《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 新人教B版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（全國通用版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第十一章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第6節(jié) 幾何概型學(xué)案 理 新人教B版（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第6節(jié)幾何概型最新考綱1.了解隨機數(shù)的意義，能運用模擬方法估計概率；2.了解幾何概型的意義.知 識 梳 理1.幾何概型的定義事件A理解為區(qū)域的某一子區(qū)域A，A的概率只與子區(qū)域A的幾何度量(長度、面積、體積)成正比，而與A的位置和形狀無關(guān)，滿足上述條件的試驗稱為幾何概型.2.幾何概型的兩個基本特點(1)無限性：在一次試驗中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；(2)等可能性：每個結(jié)果的發(fā)生具有等可能性.3.幾何概型的概率公式P(A)，其中表示區(qū)域的幾何度量，A表示子區(qū)域A的幾何度量.常用結(jié)論與微點提醒1.幾何概型的基本事件的個數(shù)是無限的，古典概型中基本事件的個數(shù)是有限的，前者概率的計算與基本事件的區(qū)域長度

2、(面積或體積)的大小有關(guān)，而與形狀和位置無關(guān).2.幾何概型中，線段的端點、圖形的邊框是否包含在事件之內(nèi)不影響所求結(jié)果.診 斷 自 測1.思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)隨機模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計概率.()(2)從區(qū)間1，10內(nèi)任取一個數(shù)，取到1的概率是.()(3)概率為0的事件一定是不可能事件.()(4)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖形.()答案(1)(2)(3)(4)2.(教材練習(xí)改編)有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是()解析如題干選項中圖，各種情況的概率都是其面積比，

3、中獎的概率依次為P(A)，P(B)，P(C)，P(D)，所以P(A)P(C)P(D)P(B).答案A3.(2016全國卷)某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40秒.若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為()A. B. C. D.解析至少需要等待15秒才出現(xiàn)綠燈的概率為.答案B4.(2018臨沂質(zhì)檢)從區(qū)間(0，1)中任取兩個數(shù)作為直角三角形兩直角邊的長，則所取的兩個數(shù)使得斜邊長度不大于1的概率是()A. B.C. D.解析任取的兩個數(shù)記為x，y，所在區(qū)域是正方形OABC內(nèi)部，而符合題意的x，y位于陰影區(qū)域內(nèi)(不包括x，y軸).故所求概率P.

4、答案B5.(2018合肥質(zhì)檢)在如圖所示的正方形中隨機投擲10 000個點，則落入陰影部分(曲線C的方程為x2y0)的點的個數(shù)的估計值為()A.5 000 B.6 667C.7 500 D.7 854解析S陰影S正方形x2dx1，所以有，解得n6 667.答案B考點一與長度(角度)有關(guān)的幾何概型【例1】 (1)(2016全國卷)某公司的班車在7：30，8：00，8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達發(fā)車站乘坐班車，且到達發(fā)車站的時刻是隨機的，則他等車時間不超過10分鐘的概率是()A. B. C. D.(2)如圖，四邊形ABCD為矩形，AB，BC1，以A為圓心，1為半徑作四分之一個圓弧，

5、在DAB內(nèi)任作射線AP，則射線AP與線段BC有公共點的概率為_.解析(1)如圖所示，畫出時間軸：小明到達的時間會隨機的落在圖中線段AB上，而當(dāng)他的到達時間落在線段AC或DB上時，才能保證他等車的時間不超過10分鐘，根據(jù)幾何概型得所求概率P.(2)以A為圓心，以AD1為半徑作圓弧交AC，AP，AB分別為C，P，B.依題意，點P在上任何位置是等可能的，且射線AP與線段BC有公共點，則事件“點P在上發(fā)生”.又在RtABC中，易求BACBAC.故所求事件的概率P.答案(1)B(2)規(guī)律方法1.解答幾何概型問題的關(guān)鍵在于弄清題中的考查對象和對象的活動范圍，當(dāng)考查對象為點，且點的活動范圍在線段上時，用“線

6、段長度”為測度計算概率，求解的核心是確定點的邊界位置.2.(1)第(2)題易出現(xiàn)“以線段BD為測度”計算幾何概型的概率，導(dǎo)致錯求P.(2)當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，應(yīng)以角對應(yīng)的弧長的大小作為區(qū)域度量來計算概率.事實上，當(dāng)半徑一定時，曲線弧長之比等于其所對應(yīng)的圓心角的弧度數(shù)之比.【訓(xùn)練1】 (1)(2017江蘇卷)記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4，5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_.(2)(2018西安調(diào)研)在區(qū)間1，1上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_.解析(1)由6xx20，得2x3，即D2，3.故所求事件的概率P.(2)直

7、線ykx與圓(x5)2y29相交的充要條件是圓心(5，0)到直線ykx的距離小于3.則3，解得k.故所求事件的概率P.答案(1)(2)考點二與面積有關(guān)的幾何概型(多維探究)命題角度1與平面圖形面積相關(guān)的幾何概型【例21】 (2017全國卷)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖.正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱.在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.解析設(shè)正方形的邊長為2，則面積S正方形4.又正方形內(nèi)切圓的面積S12.所以根據(jù)對稱性，黑色部分的面積S黑.由幾何概型的概率公式，概率P.答案B命題角度2與線性規(guī)劃有關(guān)的幾何概

8、型【例22】 由不等式組確定的平面區(qū)域記為1，由不等式組確定的平面區(qū)域記為2，若在1中隨機取一點，則該點恰好在2內(nèi)的概率為_.解析如圖，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，易知C.由幾何概型的概率公式，所求概率P.答案命題角度3與定積分有關(guān)的幾何概型【例23】 如圖，點A的坐標為(1，0)，點C的坐標為(2，4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于_.解析由題意知，陰影部分的面積S(4x2)dx|，所以所求概率P.答案規(guī)律方法1.與面積有關(guān)的平面圖形的幾何概型，解題的關(guān)鍵是對所求的事件A構(gòu)成的平面區(qū)域形狀的

9、判斷及面積的計算，基本方法是數(shù)形結(jié)合.2.解題時可根據(jù)題意構(gòu)造兩個變量，把變量看成點的坐標，找到全部試驗結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.【訓(xùn)練2】 (1)(2016全國卷)從區(qū)間0，1隨機抽取2n個數(shù)x1，x2，xn，y1，y2，yn，構(gòu)成n個數(shù)對(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對共有m個，則用隨機模擬的方法得到的圓周率的近似值為()A. B.C. D.(2)(2018石家莊調(diào)研)在滿足不等式組的平面內(nèi)隨機取一點M(x0，y0)，設(shè)事件A“y02x0”，那么事件A發(fā)生的概率是()A. B. C. D.解析(1)如圖，數(shù)對(xi，yi)(i1，2，n)表示

10、的點落在邊長為1的正方形OABC內(nèi)(包括邊界)，兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對表示的點落在半徑為1的四分之一圓(陰影部分)內(nèi).由幾何概型的概率計算公式知P，又P，所以，故.(2)作出不等式組表示的平面區(qū)域(即ABC)，其面積為4.事件A“y02x0”表示的區(qū)域為AOC，其面積為3.所以事件A發(fā)生的概率是.答案(1)C(2)B考點三與體積有關(guān)的幾何概型【例3】 (1)(2018深圳模擬)一只蜜蜂在一個棱長為3的正方體內(nèi)自由飛行，若蜜蜂在飛行過程中始終保持與正方體6個表面的距離均大于1，稱其為“安全飛行”，則蜜蜂“安全飛行”的概率為()A. B. C. D.(2)已知正三棱錐SABC的底面邊長為4，高為

11、3，在正三棱錐內(nèi)任取一點P，使得VPABCVSABC的概率是()A. B. C. D.解析(1)由題意知小蜜蜂的安全飛行范圍為以這個正方體的中心為中心，且棱長為1的小正方體內(nèi).這個小正方體的體積為1，大正方體的體積為27，故安全飛行的概率為P.(2)由題意知，當(dāng)點P在三棱錐的中截面ABC以下時，滿足VPABCVSABC，又V錐SABCV錐SABCV錐SABC.事件“VPABCVSABC”的概率P.答案(1)C(2)A規(guī)律方法1.對于與體積有關(guān)的幾何概型問題，關(guān)鍵是計算問題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對于某些較復(fù)雜的也可利用其對立事件去求.2.本題易忽視基本事件的等可能性，錯用

12、“長度”度量，誤求P.【訓(xùn)練3】 如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為1，在正方體內(nèi)隨機取點M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_.解析設(shè)四棱錐MABCD的高為h，由于S正方形ABCD1，V正方體1，且S正方形ABCD.h，則點M在正方體的下半部分，故所求事件的概率P.答案基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時：30分鐘)一、選擇題1.為了測量某陰影部分的面積，作一個邊長為3的正方形將其包含在內(nèi)，并向正方形內(nèi)隨機投擲600個點，已知恰有200個點落在陰影部分內(nèi)，據(jù)此可以估計陰影部分的面積是()A.4 B.3 C.2 D.1解析由投擲的點落在陰影部分的個數(shù)與投擲的點的個數(shù)比得到陰影部分的面積與正方

13、形的面積比為，所以陰影部分的面積約為93.答案B2.如圖，“天宮一號”運行的軌跡是如圖的兩個類同心圓，小圓的半徑為2 km，大圓的半徑為4 km，衛(wèi)星P在圓環(huán)內(nèi)無規(guī)則地自由運動，運行過程中，則點P與點O的距離小于3 km的概率為()A. B. C. D.解析根據(jù)幾何概型公式，小于3 km的圓環(huán)面積為(3222)5；圓環(huán)總面積為(4222)12，所以點P與點O的距離小于3 km的概率為P.答案B3.(2018濰坊一中質(zhì)檢)在區(qū)間0，2上隨機地取一個數(shù)x，則事件“1log1”發(fā)生的概率為()A. B. C. D.解析由1log1，得x2，解得0x，所以事件“1log1”發(fā)生的概率為，故選A.答案A

14、4.(2018成都診斷)如圖，大正方形的面積是34，四個全等直角三角形圍成一個小正方形，直角三角形的較短邊長為3，向大正方形內(nèi)拋撒一枚幸運小花朵，則小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為()A. B. C. D.解析大正方形的面積是34，大正方形的邊長是，由直角三角形的較短邊長為3，得四個全等直角三角形的直角邊分別是5和3，則小正方形邊長為2，面積為4，小花朵落在小正方形內(nèi)的概率為P.答案B5.有一底面半徑為1、高為2的圓柱，點O為這個圓柱底面圓的圓心，在這個圓柱內(nèi)隨機取一點P，則點P到點O的距離大于1的概率為()A. B. C. D.解析設(shè)點P到點O的距離小于等于1的概率為P1，由幾何概型，則P1.故

15、點P到點O的距離大于1的概率P1.答案B6.(2018西安調(diào)研)若函數(shù)f(x)在區(qū)間0，e上隨機取一個實數(shù)x，則f(x)的值不小于常數(shù)e的概率是()A. B.1C. D.解析當(dāng)0x1時，恒有f(x)exe，不滿足題意.當(dāng)1xe時，f(x)ln xe.由ln xee，得1xe.所求事件的概率P1.答案B7.已知平面區(qū)域D(x，y)|1x1，1y1，在區(qū)域D內(nèi)任取一點，則取到的點位于直線ykx(kR)下方的概率為()A. B. C. D.解析由題設(shè)知，區(qū)域D是以原點為中心的正方形，根據(jù)圖形的對稱性知，直線ykx將其面積平分，如圖，故所求概率為.答案A8.(2018福州調(diào)研)如圖，矩形ABCD中，點

16、A在x軸上，點B的坐標為(1，0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)的圖象上.若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A. B. C. D.解析因為四邊形ABCD為矩形，B(1，0)且點C和點D分別在直線yx1和yx1上，所以C(1，2)，D(2，2)，E(0，1)，則A(2，0).因此S矩形ABCD6，S陰影1|CD|.由幾何概型，所求事件的概率P.答案B二、填空題9.在區(qū)間2，4上隨機地取一個數(shù)x，若x滿足|x|m的概率為，則m_.解析由|x|m，得mxm.當(dāng)m2時，由題意得，解得m2.5，矛盾，舍去.當(dāng)2m4時，由題意得，解得m3.答案310.如圖，在長方體ABCDA1B

17、1C1D1中，有一動點在此長方體內(nèi)隨機運動，則此動點在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_.解析因為VAA1BDVA1ABDAA1SABDAA1S矩形ABCDV長方體，故所求概率為.答案11.(2018河南六市聯(lián)考)在平面區(qū)域(x，y)|0x2，0y4內(nèi)隨機投入一點P，則點P的坐標(x，y)滿足yx2的概率為_.解析不等式組表示的平面區(qū)域的面積為248，設(shè)不等式組表示的平面區(qū)域的面積為S；則Sx2dxx3，因此所求的概率為.答案12.在區(qū)間0，5上隨機地選擇一個數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個負根的概率為_.解析設(shè)方程x22px3p20的兩負根為x1，x2，則解得p2.又因為p0，5，得p(2，5

18、，故所求概率為.答案能力提升題組(建議用時：10分鐘)13.(2018西北工大附中調(diào)研)設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為()A. B. C. D.解析由|z|1得(x1)2y21，由題意作圖如圖所示，則滿足條件的區(qū)域為圖中陰影部分，yx的概率為.答案D14.在區(qū)間0，1上任取兩個數(shù)a，b，則函數(shù)f(x)x2axb2無零點的概率為()A. B. C. D.解析要使該函數(shù)無零點，只需a24b20，即(a2b)(a2b)0，a2b0.作出的可行域(如陰影部分所示)，易得該函數(shù)無零點的概率P.答案C15.正方形的四個頂點A(1，1)，B(1，1)，C(1，1)，D(1，1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示.若將一個質(zhì)點隨機投入正方形ABCD中，則質(zhì)點落在圖中陰影區(qū)域的概率是_.解析正方形內(nèi)空白部分面積為x2(x2)dx2x2dxx3|，陰影部分面積為22，所以所求概率為.答案16.小波通過做游戲的方式來確定周末活動，他隨機地往單位圓內(nèi)投擲一點，若此點到圓心的距離大于，則周末去看電影；若此點到圓心的距離小于，則去打籃球；否則，在家看書.則小波周末不在家看書的概率為_.解析去看電影的概率P1，去打籃球的概率P2，不在家看書的概率為P.答案13