分線段定理知，BOOCCE，又OE6，所以BC6.答案B要點(diǎn)二平行線等分線段定理的推論例2如圖所示，在ABC中，ACB90，ACBC，E，F(xiàn)分別在AC，BC上，且CECF，EMAF交AB于M，CNAF交AB于N.求證：MNNB.解如圖所示，延長(zhǎng)ME交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)P，由題意可得RtEPCRtFAC，PCACBC.EMAF，CNAF，PMCN，又點(diǎn)C是BP的中點(diǎn)，點(diǎn)N是MB的中點(diǎn).MNNB.規(guī)律方法證明同一直線上相鄰兩條線段相等，常用方法構(gòu)造三

5、角形及中位線.跟蹤演練2如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，ABC90，M是CD的中點(diǎn).求證：AMBM.證明過(guò)M點(diǎn)作MEBC，交AB于點(diǎn)E.ABC90，AEM90，即MEAB.在梯形ABCD中，M是CD的中點(diǎn)，AEEB.ME是AB的垂直平分線.AMBM.要點(diǎn)三平行線等分線段定理的綜合應(yīng)用例3已知平面，直線l1分別交，于A，B，C三點(diǎn)，直線l2分別交，于D，E，F(xiàn)三點(diǎn)，且ABBC.求證：DEEF.證明(1)當(dāng)l1與l2共面時(shí)，由面面平行的性質(zhì)得ADBECF，又ABBC，由平行線等分線段定理得：DEEF，(2)當(dāng)l1與l2異面時(shí)，如圖，在直線l2上取一點(diǎn)G，過(guò)點(diǎn)G作l3l1，設(shè)l3與平面，分別相

6、交于P，Q，R.則l1與l3確定一個(gè)平面1，l3與l2確定一個(gè)平面2.在平面1中，連接AP，BQ，CR，則由面面平行的性質(zhì)可知APBQCR.由ABBC，得PQQR；同理在平面2中，就可證明DEEF.綜上，DEEF.規(guī)律方法這是平行線等分線段定理在空間的推廣，即：如果一組平行平面在一條直線上截得的線段相等，那么在其他直線上截得的線段也相等.跟蹤演練3如圖所示，四邊形ABCD中，ABCD，E，F(xiàn)分別是BC，AD的中點(diǎn)，BA，CD的延長(zhǎng)線分別與EF的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)M，N.求證：AMECNE.證明連接BD，過(guò)F作FGAB，交BD于G，連接GE，GF.在ABD中，F(xiàn)GAB，且F是AD的中點(diǎn)，DGGB，F(xiàn)G

7、是ABD的中位線，GFAB，GFBM.同理可證：GECD，GECN.ABCD，GFGE，GEFGFE.GFBM，GFEBME.GECD，GEFCNE.AMECNE.1.(1)定理中的“一組平行線”是指“平行線組”，是由三條或三條以上互相平行的直線組成的.(2)定理中的條件“在一條直線上截得的線段相等”實(shí)質(zhì)是指“平行線組”中每相鄰兩條平行線間的距離都相等.(3)定理及推論的主要作用在于證明同一直線上的線段相等問(wèn)題.2.在梯形中，如果已知一腰的中點(diǎn)，添加輔助線的方法(1)過(guò)這一點(diǎn)作底邊的平行線，由平行線等分線段定理的推論得另一腰的中點(diǎn)；(2)可通過(guò)延長(zhǎng)線段構(gòu)造全等三角形或相似三角形.3.在幾何證明

8、中添加輔助線的方法(1)在三角形中，由角平分線可構(gòu)造全等或相似三角形；(2)在三角形或梯形中，若有一邊上的中點(diǎn)，則過(guò)這點(diǎn)可作輔助線.1.如圖所示，l1l2l3，直線AB與l1，l2，l3相交于A，E，B，直線CD與l1，l2，l3相交于C，E，D，AEEB，則有()A.AECEB.BEDEC.CEDED.CEDE解析由平行線等分線段定理知CEED.答案C2.如圖D，E，F(xiàn)分別為ABC三邊的中點(diǎn)，則與DEF全等的三角形有()A.1個(gè) B.2個(gè)C.3個(gè) D.4個(gè)解析DF是ABC的中位線，DFBCCE，且DFBC，則AFDC.同理，由EFAB可得AEFC，ADFFEC.同理可得DEBFCE.由DEC

9、F，DFCE，EFEF，可得EFDFEC.與DEF全等的三角形有FAD，EDB，CFE，共3個(gè).答案C3.下列結(jié)論正確的是_.(1)如圖(1)所示，若l1l2l3且A1B1B1C1，則A2B2B2C2.(2)如圖(2)所示，若l1l2l3且A1B1B1C1，則A2B2B2C2.(3)如圖(3)所示，若l1l2l3且A1B1B1C1，則A2B2B2C2.解析由平行線等分線段定理知：(1)(2)(3)都正確.答案(1)，(2)，(3)4.如圖所示，AD是BC邊上的中線，E是AD的中點(diǎn)，BE的延長(zhǎng)線交AC于點(diǎn)F.求證：AFAC.證明過(guò)D作DGBF交AC于G.在BCF中，D是BC的中點(diǎn)，DGBF，G為

10、CF的中點(diǎn)，即CGGF.在ADG中，E是AD的中點(diǎn)，EFDG，F(xiàn)是AG的中點(diǎn)，即AFFG.AFAC.一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1.如圖所示，已知BCacm，且ADEFBC，AEEOOC，則AD等于()A.a cm B.2a cmC.3a cm D. cm解析EFAD，AEEO，F(xiàn)是OD的中點(diǎn)，EF是OAD的中位線，AD2EF，又EFBC，EOOC，OEFOCB，EFBC，AD2a.答案B2.如圖所示，在ABC中，BD為AC邊上的中線，DEAB交BC于E，則陰影部分面積為ABC面積的()A.B.C.D.解析DEAB，D為AC的中點(diǎn)，E為BC的中點(diǎn)，SBDESEDC.SBDESBDCSABC.答案A3.如圖所示

11、，若abc，那么下列結(jié)論中錯(cuò)誤的是()A.由ABBC可得FGGHB.由ABBC可得OBOGC.由CE2CD可得CA2BCD.由GHFH可得CDDE解析OB，OG不是一條直線被一組平行線截得的線段，故不正確.答案B4.如圖所示，在ABC中，E為AB的中點(diǎn)，AHBC于H，EFBC于F，若HCBH，則FC_BF.解析AHBC，EFBC，EFAH，又AEEB，BFFH，HCBHBF，F(xiàn)CFHHCBF.答案5.如圖所示，在ABC中，ABAC，ADBC于D，M是AD的中點(diǎn)，延長(zhǎng)CM，交AB于P，DNCP交AB于N，若AB6 cm，則AP_；若PM1 cm，則PC_.解析由ADBC，ABAC知BDCD，又D

12、NCP，BNNP.又AMMD，PMDN，知APPN，APAB2(cm)，易知PMDN，DNPC，PC4PM4(cm).答案2 cm4 cm6.如圖，在ABC中，CD平分ACB，AECD于E，EFBC交AB于F.求證：AFBF.證明如圖，延長(zhǎng)AE交BC于M.CD是ACB的角平分線，AECD，可證AECMEC，AEEM，又在ABM中，EFBF，點(diǎn)F是AB的中點(diǎn)，AFBF.二、能力提升7.如圖，在等腰梯形ABCD中，CDAB，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn)，且ACBC，若AD5，EF6，則CF的長(zhǎng)為()A.6.5 B.6 C.5 D.4解析連接BD，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是AD，AB的中點(diǎn).EF綊BD，又EF

13、6，BD12，梯形ABCD是等腰梯形，ACBD12，BCAD5，又ACBC，AB13，F(xiàn)是AB的中點(diǎn)，CFAB6.5.答案A8.某梯形的中位線長(zhǎng)10 cm，一條對(duì)角線將中位線分成的兩部分之差是3 cm，則該梯形中的較大的底邊等于_cm.解析由已知中位線被BD分成的較長(zhǎng)的一部分GF，又EFBC，且F為DC的中點(diǎn)，G為BD的中點(diǎn)，在DBC中，GFBC，較大的底邊BC長(zhǎng)為13.答案139.如圖所示，ADEGFHBC，E，F(xiàn)三等分AB，G，H在DC上，AD4，BC13，則EG_，F(xiàn)H_.解析由梯形中位線定理知：2EGADFH，2FHEGBC，又由已知AD4，BC13，可解得EG7，F(xiàn)H10.答案710

14、10.如圖所示，在梯形ABCD中，ADBC，DCBC，B60，ABBC，E為AB的中點(diǎn).求證：ECD為等邊三角形.證明如圖，連接AC，過(guò)點(diǎn)E作EF平行于AD交DC于點(diǎn)F.ADBC，ADEFBC.又E是AB的中點(diǎn)，F(xiàn)是DC的中點(diǎn)(經(jīng)過(guò)梯形一腰的中點(diǎn)與底邊平行的直線平分另一腰).DCBC，EFDC.EDEC(線段垂直分線上的點(diǎn)到線段兩端點(diǎn)的距離相等).EDC為等腰三角形.ABBC，B60，ABC是等邊三角形.ACB60.又E是AB邊的中點(diǎn)，CE平分ACB.FECECB30.DEF30.DEC60.又EDEC，ECD為等邊三角形.11.如圖所示，AEBFCGDH，ABBCCD，AE12，DH16，A

15、H交BF于M，求BM與CG的長(zhǎng).解如圖所示，取BC的中點(diǎn)P，作PQDH交EH于Q，則PQ是梯形ADHE的中位線.AEBFCGDH，ABBCCD，AE12，DH16，BM4.由于PQ為梯形ADHE的中位線，故PQ(AEDH)(1216)14.同理，CG(PQDH)(1416)15.三、探究與創(chuàng)新12.有人玩折紙游戲，他先把一張矩形紙ABCD按如圖(1)所示對(duì)折，設(shè)折痕為MN.如圖(2)所示，再沿AE折疊矩形一部分，使B落在折痕MN上，AE與MN交于P，得到RtABE，延長(zhǎng)EB交AD于F，得到AEF，他認(rèn)為AEF是一個(gè)等邊三角形，他的觀點(diǎn)是否正確？試說(shuō)明理由.解他的觀點(diǎn)是正確的.理由如下：由題意和題中圖示可知N是梯形ADCE的腰CD的中點(diǎn)，NPAD，P為EA的中點(diǎn).又ABE為直角三角形，BPPA，PABPBA.又PBAD，PBABAF，PABBAF.PAB與和它重合的角相等，2PABBAF90，即PABBAF30.AEB903060，EAFPABBAF60.AEF是等邊三角形.9