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1、（浙江專用）2022高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 專題一 三角函數(shù)、解三角形與平面向量 第3講 平面向量學(xué)案考情考向分析1.考查平面向量的基本定理及基本運(yùn)算，多以熟知的平面圖形為背景進(jìn)行考查，多為選擇題、填空題，且為基礎(chǔ)題.2.考查平面向量數(shù)量積及模的最值問(wèn)題，以選擇題、填空題為主，難度為中高檔，是高考考查的熱點(diǎn)內(nèi)容.3.向量作為工具，還常與解三角形、不等式、解析幾何等結(jié)合，進(jìn)行綜合考查熱點(diǎn)一平面向量的線性運(yùn)算1在平面向量的化簡(jiǎn)或運(yùn)算中，要根據(jù)平面向量基本定理選好基底，變形要有方向不能盲目轉(zhuǎn)化2在用三角形加法法則時(shí)，要保證“首尾相接”，結(jié)果向量是第一個(gè)向量的起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量的終點(diǎn)所得的向量；在用三角形

2、減法法則時(shí)，要保證“同起點(diǎn)”，結(jié)果向量的方向是指向被減向量例1(1)如圖，在ABC中，AB3DB，AE2EC，CD與BE交于點(diǎn)F.設(shè)a，b，xayb，則(x，y)為()A. B.C. D.答案A解析由D，F(xiàn)，C三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)，使得，即()，則(1)(1)(1)ab.由E，F(xiàn)，B三點(diǎn)共線，可得存在實(shí)數(shù)，使得，即()，則(1)(1)a(1)b.又a，b不共線，由平面向量基本定理可得解得所以ab.所以x，y，即(x，y)，故選A.(2)已知A(1,0)，B(1,0)，C(0,1)，過(guò)點(diǎn)P(m,0)的直線分別與線段AC，BC交于點(diǎn)M，N(點(diǎn)M，N不同于點(diǎn)A，B，C)，且xy(x，yR)，若2|

3、m|3，則xy的取值范圍是_答案解析設(shè)，則有|m|.M，N，P三點(diǎn)共線，且點(diǎn)O不在直線MN上，n(1n).從而有n(1n)xy，又與是不共線向量，得xy.由2|3，得xy的取值范圍是.思維升華(1)對(duì)于平面向量的線性運(yùn)算，要先選擇一組基底，同時(shí)注意平面向量基本定理的靈活運(yùn)用(2)運(yùn)算過(guò)程中重視數(shù)形結(jié)合，結(jié)合圖形分析向量間的關(guān)系跟蹤演練1(1)在ABC中，P是直線BN上的一點(diǎn)，若m，則實(shí)數(shù)m的值為()A4 B1C1 D4答案B解析因?yàn)閗k(1k)，且m，又，不共線，所以解得k2，m1，故選B.(2)如圖，矩形ABCD中，AB3，AD4，M，N分別為線段BC，CD上的點(diǎn)，且滿足1，若xy，則xy的

4、最小值為_(kāi)答案解析連接MN交AC于點(diǎn)G.由勾股定理知，MN2CM2CN2，所以1，即MNCMCN，所以C到直線MN的距離為定值1，此時(shí)MN是以C為圓心，1為半徑的圓的一條切線(如圖所示).xy(xy).由向量共線定理知，(xy)，所以xy，又因?yàn)閨max514，所以xy的最小值為.熱點(diǎn)二平面向量的數(shù)量積1數(shù)量積的定義：ab|a|b|cos .2三個(gè)結(jié)論(1)若a(x，y)，則|a|.(2)若A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|.(3)若非零向量a(x1，y1)，非零向量b(x2，y2)，為a與b的夾角，則cos .例2(1)已知在直角梯形ABCD中，ABAD2CD2，ADC90，若點(diǎn)M在線

5、段AC上，則|的取值范圍為_(kāi)答案解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則A(0,0)，B(2,0)，C(1,2)，D(0,2)，設(shè)(01)，則M(，2)，故(，22)，(2，2)，則(22，24)，|，當(dāng)0時(shí)，|取得最大值2，當(dāng)時(shí)，|取得最小值，|. (2)已知，|，|t，若點(diǎn)P是ABC所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且，則的最大值為_(kāi)答案13解析建立如圖所示的平面直角坐標(biāo)系，則B，C(0，t)，(0，t)，t(0，t)(1,4)，P(1,4)，(1，t4)1717213，當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)“”成立思維升華(1)數(shù)量積的計(jì)算通常有三種方法：數(shù)量積的定義，坐標(biāo)運(yùn)算，數(shù)量積的幾何意義(2)可以利用數(shù)量積求向量的模和夾角，

6、向量要分解成題中模和夾角已知的向量進(jìn)行計(jì)算跟蹤演練2(1)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，E為AB的中點(diǎn)，若F為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)答案解析E為AB的中點(diǎn)，正方形OABC的邊長(zhǎng)為1，E，得，又F為正方形內(nèi)(含邊界)任意一點(diǎn)，設(shè)F(x，y)，(x，y)，滿足則xy，結(jié)合線性規(guī)劃知識(shí)可知，當(dāng)F點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B(1,1)處時(shí)，取得最大值.(2)已知直角梯形ABCD中，ADBC，BAD90，ADC45，AD2，BC1，P是腰CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為_(kāi)答案解析以DA為x軸，D為原點(diǎn)，過(guò)D與DA垂直的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系，如圖所示由ADBC，BAD90，A

7、DC45，AD2，BC1，可得D(0,0)，A(2,0)，B(2,1)，C(1,1)，P在CD上，可設(shè)P(t，t)(0t1)，則(2t，t)，(t2，t1)，3(42t，2t1)，(當(dāng)且僅當(dāng)t時(shí)取等號(hào))，即的最小值為.真題體驗(yàn)1(2017浙江)已知向量a，b滿足|a|1，|b|2，則|ab|ab|的最小值是_，最大值是_答案42解析設(shè)a，b的夾角為，|a|1，|b|2，|ab|ab|.令y.則y2102.0，cos20,1，y216,20，y4,2，即|ab|ab|4,22(2017浙江改編)如圖，已知平面四邊形ABCD，ABBC，ABBCAD2，CD3，AC與BD交于點(diǎn)O，記I1，I2，I3

8、，則I1，I2，I3的大小關(guān)系是_答案I3I1I2解析I1I2()，ABBC，ABBCAD2，CD3，與所成的角為鈍角，I1I20，即I1I2.I1I3|cosAOB|cosCODcosAOB(|)，又AOB為鈍角，OAOC，OB0，即I1I3.I3I1I2.3(2016浙江)已知向量a，b，|a|1，|b|2.若對(duì)任意單位向量e，均有|ae|be|，則ab的最大值是_答案解析由于e是任意單位向量，可設(shè)e，則|ae|be|ab|.|ae|be|，|ab|，(ab)26，|a|2|b|22ab6.|a|1，|b|2，142ab6，ab，ab的最大值為.4(2017北京)已知點(diǎn)P在圓x2y21上，

9、點(diǎn)A的坐標(biāo)為(2,0)，O為原點(diǎn)，則的最大值為_(kāi)答案6解析方法一根據(jù)題意作出圖象，如圖所示，A(2,0)，P(x，y)由點(diǎn)P向x軸作垂線交x軸于點(diǎn)Q，則點(diǎn)Q的坐標(biāo)為(x,0)|cos ，|2，|，cos ，所以2(x2)2x4.點(diǎn)P在圓x2y21上，所以x1,1所以的最大值為246.方法二因?yàn)辄c(diǎn)P在圓x2y21上，所以可設(shè)P(cos ，sin )(02)，所以(2,0)，(cos 2，sin )，2cos 4246，當(dāng)且僅當(dāng)cos 1，即0，P(1,0)時(shí)“”成立押題預(yù)測(cè)1已知向量a，b滿足|a|3，且向量b在向量a方向上的投影為2，則a(ab)的值為()A4 B3 C2 D1押題依據(jù)向量的數(shù)

10、量積是高考命題的熱點(diǎn)，常?？疾槠矫嫦蛄康倪\(yùn)算、化簡(jiǎn)、證明及其幾何意義和平面向量平行、垂直的充要條件及其應(yīng)用等幾個(gè)方面答案B解析由向量b在向量a方向上的投影為2，得2，即ab6，則a(ab)a2ab963.2如圖，在ABC中，DEBC交AC于點(diǎn)E，BC邊上的中線AM交DE于點(diǎn)N，設(shè)a，b，用a，b表示向量，則等于()A.(ab) B.(ab)C.(ab) D.(ab)押題依據(jù)平面向量基本定理是向量表示的基本依據(jù)，而向量表示(用基底或坐標(biāo))是向量應(yīng)用的基礎(chǔ)答案C解析因?yàn)镈EBC，所以DNBM，則ANDAMB，所以.因?yàn)?，所?因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以()(ab)，所以(ab)故選C.3已知兩個(gè)單位

11、向量，的夾角為60，向量，且12,12，設(shè)向量，的夾角為，則cos 的取值范圍是()A. B.C. D.押題依據(jù)平面向量基本定理在向量中應(yīng)用廣泛，可與數(shù)量積等知識(shí)結(jié)合起來(lái)應(yīng)用答案C解析如圖，由題意知，動(dòng)點(diǎn)P在平行四邊形CDEF區(qū)域(含邊界)內(nèi)運(yùn)動(dòng)易知AODFOA.|2|，cosFOA.|2|，cosDOA.故cos ，故選C.4如圖，在半徑為1的扇形AOB中，AOB60，C為弧上的動(dòng)點(diǎn)，AB與OC交于點(diǎn)P，則的最小值是_押題依據(jù)本題將向量與平面幾何、最值問(wèn)題等有機(jī)結(jié)合，體現(xiàn)了高考在知識(shí)交匯點(diǎn)命題的方向，本題解法靈活，難度適中答案解析因?yàn)?，所?)2.又因?yàn)锳OB60，OAOB，所以O(shè)BA60，

12、OB1.所以|cos 120|.所以|22，當(dāng)且僅當(dāng)|時(shí)，取得最小值.A組專題通關(guān)1(2018全國(guó))在ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點(diǎn)，則等于()A. B.C. D.答案A解析作出示意圖如圖所示()().故選A.2設(shè)向量a(1,2)，b(3,5)，c(4，x)，若abc(R)，則x的值為()A B. C D.答案C解析由已知可得(1,2)(3,5)(4，x)x，故選C.3已知向量a，b，其中a(1，)，且a(a3b)，則b在a方向上的投影為()A. B C. D答案C解析由a(1，)，且a(a3b)，得a(a3b)0，即a23ab43ab0，ab，所以b在a方向上的投影為，故選C

13、.4.(2018天津)在如圖所示的平面圖形中，已知OM1，ON2，MON120，2，2，則的值為()A15 B9C6 D0答案C解析如圖，連接MN.2，2，MNBC，且，33()，3(2)3(21cos 12012)6.故選C.5(2018寧波模擬)已知向量，滿足|1，|2，AOB，M為OAB內(nèi)一點(diǎn)(包括邊界)，xy，若1，則以下結(jié)論一定成立的是()A.2xy2 B.xyC1x3y D.xy1答案B解析因?yàn)閨1，|2，AOB，則不妨設(shè)(1,0)，(1，)，則xy(xy，y)，(0，)，所以3y1，解得y.又因?yàn)辄c(diǎn)M為OAB內(nèi)一點(diǎn)(包含邊界)，所以x，y滿足的關(guān)系式為取x0，y，此時(shí)2xy，故A

14、選項(xiàng)不一定成立；由y，xy1，得x，所以y，故B選項(xiàng)一定成立；取x0，y1，此時(shí)x3y31，故C選項(xiàng)不一定成立；取x0，y，此時(shí)xy，故D選項(xiàng)不一定成立，綜上所述，選B.6(2018浙江省金麗衢十二校聯(lián)考)已知向量a，b滿足|a|2，|b|1，a與b的夾角為，則|a2b|_；a與a2b的夾角為_(kāi)答案2解析由題意得ab|a|b|cos1，所以|a2b|2，|a2b|2，則cosa，a2b，所以a與a2b的夾角為.7若平面向量a，b滿足|2ab|3，則ab的最小值是_答案解析由向量減法的三角形法則知，當(dāng)a與b共線且反向時(shí)，|2ab|的最大值為3.此時(shí)設(shè)ab(0，(mn)21mn(mn)2，當(dāng)且僅當(dāng)

15、mn時(shí)取等號(hào)(mn)21，則mn，即mn的最大值為.10(2018浙江省重點(diǎn)中學(xué)聯(lián)考)已知矩形ABCD，AB2，BC1，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P是對(duì)角線BD上的動(dòng)點(diǎn)，若xy，則的最小值是_，xy的最大值是_答案15解析如圖，建立平面直角坐標(biāo)系，則(2,1)，(1，1)，直線BD的方程為y1，設(shè)點(diǎn)P(22t，t)(0t1)，則(22t，t)，44tt43t(0t1)，當(dāng)t1時(shí)，取得最小值1.由xy，得xy4(0t1)，當(dāng)t1時(shí)，xy取得最大值5.B組能力提高11.(2018天津)如圖，在平面四邊形ABCD中，ABBC，ADCD，BAD120，ABAD1.若點(diǎn)E為邊CD上的動(dòng)點(diǎn)，則的最小值為()A.

16、 B. C. D3答案A解析如圖，以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA，DC所在直線分別為x軸，y軸，建立平面直角坐標(biāo)系連接AC，由題意知CADCAB60，ACDACB30，則D(0,0)，A(1,0)，B，C(0，)設(shè)E(0，y)(0y)，則(1，y)，y2y2(0y)，當(dāng)y時(shí)，有最小值.故選A.12.如圖，已知圓O的半徑為2，A，B是圓O上任意兩點(diǎn)，且AOB，PQ是圓O的直徑，若點(diǎn)C滿足33(1)(R)，當(dāng)取得最小值時(shí)，的值為()A. B.C. D.答案A解析由已知得0，4，22cos 2，224，所以()()2()233(1)249229(1)2218(1)436236(1)236(1)436(3231

17、)4108255，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)，所以當(dāng)時(shí)，取得最小值5.故選A.13(2018嘉興市、麗水市教學(xué)測(cè)試)已知|c|2，向量b滿足2|bc|bc.當(dāng)b，c的夾角最大時(shí)，|b|_.答案2解析設(shè)b，c，則由2|bc|bc得4(bc)2(bc)2，即4|b|2sin216|b|cos 160，則4cos |b|sin224sin ，當(dāng)且僅當(dāng)|b|sin2，即|b|時(shí)，等號(hào)成立，則tan 1，所以，當(dāng)時(shí)，|b|2.14已知平面向量，(0，)滿足|1，且與的夾角為120，則|的取值范圍是_答案解析如圖所示，記，由正弦定理得，|sin sin .又0120，0sin 1.即0|.15已知平面向量a(sin

18、 x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，xR，函數(shù)f(x)a(bc)(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)若f，求sin 的值解(1)因?yàn)閍(sin x，cos x)，b(sin x，cos x)，c(cos x，sin x)，所以bc(sin xcos x，sin xcos x)，f(x)a(bc)sin x(sin xcos x)cos x(sin xcos x)sin2x2sin xcos xcos2xsin 2xcos 2xsin.當(dāng)2k2x2k，kZ，即kxk，kZ時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間是，kZ.(2)由(1

19、)知，f(x)sin，又f，則sin，sin.因?yàn)閟in2cos21，所以cos.又sin sinsincos cossin ，所以當(dāng)cos時(shí)，sin ；當(dāng)cos時(shí)，sin .綜上，sin .16已知向量m(sin x，1)，向量n，函數(shù)f(x)(mn)m.(1)求f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間；(2)已知a，b，c分別為ABC內(nèi)角A，B，C的對(duì)邊，A為銳角，a2，c4，且f(A)恰是f(x)在上的最大值，求A，b和ABC的面積S.解(1)f(x)(mn)msin2x1sin xcos x1sin 2xsin 2xcos 2x2sin2.由2k2x2k(kZ)，得kxk(kZ)所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(kZ)(2)由(1)知f(A)sin2，當(dāng)x時(shí)，2x，由正弦函數(shù)圖象可知，當(dāng)2x時(shí)f(x)取得最大值3.所以2A，A.由余弦定理，a2b2c22bccos A，得12b21624b，所以b2.所以Sbcsin A24sin 602.