《（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù) 第3講 導數(shù)及其應用學案》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù) 第3講 導數(shù)及其應用學案（22頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、（浙江專用）2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 函數(shù)與導數(shù) 第3講 導數(shù)及其應用學案考情考向分析1.導數(shù)的意義和運算是導數(shù)應用的基礎，是高考的一個熱點.2.利用導數(shù)解決函數(shù)的單調(diào)性與極值(最值)問題是高考的常見題型熱點一導數(shù)的幾何意義1函數(shù)f(x)在x0處的導數(shù)是曲線f(x)在點P(x0，f(x0)處的切線的斜率，曲線f(x)在點P處的切線的斜率kf(x0)，相應的切線方程為yf(x0)f(x0)(xx0)2求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的不同例1(1)(2018全國)設函數(shù)f(x)x3(a1)x2ax，若f(x)為奇函數(shù)，則曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為()

2、Ay2x ByxCy2x Dyx答案D解析方法一f(x)x3(a1)x2ax，f(x)3x22(a1)xa.又f(x)為奇函數(shù)，f(x)f(x)恒成立，即x3(a1)x2axx3(a1)x2ax恒成立，a1，f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.方法二f(x)x3(a1)x2ax為奇函數(shù)，f(x)3x22(a1)xa為偶函數(shù)，a1，即f(x)3x21，f(0)1，曲線yf(x)在點(0,0)處的切線方程為yx.故選D.(2)若直線ykxb是曲線yln x1的切線，也是曲線yln(x2)的切線，則實數(shù)b_.答案ln 2解析設直線ykxb與曲線yln

3、 x1和曲線yln(x2)的切點分別為(x1，ln x11)，(x2，ln(x22)直線ykxb是曲線yln x1的切線，也是曲線yln(x2)的切線，即x1x22.切線方程為y(ln x11)(xx1)，即為yln x1或yln(x22)(xx2)，即為yln x1，0，則x12，bln 2.思維升華(1)求曲線的切線要注意“過點P的切線”與“在點P處的切線”的差異，過點P的切線中，點P不一定是切點，點P也不一定在已知曲線上，而在點P處的切線，必以點P為切點(2)利用導數(shù)的幾何意義解題，主要是利用導數(shù)、切點坐標、切線斜率之間的關系來進行轉(zhuǎn)化以平行、垂直直線斜率間的關系為載體求參數(shù)的值，則要求

4、掌握平行、垂直與斜率之間的關系，進而和導數(shù)聯(lián)系起來求解跟蹤演練1(1)(2018全國)曲線y2ln(x1)在點(0,0)處的切線方程為_答案2xy0解析y2ln(x1)，y.令x0，得y2，由切線的幾何意義得切線斜率為2，又切線過點(0,0)，切線方程為y2x，即2xy0.(2)若函數(shù)f(x)ln x(x0)與函數(shù)g(x)x22xa(x0)，則切線方程為yln x1(xx1)設公切線與函數(shù)g(x)x22xa切于點B(x2，x2x2a)(x20)，則切線方程為y(x2x2a)2(x21)(xx2)，x20x1，02.又aln x121ln 21，令t，0t2，at2tln t.設h(t)t2tl

5、n t(0t2)，則h(t)t1h(2)ln 21ln ，a.熱點二利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性1f(x)0是f(x)為增函數(shù)的充分不必要條件，如函數(shù)f(x)x3在(，)上單調(diào)遞增，但f(x)0.2f(x)0是f(x)為增函數(shù)的必要不充分條件，如函數(shù)在某個區(qū)間內(nèi)恒有f(x)0時，則f(x)為常函數(shù)，函數(shù)不具有單調(diào)性例2已知函數(shù)f(x)2exkx2.(1)討論函數(shù)f(x)在(0，)內(nèi)的單調(diào)性；(2)若存在正數(shù)m，對于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立，求正實數(shù)k的取值范圍解(1)由題意得f(x)2exk，x(0，)，因為x0，所以2ex2.當k2時，f(x)0，此時f(x)在(0，)內(nèi)

6、單調(diào)遞增當k2時，由f(x)0得xln，此時f(x)單調(diào)遞增；由f(x)0得0x2時，f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，在內(nèi)單調(diào)遞增(2)當00.這時|f(x)|2x可化為f(x)2x，即2ex(k2)x20.設g(x)2ex(k2)x2，則g(x)2ex(k2)，令g(x)0，得xln0，所以g(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，且g(0)0，所以當x時，g(x)2時，由(1)可得f(x)在內(nèi)單調(diào)遞減，且f(0)0，所以存在x00，使得對于任意的x(0，x0)都有f(x)2x可化為f(x)2x，即2exx20.設h(x)2exx2，則h(x)2ex.()若2k4，則h(x)0在(0，)上恒成立，這時h(x)在(0，)內(nèi)

7、單調(diào)遞減，且h(0)0，所以對于任意的x(0，x0)都有h(x)4，令h(x)0，得x0，此時取mmin，則對于任意的x(0，m)，不等式|f(x)|2x恒成立綜上可得k的取值范圍為.思維升華利用導數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性的一般步驟(1)確定函數(shù)的定義域(2)求導函數(shù)f(x)(3)若求單調(diào)區(qū)間(或證明單調(diào)性)，只要在函數(shù)定義域內(nèi)解(或證明)不等式f(x)0或f(x)1時，ln x0，要使f(x)0恒成立，則xa0恒成立xa1a，1a0，解得a1，當0x1時，ln x0，要使f(x)0恒成立，則xa0恒成立，xaf(x)，則關于x的不等式f(x2)的解集為()A(，3) B(3，)C(，0) D(0，)

8、答案B解析f(x)是偶函數(shù)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)f(x)，f(x)f(x)f(x)，即f(x)f(x)0，設g(x)exf(x)，則ex0，g(x)在(，)上單調(diào)遞增，由ff(x1)0，得f(x)f0，ff0，相減可得f(x)f，f(x)的周期為3，e3fe3f(2)1，g(2)e2f(2)，f(x2)，結(jié)合f(x)的周期為3可化為ex1f(x1)e2f(2)，g(x1)g(2)，x12，x3，不等式的解集為，故選B.熱點三利用導數(shù)求函數(shù)的極值、最值1若在x0附近左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則f(x0)為函數(shù)f(x)的極大值；若在x0附近左側(cè)f(x)0，則f(x0)

9、為函數(shù)f(x)的極小值2設函數(shù)yf(x)在a，b上連續(xù)，在(a，b)內(nèi)可導，則f(x)在a，b上必有最大值和最小值且在極值點或端點處取得例3(2018北京)設函數(shù)f(x)ax2(4a1)x4a3ex.(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與x軸平行，求a；(2)若f(x)在x2處取得極小值，求a的取值范圍解(1)因為f(x)ax2(4a1)x4a3ex，所以f(x)ax2(2a1)x2ex.所以f(1)(1a)e.由題設知f(1)0，即(1a)e0，解得a1.此時f(1)3e0.所以a的值為1.(2)由(1)得f(x)ax2(2a1)x2ex(ax1)(x2)ex.若a，則當x時，f

10、(x)0.所以f(x)在x2處取得極小值若a，則當x(0,2)時，x20，ax1x10.所以2不是f(x)的極小值點綜上可知，a的取值范圍是.思維升華(1)求函數(shù)f(x)的極值，則先求方程f(x)0的根，再檢查f(x)在方程根的左右函數(shù)值的符號(2)若已知極值大小或存在情況，則轉(zhuǎn)化為已知方程f(x)0根的大小或存在情況來求解(3)求函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a，b上的最值時，在得到極值的基礎上，結(jié)合區(qū)間端點的函數(shù)值f(a)，f(b)與f(x)的各極值進行比較得到函數(shù)的最值跟蹤演練3(2018浙江省重點中學聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)ln(xb)a(a，bR)(1)若yf(x)的圖象在點(2，f(2)處的切

11、線方程為yx3，求a，b的值；(2)當b0時，f(x)對定義域內(nèi)的x都成立，求a的取值范圍解(1)由f(x)ln(xb)a，得f(x)，所以解得(2)當b0時，f(x)對定義域內(nèi)的x都成立，即ln xa恒成立，所以aln x，則a(ln x)max.令g(x)ln x，則g(x).令m(x)x，則m(x)1，令m(x)0，得x1，令m(x)1，所以m(x)在上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，則m(x)maxm(1)0，所以g(x)0，即g(x)在定義域上單調(diào)遞減，所以g(x)maxgln，即aln.真題體驗1(2017浙江改編)函數(shù)yf(x)的導函數(shù)yf(x)的圖象如圖所示，則函數(shù)yf(x)的

12、圖象可能是_(填序號)答案解析觀察導函數(shù)f(x)的圖象可知，f(x)的函數(shù)值從左到右依次為小于0，大于0，小于0，大于0，對應函數(shù)f(x)的增減性從左到右依次為減、增、減、增觀察圖象可知，排除.如圖所示，f(x)有3個零點，從左到右依次設為x1，x2，x3，且x1，x3是極小值點，x2是極大值點，且x20，故正確2(2017全國改編)若x2是函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1的極值點，則f(x)的極小值為_答案1解析函數(shù)f(x)(x2ax1)ex1，則f(x)(2xa)ex1(x2ax1)ex1ex1x2(a2)xa1由x2是函數(shù)f(x)的極值點，得f(2)e3(42a4a1)(a1)e30，所

13、以a1，所以f(x)(x2x1)ex1，f(x)ex1(x2x2)由ex10恒成立，得當x2或x1時，f(x)0，且當x0；當2x1時，f(x)1時，f(x)0.所以x1是函數(shù)f(x)的極小值點所以函數(shù)f(x)的極小值為f(1)1.3(2017山東改編)若函數(shù)exf(x)(e2.718 28是自然對數(shù)的底數(shù))在f(x)的定義域上單調(diào)遞增，則稱函數(shù)f(x)具有M性質(zhì)，下列函數(shù)中具有M性質(zhì)的是_(填序號)f(x)2x; f(x)x2；f(x)3x; f(x)cos x.答案解析若f(x)具有性質(zhì)M，則exf(x)exf(x)f(x)0在f(x)的定義域上恒成立，即f(x)f(x)0在f(x)的定義

14、域上恒成立對于式，f(x)f(x)2x2xln 22x(1ln 2)0，符合題意經(jīng)驗證，均不符合題意4(2017全國)曲線yx2在點(1,2)處的切線方程為_答案xy10解析y2x，y|x11，即曲線在點(1,2)處的切線的斜率k1，切線方程為y2x1，即xy10.押題預測1設函數(shù)yf(x)的導函數(shù)為f(x)，若yf(x)的圖象在點P(1，f(1)處的切線方程為xy20，則f(1)f(1)等于()A4 B3 C2 D1押題依據(jù)曲線的切線問題是導數(shù)幾何意義的應用，是高考考查的熱點，對于“在某一點處的切線”問題，也是易錯易混點答案A解析依題意有f(1)1,1f(1)20，即f(1)3，所以f(1)

15、f(1)4.2已知函數(shù)f(x)x3ax2bxa27a在x1處取得極大值10，則的值為()A B2C2或 D2或押題依據(jù)函數(shù)的極值是單調(diào)性與最值的“橋梁”，理解極值概念是學好導數(shù)的關鍵極值點、極值的求法是高考的熱點答案A解析由題意知f(x)3x22axb，f(1)0，f(1)10，即解得或經(jīng)檢驗滿足題意，故.3已知函數(shù)f(x)x2ax3在(0,1)上為減函數(shù)，函數(shù)g(x)x2aln x在(1,2)上為增函數(shù)，則a的值為_押題依據(jù)函數(shù)單調(diào)性問題是導數(shù)最重要的應用，體現(xiàn)了“以直代曲”思想，要在審題中搞清“在(0,1)上為減函數(shù)”與“函數(shù)的減區(qū)間為(0,1)”的區(qū)別答案2解析函數(shù)f(x)x2ax3在(

16、0,1)上為減函數(shù)，1，得a2.又g(x)2x，依題意g(x)0在(1,2)上恒成立，得2x2a在(1,2)上恒成立，a2，a2.4已知函數(shù)f(x)x，g(x)x22ax4，若對任意x10,1，存在x21,2，使f(x1)g(x2)，則實數(shù)a的取值范圍是_押題依據(jù)不等式恒成立或有解問題可以轉(zhuǎn)化為函數(shù)的值域解決考查了轉(zhuǎn)化與化歸思想，是高考的一個熱點答案解析由于f(x)10，因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增，所以當x0,1時，f(x)minf(0)1.根據(jù)題意可知存在x1,2，使得g(x)x22ax41，即x22ax50，即a成立，令h(x)，則要使ah(x)在1,2上能成立，只需使ah(x)m

17、in，又函數(shù)h(x)在1,2上單調(diào)遞減，所以h(x)minh(2)，故只需a.A組專題通關1(2018寧波月考)已知f(x)x2cos x，f(x)為f(x)的導函數(shù)，則f(x)的圖象是()答案A解析由題意得f(x)sin x，易得函數(shù)f(x)為奇函數(shù)，排除B，D；設g(x)sin x，則g(x)cos x，易得當x時，g(x)cos x0，即函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，排除C，故選A.2已知函數(shù)f(x)2kln xkx，若x2是函數(shù)f(x)的唯一極值點，則實數(shù)k的取值范圍是()A. B.C(0,2 D.答案A解析由題意得f(x)k，f(2)0，令g(x)exkx2，則g(x)在區(qū)間(0，)內(nèi)恒

18、大于等于0或恒小于等于0，令g(x)0，得k，令h(x)，則h(x)，所以h(x)的最小值為h(2)，無最大值，所以k，故選A.3已知定義在R上的可導函數(shù)f(x)的導函數(shù)為f(x)，滿足f(x)f(x)，且f(0)，則不等式f(x)ex0的解集為()A. B(0，)C. D(，0)答案B解析構(gòu)造函數(shù)g(x)，則g(x)，因為f(x)f(x)，所以g(x)0，故函數(shù)g(x)在R上為減函數(shù)，又f(0)，所以g(0)，則不等式f(x)ex0可化為，即g(x)0，即所求不等式的解集為(0，)4(2018浙江杭州二中月考)若函數(shù)f(x)bx3ax2x1存在極值點，則關于a，b的描述正確的是()Aab有最

19、大值Bab有最小值Ca2b2有最小值1Da2b2無最大值也無最小值答案D解析由題意得f(x)bx22ax，則由函數(shù)f(x)存在極值點得導函數(shù)f(x)bx22ax存在穿過型零點，則(2a)24b0，化簡得a2b21，所以a2b2無最大值也無最小值，故選D.5設過曲線f(x)exx2a(e為自然對數(shù)的底數(shù))上任意一點處的切線為l1，總存在過曲線g(x)(12x)2sin x上一點處的切線l2，使得l1l2，則實數(shù)a的取值范圍為()A1,1 B2,2C1,2 D2,1答案C解析設yf(x)的切點為(x1，y1)，yg(x)的切點為(x2，y2)，f(x)ex1，g(x)a2cos x，由題意得，對任

20、意x1R，總存在x2使得(1)(a2cos x2)1，2cos x2a對任意x1R均有解x2，故2a2對任意x1R恒成立，則a2a2對任意x1R恒成立又(0,1)，a20且2a1，1a2.6已知f(x)xln x，則f(1)_.答案解析因為f(x)1ln x，令x1，得f(1)1f(1)，解得f(1).7(2018全國)曲線y(ax1)ex在點(0,1)處的切線的斜率為2，則a_.答案3解析y(axa1)ex，當x0時，ya1，a12，得a3.8已知函數(shù)f(x)2ln x和直線l：2xy60，若點P是函數(shù)f(x)圖象上的一點，則點 P到直線l的距離的最小值為_答案解析設直線y2xm 與函數(shù)f(

21、x)的圖象相切于點P(x0，y0)(x00)f(x)，則f(x0)2，解得x01，P(1,0)則點P到直線2xy60的距離d，即為點P到直線2xy60的距離的最小值9已知函數(shù)f(x) (aR)的值域是，則常數(shù)a_，m_.答案1解析由題意得f(x)，即ax2x對任意xR恒成立，且存在xR使得等號成立，所以amax，又因為x2x(x2)2，所以amax，所以f(x)，則f(x)，當x時，f(x)0，當x(，2)和時，f(x)0恒成立，所以由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(1，)，單調(diào)減區(qū)間為(0,1)(2)若f(x)在(0,1)內(nèi)有極值，則f(x)0在(0,

22、1)內(nèi)有解令f(x)0，即exax0，即a.設g(x)，x(0,1)，所以 g(x)，當x(0,1)時，g(x)e時，f(x)0 有解設H(x)exax，則 H(x)exa0，H(1)eae時，f(x)在(0,1)內(nèi)有極值且唯一當ae時，當x(0,1)時，f(x)0恒成立，f(x)單調(diào)遞減，不成立綜上，a的取值范圍為(e，)11已知函數(shù)f(x)xaln xb，a，b為實數(shù)(1)若曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線方程為y2x3，求a，b的值；(2)若|f(x)|對x2,3恒成立，求a的取值范圍解(1)由已知，得f(x)1，且由題設得f(1)2，f(1)5，從而得1a2且1b5，解得a1，

23、b4.(2)根據(jù)題設可知，命題等價于當x2,3時，恒成立|xa|恒成立ax恒成立xax恒成立(*)設g(x)x，x2,3，h(x)x，x2,3，則(*)式即為g(x)maxah(x)min，而當x2,3時，g(x)x和h(x)x均為增函數(shù)，則g(x)maxg(3)2，h(x)minh(2)，所以實數(shù)a的取值范圍為.B組能力提高12已知函數(shù)f(x)sin xxcos x，現(xiàn)有下列結(jié)論：當x0，時，f(x)0；當0sin ；若nm對x恒成立，則mn的最小值等于1；已知k，當xi時，滿足k的xi的個數(shù)記為n，則n的所有可能取值構(gòu)成的集合為0,1,2,3其中正確的個數(shù)為()A1 B2 C3 D4答案C

24、解析當x0，時，f(x)xsin x0，函數(shù)f(x)在0，上為增函數(shù)，所以f(x)f(0)0，正確；令g(x)，由知，當x(0，)時，g(x)g，即，所以sin g，則n，令(x)sin xx，當x時，(x)cos x10，所以(x)在上為減函數(shù)，所以(x)sin xx(0)0，所以0)，g(x)ln x2.(1)當m1時，求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間；(2)若對任意的x11，e，總存在x21，e，使1，其中e是自然對數(shù)的底數(shù)，求實數(shù)m的取值范圍解(1)當m1時，f(x)xln x，則f(x)ln x1.因為f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且f(1)0，所以當x1時，f(x)0；當0x1時，f(

25、x)0在1，e上恒成立，所以函數(shù)(x)在1，e上單調(diào)遞增，故(x).又h(x)(x)1，所以h(x)，即ln xe在1，e上恒成立，即x2ln xmx2(eln x)在1，e上恒成立設p(x)x2ln x，則p(x)2xln x0在1，e上恒成立，所以p(x)在1，e上單調(diào)遞減，所以mp(x)maxp(1).設q(x)x2(eln x)，則q(x)x(2e12ln x)x(2e12ln e)0在1，e上恒成立，所以q(x)在1，e上單調(diào)遞增，所以mq(x)minq(1)e.綜上所述，m的取值范圍為.15已知函數(shù)f(x)kln x，且曲線yf(x)在點(1，f(1)處的切線與y軸垂直(1)求函數(shù)

26、f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若對任意x(0,1)(1，e)(其中e為自然對數(shù)的底數(shù))，都有(a0)恒成立，求a的取值范圍解(1)f(x)的定義域為(0，)，f(x)kln x，定義域為(0，)，f(x)(x0)由題意知f(1)k10，解得k1，f(x)(x0)，由f(x)0，解得x1；由f(x)0，解得0x1時，n(x)0，n(x)在1，)上單調(diào)遞減，當x(1，e)時，n(x)n(1)0，當x(1，e)時，m(x)m(e)，由題意知，又a0，ae1.下面證明：當ae1,0x成立，即證aln xx1成立，令(x)aln xx1，則(x)1(0x1)，由ae1,0x0，故(x)在(0,1)上是增函數(shù)

27、，當x(0,1)時，(x)(1)0，aln x成立，故正數(shù)a的取值范圍是.方法二當x(0,1)時，(a0)可化為aln xx10)，令g(x)aln xx1(a0)，則問題轉(zhuǎn)化為證明g(x)0)，令g(x)0，得0xa，令g(x)a，函數(shù)g(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減()當0a0(a(0,1)設T(x)xln xx1(0x1)，則T(x)ln x11ln x0(0xT(1)0.即g(a)0(a(0,1)故此時不滿足g(x)0對任意x(0,1)恒成立；()當a1時，函數(shù)g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增故g(x)(a0)，令h(x)aln xx1(a0)，則問題轉(zhuǎn)化為證明h(x)0對任意x(1，e)恒成立又h(x)1(a0)，令h(x)0得 0xa；令h(x)a，函數(shù)h(x)在(0，a)上單調(diào)遞增，在(a，)上單調(diào)遞減()當ae時，h(x)在(1，e)上是增函數(shù)，所以h(x)h(1)0，()當1ae時，h(x)在(1，a)上單調(diào)遞增，在(a，e)上單調(diào)遞減，所以只需h(e)0，即ae1，()當0a1時，h(x)在(1，e)上單調(diào)遞減，則h(x)h(1)0，不符合題意綜合()()()可得ae1.由得正數(shù)a的取值范圍是.