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(浙江專用)2019高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題三 數(shù)列與不等式 第4講 不等式學(xué)案

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1、第4講不等式考情考向分析1.利用不等式性質(zhì)比較大小、不等式的求解、利用基本不等式求最值、線性規(guī)劃、絕對(duì)值不等式的應(yīng)用問(wèn)題是高考的熱點(diǎn),主要以選擇題、填空題為主.2.一元二次不等式常與函數(shù)、數(shù)列結(jié)合考查一元二次不等式的解法和參數(shù)的取值范圍.3.在解答題中,特別是在解析幾何中求最值、范圍問(wèn)題或在解決導(dǎo)數(shù)或數(shù)列問(wèn)題時(shí)常利用不等式進(jìn)行求解,難度較大熱點(diǎn)一基本不等式利用基本不等式求最大值、最小值,其基本法則是:(1)如果x0,y0,xyp(定值),當(dāng)xy時(shí),xy有最小值2(簡(jiǎn)記為:積定,和有最小值);(2)如果x0,y0,xys(定值),當(dāng)xy時(shí),xy有最大值s2(簡(jiǎn)記為:和定,積有最大值)例1(1)(

2、2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)設(shè)ab0,當(dāng)取得最小值c時(shí),函數(shù)f(x)|xa|xb|xc|的最小值為()A3 B2 C5 D4答案A解析2b(ab)24,當(dāng)且僅當(dāng)a2b2時(shí),上面不等式中兩個(gè)等號(hào)同時(shí)成立,所以的最小值為4,此時(shí)a2,b1,c4,則f(x)|x1|x2|x4|所以當(dāng)x2時(shí),函數(shù)f(x)取得最小值f(2)523,故選A.(2)(2018諸暨市高考適應(yīng)性考試)已知a,b為正實(shí)數(shù),且(ab)(a2b)ab9,則3a4b的最小值為_(kāi) 答案61解析由(ab)(a2b)ab9,得ab,則3a4b2(ab)a2b(a2b1)12161,當(dāng)且僅當(dāng)a2b10時(shí),等號(hào)成立,所以3a4b的最小值為6

3、1.思維升華在利用基本不等式求最值時(shí),要特別注意“拆、拼、湊”等技巧,使其滿足基本不等式中“正”(即條件要求字母為正數(shù))、“定”(不等式的另一邊必須為定值)、“等”(等號(hào)成立的條件)的條件,否則會(huì)出現(xiàn)錯(cuò)誤跟蹤演練1(1)設(shè)x0,y0,若xlg 2,lg,ylg 2成等差數(shù)列,則的最小值為()A8 B9 C12 D16答案D解析xlg 2,lg,ylg 2成等差數(shù)列, 2lglg 2,xy1,1010210616,當(dāng)且僅當(dāng)x,y時(shí)取等號(hào),故的最小值為16,故選D.(2) 已知點(diǎn)E,F(xiàn)分別在正方形ABCD的邊BC,CD上運(yùn)動(dòng),且(,),設(shè)|CE|x,|CF|y,若|,則xy的最大值為()A2 B4

4、 C2 D4答案C解析|2,|,又|2, x2y24,(xy)2x2y22xy2(x2y2)8,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào), xy2,即xy的最大值為2,故選C.熱點(diǎn)二簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題解決線性規(guī)劃問(wèn)題首先要找到可行域,再注意目標(biāo)函數(shù)表示的幾何意義,數(shù)形結(jié)合找到目標(biāo)函數(shù)達(dá)到最值時(shí)可行域的頂點(diǎn)(或邊界上的點(diǎn)),但要注意作圖一定要準(zhǔn)確,整點(diǎn)問(wèn)題要驗(yàn)證解決例2(1)(2018浙江)若x,y滿足約束條件則zx3y的最小值是_,最大值是_答案28解析由,畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示(含邊界)由解得A(4,2),由解得B(2,2),將目標(biāo)函數(shù)yx平移可知,當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)A(4,2)時(shí),zmin43(2)2;

5、當(dāng)目標(biāo)函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)B(2,2)時(shí),zmax2328. (2)(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x,y滿足則x2y2的取值范圍是()A. B.C. D.答案D解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)作出滿足約束條件的平面區(qū)域,如圖所示的陰影部分,其中不含邊界線段NP,設(shè)zx2y2,求zx2y2的取值范圍,即求圖中陰影部分內(nèi)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離的平方的取值范圍由圖可知,作OHMN于點(diǎn)H,由N(0,1),M,得OH,zmin.又OP2223213,但點(diǎn)P不在圖中陰影部分內(nèi),zx2y2取不到13,x2y2的取值范圍是,故選D.思維升華(1)線性規(guī)劃問(wèn)題一般有三種題型:一是求最值;二是求區(qū)域面積;三是確定目標(biāo)函數(shù)中的字母

6、系數(shù)的取值范圍(2)一般情況下,目標(biāo)函數(shù)的最大值或最小值會(huì)在可行域的端點(diǎn)或邊界上取得跟蹤演練2(1)(2018浙江省名校協(xié)作體聯(lián)考)若不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過(guò)四個(gè)象限,則實(shí)數(shù)的取值范圍是()A(,2 B1,1C1,2) D(1,)答案D解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出不等式組表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示直線xy220恒過(guò)定點(diǎn)(2,2),由圖易得不等式組表示的平面區(qū)域?yàn)殛幱安糠衷谥本€xy220下方的部分,當(dāng)1時(shí),不等式組表示的平面區(qū)域經(jīng)過(guò)四個(gè)象限;當(dāng)1時(shí),不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過(guò)第二象限;當(dāng)0時(shí),不等式組表示的平面區(qū)域不經(jīng)過(guò)第一和第二象限;當(dāng)0)表示的平面區(qū)域?yàn)?,P(x,y)為上的

7、點(diǎn),當(dāng)2xy的最大值為8時(shí),的面積為()A12 B8 C4 D6答案D解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組表示的平面區(qū)域,其是以(0,0),(m,m),(m,2m)為頂點(diǎn)的三角形區(qū)域(包含邊界),由圖(圖略)易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2xy經(jīng)過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(m,2m)時(shí),z2xy取得最大值,所以2m2m8,解得m2,則此時(shí)平面區(qū)域的面積為2(42)6,故選D.熱點(diǎn)三絕對(duì)值不等式及其應(yīng)用1絕對(duì)值不等式的解法(1)|axb|c(c0)caxbc;|axb|c(c0)axbc或axbc.(2)含絕對(duì)值的不等式的幾種解法:公式法;零點(diǎn)分區(qū)間法;幾何意義法;圖象法2絕對(duì)值三角不等式(1)|ab|a|b|,當(dāng)

8、且僅當(dāng)ab0時(shí)等號(hào)成立(2)|ac|ab|bc|,當(dāng)且僅當(dāng)(ab)(bc)0時(shí),等號(hào)成立例3(1)(2018寧波期末)若函數(shù)f(x)在x|1|x|4,xR上的最大值為M,最小值為m,則Mm等于()A. B2 C. D.答案C解析因?yàn)閒(x)0,當(dāng)x1時(shí),等號(hào)成立,所以m0.又因?yàn)閒(x)|,當(dāng)x0時(shí)等號(hào)成立設(shè)t|x|,g(t)(1t4),則g(t)令g(t)0,得t,所以函數(shù)g(x)在1,上單調(diào)遞減,在(,4上單調(diào)遞增,且g(1)2,g(4),所以g(t)在1,4上的最大值為,所以當(dāng)x4時(shí),f(x)取得最大值M,所以Mm,故選C.(2)已知mR,要使函數(shù)f(x)|x24x92m|2m在區(qū)間0,

9、4上的最大值是9,則m的取值范圍是_答案解析不等式即為|x24x92m|2m9,x0,4,等價(jià)于|x24x92m|92m,x0,4,2m9x24x92m92m,x0,4,4m18x24x0,x0,4,結(jié)合函數(shù)的定義域可得(x24x)min4,據(jù)此可得4m184,m,即m的取值范圍是.思維升華(1)利用絕對(duì)值三角不等式求最值要注意等號(hào)成立的條件(2)絕對(duì)值不等式在某一區(qū)間上的最值可以進(jìn)行分類討論,也可以直接分析區(qū)間端點(diǎn)的取值,結(jié)合最值取到的條件靈活確定跟蹤演練3(1)對(duì)任意x,yR,|x1|x|y1|y1|的最小值為()A1 B2 C3 D4答案C解析|x1|x|y1|y1|(x1)x|(y1)

10、(y1)|3,當(dāng)且僅當(dāng)0x1,1y1時(shí)等號(hào)成立(2)(2018杭州質(zhì)檢)設(shè)函數(shù)f(x)(xR)滿足|f(x)x2|,|f(x)1x2|,則f(1)_.答案解析由題意得|f(1)12|,|f(1)112|,由得f(1),由得f(1),所以f(1).真題體驗(yàn)1(2016上海)設(shè)xR,則不等式|x3|1的解集為_(kāi)答案(2,4)解析由1x31,得2x4,故解集為(2,4)2(2017浙江改編)若x,y滿足約束條件則zx2y的取值范圍是_答案4,)解析作出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中陰影部分(含邊界)所示由題意可知,當(dāng)直線yx過(guò)點(diǎn)A(2,1)時(shí),z取得最小值,即zmin2214.所以zx2y的取值范圍

11、是4,)3(2016浙江改編)已知實(shí)數(shù)a,b,c,則下列正確的是_(填序號(hào))若|a2bc|ab2c|1,則a2b2c2100;若|a2bc|a2bc|1,則a2b2c2100;若|abc2|abc2|1,則a2b2c2100;若|a2bc|ab2c|1,則a2b2c20,則的最小值為_(kāi)答案4解析a,bR,ab0,4ab24,當(dāng)且僅當(dāng)即時(shí)取得等號(hào)故的最小值為4.押題預(yù)測(cè)1已知x,y為正實(shí)數(shù),且xy5,則xy的最大值是()A3 B.C4 D.押題依據(jù)基本不等式在歷年高考中的地位都很重要,已成為高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn),用基本不等式求函數(shù)(和式或積式)的最值問(wèn)題,有時(shí)與解析幾何、數(shù)列等知識(shí)相結(jié)合答案C解析由

12、xy5,得5xy,x0,y0,5xyxy,當(dāng)且僅當(dāng)xy時(shí)取等號(hào)(xy)25(xy)40,解得1xy4,xy的最大值是4.2在R上定義運(yùn)算:adbc,若不等式1對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立,則實(shí)數(shù)a的最大值為()A B C. D.押題依據(jù)不等式的解法作為數(shù)學(xué)解題的一個(gè)基本工具,在高考中是必考內(nèi)容往往與函數(shù)的單調(diào)性相結(jié)合,最后轉(zhuǎn)化成一元一次不等式或一元二次不等式答案D解析由定義知,不等式1等價(jià)于x2x(a2a2)1,x2x1a2a對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立x2x12,a2a,解得a,則實(shí)數(shù)a的最大值為.3設(shè)變量x,y滿足約束條件則目標(biāo)函數(shù)z4xy的最小值為()A6 B6C7 D8押題依據(jù)線性規(guī)劃的實(shí)質(zhì)是數(shù)形結(jié)合思想

13、的應(yīng)用,利用線性規(guī)劃的方法求一些線性目標(biāo)函數(shù)的最值是近幾年高考的熱點(diǎn)答案C解析由x,y滿足的約束條件畫(huà)出可行域如圖陰影部分所示(含邊界),當(dāng)直線z4xy過(guò)點(diǎn)C(1,3)時(shí),z取得最小值且最小值為437,故選C.4若不等式x22x對(duì)任意a,b(0,)恒成立,則實(shí)數(shù)x的取值范圍是()A(4,2)B(,4)(2,)C(,2)(0,)D(2,0)押題依據(jù)“恒成立”問(wèn)題是函數(shù)和不等式交匯處的重要題型,可綜合考查不等式的性質(zhì),函數(shù)的值域等知識(shí),是高考的熱點(diǎn)答案A解析不等式x22x對(duì)任意a,b(0,)恒成立,等價(jià)于不等式x22x0時(shí)取等號(hào)),所以x22x8,解得4xb0,且ab1,則下列不等式成立的是()A

14、alog2(ab) B.log2(ab)aCalog2(ab) Dlog2(ab)ab0,ab1,log2(ab)log2(2)1.a12a,令f(a)a12a,又b,ab0,a,解得a1.f(a)a22aa12aln 2a22a(1aln 2)0,f(a)在(1,)上單調(diào)遞減f(a)f(1),即ablog2(ab),log2(ab)b0,ab1,取a2,b,此時(shí)a4,log2(ab)log2511.3,log2(ab)0的解集為,q:a0的解集為,得a0且1,解得a0的解集為”是“a”的充分不必要條件,故選A.3(2018紹興市柯橋區(qū)質(zhì)檢)若x,y滿足約束條件則z2xy的取值范圍是()A4,

15、0 B4,1C1,0 D0,1答案A解析作出約束條件所對(duì)應(yīng)的可行域,如圖中陰影部分(含邊界)所示,平移直線y2xz,當(dāng)其過(guò)點(diǎn)B(1,2),C(2,0)時(shí),目標(biāo)函數(shù)z分別取到最大值0和最小值4,故選A.4(2018諸暨模擬)已知a,bR,|asin2 |1,|bcos2|1,則()Aab的取值范圍是1,3Bab的取值范圍是3,1Cab的取值范圍是1,3Dab的取值范圍是3,1答案C解析由|asin2|1,|bcos2|1,得1asin21,1bcos21,則1bcos21,所以2asin2(bcos2)2,即2ab12,所以1ab3,故選C.5已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為3,若aman9a,則的

16、最小值等于()A1 B. C. D.答案C解析正項(xiàng)等比數(shù)列an的公比為3,且aman9a,a23m2a23n2a3mn49a,mn6,(mn),當(dāng)且僅當(dāng)m2n4時(shí)取等號(hào)故選C.6(2018浙江省名校新高考研究聯(lián)盟聯(lián)考)若關(guān)于x的不等式|xt22|xt22t1|3t無(wú)解,則實(shí)數(shù)t的取值范圍是()At1 B0t1Ct1 D1t5答案C解析|xt22|xt22t1|(xt22)(xt22t1)|2t1|,則由關(guān)于x的不等式|xt22|xt22t1|0),則xy的最小值為()A5 B9 C4 D10答案B解析由xy8,得xy8,則(xy8)(xy)(xy)5529,當(dāng)且僅當(dāng),即y2x0時(shí),等號(hào)成立,令

17、txy,所以(t8)t9,解得t1或t9,因?yàn)閤y0,所以xy9,所以xy的最小值為9,故選B.8若實(shí)數(shù)a,b,c滿足對(duì)任意實(shí)數(shù)x,y有3x4y5axbyc3x4y5,則()Aabc的最小值為2Babc的最小值為4Cabc的最大值為4Dabc的最大值為6答案A解析由題意可得5(a3)x(b4)yc5恒成立,所以a3,b4,5c5,則2abc12,即abc的最小值是2,最大值是12,A正確,C錯(cuò)誤;6abc4,則abc的最小值是6,最大值是4,B錯(cuò)誤,D錯(cuò)誤,故選A.9若存在實(shí)數(shù)x使|xa|x1|3成立,則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_答案2,4解析|xa|x1|a1|,則只需要|a1|3,解得2a4.1

18、0已知x0,y0,且xy1,則x2y2的取值范圍是_答案解析方法一由xy1,得y1x.又x0,y0,所以0x1,x2y2x2(1x)22x22x122.由0x1,得02,即x2y21.所以x2y2.方法二x2y2(xy)22xy,已知x0,y0,xy1,所以x2y212xy.因?yàn)?xy2,所以0xy,所以12xy1,即x2y2.方法三依題意,x2y2可視為原點(diǎn)與線段xy10(x0,y0)上的點(diǎn)的距離的平方,如圖所示,故(x2y2)min2,(x2y2)maxOA2OB21,故x2y2.11(2018臺(tái)州市聯(lián)考)若實(shí)數(shù)x,y滿足x24y24xy4x2y232,則x2y的最小值為_(kāi),(x2y)2x

19、y的最大值為_(kāi)答案416解析因?yàn)閤24y24xy4x2y232,所以(x2y)24x2y232,則(x2y)232,4x2y4,即x2y的最小值為4.由(x2y)24x2y232,不妨設(shè)則(x2y)2xy4(sin cos )16sin(),其中tan ,所以當(dāng)sin()1時(shí),(x2y)2xy取得最大值16.12(2018浙江省衢州二中模擬)已知實(shí)數(shù)x,y滿足x1,y0,且x4y11,則的最大值為_(kāi)答案9解析由x4y11得10(x1)4y,則210(x1)4y1010109,當(dāng)且僅當(dāng),即2yx10時(shí),等號(hào)成立,令t,則有t210t9,解得1t9,所以的最大值為9.B組能力提高13(2018臺(tái)州

20、市聯(lián)考)設(shè)實(shí)數(shù)x,y滿足條件若z2x2y2,則()Az的最小值為 Bz的最小值為3Cz的最大值為33 Dz的最大值為6答案A解析在平面直角坐標(biāo)系內(nèi)畫(huà)出題中的不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(含邊界)所示,由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)z2x2y2與平面區(qū)域內(nèi)的邊界xy10(x0)相切時(shí),z2x2y2取得最小值,聯(lián)立消去y化簡(jiǎn)得2x2x3z0,因?yàn)榍€z2x2y2與xy10(x0)相切,所以關(guān)于x的一元二次方程2x2x3z0有兩個(gè)相等的正實(shí)數(shù)根,則(1)242(3z)0,解得z,滿足題意,即目標(biāo)函數(shù)z2x2y2的最小值為,由于不等式組所表示的平面區(qū)域右側(cè)為開(kāi)放區(qū)域,所以目標(biāo)函數(shù)無(wú)最大值,故選A.14(

21、2018浙江省杭州第二中學(xué)等五校聯(lián)考)已知ABC的三邊長(zhǎng)分別為a,b,c,有以下四個(gè)命題:以,為邊長(zhǎng)的三角形一定存在;以2a,2b,2c為邊長(zhǎng)的三角形一定存在;以a3,b3,c3為邊長(zhǎng)的三角形一定存在;以|ab|c,|bc|a,|ca|b為邊長(zhǎng)的三角形一定存在其中正確命題的個(gè)數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案B解析由題意不妨設(shè)abc,則bca.對(duì)于,()2()2bc2a0,所以以,為邊長(zhǎng)的三角形一定存在,正確;對(duì)于,令a5,bc3,此時(shí)a,b,c可以構(gòu)成三角形,而2a32,2b2c8,則2a,2b,2c不能構(gòu)成三角形,錯(cuò)誤;對(duì)于,取a3,bc2,此時(shí)a,b,c可以構(gòu)成三角形,而a327,b3c

22、38,則a3,b3,c3不能構(gòu)成三角形,錯(cuò)誤;對(duì)于,因?yàn)閨ab|cacb,|bc|a|ca|babc,且abcacb,所以|bc|a|ca|b|ab|c,所以以|ab|c,|bc|a,|ca|b為邊長(zhǎng)的三角形一定存在,正確綜上所述,正確命題的個(gè)數(shù)為2,故選B.15(2018浙江省臺(tái)州中學(xué)統(tǒng)練)設(shè)m,k為整數(shù),方程mx2kx20在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根,則當(dāng)mk取到最小值時(shí),m_,k_.答案67解析設(shè)f(x)mx2kx2,則方程mx2kx20在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的根等價(jià)于函數(shù)f(x)mx2kx2在(0,1)內(nèi)有兩個(gè)不同的零點(diǎn),又因?yàn)閒(0)20,所以有化簡(jiǎn)得以m為橫坐標(biāo),k為縱坐標(biāo)建立平

23、面直角坐標(biāo)系,畫(huà)出不等式組所表示的平面區(qū)域如圖中陰影部分(不包括邊界)所示,又因?yàn)閙,k為整數(shù),則由圖易得當(dāng)目標(biāo)函數(shù)zmk經(jīng)過(guò)平面區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)(6,7)時(shí),zmk取得最小值z(mì)min6713,此時(shí)m6,k7.16已知ab,二次三項(xiàng)式ax22xb0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立,又存在x0R,使ax2x0b0成立,則的最小值為_(kāi)答案2解析由題意,得ab,二次三項(xiàng)式ax22xb0對(duì)于一切實(shí)數(shù)x恒成立,所以a0,且44ab0,所以ab1.由存在x0R,使ax2x0b0成立,可得0,所以ab1,所以a1,所以0,所以2,令a2t2,則2(t2)424448,當(dāng)且僅當(dāng)t4時(shí)取等號(hào),所以2的最小值為8,所以的最小值為2.17

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