《（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2（15頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（渝皖瓊）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡(jiǎn)單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過(guò)對(duì)柱體、錐體、臺(tái)體的研究，掌握柱體、錐體、臺(tái)體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺(tái)體的表面積計(jì)算公式；能運(yùn)用柱體、錐體、臺(tái)體的表面積公式進(jìn)行計(jì)算和解決有關(guān)實(shí)際問(wèn)題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力． 知識(shí)點(diǎn)一　圓柱、圓錐、圓臺(tái)的表面積 思考1　圓柱OO′及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？ 答案　S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)． 思考2　圓錐SO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？ 答案　底面周長(zhǎng)是2π

2、r，利用扇形面積公式得 S側(cè)＝×2πrl＝πrl， S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 思考3　圓臺(tái)OO′及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？ 答案　圓臺(tái)的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)上底周長(zhǎng)，外弧長(zhǎng)等于圓臺(tái)下底周長(zhǎng)，＝，解得x＝l. S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形 ＝(x＋l)×2πR－x·2πr ＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l， 所以，S圓臺(tái)側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 梳理　圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面積公式 圖形 表面積公式 旋轉(zhuǎn)體 圓柱 底面積：S底＝2πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl

3、 表面積：S＝2πr(r＋l) 圓錐 底面積：S底＝πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝πrl 表面積：S＝πr(r＋l) 圓臺(tái) 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl) 表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知識(shí)點(diǎn)二　直棱柱、正棱錐、正棱臺(tái)的側(cè)面積 思考1　類比圓柱側(cè)面積的求法，你認(rèn)為怎樣求直棱柱的側(cè)面積？如果直棱柱底面周長(zhǎng)為c，高為h，那么直棱柱的側(cè)面積是什么？ 答案　利用直棱柱的側(cè)面展開圖求棱柱的側(cè)面積．展開圖如圖，不難求得S直棱柱側(cè)＝ch. 思考2　正棱錐的側(cè)面展開圖如圖，設(shè)正棱錐底面周長(zhǎng)為c，斜高

4、為h′，如何求正棱錐的側(cè)面積？ 答案　正棱錐的側(cè)面積就是展開圖中各個(gè)等腰三角形面積之和，不難得到S正棱錐側(cè)＝ch′. 思考3　下圖是正四棱臺(tái)的展開圖，設(shè)下底面周長(zhǎng)為c，上底面周長(zhǎng)為c′，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱臺(tái)的側(cè)面面積公式嗎？ 答案　S正棱臺(tái)側(cè)＝n(a＋a′)h′＝(c＋c′)h′. 梳理　棱柱、棱錐、棱臺(tái)側(cè)面積公式 幾何體 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 直棱柱 S直棱柱側(cè)＝c·h c—底面周長(zhǎng) h—高 正棱錐 S正棱錐側(cè)＝c·h′ c—底面周長(zhǎng) h′—斜高 正棱臺(tái) S正棱臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)·h′ c、c′—上、下底面周長(zhǎng)h′—斜高

5、 1．斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來(lái)求解，其中l(wèi)為側(cè)棱長(zhǎng)，c為底面周長(zhǎng)．(　×　) 2．多面體的表面積等于各個(gè)面的面積之和．(　√　) 3．圓柱的一個(gè)底面積為S，側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，那么這個(gè)圓柱的側(cè)面積是2πS.(　×　) 類型一　旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(表面積) 例1　圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，則圓臺(tái)的表面積為多少． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖所示， 設(shè)圓臺(tái)的上底面周長(zhǎng)為c， 因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°， 故c＝π·SA＝2π×10， 所以SA＝20，同理可得SB＝40， 所以A

6、B＝SB－SA＝20， 所以 ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． 故圓臺(tái)的表面積為1 100π cm2. 反思與感悟　圓柱、圓錐、圓臺(tái)的側(cè)面是曲面，計(jì)算側(cè)面積時(shí)需要將這個(gè)曲面展為平面圖形計(jì)算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)圓柱的側(cè)面展開圖是兩邊長(zhǎng)分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由題意，圓柱的側(cè)面積＝6π×4π＝24π2. ①當(dāng)

7、以邊長(zhǎng)為6π的邊為母線時(shí)，4π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝4π， 即r＝2，所以＝4π， 所以＝＋2＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)． ②當(dāng)以邊長(zhǎng)為4π的邊為母線時(shí)，6π為圓柱底面周長(zhǎng)，則2πr＝6π，即r＝3，所以＝9π， 所以＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)． (2)圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分，則這兩部分側(cè)面積的比為(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心．因?yàn)镺1為PO2的中點(diǎn)， 所以＝＝＝， 所以PA＝AB，. 又因?yàn)椋溅小ぁ

8、A， ＝π·()·AB， 則＝＝. 類型二　多面體的側(cè)面積(表面積)及應(yīng)用 例2　如圖所示，已知六棱錐P-ABCDEF，其中底面ABCDEF是正六邊形，點(diǎn)P在底面的投影是正六邊形的中心，底面邊長(zhǎng)為2 cm，側(cè)棱長(zhǎng)為3 cm.求六棱錐P-ABCDEF的表面積． 解　 ＝6××2×2×sin 60°＝6. 又＝＝6××2× ＝6＝12. 反思與感悟　多面體中的有關(guān)計(jì)算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來(lái)計(jì)算，對(duì)于棱錐中的計(jì)算問(wèn)題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形

9、． 跟蹤訓(xùn)練2　 已知正四棱臺(tái)上底面邊長(zhǎng)為4 cm，側(cè)棱和下底面邊長(zhǎng)都是8 cm，求它的側(cè)面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　方法一　如圖，作B1F⊥BC， 垂足為F，設(shè)棱臺(tái)的斜高為h′. 在Rt△B1FB中， B1F＝h′， BF＝(8－4)＝2(cm)， B1B＝8 cm， ∴B1F＝＝2(cm)， ∴h′＝B1F＝2 cm. ∴S正棱臺(tái)側(cè)＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2)． 方法二　延長(zhǎng)正四棱臺(tái)的側(cè)棱交于點(diǎn)P，如圖，設(shè)PB1＝x cm， 則＝， 得x＝8 cm. ∴PB1＝B1B＝8 cm， ∴E1為PE的中點(diǎn)． ∴PE1＝＝2(cm)． PE＝

10、2PE1＝4 cm. ∴S正棱臺(tái)側(cè)＝S大正棱錐側(cè)－S小正棱錐側(cè) ＝4××8×PE－4××4×PE1 ＝4××8×4－4××4×2 ＝48(cm2)． 類型三　組合體的側(cè)面積(表面積) 例3　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)，過(guò)C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)體的表面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖所示，該幾何體是由一個(gè)圓柱挖去一個(gè)圓錐構(gòu)成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝a， DC＝＝2a， 又DD′＝DC＝2a， 則S

11、表＝S圓柱表＋S圓錐側(cè)－S圓錐底 ＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2 ＝(9＋4)πa2. 反思與感悟　(1)對(duì)于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對(duì)組合體表面積的影響． (2)對(duì)于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體，要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化． 跟蹤訓(xùn)練3　已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖，在△ABC中，過(guò)C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知AC2＋BC2＝AB2， 則AC⊥

12、BC. 所以BC·AC＝AB·CD， 所以CD＝，記為r＝， 那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個(gè)同底的圓錐，且底面半徑r＝，母線長(zhǎng)分別是AC＝3，BC＝4， 所以S表面積＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. 1．一個(gè)圓錐的表面積為πa m2，且它的側(cè)面展開圖是一個(gè)半圓，則圓錐的底面半徑為(　　) A. m B. m C. m D. m 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　設(shè)圓錐的母線長(zhǎng)為l，底面半徑為r， 則 解得r＝. 2．一個(gè)正三棱臺(tái)的上、下底面邊長(zhǎng)分別為3 cm和6 cm，高是 cm.則三棱臺(tái)的側(cè)面積為(　　) A．27 cm2

13、 B. cm2 C. cm2 D. cm2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O＝ cm， 連接A1O1并延長(zhǎng)交B1C1于點(diǎn)D1，連接AO并延長(zhǎng)交BC于點(diǎn)D，連接DD1，過(guò)D1作D1E⊥AD于點(diǎn)E. 在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm， DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝ (cm)， DD1＝＝＝ (cm)， 所以S正三棱臺(tái)側(cè)＝(c＋c′)·DD1＝ (cm2)． 3．如圖所示，圓臺(tái)的上、下底半徑和高的比為1∶4∶4，母線長(zhǎng)為10，則圓臺(tái)的側(cè)面積為________． 答案　100π 解析　設(shè)

14、圓臺(tái)的上底半徑為r，則下底半徑為4r，高為4r. 由母線長(zhǎng)為10可知10＝＝5r， ∴r＝2. 故圓臺(tái)的上、下底半徑和高分別為2,8,8. 所以圓臺(tái)的側(cè)面積為π(2＋8)×10＝100π. 4．若圓臺(tái)的高是12，母線長(zhǎng)為13，兩底面半徑之比為8∶3，則該圓臺(tái)的表面積為________． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 題點(diǎn)　臺(tái)體的表面積 答案　216π 解析　設(shè)圓臺(tái)上底面與下底面的半徑分別為r，R， 由勾股定理可得R－r＝＝5. ∵r∶R＝3∶8， ∴r＝3，R＝8. S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π， 則表面積為143π＋π×32＋π×82＝21

15、6π. 5．正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱錐的側(cè)面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)正三棱錐底面邊長(zhǎng)為a，斜高為h′， 如圖所示，過(guò)O作OE⊥AB，垂足為E，連接SE， 則SE⊥AB，且SE＝h′. 因?yàn)镾側(cè)＝2S底， 所以×3a×h′＝a2×2. 所以a＝h′. 因?yàn)镾O⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋2＝h′2. 所以h′＝2，所以a＝h′＝6. 所以S底＝a2＝×62＝9. 所以S側(cè)＝2S底＝18. 1．多面體的表面積為圍成多面體的各個(gè)面的面積之和． 2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計(jì)算要充分利用其軸截面，就

16、是說(shuō)將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對(duì)于圓臺(tái)有時(shí)需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識(shí)求解． 3．S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺(tái)表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 一、選擇題 1．已知一個(gè)圓柱的側(cè)面展開圖是一個(gè)正方形，則這個(gè)圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　設(shè)圓柱底面半徑、母線長(zhǎng)分別為r，l，由題意知l＝2πr，S側(cè)＝l2＝4π2r2. S表＝S側(cè)＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， ＝＝. 2．將邊長(zhǎng)為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸

17、旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是(　　) A．4π B．3π C．2π D．π 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C. 3．如圖所示，側(cè)棱長(zhǎng)為1的正四棱錐，若底面周長(zhǎng)為4，則這個(gè)棱錐的側(cè)面積為(　　) A．5 B. C. D.＋1 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　設(shè)底面邊長(zhǎng)為a，則由底面周長(zhǎng)為4，得 a＝1，SE＝ ＝，∴S側(cè)＝4×××1＝. 4．圓臺(tái)的一個(gè)底面周長(zhǎng)是另一個(gè)底面周長(zhǎng)的3倍，母線長(zhǎng)為3，圓臺(tái)的側(cè)面積為84π，則圓臺(tái)較小底面的半徑為(　　) A．7 B．6 C．5

18、D．3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　設(shè)圓臺(tái)較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r， S側(cè)＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7. 5．底面為正方形的直棱柱，它的底面對(duì)角線長(zhǎng)為，體對(duì)角線長(zhǎng)為，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積是(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案　D 解析　由已知得底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為＝2. ∴S側(cè)＝1×2×4＝8. 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為(　　) A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a， 由題

19、意知，三棱錐的各面都是正三角形， 其表面積為4＝4×a2＝2a2. 正方體的表面積為6a2， ∴三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a2∶6a2＝1∶. 7．已知正三棱錐的底面邊長(zhǎng)為a，高為a，則其側(cè)面積為(　　) A.a2 B.a2 C.a2 D.a2 答案　A 解析　正三棱錐如圖， OD＝××a＝a， ∴PD＝＝a， ∴S側(cè)＝×a×a×3＝a2，故選A. 二、填空題 8．圓臺(tái)的母線長(zhǎng)擴(kuò)大為原來(lái)的n倍，兩底面半徑都縮小為原來(lái)的倍，那么它的側(cè)面積變?yōu)樵瓉?lái)的________倍． 答案　1 解析　由S側(cè)＝π(r′＋r)l.當(dāng)r，r′縮小倍，l擴(kuò)

20、大n倍時(shí)，S側(cè)不變． 9．棱長(zhǎng)都是3的三棱錐的表面積S為________． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 題點(diǎn)　錐體的表面積 答案　9 解析　因?yàn)槿忮F的四個(gè)面是全等的正三角形， 所以S＝4××32＝9. 10．正四棱臺(tái)的上、下兩底面邊長(zhǎng)分別是方程x2－9x＋18＝0的兩根，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則其側(cè)面梯形的高為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　方程x2－9x＋18＝0的兩個(gè)根為x1＝3，x2＝6，設(shè)側(cè)面梯形的高為h，則由題意得×(3＋6)·h×4＝32＋62，解得h＝. 11．如圖所示，在棱長(zhǎng)為4的正方體上底面中心位置打一個(gè)直徑為2、深為4的

21、圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為________． 考點(diǎn)　組合幾何體的表面積與體積 題點(diǎn)　柱、錐、臺(tái)、球切割的幾何體的表面積與體積 答案　96＋6π 解析　由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個(gè)圓柱的側(cè)面積，同時(shí)減去兩個(gè)圓的面積，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 12．已知一個(gè)正四棱柱的對(duì)角線的長(zhǎng)是9 cm，表面積等于144 cm2，則這個(gè)棱柱的側(cè)面積為________ cm2. 答案　112或72 解析　設(shè)底面邊長(zhǎng)、側(cè)棱長(zhǎng)分別為a cm，l cm， 則 ∴或 ∴S側(cè)＝4×4×7＝112(cm2

22、)或S側(cè)＝4×6×3＝72 (cm2)． 三、解答題 13．圓柱有一個(gè)內(nèi)接長(zhǎng)方體AC1，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)是10 cm，圓柱的側(cè)面展開平面圖為矩形，此矩形的面積是100π cm2，求圓柱的底面半徑和高． 解　設(shè)圓柱底面半徑為r cm，高為h cm，如圖所示， 則圓柱軸截面長(zhǎng)方形的對(duì)角線長(zhǎng)等于它的內(nèi)接長(zhǎng)方體的體對(duì)角線長(zhǎng)， 則 ∴ 即圓柱的底面半徑為5 cm，高為10 cm. 四、探究與拓展 14．直平行六面體底面是菱形，兩個(gè)對(duì)角面的面積分別為Q1和Q2，則此平行六面體的側(cè)面積為________． 答案　2 解析　設(shè)側(cè)棱為b，底面邊長(zhǎng)為a， 則2＋2＝a2，∴＝4a2b2， ∴S側(cè)＝4ab＝2. 15．如圖，一個(gè)圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個(gè)半徑為x的內(nèi)接圓柱． (1)試用x表示圓柱的高； (2)當(dāng)x為何值時(shí)，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？ 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺(tái)體的表面積 題點(diǎn)　柱體的表面積 解　(1)軸截面如圖，設(shè)圓柱的高為h， BO＝1，PO＝3， 由圖，得＝，即h＝3－3x.(0