《（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第1課時(shí) 直線與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第1課時(shí) 直線與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2（14頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（魯京遼）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 1.2.3 第1課時(shí) 直線與平面垂直學(xué)案 新人教B版必修2學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解直線與平面垂直的定義及性質(zhì).2.掌握直線與平面垂直的判定定理及推論，并會(huì)利用定理及推論解決相關(guān)的問(wèn)題知識(shí)點(diǎn)一直線與平面垂直的定義及性質(zhì)(1)直線與直線垂直如果兩條直線相交于一點(diǎn)或經(jīng)過(guò)平移后相交于一點(diǎn)，并且交角為直角，則稱這兩條直線互相垂直(2)直線與平面垂直的定義及性質(zhì)定義及符號(hào)表示圖形語(yǔ)言及畫(huà)法有關(guān)名稱重要結(jié)論如果一條直線(AB)和一個(gè)平面()相交于點(diǎn)O，并且和這個(gè)平面內(nèi)過(guò)交點(diǎn)(O)的任何直線都垂直我們就說(shuō)這條直線和這個(gè)平面互相垂直，記作AB把直線AB畫(huà)成

2、和表示平面的平行四邊形的一邊垂直直線AB：平面的垂線；平面：直線AB的垂面；點(diǎn)O：垂足；線段AO：點(diǎn)A到平面的垂線段；線段AO的長(zhǎng)：點(diǎn)A到平面的距離如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么它就和平面內(nèi)的任意一條直線垂直知識(shí)點(diǎn)二直線和平面垂直的判定定理及推論將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系思考1折痕AD與桌面一定垂直嗎？答案不一定思考2當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？答案當(dāng)ADBD且ADCD時(shí)，折痕AD與桌面垂直梳理直線與平面垂直的判定定理及推論定理及推論文字語(yǔ)言圖形語(yǔ)言符號(hào)語(yǔ)言判定定理?xiàng)l件：一條直線與平面

3、內(nèi)的兩條相交直線垂直，結(jié)論：這條直線與這個(gè)平面垂直a推論1條件：兩條平行直線中的一條垂直于一個(gè)平面，結(jié)論：另一條直線也垂直于這個(gè)平面m推論2條件：兩條直線垂直于同一個(gè)平面，結(jié)論：這兩條直線平行l(wèi)m1若直線l平面，則l與平面內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行()2若直線l與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l.()3若ab，b，則a.()類型一直線與平面垂直的判定例1如圖，已知PA垂直于O所在的平面，AB是O的直徑，C是O上任意一點(diǎn)，求證：BC平面PAC.證明PA平面ABC，PABC.又AB是O的直徑，BCAC.而PAACA，BC平面PAC.引申探究若本例中其他條件不變，作AEPC交PC于點(diǎn)E，求證

4、：AE平面PBC.證明由例1知BC平面PAC，又AE平面PAC，BCAE.PCAE，且PCBCC，AE平面PBC.反思與感悟利用線面垂直的判定定理證明線面垂直的步驟(1)在這個(gè)平面內(nèi)找兩條直線，使它和這條直線垂直(2)確定這個(gè)平面內(nèi)的兩條直線是相交的直線(3)根據(jù)判定定理得出結(jié)論跟蹤訓(xùn)練1如圖，直角ABC所在平面外一點(diǎn)S，且SASBSC，點(diǎn)D為斜邊AC的中點(diǎn)(1)求證：SD平面ABC；(2)若ABBC，求證：BD平面SAC.證明(1)因?yàn)镾ASC，D為AC的中點(diǎn)，所以SDAC.在RtABC中，ADDCBD，又因?yàn)镾BSA，SDSD，所以ADSBDS.所以SDBD.又ACBDD，所以SD平面AB

5、C.(2)因?yàn)锽ABC，D為AC的中點(diǎn)，所以BDAC.又由(1)知SD平面ABC，所以SDBD.于是BD垂直于平面SAC內(nèi)的兩條相交直線，所以BD平面SAC.類型二線面垂直的性質(zhì)的應(yīng)用例2如圖所示，在正方體A1B1C1D1ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交求證：EFBD1.證明如圖，連接AB1，B1C，BD，B1D1.DD1平面ABCD，AC平面ABCD，DD1AC.又ACBD，DD1BDD，AC平面BDD1B1，ACBD1.同理，BD1B1C，BD1平面AB1C.EFA1D，且A1DB1C，EFB1C.又EFAC，ACB1CC，EF平面AB1C，EFBD1.反思與感悟平行關(guān)系與

6、垂直關(guān)系之間的相互轉(zhuǎn)化跟蹤訓(xùn)練2如圖，已知平面平面l，EA，垂足為A，EB，垂足為B，直線a，aAB.求證：al.證明因?yàn)镋A，l，即l，所以lEA.同理lEB，又EAEBE，所以l平面EAB.因?yàn)镋B，a，所以EBa，又aAB，EBABB，所以a平面EAB.因此，al.類型三線面垂直的綜合應(yīng)用例3如圖所示，已知PA矩形ABCD所在平面，M，N分別是AB，PC的中點(diǎn)，求證：MNCD.證明如圖，取PD的中點(diǎn)E，連接AE，NE，因?yàn)镹為PC的中點(diǎn)，則NECD，NECD，又因?yàn)锳MCD，AMCD，所以AMNE，AMNE，即四邊形AMNE是平行四邊形，所以MNAE.因?yàn)镻A矩形ABCD所在平面，所以P

7、ACD，又四邊形ABCD為矩形，所以ADCD，又PAADA，所以CD平面PAD，AE平面PAD，所以CDAE，所以MNCD.反思與感悟若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直，證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)跟蹤訓(xùn)練3如圖，ABC是正三角形，AE和CD都垂直于平面ABC，且AEAB2a，CDa，F(xiàn)是BE的中點(diǎn)，求證：(1)DF平面ABC；(2)AFBD.證明(1)取AB的中點(diǎn)G，連接FG，CG，可得FGAE，F(xiàn)GAE.CD平面ABC，AE平面ABC，CDAE.又CDAE，F(xiàn)GCD，F(xiàn)GCD.FG平

8、面ABC，四邊形CDFG是矩形，DFCG.又CG平面ABC，DF平面ABC，DF平面ABC.(2)在RtABE中，AEAB，F(xiàn)為BE的中點(diǎn)，AFBE.ABC是正三角形，CGAB，DFAB.AE平面ABC，CG平面ABC，AECG，AEDF.且AEABA，DF平面ABE，AF平面ABE，AFDF.BEDFF，BE平面BDE，DF平面BDE，AF平面BDE，AFBD.1如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的下列各種情況，能保證該直線與平面垂直的是()三角形的兩邊；梯形的兩邊；圓的兩條直徑；正六邊形的兩條邊A B C D答案A解析由線面垂直的判定定理知，直線垂直于圖形所在的平面而圖形中的兩邊不一定相交，故該

9、直線與它們所在的平面不一定垂直2空間中直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，則這條直線和三角形的第三邊AB的位置關(guān)系是()A平行 B垂直C相交 D不確定答案B解析由于直線l和三角形的兩邊AC，BC同時(shí)垂直，而這兩邊相交于點(diǎn)C，所以直線l和三角形所在的平面垂直，又因三角形的第三邊AB在這個(gè)平面內(nèi)，所以lAB.3下列條件中，能使直線m平面的是()Amb，mc，b，c Bmb，bCmbA，b Dmb，b答案D解析由直線與平面垂直的判定定理的推論1知，選項(xiàng)D正確4.如圖，設(shè)平面EF，AB，CD，垂足分別是B，D，BDEF，則AC與EF的位置關(guān)系是_答案垂直解析AB，CD，ABCD，故直線AB與CD確

10、定一個(gè)平面AB，EF，ABEF，又BDEF，ABBDB，EF平面ABDC.AC平面ABDC，ACEF.5.如圖，在正方體ABCDA1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是棱AB，BC的中點(diǎn)，O是底面ABCD的中心，求證：EF平面BB1O.證明ABCD為正方形，ACBO.又BB1平面ABCD，AC平面ABCD，ACBB1，又BOBB1B，AC平面BB1O，又EF是ABC的中位線，EFAC，EF平面BB1O.1直線與平面垂直的判定方法：(1)利用定義；(2)利用判定定理，其關(guān)鍵是在平面內(nèi)找兩條相交直線2對(duì)于線面垂直的性質(zhì)定理(推論2)的理解：(1)直線與平面垂直的性質(zhì)定理(推論2)給出了判定兩條直線平行的另

11、一種方法(2)定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關(guān)系的內(nèi)在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關(guān)系轉(zhuǎn)化的依據(jù)一、選擇題1若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于()A平面OAB B平面OACC平面OBC D平面ABC答案C解析OAOB，OAOC且OBOCO，OA平面OBC.2直線a直線b，直線b平面，則a與的關(guān)系是()Aa BaCa Da或a答案D解析若a，b平面，可證得ab；若a，過(guò)a作平面，c，b平面，c，則bc，ac，于是ba.故答案為D.3已知空間四邊形ABCD的四邊相等，則它的兩對(duì)角線AC，BD的關(guān)系是()A垂直且相交B相交但不一定垂直C垂直但不相交D不垂直也不相交答案C解析如

12、圖，取BD中點(diǎn)O，連接AO，CO，則BDAO，BDCO，AOOCO，BD平面AOC，BDAC，又BD與AC異面，故選C.4.如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面內(nèi)，定點(diǎn)P，PB，C是平面內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PCAC，則ABC為()A銳角三角形B直角三角形C鈍角三角形D無(wú)法確定答案B解析易證AC面PBC，所以ACBC.5.如圖，在正方形ABCD中，E，F(xiàn)分別為邊BC，CD的中點(diǎn)，H是EF的中點(diǎn)現(xiàn)沿AE，AF，EF把這個(gè)正方形折成一個(gè)幾何體，使B，C，D三點(diǎn)重合于點(diǎn)G，則下列結(jié)論中成立的是()AAG平面EFG BAH平面EFGCGF平面AEF DGH平面AEF答案A解析AGGF，AGGE，GFGEG，A

13、G平面EFG.6已知直線PG平面于G，直線EF，且PFEF于F，那么線段PE，PF，PG的大小關(guān)系是()APEPGPF BPGPFPECPEPFPG DPFPEPG答案C解析由于PG平面于G，PFEF，PG最短，PFPE，PGPFPE.7已知P為ABC所在平面外一點(diǎn)，且PA，PB，PC兩兩垂直，則下列命題：PABC；PBAC；PCAB；ABBC.其中正確的是()A BC D答案A解析由PA，PB，PC兩兩垂直可得PA平面PBC；PB平面PAC；PC平面PAB，所以PABC；PBAC；PCAB，正確錯(cuò)誤因?yàn)槿鬉BBC，則由PA平面PBC，得PABC，又PAABA，所以BC平面PAB，又PC平面P

14、AB，這與過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線與已知平面垂直矛盾二、填空題8已知直線l，a，b，平面，若要得到結(jié)論l，則需要在條件a，b，la，lb中另外添加的一個(gè)條件是_答案a與b相交9如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M，N分別是棱AA1和AB上的點(diǎn)，若B1MN是直角，則C1MN_.答案90解析B1C1平面ABB1A1，B1C1MN.又MNB1M，B1C1B1MB1，MN平面C1B1M.又C1M平面C1B1M，MNC1M，C1MN90.10.如圖所示，PA平面ABC，ABC中BCAC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)為_(kāi)答案4解析BC平面PACBCPC，直角三角形有PAB、PAC、ABC、PBC.11

15、如圖，在直四棱柱ABCDA1B1C1D1中，當(dāng)?shù)酌嫠倪呅蜛BCD滿足條件_時(shí)，有A1CB1D1.(注：填上你認(rèn)為正確的一種即可，不必考慮所有可能的情形)答案BDAC(答案不唯一)解析要找底面四邊形ABCD所滿足的條件，使A1CB1D1，可從結(jié)論A1CB1D1入手A1CB1D1，BDB1D1，A1CBD.又AA1BD，而AA1A1CA1，AA1平面A1AC，A1C平面A1AC，BD平面A1AC，BDAC.此題答案不唯一三、解答題12.如圖所示，在正方體ABCDA1B1C1D1中，M是AB上一點(diǎn)，N是A1C的中點(diǎn)，MN平面A1DC.求證：(1)MNAD1；(2)M是AB的中點(diǎn)證明(1)ADD1A1

16、為正方形，AD1A1D.又CD平面ADD1A1，CDAD1.A1DCDD，AD1平面A1DC.又MN平面A1DC，MNAD1.(2)連接ON，在A1DC中，A1OOD，A1NNC.ON綊CD綊AB，ONAM.又MNOA，四邊形AMNO為平行四邊形，ONAM.ONAB，AMAB，M是AB的中點(diǎn)13如圖所示，在ABC中，ABC為直角，P是ABC所在平面外一點(diǎn)，且PAPB，PBBC.若M是PC的中點(diǎn)，試確定AB上點(diǎn)N的位置，使得MNAB.解因?yàn)镃BAB，CBPB，ABPBB，所以CB平面APB.過(guò)M作MECB，則ME平面APB，所以MEAB.若MNAB，因?yàn)镸EMNM，則AB平面MNE，所以ABEN

17、.取AB中點(diǎn)D，連接PD，因?yàn)镻APB，所以PDAB，所以NEPD.又M為PC的中點(diǎn)，MEBC，所以E為PB的中點(diǎn)因?yàn)镋NPD，所以N為BD的中點(diǎn)，故當(dāng)N為AB的四等分點(diǎn)(AN3BN)時(shí)，MNAB.四、探究與拓展14在ABC中，ABAC5，BC6，PA平面ABC，PA8，則P到BC的距離是()A. B2 C3 D4答案D解析如圖所示，作PDBC于D，連接AD.PA平面ABC，PABC.又PAPDP，BC平面PAD，ADBC.在ACD中，AC5，CD3，AD4.在RtPAD中，PA8，AD4，PD4.15.如圖，在直三棱柱ABCA1B1C1中，ACBC1，ACB90，AA1，D是A1B1的中點(diǎn)(

18、1)求證C1D平面AA1B1B；(2)當(dāng)點(diǎn)F在BB1上的什么位置時(shí)，會(huì)使得AB1平面C1DF？并證明你的結(jié)論證明(1)ABCA1B1C1是直三棱柱，A1C1B1C11，且A1C1B190.又D是A1B1的中點(diǎn)，C1DA1B1.AA1平面A1B1C1，C1D平面A1B1C1，AA1C1D，又A1B1AA1A1，C1D平面AA1B1B.(2)作DEAB1交AB1于E，延長(zhǎng)DE交BB1于F，連接C1F，則AB1平面C1DF，點(diǎn)F為所求C1D平面AA1B1B，AB1平面AA1B1B，C1DAB1.又AB1DF，DFC1DD，AB1平面C1DF.AA1A1B1，四邊形AA1B1B為正方形又D為A1B1的中點(diǎn)，DFAB1，F(xiàn)為BB1的中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)F為BB1的中點(diǎn)時(shí)，AB1平面C1DF.