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(贛豫陜)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 1 第1課時 集合的含義學(xué)案 北師大版必修1

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1、(贛豫陜)2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 1 第1課時 集合的含義學(xué)案 北師大版必修1 學(xué)習(xí)目標(biāo) 1.了解集合與元素的含義.2.理解集合中元素的特征,并能利用它們進(jìn)行解題.3.理解集合與元素的關(guān)系.4.掌握數(shù)學(xué)中一些常見的集合及其記法. 知識點(diǎn)一 集合的概念 (1)集合:一般地,指定的某些對象的全體稱為集合.集合常用大寫字母A,B,C,D,…標(biāo)記. (2)元素:集合中的每個對象叫作這個集合的元素.常用小寫字母a,b,c,d,…表示集合中的元素. 知識點(diǎn)二 元素與集合的關(guān)系 思考 1是整數(shù)嗎?是整數(shù)嗎?有沒有這樣一個數(shù),它既是整數(shù),又不是整數(shù)? 答案 1是整數(shù);不

2、是整數(shù);沒有. 梳理 元素與集合的關(guān)系有且只有兩種,分別為屬于、不屬于,數(shù)學(xué)符號分別為∈、?. 知識點(diǎn)三 元素的三個特性 思考1 某班所有的“帥哥”能否構(gòu)成一個集合?某班身高高于175厘米的男生能否構(gòu)成一個集合?集合元素確定性的含義是什么? 答案 某班所有的“帥哥”不能構(gòu)成集合,因“帥哥”無明確的標(biāo)準(zhǔn).高于175厘米的男生能構(gòu)成一個集合,因標(biāo)準(zhǔn)確定.元素確定性的含義:集合中的元素必須是確定的,也就是說,給定一個集合A,那么任何一個對象a是不是這個集合中的元素就確定了. 思考2 構(gòu)成單詞“bee”的字母形成的集合,其中的元素有多少個? 答案 2個.集合中的元素互不相同,這叫元素的互異

3、性. 思考3 “中國的直轄市”構(gòu)成的集合中,元素包括哪些?甲同學(xué)說:“北京、上海、天津、重慶”;乙同學(xué)說:“上海、北京、重慶、天津”,他們的回答都正確嗎?由此說明什么?怎么說明兩個集合相等? 答案 兩個同學(xué)都說出了中國直轄市的所有城市,因此兩個同學(xué)的回答都是正確的.由此說明,集合中的元素是無先后順序的,這就是元素的無序性.只要構(gòu)成兩個集合的元素一樣,我們就稱這兩個集合是相等的. 梳理 元素的三個特性是指確定性、互異性、無序性. 知識點(diǎn)四 常用數(shù)集及表示符號 名稱 自然數(shù)集 正整數(shù)集 整數(shù)集 有理數(shù)集 實數(shù)集 符號 N N+或N* Z Q R 1.y

4、=x+1上所有點(diǎn)構(gòu)成集合A,則點(diǎn)(1,2)∈A.( √ ) 2.0∈N但0?N+.( √ ) 3.由形如2k-1,其中k∈Z的數(shù)組成集合A,則4k-1?A.( × ) 類型一 判斷給定的對象能否構(gòu)成集合 例1 考察下列每組對象能否構(gòu)成一個集合. (1)不超過20的非負(fù)數(shù); (2)方程x2-9=0在實數(shù)范圍內(nèi)的解; (3)某班的所有高個子同學(xué); (4)的近似值的全體. 考點(diǎn) 集合的概念 題點(diǎn) 集合的概念 解 (1)對任意一個實數(shù)能判斷出是不是“不超過20的非負(fù)數(shù)”,所以能構(gòu)成集合. (2)能構(gòu)成集合. (3)“高個子”無明確的標(biāo)準(zhǔn),對于某個人算不算高個子無法客觀地判

5、斷,因此不能構(gòu)成一個集合. (4)“的近似值”不明確精確到什么程度,因此很難判斷一個數(shù)如“2”是不是它的近似值,所以不能構(gòu)成集合. 反思與感悟 判斷給定的對象能不能構(gòu)成集合,關(guān)鍵在于是否給出一個明確的標(biāo)準(zhǔn),使得對于任何一個對象,都能按此標(biāo)準(zhǔn)確定它是不是給定集合的元素. 跟蹤訓(xùn)練1 下列各組對象可以組成集合的是(  ) A.?dāng)?shù)學(xué)必修1課本中所有的難題 B.小于8的所有素數(shù) C.直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn) D.所有小的正數(shù) 考點(diǎn) 集合的概念 題點(diǎn) 集合的概念 答案 B 解析 A中“難題”的標(biāo)準(zhǔn)不確定,不能構(gòu)成集合;B能構(gòu)成集合;C中“一些點(diǎn)”無明確的標(biāo)準(zhǔn),對于某個點(diǎn)是否在

6、“一些點(diǎn)”中無法確定,因此“直角坐標(biāo)平面內(nèi)第一象限的一些點(diǎn)”不能構(gòu)成集合;D中沒有明確的標(biāo)準(zhǔn),所以不能構(gòu)成集合. 類型二 元素與集合的關(guān)系 命題角度1 判定元素與集合的關(guān)系 例2 給出下列關(guān)系: ①∈R;②?Q;③|-3|?N;④|-|∈Q;⑤0?N,其中正確的個數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 判斷元素與集合的關(guān)系 答案 B 解析 是實數(shù),①對; 不是有理數(shù),②對; |-3|=3是自然數(shù),③錯; |-|=為無理數(shù),④錯; 0是自然數(shù),⑤錯. 故選B. 反思與感悟 要判斷元素與集合的關(guān)系,首先要弄清集合中有哪些元素(

7、涉及常用數(shù)集,如N,R,Q,概念要清晰);其次要看待判定的元素是否具有集合要求的條件. 跟蹤訓(xùn)練2 用符號 “∈”或“?”填空. -______R;-3______Q;-1______N;π______Z. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 判斷元素與集合的關(guān)系 答案 ∈ ∈ ? ? 命題角度2 根據(jù)已知的元素與集合的關(guān)系推理 例3 集合A中的元素x滿足∈N,x∈N,則集合A中的元素為________. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 伴隨元素問題 答案 0,1,2 解析 ∵x∈N,∈N, ∴0≤x≤2且x∈N. 當(dāng)x=0時,==2∈N; 當(dāng)x=1時,==3∈N;

8、當(dāng)x=2時,==6∈N. ∴A中元素有0,1,2. 反思與感悟 判斷元素和集合關(guān)系的兩種方法 (1)直接法 ①使用前提:集合中的元素是直接給出的. ②判斷方法:首先明確集合是由哪些元素構(gòu)成,然后再判斷該元素在已知集合中是否出現(xiàn). (2)推理法 ①使用前提:對于某些不便直接表示的集合. ②判斷方法:首先明確已知集合的元素具有什么特征,然后判斷該元素是否滿足集合中元素所具有的特征. 跟蹤訓(xùn)練3 已知集合A中的元素x滿足2x+a>0,a∈R,若1?A,2∈A,則(  ) A.a(chǎn)>-4 B.a(chǎn)≤-2 C.-4

9、 由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的取值范圍 答案 D 解析 ∵1?A,∴2×1+a≤0,a≤-2. 又∵2∈A,∴2×2+a>0,a>-4, ∴-4

10、時,a=-1. 經(jīng)檢驗,0與-1都符合要求. ∴a=0或-1. (2)當(dāng)x=0,1,-1時,都有x2∈B, 但考慮到集合元素的互異性,x≠0,x≠1,故x=-1. (3)顯然a2+1≠0.由集合元素的無序性, 只可能a-3=0或2a-1=0. 若a-3=0,則a=3,A包含的元素為0,5,10,與集合B中元素不相同. 若2a-1=0,則a=,A包含的元素為0,-,,與集合B中元素不相同. 故不存在實數(shù)a,x,使集合A與集合B中元素相同. 反思與感悟 元素的無序性主要體現(xiàn)在:①給出元素屬于某集合,則它可能表示集合中的任一元素;②給出兩集合元素相同,則其中的元素不一定按順序?qū)?yīng)

11、相等. 元素的互異性主要體現(xiàn)在求出參數(shù)后要代入檢驗,同一集合中的元素要互不相等. 跟蹤訓(xùn)練4 已知集合M中含有三個元素:a,,1,集合N中含有三個元素:a2,a+b,0,若集合M與集合N中元素相同,求a,b的值. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值 解 ∵集合M與集合N中元素相同. ∴ 解得或 由集合中元素的互異性,得a≠1,∴a=-1,b=0. 1.下列給出的對象中,能組成集合的是(  ) A.一切很大的數(shù) B.好心人 C.漂亮的小女孩 D.方程x2-1=0的實數(shù)根 考點(diǎn) 集合的概念 題點(diǎn) 集合的概念 答案 D 2.下面說法正確的

12、是(  ) A.所有在N中的元素都在N+中 B.所有不在N+中的數(shù)都在Z中 C.所有不在Q中的實數(shù)都在R中 D.方程4x=-8的解既在N中又在Z中 考點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 題點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 答案 C 3.由“book中的字母”構(gòu)成的集合中元素的個數(shù)為(  ) A.1 B.2 C.3 D.4 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 集合中元素的個數(shù) 答案 C 4.下列結(jié)論不正確的是(  ) A.0∈N B.∈Q C.0?Q D.-1∈Z 考點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 題點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 答案 C 5.已知集合A是由0,m,m2-3m+2三個元素組成的集合

13、,且2∈A,則實數(shù)m的值為(  ) A.2 B.3 C.0或3 D.0,2,3均可 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值 答案 B 解析 由2∈A可知:若m=2,則m2-3m+2=0, 這與m2-3m+2≠0相矛盾; 若m2-3m+2=2,則m=0或m=3, 當(dāng)m=0時,與m≠0相矛盾, 當(dāng)m=3時,此時集合A的元素為0,3,2,符合題意. 1.考察對象能否構(gòu)成一個集合,就是要看是否有一個確定的特征(或標(biāo)準(zhǔn)),依此特征(或標(biāo)準(zhǔn))能確定任何一個個體是否屬于這個總體.如果有,能構(gòu)成集合;如果沒有,就不能構(gòu)成集合. 2.元素a與集合A之間只有

14、兩種關(guān)系:a∈A,a?A. 3.集合中元素的三個特性 (1)確定性:指的是作為一個集合中的元素,必須是確定的,即一個集合一旦確定,某一個元素屬不屬于這個集合是確定的.要么是該集合中的元素,要么不是,二者必居其一,這個特性通常被用來判斷涉及的總體是否構(gòu)成集合. (2)互異性:集合中的元素必須是互異的,就是說,對于一個給定的集合,它的任何兩個元素都是不同的. (3)無序性:集合與其中元素的排列順序無關(guān),如由元素a,b,c與由元素b,a,c組成的集合是相等的集合.這個性質(zhì)通常用來判斷兩個集合的關(guān)系. 一、選擇題 1.已知集合A由滿足x<1的數(shù)x構(gòu)成,則有(  ) A.3∈A B.

15、1∈A C.0∈A D.-1?A 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 判斷元素與集合的關(guān)系 答案 C 解析 很明顯3,1不滿足不等式,而0,-1滿足不等式. 2.由實數(shù)x,-x,|x|,,-所組成的集合,最多含(  ) A.2個元素 B.3個元素 C.4個元素 D.5個元素 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 集合中元素的個數(shù) 答案 A 解析 由于|x|=±x,=|x|,-=-x,并且x,-x,|x|之中總有兩個相等,所以最多含2個元素. 3.下列結(jié)論中,不正確的是(  ) A.若a∈N,則-a?N B.若a∈Z,則a2∈Z C.若a∈Q,則|a|∈Q D.

16、若a∈R,則∈R 考點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 題點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 答案 A 解析 A不對.反例:0∈N,-0∈N. 4.已知x,y為非零實數(shù),代數(shù)式+的值所組成的集合是M,則下列判斷正確的是(  ) A.0?M B.1∈M C.-2?M D.2∈M 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 判斷元素與集合的關(guān)系 答案 D 解析?、佼?dāng)x,y為正數(shù)時,代數(shù)式+的值為2;②當(dāng)x,y為一正一負(fù)時,代數(shù)式+的值為0;③當(dāng)x,y均為負(fù)數(shù)時,代數(shù)式+的值為-2, 所以集合M的元素共有3個:-2,0,2,故選D. 5.已知集合S中三個元素a,b,c是△ABC的三邊長,那么△ABC一定不是

17、(  ) A.銳角三角形 B.直角三角形 C.鈍角三角形 D.等腰三角形 考點(diǎn) 集合中元素的特征 題點(diǎn) 集合中參數(shù)的取值范圍 答案 D 解析 由元素的互異性知a,b,c均不相等. 6.已知A中元素x滿足x=3k-1,k∈Z,則下列表示正確的是(  ) A.-1?A B.-11∈A C.3k2-1∈A D.-34?A 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 判斷元素與集合的關(guān)系 答案 C 解析 令3k-1=-1,解得k=0∈Z,∴-1∈A. 令3k-1=-11,解得k=-?Z,∴-11?A; ∵k∈Z,∴k2∈Z,∴3k2-1∈A. 令3k-1=-34,解得

18、k=-11∈Z,∴-34∈A. 二、填空題 7.在方程x2-4x+4=0的解集中,有________個元素. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 集合中元素的個數(shù) 答案 1 解析 易知方程x2-4x+4=0的解為x1=x2=2,由集合元素的互異性知,方程的解集中只有1個元素. 8.下列所給關(guān)系正確的個數(shù)是________. ①π∈R;②?Q;③0∈N+;④|-4|?N+. 考點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 題點(diǎn) 常用的數(shù)集及表示 答案 2 解析 ∵π是實數(shù),是無理數(shù),0不是正整數(shù),|-4|=4是正整數(shù),∴①②正確,③④不正確,正確的個數(shù)為2. 9.如果有一個集合含有三個元素:1,x,

19、x2-x,則實數(shù)x的取值范圍是________. 考點(diǎn) 集合中元素的特征 題點(diǎn) 集合中參數(shù)的取值范圍 答案 x≠0,1,2, 解析 由集合元素的互異性可得x≠1,x2-x≠1,x2-x≠x,解得x≠0,1,2,. 10.已知集合P中元素x滿足:x∈N,且2<x<a,又集合P中恰有三個元素,則整數(shù)a=________. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值 答案 6 解析 ∵x∈N,2<x<a,且P中只有三個元素,∴結(jié)合數(shù)軸知a=6. 三、解答題 11.已知集合A是由a-2,2a2+5a,12三個元素組成的,且-3∈A,求實數(shù)a的值. 考點(diǎn) 元素與集

20、合的關(guān)系 題點(diǎn) 由元素與集合的關(guān)系求參數(shù)的值 解 由-3∈A,可得-3=a-2或-3=2a2+5a, ∴a=-1或a=-. 當(dāng)a=-1時,a-2=-3,2a2+5a=-3,不滿足集合中元素的互異性,故a=-1舍去. 當(dāng)a=-時,a-2=-,2a2+5a=-3,滿足題意. ∴實數(shù)a的值為-. 12.已知集合A含有兩個元素a-3和2a-1,a∈R.若a∈A,試求實數(shù)a的值. 考點(diǎn) 集合中元素的特征 題點(diǎn) 集合中參數(shù)的取值范圍 解 因為a∈A,所以a=a-3或a=2a-1. 當(dāng)a=a-3時,有0=-3,不成立; 當(dāng)a=2a-1時,有a=1,此時A中有兩個元素-2,1, 符合

21、題意. 綜上所述,滿足題意的實數(shù)a的值為1. 13.?dāng)?shù)集A滿足條件:若a∈A,則∈A(a≠1). (1)若2∈A,試求出A中其他所有元素; (2)自己設(shè)計一個數(shù)屬于A,然后求出A中其他所有元素; (3)從上面的解答過程中,你能悟出什么道理?并大膽證明你發(fā)現(xiàn)的“道理”. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 伴隨元素問題 解 (1)2∈A,則∈A,即-1∈A,則∈A, 即∈A,則∈A,即2∈A, 所以A中其他所有元素為-1,. (2)如:若3∈A,則A中其他所有元素為-,. (3)分析以上結(jié)果可以得出:A中只能有3個元素, 它們分別是a,,(a≠0,且a≠1),且三個數(shù)的乘積為

22、-1. 證明如下: 若a∈A,a≠1,則有∈A且≠1, 所以又有=∈A且≠1, 進(jìn)而有=a∈A. 又因為a≠(因為若a=,則a2-a+1=0, 而方程a2-a+1=0無解), 同理≠,a≠. 又因為a··=-1, 所以A中只能有3個元素,它們分別是a,,(a≠0,且a≠1), 且三個數(shù)的乘積為-1. 四、探究與拓展 14.已知集合A中有3個元素a,b,c,其中任意2個不同元素的和的集合中的元素是1,2,3.則集合A中的任意2個不同元素的差的絕對值的集合中的元素是________. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 根據(jù)新定義求集合 答案 1,2 解析 由題意知解得

23、 ∴集合A={0,1,2},則集合A中的任意2個不同元素的差的絕對值分別是1,2.故集合A中的任意2個不同元素的差的絕對值的集合是{1,2}. 15.已知集合A中的元素x均滿足x=m2-n2(m,n∈Z),求證: (1)3∈A; (2)偶數(shù)4k-2(k∈Z)不屬于集合A. 考點(diǎn) 元素與集合的關(guān)系 題點(diǎn) 判斷元素與集合的關(guān)系 證明 (1)令m=2∈Z,n=1∈Z, 得x=m2-n2=4-1=3,所以3∈A. (2)假設(shè)4k-2∈A,則存在m,n∈Z,使4k-2=m2-n2=(m+n)(m-n)成立. ①當(dāng)m,n為同奇或同偶時,m+n,m-n均為偶數(shù), 所以(m+n)(m-n)為4的倍數(shù)與4k-2不是4的倍數(shù)矛盾. ②當(dāng)m,n為一奇一偶時,m+n,m-n均為奇數(shù), 所以(m+n)(m-n)為奇數(shù),與4k-2是偶數(shù)矛盾. 所以假設(shè)不成立. 綜上,4k-2?A.

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