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1、江蘇省2022高考數(shù)學二輪復習 專題五 解析幾何 第3講 解析幾何的綜合問題學案考情考向分析江蘇高考解析幾何的綜合問題包括：探索性問題、定點與定值問題、范圍與最值問題等，一般試題難度較大這類問題以直線和圓錐曲線的位置關(guān)系為載體，以參數(shù)處理為核心，需要綜合運用函數(shù)與方程、不等式等諸多知識以及數(shù)形結(jié)合、分類討論等多種數(shù)學思想方法進行求解，對考生的代數(shù)恒等變形能力、計算能力等有較高的要求熱點一最值、范圍問題例1(2018南通模擬)已知橢圓C：1(ab0)的左頂點，右焦點分別為A，F(xiàn)，右準線為m，(1)若直線m上不存在點Q，使AFQ為等腰三角形，求橢圓離心率的取值范圍；(2)在(1)的條件下，當e取最

2、大值時，A點坐標為(2,0)，設(shè)B，M，N是橢圓上的三點，且，求以線段MN的中點為圓心，過A，F(xiàn)兩點的圓的方程解(1)設(shè)直線m與x軸的交點是R，依題意FRFA，即cac，a2c，12，12e，2e2e10,0b0)的離心率為，焦點到相應(yīng)準線的距離為1，點A，B，C分別為橢圓的左頂點、右頂點和上頂點，過點C的直線l交橢圓于點D，交x軸于點M(x1,0)，直線AC與直線BD交于點N(x2，y2)(1)求橢圓的標準方程；(2)若2，求直線l的方程；(3)求證：x1x2為定值(1)解由橢圓的離心率為，焦點到對應(yīng)準線的距離為1.得解得所以橢圓的標準方程為y21.(2)解由(1)知C(0,1)，設(shè)D(x0

3、，y0)，由2，得2y01，所以y0，代入橢圓方程得x0或，所以D或D，所以kl或kl.所以直線l的方程為x2y20或x2y20.(3)證明設(shè)D(x3，y3)，由C(0,1)，M(x1,0)可得直線CM的方程為yx1, 聯(lián)立橢圓方程得解得x3，y3.由B(，0) ，得直線BD的方程為y(x)，因為點N(x2，y2)在直線BD上，所以y2(x2)，直線AC的方程為yx1，因為點N(x2，y2)在直線AC上，所以y2x21，聯(lián)立得x2，從而x1x22為定值1(2017江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓E：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，離心率為，兩準線之間的距離為8.點P在橢圓E

4、上，且位于第一象限，過點F1作直線PF1的垂線l1，過點F2作直線PF2的垂線l2.(1)求橢圓E的標準方程；(2)若直線l1，l2的交點Q在橢圓E上，求點P的坐標解(1)設(shè)橢圓的半焦距為c.因為橢圓E的離心率為，兩準線之間的距離為8，所以，8，解得a2，c1，于是b，因此橢圓E的標準方程是1.(2)由(1)知，F(xiàn)1(1,0)，F(xiàn)2(1,0)設(shè)P(x0，y0)，因為P為第一象限的點，故x00，y00.當x01時，l2與l1相交于F1，與題設(shè)不符當x01時，直線PF1的斜率為，直線PF2的斜率為.因為l1PF1，l2PF2，所以直線l1的斜率為，直線l2的斜率為，從而直線l1的方程為y(x1)，

5、直線l2的方程為y(x1)由，解得xx0，y，所以Q.因為點Q在橢圓上，由對稱性，得y0，即xy1或xy1.又點P在橢圓上，故1.由解得x0，y0，由無解因此點P的坐標為.2(2018蘇州調(diào)研)已知橢圓C：1(ab0)的左、右焦點分別為F1，F(xiàn)2，焦距為 2，一條準線方程為x2，P為橢圓C上一點，直線PF1交橢圓C于另一點Q.(1)求橢圓C的方程；(2)若點P的坐標為，求過P，Q，F(xiàn)2三點的圓的方程；(3)若，且，求的最大值解(1)由題意得解得c1，a22，所以b2a2c21.所以橢圓C的方程為y21.(2)因為P(0,1)，F(xiàn)1(1,0)，所以PF1的方程為xy10.由解得或 所以點Q的坐標

6、為.設(shè)過P，Q，F(xiàn)2三點的圓為x2y2DxEyF0，則解得D，E，F(xiàn).所以圓的方程為x2y2xy0.(3)設(shè)P，Q，則(x11，y1)，(1x2，y2)因為，所以即 所以2y1，y1，解得x2.所以x1x2y1y2x2y x(1)x2 2，因為，所以2，當且僅當，即1時取等號所以，即的最大值為.A組專題通關(guān)1已知拋物線x22py(p0)的焦點F是橢圓1(ab0)的一個焦點，若P，Q是橢圓與拋物線的公共點，且直線PQ經(jīng)過焦點F，則該橢圓的離心率為_答案1解析方法一由拋物線方程，得焦點為F.由橢圓方程，可得上焦點為(0，c)，故c，將yc代入橢圓方程可得x.又拋物線通徑為2p，所以2p4c，所以b

7、2a2c22ac，即e22e10，解得e1.方法二如圖所示，由拋物線方程以及直線y，可得Q.又c，即Q(2c，c)，代入橢圓方程可得1，化簡可得e46e210，解得e232，e2321(舍去)，即e1(負值舍去)2若點O和點F分別為橢圓1的中心和左焦點，點P為橢圓上的任意一點，則的最大值為_答案6解析由題意得F(1,0)，設(shè)點P(x0，y0)，則y3(2x02)x0(x01)yxx0yxx03(x02)22.又因為2x02，所以當x02時，取得最大值6.3已知兩定點A(1,0)和B(1,0)，動點P(x，y)在直線l：yx2上移動，橢圓C以A，B為焦點且經(jīng)過點P，則橢圓C的離心率的最大值為_答

8、案解析A(1,0)關(guān)于直線l：yx2的對稱點為A(2,1)，連結(jié)AB交直線l于點P，則橢圓C的長軸長的最小值為AB，所以橢圓C的離心率的最大值為.4如圖，已知F1，F(xiàn)2是橢圓C：1(ab0)的左、右焦點，點P在橢圓C上，線段PF2與圓x2y2b2相切于點Q，且點Q為線段PF2的中點，則橢圓C的長軸長是短軸長的_倍答案解析連結(jié)PF1，OQ，則PF12OQ2b，PF1PF2，由PFPFF1F，得(2b)2(2a2b)2(2c)2，解得，故.5(2018江蘇省揚州樹人學校模擬)在平面直角坐標系xOy中，橢圓C：1(ab0)的短軸長為2，離心率為.(1)求橢圓C的方程；(2)已知A為橢圓C的上頂點，點

9、M為x軸正半軸上一點，過點A作AM的垂線AN與橢圓C交于另一點N，若AMN60，求點M的坐標解(1)因為橢圓C的短軸長為2，離心率為，所以解得所以橢圓C的方程為1.(2)因為A為橢圓C的上頂點，所以A(0，)設(shè)M(m,0)(m0)，則kAM.又AMAN，所以kAN，所以直線AN的方程為y x.由消去y，整理得(23m2)x212mx0，所以xN，yN，所以AN，在RtAMN中，由AMN60，得ANAM，所以，解得m.所以點M的坐標為.6已知橢圓C：y21(常數(shù)m1)，點P是C上的動點，M是右頂點，定點A的坐標為(2,0)(1)若M與A重合，求C的焦點坐標；(2)若m3，求PA的最大值與最小值；

10、(3)若PA的最小值為MA，求m的取值范圍解(1)m2，橢圓方程為y21，c，左、右焦點坐標為(，0)，(，0)(2)m3，橢圓方程為y21，設(shè)P(x，y)，則PA2(x2)2y2(x2)212(3x3)，當x時，(PA)min，當x3時，(PA)max5.(3)設(shè)動點P(x，y)，則PA2(x2)2y2(x2)2125(mxm)，當xm時，PA取最小值，且0，m且m1，解得1m1.7(2018江蘇)如圖，在平面直角坐標系xOy中，橢圓C過點，焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，圓O的直徑為F1F2.(1)求橢圓C及圓O的方程；(2)設(shè)直線l與圓O相切于第一象限內(nèi)的點P.若直線l與橢圓C有且只有

11、一個公共點，求點P的坐標；直線l與橢圓C交于A，B兩點若OAB的面積為，求直線l的方程解(1)因為橢圓C的焦點為F1(，0)，F(xiàn)2(，0)，可設(shè)橢圓C的方程為1(ab0)又點在橢圓C上，所以解得因此，橢圓C的方程為y21.因為圓O的直徑為F1F2，所以其方程為x2y23.(2)設(shè)直線l與圓O相切于點P(x0，y0)(x00，y00)，則xy3，所以直線l的方程為y(xx0)y0，即yx.由消去y，得(4xy)x224x0x364y0.(*)因為直線l與橢圓C有且只有一個公共點，所以(24x0)24(4xy)(364y)48y(x2)0.因為x00，y00，所以x0，y01.因此，點P的坐標為(

12、，1)因為OAB的面積為，所以ABOP，從而AB.設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)，由(*)得x1,2，所以AB2(x1x2)2(y1y2)2.因為xy3，所以AB2，即2x45x1000，解得x(x20舍去)，則y，代入48y(x2)0，滿足題意，因此點P的坐標為.所以直線l的方程為yx3，即xy30.B組能力提高8.如圖，在平面直角坐標系xOy中，焦點在x軸上的橢圓C：1經(jīng)過點(b,2e)，其中e為橢圓C的離心率過點T(1,0)作斜率為k(k0)的直線l交橢圓C于A，B兩點(A在x軸下方)(1)求橢圓C的標準方程；(2)過點O且平行于l的直線交橢圓C于點M，N，求 的值；(3)記直線l

13、與y軸的交點為P.若，求直線l的斜率k.解(1)因為橢圓1經(jīng)過點(b,2e)，所以1.因為e2，所以1.因為a2b2c2，所以1.整理得 b412b2320，解得b24或b28(舍) .所以橢圓C的標準方程為1.(2)設(shè)A(x1，y1)，B(x2，y2)因為T(1,0)，所以直線l的方程為yk(x1)聯(lián)立直線l與橢圓方程得消去y，得(2k21)x24k2x2k280，所以x1,2，所以因為MNl，所以直線MN的方程為ykx，聯(lián)立直線MN與橢圓方程得消去y，得 (2k21)x28，解得x2.因為MNl，所以 .因為(1x1)(x21)x1x2(x1x2)1 ，(xMxN)24x2，所以.(3)在

14、yk(x1)中，令x0，則yk，所以P(0，k)，從而(x1，ky1)，(x21，y2)因為，所以x1(x21)，即x1x2.由(2)知由解得 x1，x2.因為x1x2，所以， 整理得50k483k2340，解得k22或k2 (舍) .又因為k0，所以k.9.如圖，橢圓C：1(ab0)的頂點分別為A1，A2，B1，B2，4，直線yx與圓O：x2y2b2相切(1)求橢圓C的離心率；(2)若P是橢圓C上除頂點外的任意一點，直線A1P交y軸于點F，直線A1B1交直線B2P于點E，問直線EF是否過定點若是，求出該定點的坐標；若不是，請說明理由解(1)因為直線yx與圓O相切，由點到直線的距離公式得，b，即b1.又4，所以2a2b4，所以a2，所以橢圓C的方程為y21，離心率e.(2)由題意知直線B2P的斜率存在，設(shè)直線B2P的斜率為k，由(1)可知，A1(2,0)，B1(0，1)，B2(0,1)，則直線B2P的方程為ykx1.由得(14k2)x28kx0，其中xB20，所以xP.所以P，易知k0，且k.則直線A1P的斜率，直線A1P的方程為y(x2)，令x0，則y，即F.易知直線A1B1的方程為x2y20，由解得所以E，所以直線EF的斜率k0，所以直線EF的方程為yx，即2k(xy1)(y1)0，由得所以直線EF過定點(2,1)