《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2（18頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 7.1 簡單幾何體的側(cè)面積學(xué)案 北師大版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.通過對柱體、錐體、臺體的研究，掌握柱體、錐體、臺體的表面積的求法.2.了解柱體、錐體、臺體的表面積計算公式；能運(yùn)用柱體、錐體、臺體的表面積公式進(jìn)行計算和解決有關(guān)實(shí)際問題.3.培養(yǎng)空間想象能力和思維能力． 知識點(diǎn)一　圓柱、圓錐、圓臺的表面積 思考1　圓柱OO′及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？ 答案　S側(cè)＝2πrl，S表＝2πr(r＋l)． 思考2　圓錐SO及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？ 答案　底面周長是2π

2、r，利用扇形面積公式得 S側(cè)＝×2πrl＝πrl， S表＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)． 思考3　圓臺OO′及其側(cè)面展開圖如下，則其側(cè)面積為多少？表面積為多少？ 答案　圓臺的側(cè)面展開圖是扇環(huán)，內(nèi)弧長等于圓臺上底周長，外弧長等于圓臺下底周長，＝，解得x＝l. S扇環(huán)＝S大扇形－S小扇形 ＝(x＋l)×2πR－x·2πr ＝π[(R－r)x＋Rl ]＝π(r＋R)l， 所以，S圓臺側(cè)＝π(r＋R)l，S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 梳理　圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式 圖形 表面積公式 旋轉(zhuǎn)體 圓柱 底面積：S底＝2πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝2πrl

3、 表面積：S＝2πr(r＋l) 圓錐 底面積：S底＝πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝πrl 表面積：S＝πr(r＋l) 圓臺 上底面面積：S上底＝πr′2 下底面面積：S下底＝πr2 側(cè)面積：S側(cè)＝π(r′l＋rl) 表面積：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl) 知識點(diǎn)二　直棱柱、正棱錐、正棱臺的側(cè)面積 思考1　類比圓柱側(cè)面積的求法，你認(rèn)為怎樣求直棱柱的側(cè)面積？如果直棱柱底面周長為c，高為h，那么直棱柱的側(cè)面積是什么？ 答案　利用直棱柱的側(cè)面展開圖求棱柱的側(cè)面積．展開圖如圖，不難求得S直棱柱側(cè)＝ch. 思考2　正棱錐的側(cè)面展開圖如圖，設(shè)正棱錐底面周長為c，斜高

4、為h′，如何求正棱錐的側(cè)面積？ 答案　正棱錐的側(cè)面積就是展開圖中各個等腰三角形面積之和，不難得到S正棱錐側(cè)＝ch′. 思考3　下圖是正四棱臺的展開圖，設(shè)下底面周長為c，上底面周長為c′，你能根據(jù)展開圖，歸納出正n棱臺的側(cè)面面積公式嗎？ 答案　S正棱臺側(cè)＝n(a＋a′)h′＝(c＋c′)h′. 梳理　棱柱、棱錐、棱臺側(cè)面積公式 幾何體 側(cè)面展開圖 側(cè)面積公式 直棱柱 S直棱柱側(cè)＝c·h c—底面周長 h—高 正棱錐 S正棱錐側(cè)＝c·h′ c—底面周長 h′—斜高 正棱臺 S正棱臺側(cè)＝(c＋c′)·h′ c、c′—上、下底面周長h′—斜高

5、 1．斜三棱柱的側(cè)面積也可以用cl來求解，其中l(wèi)為側(cè)棱長，c為底面周長．(　×　) 2．多面體的表面積等于各個面的面積之和．(　√　) 3．圓柱的一個底面積為S，側(cè)面展開圖是一個正方形，那么這個圓柱的側(cè)面積是2πS.(　×　) 類型一　旋轉(zhuǎn)體的側(cè)面積(表面積) 例1　(1)一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為(　　) A．3π B．4π C．2π＋4 D．3π＋4 (2)圓臺的上、下底面半徑分別為10 cm和20 cm.它的側(cè)面展開圖扇環(huán)的圓心角為180°，那么圓臺的表面積是________cm2.(結(jié)果中保留π) 考點(diǎn)　

6、 題點(diǎn)　 答案　(1)D　(2)1 100π 解析　(1)由三視圖可知，該幾何體為： 故表面積為πr2＋l＋l2＝π＋2π＋4＝3π＋4. (2)如圖所示， 設(shè)圓臺的上底面周長為c， 因?yàn)樯拳h(huán)的圓心角是180°， 故c＝π·SA＝2π×10， 所以SA＝20，同理可得SB＝40， 所以AB＝SB－SA＝20， 所以S表面積＝S側(cè)＋S上＋S下 ＝π(r1＋r2)·AB＋πr＋πr ＝π(10＋20)×20＋π×102＋π×202＝1 100π(cm2)． 故圓臺的表面積為1 100π cm2. 反思與感悟　圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面是曲面，計算側(cè)面積時需要將這個曲

7、面展為平面圖形計算，而表面積是側(cè)面積與底面圓的面積之和． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)圓柱的側(cè)面展開圖是兩邊長分別為6π和4π的矩形，則圓柱的表面積為(　　) A．6π(4π＋3) B．8π(3π＋1) C．6π(4π＋3)或8π(3π＋1) D．6π(4π＋1)或8π(3π＋2) 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由題意，圓柱的側(cè)面積S側(cè)＝6π×4π＝24π2. ①當(dāng)以邊長為6π的邊為母線時，4π為圓柱底面周長，則2πr＝4π， 即r＝2，所以S底＝4π， 所以S表＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋8π＝8π(3π＋1)． ②當(dāng)以邊長為4π的邊為母線時，6π為圓柱底面周長，則2πr＝6π，

8、 即r＝3，所以S底＝9π， 所以S表＝S側(cè)＋2S底＝24π2＋18π＝6π(4π＋3)． (2)圓錐的中截面把圓錐側(cè)面分成兩部分，則這兩部分側(cè)面積的比為(　　) A．1∶1 B．1∶2 C．1∶3 D．1∶4 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　如圖所示，PB為圓錐的母線，O1，O2分別為截面與底面的圓心．因?yàn)镺1為PO2的中點(diǎn)， 所以＝＝＝， 所以PA＝AB，O2B＝2O1A. 又因?yàn)镾圓錐側(cè)＝π·O1A·PA， S圓臺側(cè)＝π·(O1A＋O2B)·AB， 則＝＝. 類型二　多面體的側(cè)面積(表面積)及應(yīng)用 例2　某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表

9、面積等于(　　) A．8＋2 B．11＋2 C．14＋2 D．15 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　該幾何體為底面是直角梯形的直四棱柱． S表＝2××(1＋2)×1＋2×1＋2×1＋2×2＋2×＝11＋2，故選B. 反思與感悟　多面體中的有關(guān)計算通常轉(zhuǎn)化為平面圖形(三角形或特殊的四邊形)來計算，對于棱錐中的計算問題往往要構(gòu)造直角三角形，即棱錐的高、斜高以及斜高在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形，或者由棱錐的高、側(cè)棱以及側(cè)棱在底面上的投影構(gòu)成的直角三角形． 跟蹤訓(xùn)練2　 已知正四棱臺上底面邊長為4 cm，側(cè)棱和下底面邊長都是8 cm，求它的側(cè)面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)

10、　 解　方法一　如圖，作B1F⊥BC， 垂足為F，設(shè)棱臺的斜高為h′. 在Rt△B1FB中， B1F＝h′， BF＝(8－4)＝2(cm)， B1B＝8 cm， ∴B1F＝＝2(cm)， ∴h′＝B1F＝2 cm. ∴S正棱臺側(cè)＝×4×(4＋8)×2＝48(cm2)． 方法二　延長正四棱臺的側(cè)棱交于點(diǎn)P，如圖，設(shè)PB1＝x cm， 則＝， 得x＝8 cm. ∴PB1＝B1B＝8 cm， ∴E1為PE的中點(diǎn)． ∴PE1＝＝2(cm)． PE＝2PE1＝4 cm. ∴S正棱臺側(cè)＝S大正棱錐側(cè)－S小正棱錐側(cè) ＝4××8×PE－4××4×PE1 ＝

11、4××8×4－4××4×2 ＝48(cm2)． 類型三　組合體的側(cè)面積(表面積) 命題角度1　由三視圖求組合體的表面積 例3　某幾何體的三視圖(單位：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是________cm2. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　138 解析　將三視圖還原為長方體與直三棱柱的組合體， 再利用表面積公式求解．該幾何體如圖所示，長方體的長，寬，高分別為6 cm，4 cm，3 cm，直三棱柱的底面是直角三角形，邊長分別為3 cm，4 cm，5 cm，所以表面積S＝[2×(4×6＋4×3)＋3×6＋3×3]＋＝99＋39＝138(cm2)． 反思與感悟　對于此類

12、題目： (1)將三視圖還原為幾何體；(2)組合體的表面積應(yīng)注意重合部分的處理． 跟蹤訓(xùn)練3　一個幾何體的三視圖如圖所示(單位：m)，則該幾何體的表面積為________m2. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　12π＋4π 解析　由三視圖可以得到原幾何體是一個圓柱與圓錐的組合體，其表面積為2π×1×4＋π×12＋π×2×2＋π×22－π×12＝(12＋4)π(m2)． 命題角度2　由旋轉(zhuǎn)形成的組合體的表面積 例4　已知在梯形ABCD中，AD∥BC，∠ABC＝90°，AD＝a，BC＝2a，∠DCB＝60°，在平面ABCD內(nèi)，過C作l⊥CB，以l為軸將梯形ABCD旋轉(zhuǎn)一周，求此旋轉(zhuǎn)體的表面

13、積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖所示，該幾何體是由一個圓柱挖去一個圓錐構(gòu)成的．在直角梯形ABCD中，AD＝a，BC＝2a， AB＝(2a－a)tan 60°＝a， DC＝＝2a， 又DD′＝DC＝2a， 則S表＝S圓柱表＋S圓錐側(cè)－S圓錐底 ＝2π·2a·a＋2π·(2a)2＋π·a·2a－πa2 ＝(9＋4)πa2. 反思與感悟　(1)對于由基本幾何體拼接成的組合體，要注意拼接面重合對組合體表面積的影響． (2)對于從基本幾何體中切掉或挖掉的部分構(gòu)成的組合體，要注意新產(chǎn)生的截面和原幾何體表面的變化． 跟蹤訓(xùn)練4　已知△ABC的三邊長分別是AC＝3，BC＝4，AB＝5

14、，以AB所在直線為軸，將此三角形旋轉(zhuǎn)一周，求所得旋轉(zhuǎn)體的表面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　如圖，在△ABC中，過C作CD⊥AB，垂足為點(diǎn)D. 由AC＝3，BC＝4，AB＝5， 知AC2＋BC2＝AB2， 則AC⊥BC. 所以BC·AC＝AB·CD， 所以CD＝，記為r＝， 那么△ABC以AB為軸旋轉(zhuǎn)所得旋轉(zhuǎn)體是兩個同底的圓錐，且底面半徑r＝，母線長分別是AC＝3，BC＝4， 所以S表面積＝πr·(AC＋BC)＝π××(3＋4)＝π. 1．一個圓錐的表面積為πa m2，且它的側(cè)面展開圖是一個半圓，則圓錐的底面半徑為(　　) A. m B. m C. m D.

15、 m 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　設(shè)圓錐的母線長為l，底面半徑為r， 則 解得r＝. 2．一個正三棱臺的上、下底面邊長分別為3 cm和6 cm，高是 cm.則三棱臺的側(cè)面積為(　　) A．27 cm2 B. cm2 C. cm2 D. cm2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　如圖，O1，O分別是上、下底面中心，則O1O＝ cm， 連接A1O1并延長交B1C1于點(diǎn)D1，連接AO并延長交BC于點(diǎn)D，連接DD1，過D1作D1E⊥AD于點(diǎn)E. 在Rt△D1ED中，D1E＝O1O＝ cm， DE＝DO－OE＝DO－D1O1＝××(6－3)＝ (cm)

16、， DD1＝＝＝ (cm)， 所以S正三棱臺側(cè)＝(c＋c′)·DD1＝ (cm2)． 3．一個幾何體的三視圖(單位長度：cm)如圖所示，則此幾何體的表面積是(　　) A．(80＋16)cm2 B．84 cm2 C．(96＋16)cm2 D．96 cm2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　該幾何體是四棱錐與正方體的組合體，S表面積＝42×5＋4＝80＋16(cm2)． 4．若圓臺的高是12，母線長為13，兩底面半徑之比為8∶3，則該圓臺的表面積為________． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺體的表面積 題點(diǎn)　臺體的表面積 答案　216π 解析　設(shè)圓臺上底面與下底面

17、的半徑分別為r，R， 由勾股定理可得R－r＝＝5. ∵r∶R＝3∶8， ∴r＝3，R＝8. S側(cè)＝π(R＋r)l＝π(3＋8)×13＝143π， 則表面積為143π＋π×32＋π×82＝216π. 5．正三棱錐S－ABC的側(cè)面積是底面積的2倍，它的高SO＝3，求此正三棱錐的側(cè)面積． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 解　設(shè)正三棱錐底面邊長為a，斜高為h′， 如圖所示，過O作OE⊥AB，垂足為E，連接SE， 則SE⊥AB，且SE＝h′. 因?yàn)镾側(cè)＝2S底， 所以×3a×h′＝a2×2. 所以a＝h′. 因?yàn)镾O⊥OE，所以SO2＋OE2＝SE2. 所以32＋2＝h′2. 所以

18、h′＝2，所以a＝h′＝6. 所以S底＝a2＝×62＝9. 所以S側(cè)＝2S底＝18. 1．多面體的表面積為圍成多面體的各個面的面積之和． 2．有關(guān)旋轉(zhuǎn)體的表面積的計算要充分利用其軸截面，就是說將已知條件盡量歸結(jié)到軸截面中求解．而對于圓臺有時需要將它還原成圓錐，再借助相似的相關(guān)知識求解． 3．S圓柱表＝2πr(r＋l)；S圓錐表＝πr(r＋l)；S圓臺表＝π(r2＋rl＋Rl＋R2)． 一、選擇題 1．已知一個圓柱的側(cè)面展開圖是一個正方形，則這個圓柱的表面積與側(cè)面積的比是(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　設(shè)圓柱底面

19、半徑、母線長分別為r，l，由題意知l＝2πr，S側(cè)＝l2＝4π2r2. S表＝S側(cè)＋2πr2＝4π2r2＋2πr2＝2πr2(2π＋1)， ＝＝. 2．將邊長為1的正方形以其一邊所在直線為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)一周，所得幾何體的側(cè)面積是(　　) A．4π B．3π C．2π D．π 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　底面圓半徑為1，高為1，側(cè)面積S＝2πrh＝2π×1×1＝2π.故選C. 3．如圖所示，側(cè)棱長為1的正四棱錐，若底面周長為4，則這個棱錐的側(cè)面積為(　　) A．5 B. C. D.＋1 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　設(shè)底面邊長為a，則由底面周長為

20、4，得 a＝1，SE＝ ＝，∴S側(cè)＝4×××1＝. 4．圓臺的一個底面周長是另一個底面周長的3倍，母線長為3，圓臺的側(cè)面積為84π，則圓臺較小底面的半徑為(　　) A．7 B．6 C．5 D．3 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　A 解析　設(shè)圓臺較小底面半徑為r， 則另一底面半徑為3r， S側(cè)＝π(r＋3r)×3＝84π，∴r＝7. 5．某幾何體的三視圖如圖所示，其中俯視圖是個半圓，則該幾何體的表面積為(　　) A. B．π＋ C.＋ D.＋ 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　由三視圖可知該幾何體為一個半圓錐，底面半徑為1，高為，∴S表＝×2×＋×π×12＋

21、×π×1×2＝＋. 6．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為(　　) A．1∶1 B．1∶ C．1∶ D．1∶2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　C 解析　設(shè)正方體棱長為a， 由題意知，三棱錐的各面都是正三角形， 其表面積為4＝4×a2＝2a2. 正方體的表面積為6a2， ∴三棱錐D1－AB1C的表面積與正方體的表面積的比為2a2∶6a2＝1∶. 7．若一個圓錐的側(cè)面展開圖是面積為2π的半圓面，則該圓錐的母線與底面所成的角為(　　) A．30° B．45° C．60° D．75° 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　

22、C 解析　由題意知圓錐的母線長為2，底面半徑為1，故圓錐的母線與底面所成的角為60°. 8．某幾何體的三視圖如圖所示(單位：cm)，則該幾何體的表面積等于(　　) A．8π cm2 B．7π cm2 C．(5＋)π cm2 D．6π cm2 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　B 解析　此幾何體是由一個底面半徑為1 cm，高為2 cm的圓柱與一個底面半徑為1 cm，母線長為2 cm的圓錐組合而成的，故S表＝S圓柱側(cè)＋S圓錐側(cè)＋S底＝2π×1×2＋π×1×2＋π×12＝7π(cm2)． 二、填空題 9．棱長都是3的三棱錐的表面積S為________． 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺體的

23、表面積 題點(diǎn)　錐體的表面積 答案　9 解析　因?yàn)槿忮F的四個面是全等的正三角形， 所以S＝4××32＝9. 10．正四棱臺的上、下兩底面邊長分別是方程x2－9x＋18＝0的兩根，其側(cè)面積等于兩底面面積之和，則其側(cè)面梯形的高為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　 解析　方程x2－9x＋18＝0的兩個根為x1＝3，x2＝6，設(shè)側(cè)面梯形的高為h，則由題意得×(3＋6)·h×4＝32＋62，解得h＝. 11．如圖所示，在棱長為4的正方體上底面中心位置打一個直徑為2、深為4的圓柱形孔，則打孔后的幾何體的表面積為________． 考點(diǎn)　組合幾何體的表面積與體積 題點(diǎn)　柱

24、、錐、臺、球切割的幾何體的表面積與體積 答案　96＋6π 解析　由題意知，所打圓柱形孔穿透正方體，因此打孔后所得幾何體的表面積等于正方體的表面積，再加上一個圓柱的側(cè)面積，同時減去兩個圓的面積，即S＝6×42＋4×2π－2π×12＝96＋6π. 12．一個幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的表面積為________． 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　38 解析　由三視圖可知，該幾何體為一個長方體中挖去一個圓柱．其中長方體的長、寬、高分別為4,3,1，圓柱的底面圓的半徑為1，高為1. 長方體的表面積為S1＝2×(4×3＋4×1＋3×1)＝38； 圓柱的側(cè)面積為S2＝2π×1×1＝2π；

25、 圓柱的上下底面面積為S3＝2×π×12＝2π. 故該幾何體的表面積為S＝S1＋S2－S3＝38. 三、解答題 13．如圖所示是某幾何體的三視圖，它的主視圖和左視圖均為矩形，俯視圖為正三角形．(長度單位：cm) (1)該幾何體是什么圖形？ (2)畫出該幾何體的直觀圖(坐標(biāo)軸如圖所示)，并求它的表面積．(只需作出圖形，不要求寫作法) 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺體的表面積 題點(diǎn)　柱體的表面積 解　(1)由三視圖可知該幾何體是三棱柱． (2)直觀圖如圖所示． 因?yàn)樵搸缀误w的底面是邊長為4 cm的等邊三角形，高為2 cm， 所以它的表面積S三棱柱＝2S底＋S側(cè)＝2××42＋3

26、×4×2＝(24＋8)(cm2)． 四、探究與拓展 14．如圖所示，在一個空間幾何體的三視圖中，主視圖和左視圖都是直角三角形，其直角邊長均為1，則該幾何體的表面積為(　　) A．1＋ B．2＋2 C. D．2＋ 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　D 解析　由三視圖可知該幾何體是一個四棱錐，其底面是一個邊長為1的正方形，故S底＝1，側(cè)面由兩個直角邊長為1的等腰直角三角形和兩個邊長分別為1，，的直角三角形組成，S側(cè)＝2××1×1＋2××1×＝1＋，所以該幾何體的表面積S＝S底＋S側(cè)＝2＋. 15．如圖，一個圓錐的底面半徑為1，高為3，在圓錐中有一個半徑為x的內(nèi)接圓柱． (1)試用x表示圓柱的高； (2)當(dāng)x為何值時，圓柱的側(cè)面積最大，最大側(cè)面積是多少？ 考點(diǎn)　柱體、錐體、臺體的表面積 題點(diǎn)　柱體的表面積 解　(1)軸截面如圖，設(shè)圓柱的高為h， BO＝1，PO＝3， 由圖，得＝，即h＝3－3x.(0