《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 文（含解析）新人教A版選修4-4》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 坐標(biāo)系與參數(shù)方程 第一節(jié) 坐標(biāo)系學(xué)案 文（含解析）新人教A版選修4-4（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)坐標(biāo)系2019考綱考題考情1平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換設(shè)點(diǎn)P(x，y)是平面直角坐標(biāo)系中的任意一點(diǎn)，在變換：的作用下，點(diǎn)P(x，y)對(duì)應(yīng)點(diǎn)P(x，y)，稱為平面直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)伸縮變換，簡稱伸縮變換。2極坐標(biāo)的概念(1)極坐標(biāo)系：如圖所示，在平面內(nèi)取一個(gè)定點(diǎn)O，叫做極點(diǎn)，從O點(diǎn)引一條射線Ox，叫做極軸，選定一個(gè)單位長度和角及其正方向(通常取逆時(shí)針方向)，這樣就確定了一個(gè)平面極坐標(biāo)系，簡稱為極坐標(biāo)系。(2)極坐標(biāo)：對(duì)于平面內(nèi)任意一點(diǎn)M，用表示線段OM的長，表示以O(shè)x為始邊、OM為終邊的角度，叫做點(diǎn)M的極徑，叫做點(diǎn)M的極角，有序?qū)崝?shù)對(duì)(，)叫做點(diǎn)M的極坐標(biāo)，記作M(，)。當(dāng)點(diǎn)M在極點(diǎn)時(shí)，它

2、的極徑0，極角可以取任意值。(3)點(diǎn)與極坐標(biāo)的關(guān)系：平面內(nèi)一點(diǎn)的極坐標(biāo)可以有無數(shù)對(duì)，當(dāng)kZ時(shí)，(，)，(，2k)，(，(2k1)表示同一個(gè)點(diǎn)，而用平面直角坐標(biāo)表示點(diǎn)時(shí)，每一個(gè)點(diǎn)的坐標(biāo)是唯一的。如果規(guī)定0,02，或者，那么，除極點(diǎn)外，平面內(nèi)的點(diǎn)和極坐標(biāo)就一一對(duì)應(yīng)了。3極坐標(biāo)和直角坐標(biāo)的互化(1)互化背景：把平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)作為極點(diǎn)，x軸的正半軸作為極軸，建立極坐標(biāo)系，并在兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度，如圖所示。(2)互化公式：設(shè)M是坐標(biāo)平面內(nèi)任意一點(diǎn)，它的直角坐標(biāo)是(x，y)，極坐標(biāo)是(，)(0，0,2)，于是極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化公式如表：在一般情況下，由tan確定角時(shí)，可根據(jù)點(diǎn)M所在的象

3、限取最小正角。4常見曲線的極坐標(biāo)方程1明辨兩個(gè)坐標(biāo)伸縮變換關(guān)系式點(diǎn)(x，y)在原曲線上，點(diǎn)(x，y)在變換后的曲線上，因此點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足原來的曲線方程，點(diǎn)(x，y)的坐標(biāo)滿足變換后的曲線方程。2極坐標(biāo)方程與直角坐標(biāo)方程互化(1)公式代入：直角坐標(biāo)方程化為極坐標(biāo)方程公式xcos及ysin直接代入并化簡。(2)整體代換：極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程，變形構(gòu)造形如cos，sin，2的形式，進(jìn)行整體代換。一、走進(jìn)教材1(選修44P15T4改編)在極坐標(biāo)系中，圓2sin的圓心的極坐標(biāo)是()ABC(1,0)D(1，)解析由2sin，得22sin，化成直角坐標(biāo)方程為x2y22y，化成標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y

4、1)21，圓心坐標(biāo)為(0，1)，其對(duì)應(yīng)的極坐標(biāo)為。故選B。解析：由2sin2cos，知圓心的極坐標(biāo)為。故選B。答案B2(選修44P15T3改編)若以直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，則線段y1x(0x1)的極坐標(biāo)方程為()A，0B，0Ccossin，0Dcossin，0解析因?yàn)閥1x(0x1)，所以sin1cos(0cos1)，所以。故選A。答案A二、走出誤區(qū)微提醒：極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化致誤；求極坐標(biāo)方程不會(huì)結(jié)合圖形求解致誤。3將極坐標(biāo)化為直角坐標(biāo)為()A(0,2)B(0，2)C(2,0)D(2,0)解析由可知直角坐標(biāo)為(0，2)。故選B。答案B4在極坐標(biāo)系中，過點(diǎn)且與

5、極軸平行的直線方程是()A0BCcos2Dsin2解析極坐標(biāo)為的點(diǎn)的直角坐標(biāo)為(0,2)，過該點(diǎn)且與極軸平行的直線的方程為y2，其極坐標(biāo)方程為sin2。故選D。答案D5在極坐標(biāo)系中，圓心在(，)且過極點(diǎn)的圓的方程為_。解析如圖，O為極點(diǎn)，OB為直徑，A(，)，則ABO，OB2，化簡得2cos。答案2cos考點(diǎn)一伸縮變換【例1】(1)曲線C：x2y21經(jīng)過伸縮變換得到曲線C，則曲線C的方程為_。(2)曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x2y21，則曲線C的方程為_。解析(1)因?yàn)樗源肭€C的方程得C：y21。(2)根據(jù)題意，曲線C經(jīng)過伸縮變換后所得曲線的方程為x2y21，則(2x)2(3y

6、)21，即4x29y21，所以曲線C的方程為4x29y21。答案(1)y21(2)4x29y211平面上的曲線yf(x)在變換：的作用下的變換方程的求法是將代入yf(x)，整理得yh(x)為所求。2解答該類問題應(yīng)明確兩點(diǎn)：一是根據(jù)平面直角坐標(biāo)系中的伸縮變換公式的意義與作用；二是明確變換前的點(diǎn)P(x，y)與變換后的點(diǎn)P(x，y)的坐標(biāo)關(guān)系，用方程思想求解?！咀兪接?xùn)練】(1)在同一平面直角坐標(biāo)系中，已知伸縮變換：則點(diǎn)A經(jīng)過變換后所得的點(diǎn)A的坐標(biāo)為_。(2)雙曲線C：x21經(jīng)過伸縮變換：后所得曲線C的焦點(diǎn)坐標(biāo)為_。解析(1)設(shè)A(x，y)，由伸縮變換：得到由于點(diǎn)A的坐標(biāo)為，于是x31，y(2)1，所

7、以A的坐標(biāo)為(1，1)。(2)設(shè)曲線C上任意一點(diǎn)P(x，y)，將代入x21，得1，化簡得1，即為曲線C的方程，知C仍是雙曲線，其焦點(diǎn)坐標(biāo)分別為(5,0)，(5,0)。答案(1)(1，1)(2)(5,0)，(5,0)考點(diǎn)二極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化【例2】(2018全國卷)在直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的方程為yk|x|2。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C2的極坐標(biāo)方程為22cos30。(1)求C2的直角坐標(biāo)方程；(2)若C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)，求C1的方程。解(1)由xcos，ysin得C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y24。(2)由(1)知C2是圓心為A(1,0)，半徑

8、為2的圓。由題設(shè)知，C1是過點(diǎn)B(0,2)且關(guān)于y軸對(duì)稱的兩條射線。記y軸右邊的射線為l1，y軸左邊的射線為l2。由于B在圓C2的外面，故C1與C2有且僅有三個(gè)公共點(diǎn)等價(jià)于l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)，或l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)且l1與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l1所在直線ykx2的距離為2，所以2，故k或k0。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l1與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)，l2與C2有兩個(gè)公共點(diǎn)。當(dāng)l2與C2只有一個(gè)公共點(diǎn)時(shí)，A到l2所在直線ykx2的距離為2，所以2，故k0或k。經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)k0時(shí)，l1與C2沒有公共點(diǎn)；當(dāng)k時(shí)，l2與C

9、2沒有公共點(diǎn)。綜上，所求C1的方程為y|x|2。1極坐標(biāo)與直角坐標(biāo)的互化依據(jù)是xcos，ysin。2互化時(shí)要注意前后的等價(jià)性。【變式訓(xùn)練】(1)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，以坐標(biāo)原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，曲線C的極坐標(biāo)方程為4sin。求曲線C的直角坐標(biāo)方程。(2)在平面直角坐標(biāo)系中，曲線C1：(為參數(shù))經(jīng)過伸縮變換后的曲線為C2，以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求C2的極坐標(biāo)方程。解(1)把4sin展開得2sin2cos，兩邊同乘，得22sin2cos。將2x2y2，cosx，siny代入即得曲線C的直角坐標(biāo)方程為x2y22x2y0。(2)由題意得曲線C2的參

10、數(shù)方程為(為參數(shù))，則曲線C2的直角坐標(biāo)方程為(x1)2y21，將xcos，ysin代入整理得2cos，所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為2cos。考點(diǎn)三求曲線的極坐標(biāo)方程【例3】在極坐標(biāo)系中，直線C1的極坐標(biāo)方程為sin2，M是C1上任意一點(diǎn)，點(diǎn)P在射線OM上，且滿足|OP|OM|4，記點(diǎn)P的軌跡為C2。(1)求曲線C2的極坐標(biāo)方程；(2)求曲線C2上的點(diǎn)到直線cos距離的最大值。解(1)設(shè)P(1，)，M(2，)，由|OP|OM|4，得124，即2。因?yàn)镸是C1上任意一點(diǎn)，所以2sin2，即sin2，12sin。所以曲線C2的極坐標(biāo)方程為2sin。(2)由2sin，得22sin，即x2y22y0，化

11、為標(biāo)準(zhǔn)方程為x2(y1)21，則曲線C2的圓心坐標(biāo)為(0,1)，半徑為1，由直線cos，得：coscossinsin，即xy2，圓心(0,1)到直線xy2的距離為d，所以曲線C2上的點(diǎn)到直線cos距離的最大值為1。求曲線的極坐標(biāo)方程的步驟：(1)建立適當(dāng)?shù)臉O坐標(biāo)系，設(shè)P(，)是曲線上任意一點(diǎn)；(2)由曲線上的點(diǎn)所適合的條件，列出曲線上任意一點(diǎn)的極徑和極角之間的關(guān)系式；(3)將列出的關(guān)系式進(jìn)行整理、化簡，得出曲線的極坐標(biāo)方程?！咀兪接?xùn)練】(2019廣州五校聯(lián)考)在極坐標(biāo)系中，圓C是以點(diǎn)C為圓心，2為半徑的圓。(1)求圓C的極坐標(biāo)方程；(2)求圓C被直線l：(R)所截得的弦長。解(1)設(shè)所求圓上任

12、意一點(diǎn)M(，)，如圖，在RtOAM中，OMA，AOM2，|OA|4。因?yàn)閏osAOM，所以|OM|OA|cosAOM，即4cos4cos，驗(yàn)證可知，極點(diǎn)O與A的極坐標(biāo)也滿足方程，故4cos為所求。(2)設(shè)l：(R)交圓C于點(diǎn)O，P，在RtOAP中，OPA，易得AOP，所以|OP|OA|cosAOP2。解：(1)圓C是將圓4cos繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)而得到的圓，所以圓C的極坐標(biāo)方程是4cos。(2)將代入圓C的極坐標(biāo)方程4cos，得2，所以圓C被直線l：(R)所截得的弦長為2。考點(diǎn)四極坐標(biāo)方程的應(yīng)用【例4】在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是x4。曲線C的參數(shù)方程是(為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為

13、極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)求直線l和曲線C的極坐標(biāo)方程；(2)若射線與曲線C交于點(diǎn)O，A，與直線l交于點(diǎn)B，求的取值范圍。解(1)由xcos，得直線l的極坐標(biāo)方程為cos4。曲線C的參數(shù)方程為(為參數(shù))，消去參數(shù)得曲線C的普通方程為(x1)2(y1)22，即x2y22x2y0，將x2y22，xcos，ysin代入上式得22cos2sin，所以曲線C的極坐標(biāo)方程為2cos2sin。(2)設(shè)A(1，)，B(2，)，則12cos2sin，2，所以(sin2cos2)sin，因?yàn)?，所以2，所以sin1，所以sin。故的取值范圍是。極坐標(biāo)方程解決幾何問題，一定要聯(lián)系與的幾何意義?！咀?/p>

14、式訓(xùn)練】(1)(2018江蘇高考)在極坐標(biāo)系中，直線l的方程為sin2，曲線C的方程為4cos，求直線l被曲線C截得的弦長。(2)在平面直角坐標(biāo)系xOy中，曲線C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))，直線C2的方程為yx，以O(shè)為極點(diǎn)，以x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。求曲線C1和直線C2的極坐標(biāo)方程；若直線C2與曲線C1交于P，Q兩點(diǎn)，求|OP|OQ|的值。解(1)因?yàn)榍€C的極坐標(biāo)方程為4cos，所以曲線C是圓心為(2,0)，直徑為4的圓。因?yàn)橹本€l的極坐標(biāo)方程為sin2，則直線l過A(4,0)，傾斜角為，所以A為直線l與圓C的一個(gè)交點(diǎn)。設(shè)另一個(gè)交點(diǎn)為B，則AOB。連接OB。因?yàn)镺A為直徑，從而OBA

15、，所以AB4cos2。因此，直線l被曲線C截得的弦長為2。(2)曲線C1的普通方程為(x)2(y2)24，即x2y22x4y30，則曲線C1的極坐標(biāo)方程為22cos4sin30。因?yàn)橹本€C2的方程為yx，所以直線C2的極坐標(biāo)方程為(R)。設(shè)P(1，1)，Q(2，2)，將(R)代入22cos4sin30得，2530，所以123，所以|OP|OQ|123。1(配合例4使用)在直角坐標(biāo)系xOy中，圓C1的參數(shù)方程為(為參數(shù))。以坐標(biāo)原點(diǎn)為極點(diǎn)，x軸的正半軸為極軸建立極坐標(biāo)系，直線C2的極坐標(biāo)方程為(R)。(1)求圓C1的極坐標(biāo)方程和直線C2的直角坐標(biāo)方程；(2)設(shè)C1與C2的交點(diǎn)為P，Q，求C1PQ

16、的面積。解(1)直線C2的直角坐標(biāo)方程為xy0。圓C1的普通方程為(x2)2(y4)24，因?yàn)閤cos，ysin，所以C1的極坐標(biāo)方程為24cos8sin160。(2)將代入24cos8sin160，得26160，解得14，22，故|12|2，即|PQ|2。由于圓C1的半徑為2，所以C1PQ的面積為2。2(配合例4使用)在直角坐標(biāo)系xOy中，直線l的方程是y6，圓C的參數(shù)方程是(為參數(shù))，以原點(diǎn)O為極點(diǎn)，x軸的非負(fù)半軸為極軸建立極坐標(biāo)系。(1)分別求直線l與圓C的極坐標(biāo)方程；(2)射線OM：與圓C的交點(diǎn)為O，P兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)M，射線ON：與圓C交于O，Q兩點(diǎn)，與直線l交于點(diǎn)N，求的最大值。解(1)直線l的方程是y6，可得極坐標(biāo)方程：sin6，圓C的參數(shù)方程是(為參數(shù))，可得普通方程：x2(y1)21，展開為x2y22y0?；癁闃O坐標(biāo)方程：22sin0，即2sin。(2)由題意可得：點(diǎn)P，M的極坐標(biāo)為(2sin，)，。所以|OP|2sin，|OM|，可得。同理可得。所以。當(dāng)時(shí)，取等號(hào)。所以的最大值為。12