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1、（新課標）天津市2022年高考數(shù)學二輪復習 專題能力訓練13 空間幾何體 理1.(2018北京,理5)某四棱錐的三視圖如圖所示,在此四棱錐的側面中,直角三角形的個數(shù)為()A.1B.2C.3D.42.某幾何體的三視圖如圖所示(單位:cm),則該幾何體的體積(單位:cm3)是()A.+1B.+3C.+1D.+33.如圖,某幾何體的三視圖是三個半徑相等的圓及每個圓中兩條互相垂直的半徑.若該幾何體的體積是,則它的表面積是()A.17B.18C.20D.284.已知平面截球O的球面得圓M,過圓心的平面與的夾角為,且平面截球O的球面得圓N.已知球的半徑為5,圓M的面積為9,則圓N的半徑為()A.3B.C.

2、4D.5.在空間直角坐標系Oxyz中,已知A(2,0,0),B(2,2,0),C(0,2,0),D(1,1,).若S1,S2,S3分別是三棱錐D-ABC在xOy,yOz,zOx坐標平面上的正投影圖形的面積,則()A.S1=S2=S3B.S2=S1,且S2S3C.S3=S1,且S3S2D.S3=S2,且S3S16.(2018全國,理7)某圓柱的高為2,底面周長為16,其三視圖如下圖.圓柱表面上的點M在正視圖上的對應點為A,圓柱表面上的點N在左視圖上的對應點為B,則在此圓柱側面上,從M到N的路徑中,最短路徑的長度為()A.2B.2C.3D.27.在四面體ABCD中,AB=CD=6,AC=BD=4,

3、AD=BC=5,則四面體ABCD的外接球的表面積為.8.由一個長方體和兩個圓柱構成的幾何體的三視圖如圖,則該幾何體的體積為.9.(2018全國,理16)已知圓錐的頂點為S,母線SA,SB所成角的余弦值為,SA與圓錐底面所成角為45.若SAB的面積為5,則該圓錐的側面積為.10.下列三個圖中,左面是一個正方體截去一個角后所得多面體的直觀圖.右面兩個是其正視圖和側視圖.(1)請按照畫三視圖的要求畫出該多面體的俯視圖(不要求敘述作圖過程);(2)求該多面體的體積(尺寸如圖).11.如圖,在長方體ABCD-A1B1C1D1中,AB=16,BC=10,AA1=8,點E,F分別在A1B1,D1C1上,A1

4、E=D1F=4,過點E,F的平面與此長方體的面相交,交線圍成一個正方形.(1)在圖中畫出這個正方形(不必說明畫法和理由);(2)求平面把該長方體分成的兩部分體積的比值.二、思維提升訓練12.如圖,網(wǎng)格紙上小正方形的邊長為1,粗實線畫出的是某幾何體的三視圖,則該幾何體的表面積為()A.9(+1)+8B.9(+2)+4-8C.9(+2)+4D.9(+1)+8-813.如圖,在圓柱O1O2內(nèi)有一個球O,該球與圓柱的上、下底面及母線均相切.記圓柱O1O2的體積為V1,球O的體積為V2,則的值是.14.如圖,圓形紙片的圓心為O,半徑為5 cm,該紙片上的等邊三角形ABC的中心為O.D,E,F為圓O上的點

5、,DBC,ECA,FAB分別是以BC,CA,AB為底邊的等腰三角形,沿虛線剪開后,分別以BC,CA,AB為折痕折起DBC,ECA,FAB,使得D,E,F重合,得到三棱錐.當ABC的邊長變化時,所得三棱錐體積(單位:cm3)的最大值為.15.若三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,SA平面ABC,SA=2,AB=1,AC=2,BAC=60,則球O的表面積為.16.如圖,在矩形ABCD中,AB=4,BC=3,沿對角線AC把矩形折成二面角D-AC-B(如圖),并且點D在平面ABC內(nèi)的射影落在AB上.(1)證明:AD平面DBC;(2)若在四面體D-ABC內(nèi)有一球,問:當球的體積最大時,球的半徑是

6、多少?專題能力訓練13空間幾何體一、能力突破訓練1.C解析 由該四棱錐的三視圖,得其直觀圖如圖.由正視圖和側視圖都是等腰直角三角形,知PD平面ABCD,所以側面PAD和PDC都是直角三角形.由俯視圖為直角梯形,易知DC平面PAD.又ABDC,所以AB平面PAD,所以ABPA,所以側面PAB也是直角三角形.易知PC=2,BC=,PB=3,從而PBC不是直角三角形.故選C.2.A解析 V=3+1,故選A.3.A解析 由三視圖可知該幾何體是球截去后所得幾何體,則R3=,解得R=2,所以它的表面積為4R2+R2=14+3=17.4.B解析 如圖,OA=5,AM=3,OM=4.NMO=,ON=OMsin

7、=2又OB=5,NB=,故選B.5.D解析 三棱錐的各頂點在xOy坐標平面上的正投影分別為A1(2,0,0),B1(2,2,0),C1(0,2,0),D1(1,1,0).顯然點D1為A1C1的中點,如圖(1),正投影為RtA1B1C1,其面積S1=22=2.三棱錐的各頂點在yOz坐標平面上的正投影分別為A2(0,0,0),B2(0,2,0),C2(0,2,0),D2(0,1,).顯然B2,C2重合,如圖(2),正投影為A2B2D2,其面積S2=2三棱錐的各頂點在zOx坐標平面上的正投影分別為A3(2,0,0),B3(2,0,0),C3(0,0,0),D3(1,0,),由圖(3)可知,正投影為A

8、3D3C3,其面積S3=2綜上,S2=S3,S3S1.故選D.圖(1)圖(2)圖(3)6.B解析 如圖所示,易知N為 的中點,將圓柱的側面沿母線MC剪開,展平為矩形MCCM,易知CN=CC=4,MC=2,從M到N的路程中最短路徑為MN.在RtMCN中,MN=27解析 構造一個長方體,使得它的三條面對角線長分別為4,5,6,設長方體的三條邊長分別為x,y,z,則x2+y2+z2=,而長方體的外接球就是四面體的外接球,所以S=4R2=8.2+解析 由三視圖還原幾何體如圖所示,故該幾何體的體積V=211+2121=2+9.40解析 設O為底面圓圓心,cosASB=,sinASB=SASB=|AS|B

9、S|=5SA2=80.SA=4SA與圓錐底面所成的角為45,SOA=90,SO=OA=SA=2S圓錐側=rl=42=4010.解 (1)作出俯視圖如圖所示.(2)依題意,該多面體是由一個正方體(ABCD-A1B1C1D1)截去一個三棱錐(E-A1B1D1)得到的,所以截去的三棱錐體積A1E=1=,正方體體積=23=8,故所求多面體的體積V=8-11.解 (1)交線圍成的正方形EHGF如圖所示.(2)作EMAB,垂足為M,則AM=A1E=4,EB1=12,EM=AA1=8.因為EHGF為正方形,所以EH=EF=BC=10.于是MH=6,AH=10,HB=6.因為長方體被平面分成兩個高為10的直棱

10、柱,所以其體積的比值為二、思維提升訓練12.D解析 由三視圖可知,該幾何體是由一個四棱錐和一個圓錐拼接而成,故S=(23)3+32-(2)2+4=9(+1)+8-8.故選D.13解析 設球O的半徑為r,則圓柱O1O2的高為2r,故,答案為14.4解析 如圖所示,連接OD,交BC于點G.由題意知ODBC,OG=BC.設OG=x,則BC=2x,DG=5-x,三棱錐的高h=因為SABC=2x3x=3x2,所以三棱錐的體積V=SABCh=x2令f(x)=25x4-10x5,x,則f(x)=100x3-50x4.令f(x)=0,可得x=2,則f(x)在(0,2)單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,所以f(x)max=

11、f(2)=80.所以V=4,所以三棱錐體積的最大值為415.64解析 如圖,三棱錐S-ABC的所有頂點都在球O的球面上,因為AB=1,AC=2,BAC=60,所以BC=,所以ABC=90.所以ABC截球O所得的圓O的半徑r=1.設OO=x,球O的半徑為R,則R2=x2+12,R2=(SA-x)2+12,所以x2+1=+1,解得x=,R2=+12,R=4.所以球O的表面積為4R2=64.16.(1)證明 設D在平面ABC內(nèi)的射影為H,則H在AB上,連接DH,如圖,則DH平面ABC,得DHBC.又ABBC,ABDH=H,所以BC平面ADB,故ADBC.又ADDC,DCBC=C,所以AD平面DBC.(2)解 當球的體積最大時,易知球與三棱錐D-ABC的各面相切,設球的半徑為R,球心為O,則VD-ABC=R(SABC+SDBC+SDAC+SDAB).由已知可得SABC=SADC=6.過點D作DGAC于點G,連接GH,如圖,可知HGAC.易得DG=,HG=,DH=,SDAB=4在DAB和BCD中,因為AD=BC,AB=DC,DB=DB,所以DABBCD,故SDBC=,VD-ABC=6則,于是(4+)R=,所以R=