《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會(huì)員分享，可在線(xiàn)閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第二章 函數(shù)、導(dǎo)數(shù)及其應(yīng)用 第十一節(jié) 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用學(xué)案 理（含解析）新人教A版（38頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十一節(jié)導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用2019考綱考題考情考綱要求考題舉例考向標(biāo)簽1.了解函數(shù)單調(diào)性和導(dǎo)數(shù)的關(guān)系；能利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，會(huì)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)2了解函數(shù)在某點(diǎn)取得極值的必要條件和充分條件；會(huì)用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的極大值、極小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)；會(huì)求閉區(qū)間上函數(shù)的最大值、最小值(其中多項(xiàng)式函數(shù)一般不超過(guò)三次)3會(huì)利用導(dǎo)數(shù)解決某些實(shí)際問(wèn)題(生活中的優(yōu)化問(wèn)題)2018全國(guó)卷T21(討論函數(shù)的單調(diào)性、不等式證明)2018全國(guó)卷T21(證明不等式、函數(shù)的零點(diǎn))2018全國(guó)卷T21(應(yīng)用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的最值)2017全國(guó)卷T21(函數(shù)單調(diào)性、零點(diǎn))2017全國(guó)卷T21(

2、函數(shù)極值)2017全國(guó)卷T21(利用導(dǎo)數(shù)證明不等式)命題角度：1導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性2導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值3導(dǎo)數(shù)與不等式4導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)核心素養(yǎng)：邏輯推理1函數(shù)的導(dǎo)數(shù)與單調(diào)性的關(guān)系函數(shù)yf(x)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)，則(1)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞增。(2)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)單調(diào)遞減。(3)若f(x)0，則f(x)在這個(gè)區(qū)間內(nèi)是常數(shù)函數(shù)。2函數(shù)的極值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)的極小值若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xa處的函數(shù)值f(a)比它在點(diǎn)xa附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都小，且f(a)0，而且在點(diǎn)xa附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則xa叫做函數(shù)的極小值點(diǎn)，f(a)叫做函數(shù)的極小

3、值。(2)函數(shù)的極大值若函數(shù)yf(x)在點(diǎn)xb處的函數(shù)值f(b)比它在點(diǎn)xb附近其他點(diǎn)的函數(shù)值都大，且f(b)0，而且在點(diǎn)xb附近的左側(cè)f(x)0，右側(cè)f(x)0，則xb叫做函數(shù)的極大值點(diǎn)，f(b)叫做函數(shù)的極大值，極大值和極小值統(tǒng)稱(chēng)為極值。3函數(shù)的最值與導(dǎo)數(shù)(1)函數(shù)f(x)在a，b上有最值的條件：一般地，如果在區(qū)間a，b上，函數(shù)yf(x)的圖象是一條連續(xù)不斷的曲線(xiàn)，那么它必有最大值和最小值。(2)求函數(shù)yf(x)在a，b上的最大值與最小值的步驟為：求函數(shù)yf(x)在(a，b)內(nèi)的極值；將函數(shù)yf(x)的各極值與端點(diǎn)處的函數(shù)值f(a)，f(b)比較，其中最大的一個(gè)是最大值，最小的一個(gè)是最小值

4、。1函數(shù)f(x)在區(qū)間(a，b)上遞增，則f(x)0，“f(x)0在(a，b)上成立”是“f(x)在(a，b)上單調(diào)遞增”的充分不必要條件。2對(duì)于可導(dǎo)函數(shù)f(x)，“f(x0)0”是“函數(shù)f(x)在xx0處有極值”的必要不充分條件。如函數(shù)yx3在x0處導(dǎo)數(shù)為零，但x0不是函數(shù)yx3的極值點(diǎn)。一、走進(jìn)教材1(選修22P26練習(xí)T1(2)改編)函數(shù)yxex的單調(diào)遞減區(qū)間為()A(，0) B(0，)C1，)D(1，)解析y1ex0。故選B。答案B2(選修22P32A組T5(4)改編)函數(shù)f(x)2xxlnx的極值是()ABCeDe2解析因?yàn)閒(x)2(lnx1)1lnx，當(dāng)f(x)0時(shí)，解得0xe；

5、當(dāng)f(x)e，所以xe時(shí)，f(x)取到極大值，f(x)極大值f(e)e。故選C。答案C二、走近高考3(2018全國(guó)卷)已知函數(shù)f(x)2sinxsin2x，則f(x)的最小值是_。解析因?yàn)閒(x)2sinxsin2x，所以f(x)2cosx2cos2x4cos2x2cosx24(cosx1)，由f(x)0得cosx1，即2kx2k，kZ，由f(x)0得1cosx，即2kx2k或2kx2k，kZ，所以當(dāng)x2k(kZ)時(shí)，f(x)取得最小值，且f(x)minf2sinsin2。解法一：因?yàn)閒(x)2sinxsin2x2sinx(1cosx)，所以f(x)24sin2x(1cosx)24(1cosx

6、)(1cosx)3，設(shè)cosxt，則y4(1t)(1t)3(1t1)，所以y4(1t)33(1t)(1t)24(1t)2(24t)，所以當(dāng)1t0；當(dāng)t1時(shí)，y0在(0，)上恒成立，則f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，又f(0)1，所以此時(shí)f(x)在(0，)內(nèi)無(wú)零點(diǎn)，不滿(mǎn)足題意。當(dāng)a0時(shí)，由f(x)0得x，由f(x)0得0x0，f(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x(0,1)時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)是增函數(shù)。故選C。答案C6函數(shù)g(x)x2的極值點(diǎn)是_，函數(shù)f(x)(x1)3的極值點(diǎn)_(填“存在”或“不存在”)。解析結(jié)合函數(shù)圖象可知g(x)x2的極值點(diǎn)是x0。因?yàn)閒(x)3(x1)20，所以f(x)0無(wú)變

7、號(hào)零點(diǎn)，故函數(shù)f(x)(x1)3不存在極值點(diǎn)。答案0不存在7函數(shù)g(x)x2在1,2上的最小值和最大值分別是_，在(1,2)上的最小值和最大值均_(填“存在”或“不存在”)。解析根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性及最值的定義可得。答案1,4不存在第1課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的單調(diào)性考點(diǎn)一討論函數(shù)的單調(diào)性【例1】(1)已知e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則函數(shù)yxex的單調(diào)遞增區(qū)間是()A1，)B(，1C1，)D(，1(2)(2019惠州調(diào)研)已知函數(shù)f(x)x2(a2)xalnx，其中aR。若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(2，f(2)處的切線(xiàn)與直線(xiàn)xy30平行，求a的值；求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間。(1)解析令y(1x)ex0。因?yàn)閑x0，所以

8、1x0，所以x1。故選A。答案A(2)解由f(x)x2(a2)xalnx可知，函數(shù)f(x)的定義域?yàn)閤|x0，且f(x)2x(a2)，依題意，f(2)4(a2)1，解得a2。依題意，f(x)2x(a2)(x0)。令f(x)0，得x11，x2。()當(dāng)a0時(shí)，0，由f(x)0，得x1；由f(x)0，得0x1。則函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)，單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)。()當(dāng)01，即0a0，得0x1；由f(x)0，得x1，即a2時(shí)，由f(x)0，得0x；由f(x)0，得1x0，解集在定義域內(nèi)的部分為單調(diào)遞增區(qū)間。4解不等式f(x)0，討論f(x)在(0,2)上的單調(diào)性。解因?yàn)閒(x)1(0x0

9、)。當(dāng)0kk0，且2，所以x(0，k)時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在(0，k)上是減函數(shù)，在(k,2)上是增函數(shù)；當(dāng)k2時(shí)，k2，f(x)2時(shí)，0，所以x時(shí)，f(x)0，所以函數(shù)f(x)在上是減函數(shù)，在上是增函數(shù)?？键c(diǎn)二已知函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)取值范圍【例2】(1)若函數(shù)ysin2xacosx在區(qū)間(0，)上是增函數(shù)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A(，1B1，)C(，0)D(0，)(2)已知a0，函數(shù)f(x)(x22ax)ex，若f(x)在1,1上是減函數(shù)，則a的取值范圍是_。解析(1)ycos2xasinx0在(0，)上恒成立，即a在(0，)上恒成立。令tsinx(0,1，g(t)2t，t(0

10、,1，易知函數(shù)g(t)在(0,1上單調(diào)遞減，所以g(t)ming(1)1，所以a1，即實(shí)數(shù)a的取值范圍是(，1。(2)f(x)x22(a1)x2aex，因?yàn)閒(x)在1,1上是減函數(shù)，所以f(x)0對(duì)x1,1恒成立，所以x22(a1)x2a0對(duì)x1,1恒成立。設(shè)g(x)x22(a1)x2a，所以所以解得a。答案(1)A(2)a1f(x)在D上單調(diào)遞增(減)，只要f(x)0(0)在D上恒成立即可，如果能夠分離參數(shù)，則盡可能分離參數(shù)后轉(zhuǎn)化為參數(shù)值與函數(shù)最值之間的關(guān)系。2二次函數(shù)在區(qū)間D上大于零恒成立，討論的標(biāo)準(zhǔn)是二次函數(shù)的圖象的對(duì)稱(chēng)軸與區(qū)間D的相對(duì)位置，一般分對(duì)稱(chēng)軸在區(qū)間左側(cè)、內(nèi)部、右側(cè)進(jìn)行討論。

11、【變式訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)lnxax22x存在單調(diào)遞減區(qū)間，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)。解析f(x)ax2(x0)，函數(shù)f(x)存在單調(diào)遞減區(qū)間，即定義域(0，)內(nèi)存在區(qū)間使ax22x10，等價(jià)于a小于在x(0，)上的最大值，設(shè)g(x)，則g(x)，可知，函數(shù)g(x)在區(qū)間(0,1)上為增函數(shù)，在區(qū)間(1，)上為減函數(shù)，所以當(dāng)x1時(shí)，函數(shù)g(x)取得最大值，此時(shí)g(x)1，所以a2x。若f(a2)f(a)44a，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為()A(，1B1，)C(，2D2，)解析令G(x)f(x)x2，則G(x)f(x)2x。x0，)時(shí)，G(x)f(x)2x0，所以G(x)在0，)上是增函數(shù)。G(x)f

12、(x)(x)2f(x)x2G(x)，所以G(x)為偶函數(shù)，G(x)在(，0)上是減函數(shù)。因?yàn)閒(a2)f(a)44a，所以f(a2)44aa2f(a)a2，所以f(a2)(a2)2f(a)a2，即G(a2)G(a)，所以|a2|a|，所以a1。故選A。答案A本小題構(gòu)造了新函數(shù)G(x)f(x)x2，通過(guò)討論其單調(diào)性解不等式。方向2：比較大小【例4】(2019南昌摸底調(diào)研)已知函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，設(shè)函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)為f(x)，若對(duì)任意x0都有2f(x)xf(x)0成立，則()A4f(2)9f(3)C2f(3)3f(2)D3f(3)0都有2f(x)xf(x)0成立，則當(dāng)x0時(shí)，有g(shù)

13、(x)x(2f(x)xf(x)0恒成立，即函數(shù)g(x)在(0，)上為增函數(shù)，又由函數(shù)f(x)是定義在R上的偶函數(shù)，則f(x)f(x)，則有g(shù)(x)(x)2f(x)x2f(x)g(x)，即函數(shù)g(x)也為偶函數(shù)，則有g(shù)(2)g(2)，且g(2)g(3)，則有g(shù)(2)g(3)，即有4f(2)0”，需構(gòu)造函數(shù)g(x)x2f(x)，求導(dǎo)后得x0時(shí)，g(x)0，即函數(shù)g(x)在(0，)上為增函數(shù)，從而問(wèn)題得以解決?！绢}點(diǎn)對(duì)應(yīng)練】1(方向1)已知函數(shù)f(x)(xR)滿(mǎn)足f(1)1，且f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)，則不等式f(x2)的解集為_(kāi)。解析由題意構(gòu)造函數(shù)F(x)f(x)x，則F(x)f(x)。因?yàn)閒(x

14、)，所以F(x)f(x)0，即函數(shù)F(x)在R上單調(diào)遞減。因?yàn)閒(x2)，f(1)1，所以f(x2)f(1)，所以F(x2)1，即x(，1)(1，)。答案(，1)(1，)2(方向2)定義在R上的函數(shù)f(x)滿(mǎn)足：f(x)f(x)恒成立，若x1e x2f(x1)Be x1f(x2)0，所以g(x)單調(diào)遞增，當(dāng)x1x2時(shí)，g(x1)g(x2)，即e x2f(x1)。答案A1(配合例1使用)若函數(shù)y在(1，)上單調(diào)遞減，則稱(chēng)f(x)為P函數(shù)。下列函數(shù)中為P函數(shù)的為()f(x)1；f(x)x；f(x)；f(x)。ABCD解析x(1，)時(shí)，lnx0，x增大時(shí)，都減小，所以y，y在(1，)上都是減函數(shù)，所

15、以f(x)1和f(x)都是P函數(shù)；，所以x(1，e)時(shí)，0，即y在(1，e)上單調(diào)遞減，在(e，)上單調(diào)遞增，所以f(x)x不是P函數(shù)；，所以x(1，e2)時(shí)，0，即y在(1，e2)上單調(diào)遞減，在(e2，)上單調(diào)遞增，所以f(x)不是P函數(shù)。故選B。答案B2(配合例1使用)已知函數(shù)f(x)ln(ex1)ax(a0)，討論函數(shù)yf(x)的單調(diào)區(qū)間。解f(x)a1a。當(dāng)a1時(shí)，f(x)0恒成立，所以當(dāng)a1，)時(shí)，函數(shù)yf(x)在R上單調(diào)遞減。當(dāng)0a0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln，由f(x)0，得(1a)(ex1)1，即ex1，解得xln。所以當(dāng)a(0,1)時(shí)，函數(shù)yf(x)在上單

16、調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。綜上，當(dāng)a1，)時(shí)，f(x)在R上單調(diào)遞減；當(dāng)a(0,1)時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。3(配合例3、例4使用)設(shè)偶函數(shù)f(x)定義在上，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，當(dāng)0x時(shí)，f(x)cosxf(x)sinx2fcosx的解集為()AB.CD.解析令g(x)，因?yàn)閒(x)是定義在上的偶函數(shù)，所以g(x)是定義在上的偶函數(shù)，又當(dāng)0x時(shí)，f(x)cosxf(x)sinx0，所以g(x)2fcosx化為，即g(x)g，則|x|1，則不等式f(x)x0的解集為_(kāi)。【解析】令g(x)f(x)x，所以g(x)f(x)1。由題意知g(x)0，所以g(x)為增函數(shù)。因?yàn)間(2)f(2)

17、20，所以g(x)0的解集為(2，)?！敬鸢浮?2，)【典例2】是圓周率，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，在3e，e3，e，3,3，e六個(gè)數(shù)中，最小的數(shù)與最大的數(shù)分別是()A3e,3B3e，eCe3，3De,3【解析】構(gòu)造函數(shù)f(x)，f(x)的定義域?yàn)?0，)，求導(dǎo)得f(x)，當(dāng)f(x)0，即0xe時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；當(dāng)f(x)e時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞減。故函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(0，e)，單調(diào)遞減區(qū)間為(e，)。因?yàn)閑3，所以eln3eln，lneln3，即ln3elne，lneln3。又函數(shù)ylnx，yex，yx在定義域上單調(diào)遞增，故3ee3，e3e3，故這六個(gè)數(shù)中的最大數(shù)為3或3，由e

18、3及函數(shù)f(x)的單調(diào)性，得f()f(3)f(e)，即，由，得ln33，在3e，e3，e，3,3，e六個(gè)數(shù)中的最大的數(shù)是3，同理得最小的數(shù)為3e。故選A。【答案】A二、ex與f(x)的組合函數(shù)【典例3】已知f(x)(xR)有導(dǎo)函數(shù)，且xR，f(x)f(x)，nN*，則有()Aenf(n)enf(0)Benf(n)f(0)，f(n)f(0)，f(n)enf(0)Denf(n)f(0)，f(n)0，g(x)為R上的增函數(shù)，故g(n)g(0)g(n)，即，即enf(n)enf(0)。故選A?！敬鸢浮緼【典例4】設(shè)a0，b0，e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，則()A若ea2aeb3b，則abB若ea2aeb3b，

19、則abD若ea2aeb3b，則a0，b0，所以ea2aeb3beb2bbeb2b。對(duì)于函數(shù)yex2x(x0)，因?yàn)閥ex20，所以yex2x在(0，)上單調(diào)遞增，因而ab成立。故選A。【答案】A第2課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的極值、最值考點(diǎn)一函數(shù)的極值問(wèn)題微點(diǎn)小專(zhuān)題方向1：由圖象判斷函數(shù)的極值【例1】設(shè)函數(shù)f(x)在R上可導(dǎo)，其導(dǎo)函數(shù)為f(x)，且函數(shù)y(1x)f(x)的圖象如圖所示，則下列結(jié)論中一定成立的是()A函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)B函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(1)C函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)D函數(shù)f(x)有極大值f(2)和極小值f(2)解析由題圖可

20、知，當(dāng)x0；當(dāng)2x1時(shí)，f(x)0；當(dāng)1x2時(shí)，f(x)2時(shí)，f(x)0。由此可以得到函數(shù)f(x)在x2處取得極大值，在x2處取得極小值。故選D。答案D知圖判斷函數(shù)極值的情況。先找導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)，再判斷導(dǎo)數(shù)為0的點(diǎn)的左、右兩側(cè)的導(dǎo)數(shù)符號(hào)。方向2：求函數(shù)的極值【例2】已知函數(shù)f(x)x1(aR，e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。(1)若曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)平行于x軸，求a的值；(2)求函數(shù)f(x)的極值。解(1)由f(x)x1，得f(x)1。又曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)平行于x軸，得f(1)0，即10，解得ae。(2)f(x)1，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0，f(x)為(，)上的增函

21、數(shù)，所以函數(shù)f(x)無(wú)極值。當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得exa，即xlna，當(dāng)x(，lna)時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(，lna)上單調(diào)遞減，在(lna，)上單調(diào)遞增，故f(x)在xlna處取得極小值且極小值為f(lna)lna，無(wú)極大值。綜上，當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f(x)無(wú)極值；當(dāng)a0時(shí)，f(x)在xlna處取得極小值lna，無(wú)極大值。求函數(shù)極值的一般步驟：先求函數(shù)f(x)的定義域，再求函數(shù)f(x)的導(dǎo)函數(shù)f(x)；求f(x)0的根；判斷在f(x)0的根的左、右兩側(cè)f(x)的符號(hào)，確定極值點(diǎn)；求出具體極值。方向3：已知極值求參數(shù)【例3】(1)(2019江西八校聯(lián)考)若函數(shù)f(x)x2xalnx在

22、1，)上有極值點(diǎn)，則實(shí)數(shù)a的取值范圍為_(kāi)。(2)(2018山東曲阜模擬)若函數(shù)f(x)的導(dǎo)數(shù)f(x)(xk)k，k1，kZ，已知xk是函數(shù)f(x)的極大值點(diǎn)，則k_。解析(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2x1，由題意知2x2xa0在R上有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)解，且在1，)上有解，所以18a0，且2121a0，所以a(，1。(2)因?yàn)楹瘮?shù)的導(dǎo)數(shù)為f(x)(xk)k，k1，kZ，所以若k是偶數(shù)，則xk，不是極值點(diǎn)，則k是奇數(shù)，若k0，解得x或xk；由f(x)0，解得kx，由f(x)0，解得xk或x；由f(x)0，解得x0，解得x1，令f(x)0，解得2x0，得0x1，由f(x)1，所以f(

23、x)1lnx在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減。(2)由(1)得f(x)在上單調(diào)遞增，在1，e上單調(diào)遞減，所以f(x)在上的最大值為f(1)11ln10。又f1eln2e，f(e)1lne，且f0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時(shí)，令f(x)0得0x，令f(x)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。(2)由(1)知，當(dāng)m0時(shí)，f(x)無(wú)最大值；當(dāng)m0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。所以f(x)maxfln2mnln2lnmnln2，所以nlnm，所以mnmlnm，令h(x)xlnx(x0)，則h(x)1，所以h(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以h(x)min

24、hln2，所以mn的最小值為ln2。1(配合例3使用)設(shè)函數(shù)f(x)2lnxmx21。(1)討論函數(shù)f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)f(x)有極值時(shí)，若存在x0，使得f(x0)m1成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍。解(1)函數(shù)f(x)的定義域?yàn)?0，)，f(x)2mx，當(dāng)m0時(shí)，f(x)0，所以f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時(shí)，令f(x)0，則0x，令f(x)，所以f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。綜上，當(dāng)m0時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；當(dāng)m0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。(2)由(1)知，當(dāng)f(x)有極值時(shí)，m0，且f(x)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減。所以f(x)maxf2lnm1

25、lnm，若存在x0，使得f(x0)m1成立，則f(x)maxm1。即lnmm1，lnmm10)，因?yàn)間(x)10，所以g(x)在(0，)上單調(diào)遞增，且g(1)0，所以m10，即m1。綜上，0m0)，則F(x)(x0)，所以當(dāng)0x1時(shí)，F(xiàn)(x)1時(shí)，F(xiàn)(x)0，F(xiàn)(x)單調(diào)遞增。所以F(x)F(1)10，所以a。記G(x)，x，則G(x)。因?yàn)閤，所以22lnx2(1lnx)0，所以x2lnx20，所以當(dāng)x時(shí)，G(x)0，G(x)單調(diào)遞增。所以G(x)minG(1)1，所以aG(x)min1，故實(shí)數(shù)a的取值范圍為1，)。第3課時(shí)導(dǎo)數(shù)與不等式考點(diǎn)一不等式的證明微點(diǎn)小專(zhuān)題方向1：移項(xiàng)作差構(gòu)造法【例1

26、】(2019江西贛州高三模擬)已知函數(shù)f(x)1，g(x)bx，若曲線(xiàn)yf(x)與曲線(xiàn)yg(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1,1)，且在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直。(1)求a，b的值；(2)證明：當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)。解(1)因?yàn)閒(x)1，所以f(x)，f(1)1。因?yàn)間(x)bx，所以g(x)b。因?yàn)榍€(xiàn)yf(x)與曲線(xiàn)yg(x)的一個(gè)公共點(diǎn)是A(1,1)，且在點(diǎn)A處的切線(xiàn)互相垂直，所以g(1)1，且f(1)g(1)1，所以g(1)a1b1，g(1)a1b1，解得a1，b1。(2)證明：由(1)知，g(x)x，則f(x)g(x)1x0。令h(x)1x(x1)，則h(1)0，h(x)11。因?yàn)閤1，

27、所以h(x)10，所以h(x)在1，)上單調(diào)遞增，所以h(x)h(1)0，即1x0，所以當(dāng)x1時(shí)，f(x)g(x)。待證不等式的兩邊含有同一個(gè)變量時(shí)，一般地，可以直接構(gòu)造“左減右”的函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，借助所構(gòu)造函數(shù)的單調(diào)性即可得證?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)f(x)xlnxex1。(1)求曲線(xiàn)yf(x)在點(diǎn)(1，f(1)處的切線(xiàn)方程；(2)證明：f(x)sinx在(0，)上恒成立。解(1)依題意得f(x)lnx1ex，又f(1)1e，f(1)1e，故所求切線(xiàn)方程為y1e(1e)(x1)，即y(1e)x。(2)證明：依題意，要證f(x)sinx，即證xlnxex1sinx，即證xlnxexs

28、inx1。當(dāng)00，xlnx0，故xlnxexsinx1，即f(x)1時(shí)，令g(x)exsinx1xlnx，故g(x)excosxlnx1。令h(x)g(x)excosxlnx1，則h(x)exsinx，當(dāng)x1時(shí)，exe11，所以h(x)exsinx0，故h(x)在(1，)上單調(diào)遞增。故h(x)h(1)ecos110，即g(x)0，所以g(x)g(1)esin110，即xlnxexsinx1，即f(x)sinx。綜上所述，f(x)0)。令g(x)，則g(x)，所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，則g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以g(x)maxg

29、(1)1，則a1，所以a的最小值為1。(2)證明：由(1)知當(dāng)a1時(shí)有f(x)xlnx10成立，即xlnx1，即tlnt1。令t，則xlnxlnt，所以xlnx1，即xlnx10。(3)因?yàn)閗(exx2)xxlnx，即k1lnx恒成立，所以k1，由(2)知xlnx10恒成立，所以11，故k1。這種方法往往要在前面問(wèn)題中證明出某個(gè)不等式，在后續(xù)的問(wèn)題中應(yīng)用前面的結(jié)論，呈現(xiàn)出層層遞進(jìn)的特點(diǎn)?！咀兪接?xùn)練】已知函數(shù)f(x)ln(x1)k(x1)1。(1)求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若f(x)0恒成立，試確定實(shí)數(shù)k的取值范圍；(3)證明：1)。解(1)因?yàn)閒(x)ln(x1)k(x1)1，所以f(x

30、)k，x1。所以當(dāng)k0時(shí)，f(x)k0，f(x)在(1，)上是增函數(shù)；當(dāng)k0時(shí)，令f(x)0，得1x1，令f(x)1，所以f(x)在上是增函數(shù)，在上是減函數(shù)。(2)因?yàn)閒(x)0恒成立，所以x1，ln(x1)k(x1)10，所以x1，ln(x1)k(x1)1，所以k0。由(1)知，當(dāng)k0時(shí)，f(x)maxflnk0，解得k1。故實(shí)數(shù)k的取值范圍是1，)。(3)證明：令k1，則由(2)知，ln(x1)x2對(duì)任意x(1，)恒成立，即lnxx1對(duì)任意x(0，)恒成立。取xn2，則2lnnn21，即，n2，所以1)。方向3：隔離分析法【例3】(2019福州高三期末考試)已知函數(shù)f(x)elnxax(a

31、R)。(1)討論f(x)的單調(diào)性；(2)當(dāng)ae時(shí)，證明：xf(x)ex2ex0。解(1)f(x)a(x0)，若a0，則f(x)0，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增；若a0，則當(dāng)0x0，當(dāng)x時(shí)，f(x)0，所以只需證f(x)2e，當(dāng)ae時(shí)，由(1)知，f(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，所以f(x)maxf(1)e。記g(x)2e(x0)，則g(x)，所以當(dāng)0x1時(shí)，g(x)1時(shí)，g(x)0，g(x)單調(diào)遞增，所以g(x)ming(1)e。綜上，當(dāng)x0時(shí)，f(x)g(x)，即f(x)2e，即xf(x)ex2ex0。解：由題意知，即證exlnxex2ex2ex0，從而等價(jià)于lnxx2

32、。設(shè)函數(shù)g(x)lnxx2，則g(x)1。所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，g(x)0，當(dāng)x(1，)時(shí)，g(x)0，故g(x)在(0,1)上單調(diào)遞增，在(1，)上單調(diào)遞減，從而g(x)在(0，)上的最大值為g(1)1。設(shè)函數(shù)h(x)，則h(x)。所以當(dāng)x(0,1)時(shí)，h(x)0，故h(x)在(0,1)上單調(diào)遞減，在(1，)上單調(diào)遞增，從而h(x)在(0，)上的最小值為h(1)1。綜上，當(dāng)x0時(shí)，g(x)h(x)，即xf(x)ex2ex0。若直接求導(dǎo)比較復(fù)雜或無(wú)從下手時(shí)，可將待證式進(jìn)行變形，構(gòu)造兩個(gè)函數(shù)，從而找到可以傳遞的中間量，達(dá)到證明的目標(biāo)?！咀兪接?xùn)練】已知f(x)axlnx，x(0，e，g(x)，其中

33、e是自然對(duì)數(shù)的底數(shù)，aR.(1)當(dāng)a1時(shí)，求f(x)的極值，并證明f(x)g(x)恒成立；(2)是否存在實(shí)數(shù)a，使f(x)的最小值為3？若存在，求出a的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解(1)因?yàn)閒(x)xlnx(x0)，f(x)1。所以當(dāng)0x1時(shí)，f(x)0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞減；當(dāng)1x0，此時(shí)f(x)單調(diào)遞增。所以f(x)的極小值為f(1)1，即f(x)在(0，e上的最小值為1，令h(x)g(x)，則h(x)，當(dāng)0x0，h(x)在(0，e上單調(diào)遞增，所以h(x)maxh(e)g(x)恒成立。(2)假設(shè)存在實(shí)數(shù)a，使f(x)axlnx(x(0，e)有最小值3，f(x)a。當(dāng)a0時(shí)，f(x)在(0，

34、e上單調(diào)遞減，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以a0時(shí)，不存在a使f(x)的最小值為3。當(dāng)0時(shí)，f(x)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以f(x)minf1lna3，ae2，滿(mǎn)足條件。當(dāng)e，即0a時(shí)，f(x)在(0，e上單調(diào)遞減，f(x)minf(e)ae13，a(舍去)，所以0a時(shí)，不存在a使f(x)的最小值為3。綜上，存在實(shí)數(shù)ae2，使得當(dāng)x(0，e時(shí)，f(x)有最小值3?？键c(diǎn)二不等式恒成立問(wèn)題【例4】(2019陜西西北九校聯(lián)考)已知函數(shù)f(x)lnxt(x1)，t為實(shí)數(shù)。(1)當(dāng)t1時(shí)，求函數(shù)f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)若當(dāng)t時(shí)，f(x)0，所以f(x)1。由f(x)0可得0x

35、0可得x1，所以函數(shù)f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(0,1)，單調(diào)遞增區(qū)間為(1，)。(2)當(dāng)t時(shí)，f(x)lnx，f(x)lnx，當(dāng)x1時(shí)，f(x)0恒成立，等價(jià)于k1時(shí)，h(x)0，函數(shù)h(x)x1lnx在(1，)上單調(diào)遞增，故h(x)h(1)0，從而當(dāng)x1時(shí)，g(x)g(1)0，即函數(shù)g(x)在(1，)上單調(diào)遞增，故g(x)g(1)，因此當(dāng)x1時(shí)，若使k0，0或a0，2(x1)對(duì)x(1,2)恒成立。解(1)定義域?yàn)?0，)，f(x)。a0時(shí)，f(x)0，f(x)在(0，)上為增函數(shù)；a0時(shí)，由xa時(shí)，f(x)0,0xa時(shí)，f(x)0，所以要證原不等式成立，即證lnx對(duì)x(1,2)恒成立，令g(

36、x)lnx，g(x)0，所以g(x)在(0，)上為增函數(shù)，所以當(dāng)x(1,2)時(shí)，g(x)g(1)ln10，所以lnx對(duì)x(1,2)恒成立，所以(x1)lnx2(x1)對(duì)x(1,2)恒成立。證明：令F(x)(x1)lnx2(x1)，F(xiàn)(x)lnx2，lnx。令(x)lnx，由(1)知a1時(shí)，(x)在(0,1)上為減函數(shù)，在(1，)上為增函數(shù)。因?yàn)閤(1,2)，則(x)在(1,2)為增函數(shù)，(x)(1)0，即x(1,2)，F(xiàn)(x)0，所以F(x)在(1,2)上為增函數(shù)，所以F(x)F(1)0，所以(x1)lnx2(x1)對(duì)x(1,2)恒成立。第4課時(shí)導(dǎo)數(shù)與函數(shù)的零點(diǎn)考點(diǎn)一求函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)【例1】(

37、2019武漢調(diào)研)已知函數(shù)f(x)exax1(aR)(e2.718 28是自然對(duì)數(shù)的底數(shù))。(1)求f(x)的單調(diào)區(qū)間；(2)討論g(x)f(x)在區(qū)間0,1上零點(diǎn)的個(gè)數(shù)。解(1)因?yàn)閒(x)exax1，所以f(x)exa，當(dāng)a0時(shí)，f(x)0恒成立，所以f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間為(，)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)a0時(shí)，令f(x)0，得x0，得xlna，所以f(x)的單調(diào)遞減區(qū)間為(，lna)，單調(diào)遞增區(qū)間為(lna，)。(2)令g(x)0，得f(x)0或x，先考慮f(x)在區(qū)間0,1上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，當(dāng)a1時(shí)，f(x)在(0，)上單調(diào)遞增且f(0)0，所以f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)ae時(shí)，f(x)在(，1)上單調(diào)遞減，且f(0)0，所以f(x)在0,1上有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)1ae時(shí)，f(x)在(0，lna)上單調(diào)遞減，在(lna,1)上單調(diào)遞增，而f(1)ea1，當(dāng)ea10，即1ae1時(shí)，f(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)，當(dāng)ea10，即e1ae1或a2(1)時(shí)，g(x)在0,1上有兩個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)10時(shí)，f(x)，當(dāng)0x時(shí)，f(x)時(shí)，f(x)0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增。綜上，當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(0，)，無(wú)單調(diào)遞減區(qū)間；當(dāng)m0時(shí)，函數(shù)f(x)的單調(diào)遞增區(qū)間是(，)，單調(diào)遞減區(qū)間是(0，)。(2)令F(x)f(x)g(x)x2(m1)xmlnx，x0，問(wèn)