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1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 集合 3.2 全集與補集學(xué)案 北師大版必修1 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.理解全集、補集的概念.2.準(zhǔn)確翻譯和使用補集符號和Venn圖.3.會求補集，并能解決一些集合綜合運算的問題． 知識點一　全集 (1)定義：在研究某些集合時，這些集合往往是某個給定集合的子集，這個給定的集合叫作全集，全集含有我們所要研究的這些集合的全部元素． (2)記法：全集通常記作U. 知識點二　補集 思考　實數(shù)集中，除掉大于1的數(shù)，剩下哪些數(shù)？ 答案　剩下不大于1的數(shù)，用集合表示為{x∈R|x≤1}． 梳理　補集的概念 文字語言 設(shè)U是全集，A是U的一個子

2、集(即A?U)，則由U中所有不屬于集合A的元素組成的集合稱為U中子集A的補集(或余集)，記作?UA 符號語言 ?UA＝{x|x∈U，且x?A} 圖形語言 性質(zhì) A∪(?UA)＝U，A∩(?UA)＝?，?U(?UA)＝A 1．根據(jù)研究問題的不同，可以指定不同的全集．(　√　) 2．存在x0∈U，x0?A，且x0??UA.(　×　) 3．設(shè)全集U＝R，A＝，則?UA＝.(　×　) 4．設(shè)全集U＝，A＝{(x，y)|x>0且y>0}，則?UA＝{(x，y)|x≤0且y≤0)}.(　×　) 類型一　求補集 例1　(1)若全集U＝{x∈R|－2≤x≤2}，A＝{x∈

3、R|－2≤x≤0}，則?UA等于(　　) A．{x|0

4、7,8}． (3)設(shè)全集U＝{x|x是三角形}，A＝{x|x是銳角三角形}，B＝{x|x是鈍角三角形}，求A∩B，?U(A∪B)． 考點　補集的概念及運算 題點　無限集合的補集 解　根據(jù)三角形的分類可知A∩B＝?，A∪B＝{x|x是銳角三角形或鈍角三角形}， ?U(A∪B)＝{x|x是直角三角形}． 反思與感悟　求集合的補集，需關(guān)注兩處：一是認準(zhǔn)全集的范圍；二是利用數(shù)形結(jié)合求其補集，常借助Venn圖、數(shù)軸、坐標(biāo)系來求解． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)設(shè)集合U＝{1,2,3,4,5}，集合A＝{1,2}，則?UA＝________. 考點　補集的概念及運算 題點　有限集合的補集 答案　

5、{3,4,5} (2)已知集合U＝R，A＝{x|x2－x－2≥0}，則?UA＝________. 考點　補集的概念及運算 題點　無限集合的補集 答案　{x|－10}，則?UA＝________. 考點　補集的概念及運算 題點　無限集合的補集 答案　{(x，y)|xy≤0} 類型二　補集性質(zhì)的應(yīng)用 命題角度1　補集性質(zhì)在集合運算中的應(yīng)用 例2　已知A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}，?UB＝{－1,0,2}，用列舉法寫出集合B. 考點　補集的概念及運算 題點

6、　有限集合的補集 解　∵A＝{0,2,4,6}，?UA＝{－1，－3,1,3}， ∴U＝{－3，－1,0,1,2,3,4,6}． 而?UB＝{－1,0,2}， ∴B＝?U(?UB)＝{－3,1,3,4,6}． 反思與感悟　從Venn圖的角度講，A與?UA就是圈內(nèi)和圈外的問題，由于(?UA)∩A＝?，(?UA)∪A＝U，所以可以借助圈內(nèi)推知圈外，也可以反推． 跟蹤訓(xùn)練2　如圖所示的Venn圖中，A，B是非空集合，定義A*B表示陰影部分的集合．若A＝{x|0≤x≤2}，B＝{y|y＞1}，則A*B＝________________. 考點　補集的概念及運算 題點　無限集合的補集

7、 答案　{x|0≤x≤1或x＞2} 解析　A∩B＝{x|1

8、感悟　運用補集思想求參數(shù)取值范圍的步驟 (1)把已知的條件否定，考慮反面問題． (2)求解反面問題對應(yīng)的參數(shù)的取值范圍． (3)求反面問題對應(yīng)的參數(shù)的取值集合的補集． 跟蹤訓(xùn)練3　若集合A＝{x|ax2＋3x＋2＝0}中至多有一個元素，求實數(shù)a的取值范圍． 考點　交并補集的綜合問題 題點　與交并補集運算有關(guān)的參數(shù)問題 解　假設(shè)集合A中含有2個元素， 即ax2＋3x＋2＝0有兩個不相等的實數(shù)根， 則解得a<且a≠0， 則集合A中含有2個元素時， 實數(shù)a的取值范圍是. 在全集U＝R中，集合的補集是， 所以滿足題意的實數(shù)a的取值范圍是. 類型三　集合的綜合運算 例4

9、　(1)已知全集U＝{1,2,3,4,5,6}，集合P＝{1,3,5}，Q＝{1,2,4}，則(?UP)∪Q等于(　　) A．{1} B．{3,5} C．{1,2,4,6} D．{1,2,3,4,5} 考點　交并補集的綜合問題 題點　有限集合的交并補運算 答案　C 解析　∵?UP＝{2,4,6}，∴(?UP)∪Q＝{1,2,4,6}． (2)已知集合A＝{x|x≤a}，B＝{x|1≤x≤2}，且A∪(?RB)＝R，則實數(shù)a的取值范圍是________． 考點　交并補集的綜合問題 題點　無限集合的交并補運算 答案　{a|a≥2} 解析　∵?RB＝{x|x<1或x>2

10、}且A∪(?RB)＝R， ∴{x|1≤x≤2}?A，∴a≥2. 即實數(shù)a的取值范圍是{a|a≥2}． 反思與感悟　解決集合的混合運算時，一般先計算括號內(nèi)的部分，再計算其他部分．有限集混合運算可借助Venn圖，與不等式有關(guān)的可借助數(shù)軸． 跟蹤訓(xùn)練4　(1)已知集合U＝{x∈N|1≤x≤9}，A∩B＝{2,6}，(?UA)∩(?UB)＝{1,3,7}，A∩ (?UB)＝{4,9}，則B等于(　　) A．{1,2,3,6,7} B．{2,5,6,8} C．{2,4,6,9} D．{2,4,5,6,8,9} 考點　交并補集的綜合問題 題點　有限集合的交并補運算 答案　B

11、解析　根據(jù)題意可以求得U＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9}，畫出Venn圖(如圖所示)，可得B＝{2,5,6,8}，故選B. (2)已知集合U＝{x|x≤4}，集合A＝{x|－2

12、＝{x|2－2}，T＝{x|－4≤x≤1}，則(?RS)∪T等于(　　) A．{

13、x|－2

14、合的交并補運算 答案　B 1．全集與補集的互相依存關(guān)系 (1)全集并非是包羅萬象，含有任何元素的集合，它是對于研究問題而言的一個相對概念，它僅含有所研究問題中涉及的所有元素，如研究整數(shù)，Z就是全集，研究方程的實數(shù)解，R就是全集．因此，全集因研究問題而異． (2)補集是集合之間的一種運算．求集合A的補集的前提是A是全集U的子集，隨著所選全集的不同，得到的補集也是不同的，因此，它們是互相依存、不可分割的兩個概念． (3)?UA的數(shù)學(xué)意義包括兩個方面：首先必須具備A?U；其次是定義?UA＝{x|x∈U，且x?A}，補集是集合間的運算關(guān)系． 2．補集思想 做題時“正難則反”策略運用的

15、是補集思想，即已知全集U，求子集A，若直接求A困難，可先求?UA，再由?U(?UA)＝A，求A. 一、選擇題 1．已知全集U＝{0,1,2,3,4}，集合A＝{1,2,3}，B＝{2,4}，則(?UA)∪B為(　　) A．{1,2,4} B．{2,3,4} C．{0,2,4} D．{0,2,3,4} 考點　交并補集的綜合問題 題點　有限集合的交并補運算 答案　C 解析　?UA＝{0,4}，所以(?UA)∪B＝{0,2,4}，故選C. 2．已知A＝{x|x＋1＞0}，B＝{－2，－1,0,1}，則(?RA)∩B等于(　　) A．{－2，－1} B．{－2}

16、C．{－1,0,1} D．{0,1} 考點　并交補集的綜合問題 題點　有限集合的并交補運算 答案　A 解析　因為集合A＝{x|x＞－1}， 所以?RA＝{x|x≤－1}， 則(?RA)∩B＝{x|x≤－1}∩{－2，－1,0,1} ＝{－2，－1}． 3．已知全集U＝{1,2，a2－2a＋3}，A＝{1，a}，?UA＝{3}，則實數(shù)a等于(　　) A．0或2 B．0 C．1或2 D．2 考點　補集的概念及運算 題點　由補集運算結(jié)果求參數(shù)的值 答案　D 解析　由題意，知則a＝2. 4．圖中的陰影部分表示的集合是(　　) A．A∩(?UB) B．

17、B∩(?UA) C．?U(A∩B) D．?U(A∪B) 考點　交并補集的綜合問題 題點　用并交補運算表示Venn圖指定區(qū)域 答案　B 解析　陰影部分表示集合B與集合A的補集的交集． 因此陰影部分所表示的集合為B∩(?UA)． 5．已知U為全集，集合M，N?U，若M∩N＝N，則(　　) A．?UN??UM B．M??UN C．?UM??UN D．?UN?M 考點　交并補集的綜合問題 題點　與集合運算有關(guān)的子集或真子集 答案　C 解析　由M∩N＝N知N?M，∴?UM??UN. 6．設(shè)全集U＝{x∈N|x≥2}，集合A＝{x∈N|x2≥5}，則?UA等于(　　

18、) A．? B．{2} C．{5} D．{2,5} 考點　補集的概念及運算 題點　無限集合的補集 答案　B 解析　因為A＝{x∈N|x≤－或x≥}， 所以?UA＝{x∈N|2≤x<}，故?UA＝{2}． 7．設(shè)U＝{1,2,3,4}，M＝{x|x∈U|x2－5x＋p＝0}，若?UM＝{2,3}，則實數(shù)p的值為(　　) A．－4 B．4 C．－6 D．6 考點　補集的概念及運算 題點　與補集運算有關(guān)的參數(shù)問題 答案　B 解析　∵?UM＝{2,3}，∴M＝{1,4}，∴1,4是方程x2－5x＋p＝0的兩根．由根與系數(shù)的關(guān)系可知p＝1×4＝4. 二、填空題 8

19、．已知全集U＝R，A＝{x|x≤0}，B＝{x|x≥1}，則集合?U(A∪B)＝______，(?UA)∩(?UB)＝________. 考點　交并補集的綜合問題 題點　無限集合的交并補運算 答案　{x|00}，?UB＝{x|x<1}， ∴(?UA)∩(?UB)＝{x|00，y>0}，則點(－1,1)________?UA.(填“∈”或“?”) 考點　補集的概念及運算 題點　

20、無限集合的補集 答案　∈ 解析　顯然(－1,1)∈U，且(－1,1)?A， ∴(－1,1)∈?UA. 10．若集合A＝{x|0≤x≤2}，B＝{x|x<0或x>1}，則圖中陰影部分所表示的集合為________． 考點　Venn圖表達的集合關(guān)系及運用 題點　Venn圖表達的集合關(guān)系 答案　{x|x≤1或x>2} 解析　如圖，設(shè)U＝A∪B＝R，A∩B＝{x|12}． 11．設(shè)全集U＝{(x，y)|x∈R，y∈R}，A＝，B＝{(x，y)|y＝x＋1}，則(?UA)∩B＝________. 考點　交并補集的綜

21、合問題 題點　無限集合的交并補運算 答案　{(2,3)} 解析　∵A＝＝{(x，y)|y＝x＋1，x≠2}，∴?UA＝{(x，y)|y≠x＋1}∪{(2,3)}． 又B＝{(x，y)|y＝x＋1}，∴(?UA)∩B＝{(2,3)}． 三、解答題 12．已知全集U＝R，集合A＝{x|1≤x≤2}，若B∪(?UA)＝R，B∩(?UA)＝{x|02}． 又B∪(?UA)＝R，A∪(?UA)＝R， 可得A?B. 而B∩(?UA)

22、＝{x|0

23、當(dāng)B≠?時，使B??RA成立， 則或解得m＞3. 綜上可知，實數(shù)m的取值范圍是 . 四、探究與拓展 14.如圖，已知I是全集，A，B，C是它的子集，則陰影部分所表示的集合是(　　) A．(?IA∩B)∩C B．(?IB∪A)∩C C．(A∩B)∩(?IC) D．(A∩?IB)∩C 考點　Venn圖表達的集合關(guān)系及運用 題點　Venn圖表達的集合關(guān)系 答案　D 解析　由題圖可知陰影部分中的元素屬于A，不屬于B，屬于C，則陰影部分表示的集合是(A∩?IB)∩C. 15．設(shè)全集U＝{x|x≤5，且x∈N＋}，其子集A＝{x|x2－5x＋q＝0}，B＝{x|x2＋px＋

24、12＝0}，且(?UA)∪B＝{1,3,4,5}，求實數(shù)p，q的值． 考點　 題點　 解　由已知得U＝{1,2,3,4,5}． (1)若A＝?，則(?UA)∪B＝U，不合題意； (2)若A＝{x0}，則x0∈U，且2x0＝5，不合題意； (3)設(shè)A＝{x1，x2}，則x1，x2∈U，且x1＋x2＝5， ∴A＝{1,4}或{2,3}． 若A＝{1,4}，則?UA＝{2,3,5}， 與(?UA)∪B＝{1,3,4,5}矛盾，舍去； 若A＝{2,3}，則?UA＝{1,4,5}， 由(?UA)∪B＝{1,3,4,5}知3∈B，同時可知B中還有一個不等于3的元素x，由3x＝12得x＝4，即B＝{3,4}． 綜上可知，A＝{2,3}，B＝{3,4}， ∴q＝2×3＝6，p＝－(3＋4)＝－7.