《（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案（18頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（浙江專(zhuān)用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專(zhuān)題五 函數(shù)與導(dǎo)數(shù) 第4講 導(dǎo)數(shù)的熱點(diǎn)問(wèn)題學(xué)案考情考向分析利用導(dǎo)數(shù)探求函數(shù)的極值、最值是函數(shù)的基本問(wèn)題，高考中常與函數(shù)零點(diǎn)、不等式結(jié)合，證明不等式和求參數(shù)范圍問(wèn)題是熱點(diǎn)題型，中高檔難度熱點(diǎn)一利用導(dǎo)數(shù)證明不等式用導(dǎo)數(shù)證明不等式是導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用之一，可以間接考查用導(dǎo)數(shù)判定函數(shù)的單調(diào)性或求函數(shù)的最值，以及構(gòu)造函數(shù)解題的能力例1已知函數(shù)f(x)2xln x.(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)求證：1ln 2f(x)1.(1)解由題意知f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)，令f(x)0，得x.所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為，單調(diào)遞減區(qū)間為.(2)證明由(1)知f(x)

2、minf1ln 2.所以1ln 2f(x)成立另一方面，要證f(x)0，設(shè)函數(shù)g(x)2ln x4x2，則g(x)4.令t(x)e2x12x，x(0，)則t(x)2(e2x11)，由t(x)0得x，所以當(dāng)x時(shí)，t(x)0，即t(x)為增函數(shù)，所以t(x)t0.令g(x)0，得x，所以當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，則g(x)ming22ln 20，即當(dāng)x(0，)時(shí)，2ln x4x20，綜上，1ln 2f(x)1成立思維升華用導(dǎo)數(shù)證明不等式的方法(1)利用單調(diào)性：若f(x)在a，b上是增函數(shù)，則xa，b，則f(a)f(x)f(b)；對(duì)x1，x2a，b，且x1x2，則f(x1)f(x2)對(duì)于

3、減函數(shù)有類(lèi)似結(jié)論(2)利用最值：若f(x)在某個(gè)范圍D內(nèi)有最大值M(或最小值m)，則對(duì)xD，有f(x)M(或f(x)m)(3)證明f(x)g(x)，可構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)g(x)，證明F(x)0時(shí)，證明：存在x00，使得f(x0)a1.(1)解函數(shù)的定義域?yàn)?，)，f(x)(x0)，若a0，f(x)0，f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為0，)；若a0，當(dāng)0x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為.(2)證明由(1)可知，當(dāng)a0時(shí)，f(x)minfa，所以存在x00，使得f(x0)a1等價(jià)于aa1，設(shè)g(a)aa1(a0)，則g(a)1()，所以g(a)在(0,3)上

4、單調(diào)遞減，在(3，)上單調(diào)遞增，所以g(a)ming(3)0，故g(a)0，所以aa1恒成立，因此存在x00，使得f(x0)a1.熱點(diǎn)二利用導(dǎo)數(shù)討論方程根的個(gè)數(shù)方程的根、函數(shù)的零點(diǎn)、函數(shù)圖象與x軸的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)是三個(gè)等價(jià)的概念，解決這類(lèi)問(wèn)題可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、極值與最值，畫(huà)出函數(shù)圖象的走勢(shì)，通過(guò)數(shù)形結(jié)合思想直觀求解例2設(shè)函數(shù)f(x)ex2aln(xa)，aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若a0，且函數(shù)f(x)在區(qū)間0，)內(nèi)單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(2)若0a，試判斷函數(shù)f(x)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)解(1)函數(shù)f(x)在0，)內(nèi)單調(diào)遞增，f(x)ex0在0，)內(nèi)恒成立即aexx在0，)內(nèi)恒成立記g(x

5、)exx，則g(x)ex10恒成立，g(x)在區(qū)間0，)內(nèi)單調(diào)遞減，g(x)g(0)1，a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)(2)0aa)，記h(x)f(x)，則h(x)ex0，知f(x)在區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增又f(0)10，f(x)在區(qū)間內(nèi)存在唯一的零點(diǎn)x0，即f(x0)0，于是，x0ln.當(dāng)axx0時(shí)，f(x)x0時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增f(x)minf(x0)2aln2ax0x0a3a23a，當(dāng)且僅當(dāng)x0a1時(shí)，取等號(hào)由0a0，f(x)minf(x0)0，即函數(shù)f(x)沒(méi)有零點(diǎn)思維升華(1)函數(shù)yf(x)k的零點(diǎn)問(wèn)題，可轉(zhuǎn)化為函數(shù)yf(x)和直線yk的交點(diǎn)問(wèn)題(2)研究函數(shù)yf(x)的值域

6、，不僅要看最值，而且要觀察隨x值的變化y值的變化趨勢(shì)跟蹤演練2(2018全國(guó))已知函數(shù)f(x)exax2.(1)若a1，證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)1；(2)若f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)，求a.(1)證明當(dāng)a1時(shí)，f(x)1等價(jià)于(x21)ex10.設(shè)函數(shù)g(x)(x21)ex1，則g(x)(x22x1)ex(x1)2ex.當(dāng)x1時(shí)，g(x)0，h(x)沒(méi)有零點(diǎn)；()當(dāng)a0時(shí)，h(x)ax(x2)ex.當(dāng)x(0,2)時(shí)，h(x)0.所以h(x)在(0,2)上單調(diào)遞減，在(2，)上單調(diào)遞增故h(2)1是h(x)在(0，)上的最小值若h(2)0，即a，h(x)在(0，)上沒(méi)有零點(diǎn)若h(2)0，即

7、a，h(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)若h(2)，因?yàn)閔(0)1，所以h(x)在(0,2)上有一個(gè)零點(diǎn)；由(1)知，當(dāng)x0時(shí)，exx2，所以h(4a)11110，故h(x)在(2,4a)上有一個(gè)零點(diǎn)因此h(x)在(0，)上有兩個(gè)零點(diǎn)綜上，當(dāng)f(x)在(0，)上只有一個(gè)零點(diǎn)時(shí)，a.真題體驗(yàn)(2018浙江)已知函數(shù)f(x)ln x.(1)若f(x)在xx1，x2(x1x2)處導(dǎo)數(shù)相等，證明：f(x1)f(x2)88ln 2；(2)若a34ln 2，證明：對(duì)于任意k0，直線ykxa與曲線yf(x)有唯一公共點(diǎn)證明(1)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x).由f(x1)f(x2)得.因?yàn)閤1x2，所以.由基本

8、不等式，得2.因?yàn)閤1x2，所以x1x2256.由題意得f(x1)f(x2)ln x1ln x2ln(x1x2)設(shè)g(x)ln x(x0)，則g(x)(4)，當(dāng)x變化時(shí)，g(x)和g(x)的變化如下表所示：x(0,16)16(16，)g(x)0g(x)24ln 2所以g(x)在(256，)上單調(diào)遞增，故g(x1x2)g(256)88ln 2，即f(x1)f(x2)88ln 2.(2)令me(|a|k)，n21，則f(m)kma|a|kka0，f(n)knann0，直線ykxa與曲線yf(x)有唯一公共點(diǎn)押題預(yù)測(cè)設(shè)f(x)xaln x(aR)(1)當(dāng)a1時(shí)，求曲線yf(x)在點(diǎn)處的切線方程；(2

9、)當(dāng)ae1成立？押題依據(jù)有關(guān)導(dǎo)數(shù)的綜合應(yīng)用試題多考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性、導(dǎo)數(shù)與不等式等基礎(chǔ)知識(shí)和基本方法，考查轉(zhuǎn)化與化歸的數(shù)學(xué)思想方法，本題的命制正是根據(jù)這個(gè)要求進(jìn)行的解(1)當(dāng)a1時(shí)，f(x)xln x，f(x)1，曲線yf(x)在點(diǎn)處的切線的斜率為f11.所求切線方程為y，即xyln 210.(2)存在理由如下：要證當(dāng)ae1成立，則只需證明當(dāng)x時(shí)，f(x)maxe1即可f(x)1(x0)，令f(x)0，得x11，x2a1，當(dāng)a1時(shí)，a10，當(dāng)x時(shí)，f(x)0.則函數(shù)f(x)在上單調(diào)遞減，在1，e上單調(diào)遞增，f(x)maxmax.于是，只需證明f(e)e1或fe1即可，f(e

10、)(e1)ea(e1)0，f(e)e1成立，假設(shè)正確，即當(dāng)ae1成立A組專(zhuān)題通關(guān)1設(shè)函數(shù)f(x).(1)求函數(shù)f(x)的值域；(2)當(dāng)實(shí)數(shù)x0,1時(shí)，證明：f(x)2x2.(1)解函數(shù)f(x)的定義域是1,1，f(x)，當(dāng)f(x)0時(shí)，解得1x0，當(dāng)f(x)0時(shí)，解得0xe2.(1)解由定義域?yàn)?0,1)(1，)，f(x)，設(shè)h(x)x2(a2)x1，要使yf(x)在上有極值，則x2(a2)x10有兩個(gè)不同的實(shí)根x1，x2，(a2)240，a0或ae，0x1ex2，又h(0)1，只需h0，即(a2)1e2，聯(lián)立可得ae2.即實(shí)數(shù)a的取值范圍是.(2)證明由(1)知，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)

11、單調(diào)遞增，f(x)在(1，)上有最小值f(x2)，即t(1，)，都有f(t)f(x2)，又當(dāng)x時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x時(shí)，f(x)e)，則k(x)10(xe)，k(x)在上單調(diào)遞增，k(x)k(e)2e，f(t)f(s)e2.3(2018浙江省衢州二中模擬)已知函數(shù)f(x)aex(2e)x(a為實(shí)數(shù)，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))，曲線yf(x)在x0處的切線與直線(3e)xy100平行，g(x)x24x1.(1)求實(shí)數(shù)a的值，并判斷函數(shù)f(x)在0，)內(nèi)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)證明：當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)(1)解f(x)aex2e，f(0)a2e3e，a1，f(x)ex(2e)x，則f(x

12、)ex2e.當(dāng)x0時(shí)，f(x)ex2ee02e0，f(x)在0，)上單調(diào)遞增，且f(0)10，f(x)在0，)內(nèi)沒(méi)有零點(diǎn)(2)證明當(dāng)x0時(shí)，設(shè)h(x)f(x)g(x)exx2(2e)x1，則h(x)ex2x2e(exe)2(x1)h(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且h(1)0，h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，h(x)minh(1)e1(2e)10，當(dāng)x0時(shí)，h(x)0，即當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)4已知函數(shù)f(x)ln x，g(x)exbx，a，bR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)若函數(shù)yg(x)在R上存在零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)b的取值范圍；(2)若函數(shù)yf(x)在x處的切線方程為exy2b

13、0.求證：對(duì)任意的x(0，)，總有f(x)g(x)(1)解易得g(x)exbb.若b0，則g(x)(0，)，不合題意；若b0，g10，令g(x)exb0，得xln b.g(x)在(，ln b)上單調(diào)遞減；在(ln b，)上單調(diào)遞增，則g(x)ming(ln b)eln bbln bbbln b0，be.綜上所述，實(shí)數(shù)b的取值范圍是(，0)e，)(2)證明易得f(x)，則由題意，得feae2e，解得a.f(x)ln x，從而f1，即切點(diǎn)為.將切點(diǎn)坐標(biāo)代入exy2b0中，解得b0.g(x)ex.要證f(x)g(x)，即證ln xex(x(0，)，只需證xln xxex(x(0，)令u(x)xln

14、x，v(x)xex，x(0，)則由u(x)ln x10，得x，u(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，u(x)minu.又由v(x)exxexex(1x)0，得x1，v(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，v(x)maxv(1).u(x)u(x)minv(x)maxv(x)，顯然，上式的等號(hào)不能同時(shí)取到故對(duì)任意的x(0，)，總有f(x)g(x)5已知函數(shù)g(x)xln x，h(x)(a0)(1)若g(x)h(x)對(duì)x(1，)恒成立，求a的取值范圍；(2)證明：不等式對(duì)于正整數(shù)n恒成立，其中e2.718 28為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)(1)解方法一記f(x)g(x)h(x)xln xx2，令(x

15、)f(x)ln x1ax，則(x)a，當(dāng)a1時(shí)，x(1，)，(x)a1a0，f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，又f(1)1a0，f(x)0，即f(x)在(1，)上單調(diào)遞減，此時(shí)，f(x)f(1)0，即g(x)h(x)，a1.當(dāng)0aaa0，f(x)在上單調(diào)遞增，又f(1)1a0，f(x)0，即f(x)在上單調(diào)遞増，f(x)f(1)0，不滿足題意綜上所述，a1，)方法二當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)，令F(x)(x1)，F(xiàn)(x)(x1)，記m(x)x1xln x(x1)，則m(x)ln x0，m(x)在(1，)上單調(diào)遞減，m(x)m(1)0，F(xiàn)(x)0，即F(x)在(1，)上單調(diào)遞減，F(xiàn)(x)F(1)1，故

16、a1，)(2)證明由(1)知取a1，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)h(x)恒成立，即xln x恒成立，即ln x恒成立，即ln(1x)對(duì)于x(0，)恒成立，由此，ln，kN*，于是lnlnlnln，故0.(1)求函數(shù)f(x)在區(qū)間(0，)上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)；(2)函數(shù)F(x)的導(dǎo)數(shù)F(x)f(x)，是否存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得ln a為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)？請(qǐng)說(shuō)明理由解(1)f(x)ex，當(dāng)0x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增，所以當(dāng)x(0，)時(shí)，f(x)minf，因?yàn)閒f(0)0，所以存在x0，使f(x0)0，且當(dāng)0xx0時(shí)，f(x)x0時(shí)，f(x)0.故函數(shù)f(x)在(0，)上有1個(gè)

17、零點(diǎn)，即x0.(2)方法一當(dāng)a1時(shí)，ln a0.因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，exa0.由(1)知，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f(x)0.下面證：當(dāng)a時(shí)，ln ax0，即證f0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，由g(1)0，所以存在唯一零點(diǎn)t0，使得g0，且x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增所以當(dāng)x時(shí)，g(x)max.由g(1)0，g(e)0，得當(dāng)x時(shí)，g(x)0.故f0,0ln ax0.當(dāng)0xln a時(shí)，exa0，f(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增；當(dāng)ln ax0，f(x)0，F(xiàn)(x)f(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞減所以存在a(1,4)，使得ln a為F(x)的極大值點(diǎn)方法二因?yàn)楫?dāng)x時(shí)，exa0.由(1)知，當(dāng)x(0，x0)時(shí)，f

18、(x)0.所以存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得ln a為函數(shù)F(x)的極大值點(diǎn)，即存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得ln ax0成立，由(1)，問(wèn)題等價(jià)于存在無(wú)數(shù)個(gè)a(1,4)，使得f0，所以g(x)在上單調(diào)遞增，因?yàn)間ln0，所以存在唯一零點(diǎn)t0，使得g0，且當(dāng)x時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增；所以當(dāng)x時(shí)，g(x)mingt0ln t0t01，由g0，可得ln t0，代入式可得g(x)mingt01，當(dāng)t0時(shí)，gt010，所以必存在x，使得g(x)0，即對(duì)任意a，f1，求證：f(x)ax2x1ln(x1)(1)解當(dāng)ae時(shí)，f(x)x(exe)當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，f(x)極小

19、值f(0)1，無(wú)極大值(2)解f(x)x(exa)，()當(dāng)a0時(shí)，f(x)(x1)ex，只有一個(gè)零點(diǎn)x1，()當(dāng)a0時(shí)，exa0，當(dāng)x(，0)時(shí)，f(x)0，f(x)為增函數(shù)，f(x)極小值f(0)1，而f(1)0，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)在(0,1)上存在一個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)x0時(shí)，exx1，f(x)(x1)exax2x1ax2ax2x1，令g(x)ax2x1，x1是g(x)0的一個(gè)根，取x10，f(x1)f(0)0，當(dāng)x0時(shí)，函數(shù)f(x)在(x1,0)上存在一個(gè)零點(diǎn)，函數(shù)f(x)有兩個(gè)零點(diǎn)()當(dāng)a0，即a1時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)，f(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(，0)0(0，ln(a)ln(a)(

20、ln(a)，)f(x)00f(x)1f(x)極大值f(0)1，函數(shù)f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意，當(dāng)ln(a)0，即a1時(shí)，f(x)在(，)上單調(diào)遞增，f(x)至多有一個(gè)零點(diǎn)，不合題意當(dāng)ln(a)0，即1a0時(shí)，當(dāng)x變化時(shí)f(x)，f(x)的變化情況如表所示：x(，ln(a)ln(a)(ln(a)，0)0(0，)f(x)00f(x)1x0，a0時(shí)，f(x)(x1)exax20，h(x)為(1，)上的增函數(shù)，h(2)e210，取x1e2，x1e2，h(1e2)e20，存在唯一的x0(1,2)使h(x0)0，即，當(dāng)x(1，x0)時(shí)，h(x)0，g(x)0，g(x)0，g(x)為增函數(shù)，g(x)ming(x0)(x01)ln(x01)x01(x01)lnx011x0x010，對(duì)x1，g(x)g(x0)0，即f(x)ax2x1ln(x1)