《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第二節(jié) 排列與組合學(xué)案 理（含解析）新人教A版》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí) 第十章 計數(shù)原理、概率、隨機變量及其分布 第二節(jié) 排列與組合學(xué)案 理（含解析）新人教A版（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第二節(jié)排列與組合2019考綱考題考情1排列與組合的概念名稱定義排列從n個不同元素中取出m(mn)個元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同排列的個數(shù)叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)，用A表示。(2)組合數(shù)的定義：從n個不同元素中取出m(mn)個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)，用C表示。(3)全排列：把n個不同元素全部取出來按照一定的順序排列起來，叫做n個不同元素的全排列。用A表示n個不同元素的全排列數(shù)。3排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)An(n1)(n2)(nm1)

2、(2)C性質(zhì)(1)0！1；An!(2)CC；CCmnC1排列與組合最根本的區(qū)別在于“有序”和“無序”。取出元素后交換順序，如果與順序有關(guān)，則是排列；如果與順序無關(guān)，則是組合。2排列、組合問題的求解方法與技巧特殊元素優(yōu)先安排；合理分類與準確分步；排列、組合混合問題要先選后排；相鄰問題捆綁處理；不相鄰問題插空處理；定序問題倍縮法處理；分排問題直排處理；“小集團”排列問題先整體后局部；構(gòu)造模型；正難則反，等價轉(zhuǎn)化。一、走進教材1(選修23P10例4改編)用數(shù)字1,2,3,4,5組成無重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)，其中偶數(shù)的個數(shù)為()A8 B24C48 D120解析末位數(shù)字排法有A種，其他位置排法有A種，共有AA

3、48(種)排法，所以偶數(shù)的個數(shù)為48。故選C。答案C2(選修23P28A組T17改編)從4名男同學(xué)和3名女同學(xué)中選出3名參加某項活動，則男女生都有的選法種數(shù)是()A18 B24C30 D36解析選出的3人中有2名男同學(xué)1名女同學(xué)的方法有CC18種，選出的3人中有1名男同學(xué)2名女同學(xué)的方法有CC12種，故3名學(xué)生中男女生都有的選法有CCCC30種。故選C。解析：從7名同學(xué)中任選3名的方法數(shù)，再除去所選3名同學(xué)全是男生或全是女生的方法數(shù)，即CCC30。故選C。答案C二、走近高考3(2017全國卷)安排3名志愿者完成4項工作，每人至少完成1項，每項工作由1人完成，則不同的安排方式共有()A12種B1

4、8種C24種D36種解析4211，由題意，3名志愿者中，有兩人各完成1項，一人完成2項，先將4項工作分成三堆，共種分組方法，再把這三堆分配給3名志愿者，共A種分配方法，由分步乘法計數(shù)原理，共A36種。故選D。答案D4(2018浙江高考)從1,3,5,7,9中任取2個數(shù)字，從0,2,4,6中任取2個數(shù)字，一共可以組成_個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)。(用數(shù)字作答)解析若取的4個數(shù)字不包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCA；若取的4個數(shù)字包括0，則可以組成的四位數(shù)的個數(shù)為CCCA。綜上，一共可以組成的沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)的個數(shù)為CCACCCA7205401 260。答案1 260三、走出誤區(qū)微提醒：分類

5、不清導(dǎo)致出錯；相鄰元素看成一個整體，不相鄰問題采用插空法是解決相鄰與不相鄰問題的基本方法。5從6臺原裝計算機和5臺組裝計算機中任意選取5臺，其中至少有原裝計算機和組裝計算機各2臺，則不同的取法有_種。解析分兩類：第一類，取2臺原裝計算機與3臺組裝計算機，有CC種方法；第二類，取3臺原裝計算機與2臺組裝計算機，有CC種方法。所以滿足條件的不同取法有CCCC350(種)。答案3506把5件不同產(chǎn)品擺成一排，若產(chǎn)品A與產(chǎn)品B相鄰，且產(chǎn)品A與產(chǎn)品C不相鄰，則不同的擺法有_種。解析設(shè)這5件不同的產(chǎn)品分別為A，B，C，D，E，先把產(chǎn)品A與產(chǎn)品B捆綁有A種擺法，再與產(chǎn)品D，E全排列有A種擺法，最后把產(chǎn)品C插

6、空有C種擺法，所以共有AAC36(種)不同擺法。答案36考點一簡單的排列問題【例1】有3名男生、4名女生，在下列不同條件下，求不同的排列方法總數(shù)。(1)選5人排成一排；(2)排成前后兩排，前排3人，后排4人；(3)全體排成一排，甲不站排頭也不站排尾；(4)全體排成一排，女生必須站在一起；(5)全體排成一排，男生互不相鄰。解(1)從7人中選5人排列，有A765432 520(種)。(2)分兩步完成，先選3人站前排，有A種方法，余下4人站后排，有A種方法，共有AA5 040(種)。(3)(特殊元素優(yōu)先法)先排甲，有5種方法，其余6人有A種排列方法，共有5A3 600(種)。解：(特殊位置優(yōu)先法)首

7、尾位置可安排另6人中的兩人，有A種排法，其他有A種排法，共有AA3 600(種)。(4)(捆綁法)將女生看作一個整體與3名男生一起全排列，有A種方法，再將女生全排列，有A種方法，共有AA576(種)。(5)(插空法)先排女生，有A種方法，再在女生之間及首尾5個空位中任選3個空位安排男生，有A種方法，共有AA1 440(種)。求解排列應(yīng)用問題的5種主要方法直接法把符合條件的排列數(shù)直接列式計算優(yōu)先法優(yōu)先安排特殊元素或特殊位置捆綁法把相鄰元素看作一個整體與其他元素一起排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列插空法對不相鄰問題，先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中間接法正難則反

8、、等價轉(zhuǎn)化的方法【變式訓(xùn)練】(1)某國際會議結(jié)束后，中、美、俄等21國領(lǐng)導(dǎo)人合影留念，他們站成兩排，前排11人，后排10人，中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人也站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，如果對其他國家領(lǐng)導(dǎo)人所站位置不做要求，那么不同的站法共有()AA種BA種CAAA種DAA種(2)甲、乙兩人要在一排8個空座上就坐，若要求甲、乙兩人每人的兩旁都有空座，則不同的坐法有()A10種 B16種 C20種 D24種解析(1)中國領(lǐng)導(dǎo)人站在前排正中間位置，美、俄兩國領(lǐng)導(dǎo)人站前排并與中國領(lǐng)導(dǎo)人相鄰，有A種站法；其他18國領(lǐng)導(dǎo)人可以任意站，因此有A種站法。根據(jù)分步計數(shù)原理，共有AA種站法。故選D。

9、(2)一排共有8個座位，現(xiàn)有兩人就坐，故有6個空座。因為要求每人左右均有空座，所以在6個空座的中間5個空中插入2個座位讓兩人就坐，即有A20種坐法。答案(1)D(2)C考點二組合問題【例2】(1)(2018全國卷)從2位女生，4位男生中選3人參加科技比賽，且至少有1位女生入選，則不同的選法共有_種。(用數(shù)字作答)(2)(2019西安模擬)共享單車是指企業(yè)與政府合作，在公共服務(wù)區(qū)等地方提供自行車單車共享服務(wù)?，F(xiàn)從6輛黃色共享單車和4輛藍色共享單車中任取4輛進行檢查，則至少有兩輛藍色共享單車的取法種數(shù)是_。解析(1)根據(jù)題意，沒有女生入選有C4(種)選法，從6名學(xué)生中任意選3人有C20(種)選法，

10、故至少有1位女生入選，不同的選法共有20416(種)。解析：可分兩種情況：第一種情況，只有1位女生入選，不同的選法有CC12(種)；第二種情況，有2位女生入選，不同的選法有CC4(種)。根據(jù)分類加法計數(shù)原理知，至少有1位女生入選的不同的選法有16種。(2)分三種情況討論：兩輛藍色共享單車，有CC90種，三輛藍色共享單車，有CC24種，四輛藍色共享單車，有C1種。根據(jù)分類加法計數(shù)原理可得，至少有兩輛藍色共享單車的取法種數(shù)是90241115。答案(1)16(2)115“至少”或“最多”含有幾個元素的組合題型：解這類題目必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解。用直接法或間接

11、法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，用間接法求解?！咀兪接?xùn)練】(1)(2019開封高三定位考試)某地實行高考改革，考生除參加語文、數(shù)學(xué)、英語統(tǒng)一考試外，還需從物理、化學(xué)、生物、政治、歷史、地理六科中選考三科。學(xué)生甲要想報考某高校的法學(xué)專業(yè)，就必須要從物理、政治、歷史三科中至少選考一科，則學(xué)生甲的選考方法種數(shù)為()A6 B12 C18 D19(2)現(xiàn)有12張不同的撲克牌，其中紅桃、方片、黑桃、梅花各3張，現(xiàn)從中任取3張，要求這3張牌不能是同一種且黑桃至多一張，則不同的取法種數(shù)為_。解析(1)在物理、政治、歷史中選一科的選法有CC9種；在物理、政治、歷史中選兩科的選法有CC9種；物理、政治、歷史

12、三科都選的選法有1種。所以學(xué)生甲的選考方法共有99119種。故選D。解析：從六科中選考三科的選法有C種，其中包括了沒選物理、政治、歷史中任意一科，這種選法有1種，因此學(xué)生甲的選考方法共有C119種，故選D。(2)分類完成，含有一張黑桃的不同取法有CC108(種)，不含黑桃時，有C3C81(種)不同的取法。故共有10881189種不同的取法。答案(1)D(2)189考點三排列與組合的綜合應(yīng)用微點小專題方向1：排列與組合應(yīng)用題【例3】(1)將標號為1,2,3,4的四個籃球分給三位小朋友，每位小朋友至少分到一個籃球，且標號1,2的兩個籃球不能分給同一個小朋友，則不同的分法種數(shù)為()A15 B20 C

13、30 D42(2)從0,2中選一個數(shù)字，從1,3,5中選兩個數(shù)字，組成無重復(fù)數(shù)字的三位數(shù)，其中奇數(shù)的個數(shù)為()A24 B18 C12 D6解析(1)四個籃球中兩個分到一組有C種分法，三個籃球進行全排列有A種分法，標號1,2的兩個籃球分給同一個小朋友有A種分法，所以有CAA36630種分法。(2)從0,2中選一個數(shù)字0，則0只能排在十位，從1,3,5中選兩個數(shù)字排在個位與百位，共有A6種；從0,2中選一個數(shù)字2，則2排在十位(或百位)，從1,3,5中選兩個數(shù)字排在百位(或十位)、個位，共有AA12種，故共有AAA18種。故選B。答案(1)C(2)B解排列組合問題常以元素(或位置)為主體，即先滿足

14、特殊元素(或位置)，再考慮其他元素(或位置)。對于排列組合的綜合題目，一般是將符合要求的元素取出或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列。方向2：定序問題【例4】某學(xué)校舉行校慶文藝晚會，已知節(jié)目單中共有七個節(jié)目，為了活躍現(xiàn)場氣氛，主辦方特地邀請了三位老校友演唱經(jīng)典歌曲，并要將這三個不同節(jié)目添入節(jié)目單，而不改變原來的節(jié)目順序，則不同的安排方式有_種。解析添入三個節(jié)目后共十個節(jié)目，故該題可轉(zhuǎn)化為安排十個節(jié)目，其中七個節(jié)目順序固定。這七個節(jié)目的不同安排方法共有A種，添加三個節(jié)目后，節(jié)目單中共有十個節(jié)目，先將這十個節(jié)目進行全排列，不同的排列方法有A種，而原先七個節(jié)目的順序一定，故不同的安排方式共有

15、720(種)。解析：將10個節(jié)目看作10個元素排列位置。在10個位置中選7個按一定順序排列，有C種排法，其余3個位置進行全排列，有A種排法，所以共有CA720(種)。答案720定序問題可用直接法，也可用間接法。方向3：分組分配問題【例5】數(shù)學(xué)活動小組由12名同學(xué)組成，現(xiàn)將這12名同學(xué)平均分成四組分別研究四個不同課題，且每組只研究一個課題，并要求每組選出1名組長，則不同的分配方案有()A.A種BCCC34種C.43種DCCC43種解析首先將12名同學(xué)平均分成四組，有種分法，然后將這四組同學(xué)分配到四個不同的課題組，有A種分法，并在各組中選出1名組長，有34種選法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理，滿足條件的不

16、同分配方案有A34CCC34(種)。故選B。解析：根據(jù)題意可知，第一組分3名同學(xué)有C種分法，第二組分3名同學(xué)有C種分法，第三組分3名同學(xué)有C種分法，第四組分3名同學(xué)有C種分法。第一組選1名組長有3種選法，第二組選1名組長有3種選法，第三組選1名組長有3種選法，第四組選1名組長有3種選法。根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，滿足條件的不同分配方案有CCCC34種。故選B。答案B1平均分配給不同小組的分法種數(shù)等于平均分堆的分法種數(shù)乘堆數(shù)的全排列。2對于分堆與分配問題應(yīng)注意三點：(1)處理分配問題要注意先分堆再分配；(2)被分配的元素是不同的；(3)分堆時要注意是否均勻?！绢}點對應(yīng)練】1(方向1)甲、乙、丙、

17、丁四位同學(xué)高考之后計劃去A、B、C三個不同社區(qū)進行幫扶活動，每人只能去一個社區(qū)，每個社區(qū)至少一人。其中甲必須去A社區(qū)，乙不去B社區(qū)，則不同的安排方法種數(shù)為()A8 B7 C6 D5解析根據(jù)題意，分2種情況討論：乙和甲一起去A社區(qū)，此時將丙丁二人安排到B、C社區(qū)即可，有A2種情況，乙不去A社區(qū)，則乙必須去C社區(qū)，若丙丁都去B社區(qū)，有1種情況，若丙丁中有1人去B社區(qū)，則先在丙丁中選出1人，安排到B社區(qū)，剩下1人安排到A或C社區(qū)，有224種情況，則不同的安排方法種數(shù)有2147種。故選B。答案B2(方向2)我國的第一艘航空母艦“遼寧艦”在某次艦載機起降飛行訓(xùn)練中，有5架“殲15”飛機準備著艦，規(guī)定乙機

18、不能最先著艦，且丙機必須在甲機之前著艦(不一定相鄰)，那么不同的著艦方法種數(shù)為()A24 B36C48 D96解析根據(jù)題意，分2種情況討論：丙機最先著艦，此時只需將剩下的4架飛機全排列，有A24種情況，即此時有24種不同的著艦方法：丙機不最先著艦，此時需要在除甲、乙、丙之外的2架飛機中任選1架，作為最先著艦的飛機，將剩下的4架飛機全排列，丙機在甲機之前和丙機在甲機之后的數(shù)目相同，則此時有CA24種情況，即此時有24種不同的著艦方法。則一共有242448種不同的著艦方法。故選C。答案C3(方向3)6位機關(guān)干部被選調(diào)到4個貧困自然村進行精準扶貧，要求每位機關(guān)干部只能參加一個自然村的扶貧工作，且每個

19、自然村至少有1位機關(guān)干部扶貧，則不同的分配方案有_種。解析先將6位機關(guān)干部分成四組，有(1,1,1,3)和(1,1,2,2)兩種情況，所以不同的分配方案共有A65241 560(種)。答案1 560分組分配問題中的易錯點分組問題是同學(xué)們學(xué)習(xí)中的難點問題，在考試中不容易得分，在解題過程中容易掉入陷阱，本文結(jié)合一些典型問題談?wù)勅绾伪苊獾暨M分組問題中的陷阱。解決這類問題的一個基本指導(dǎo)思想是先分組后分配。關(guān)于分組問題，有整體均分、部分均分和不等分組三種，無論分成幾組，應(yīng)注意的是只要有一些組中元素的個數(shù)相等，就存在均分現(xiàn)象。一、整體均分問題【典例1】國家教育部為了發(fā)展貧困地區(qū)教育，在全國重點師范大學(xué)免費

20、培養(yǎng)教育專業(yè)師范生，畢業(yè)后要分到相應(yīng)的地區(qū)任教，現(xiàn)有6個免費培養(yǎng)的教育專業(yè)師范畢業(yè)生，將其平均分到3所學(xué)校去任教，有_種不同的分配方法?！窘馕觥肯劝?個畢業(yè)生平均分成3組，有種方法，再將3組畢業(yè)生分到3所學(xué)校，有A6種方法，故6個畢業(yè)生平均分到3所學(xué)校，共有A90種分配方法?！敬鸢浮?0【易錯提醒】對于整體均分，解題時要注意分組后，不管它們的順序如何，都是一種情況，所以分組后一定要除以A(n為均分的組數(shù))，避免重復(fù)計數(shù)。二、部分均分問題【典例2】將并排的有不同編號的5個房間安排給5個工作人員臨時休息，假定每個人可以選擇任一房間，且選擇各個房間是等可能的，則恰有2個房間無人選擇且這2個房間不相鄰

21、的安排方式的種數(shù)為_?！窘馕觥肯葘?人分成三組(1,1,3或2,2,1兩種形式)，再將這三組人安排到3個房間，然后將2個房間插入前面住了人的3個房間形成的空檔中即可，故安排方式共有AC900種?！敬鸢浮?00【易錯提醒】本題屬于部分均分，解題時注意重復(fù)的次數(shù)是均勻分組的階乘數(shù)，即若有m組元素個數(shù)相等，則分組時應(yīng)除以m！，一個分組過程中有幾個這樣的均勻分組就要除以幾個這樣的全排列數(shù)。三、不等分組問題【典例3】將6本不同的書分給甲、乙、丙3名學(xué)生，其中一人得1本，一人得2本，一人得3本，則有_種不同的分法?！窘馕觥肯劝褧殖扇M，把這三組分給甲、乙、丙3名學(xué)生。先選1本，有C種選法；再從余下的5本

22、中選2本，有C種選法；最后余下3本全選，有C種選法。故共有CCC60種選法。由于甲、乙、丙是不同的3人，還應(yīng)考慮再分配，故共有60A360種分配方法?！敬鸢浮?60【易錯提醒】對于不等分組，只需先分組，后排列，注意分組時，任何組中元素的個數(shù)都不相等，所以不需要除以全排列數(shù)?？傊?，在解答分組問題時，一定要注意均勻分組與不均勻分組的區(qū)別，均勻分組不要重復(fù)計數(shù)。對于平均分組問題更要注意順序，避免計數(shù)的重復(fù)或遺漏，抓住了以上關(guān)鍵點，就能避免掉進陷阱?！咀兪接?xùn)練】某學(xué)校派出5名優(yōu)秀教師去邊遠地區(qū)的三所中學(xué)進行教學(xué)交流，每所中學(xué)至少派1名教師，則有_種不同的分配方法。解析有兩類情況：其中一所學(xué)校3名教師，另兩所學(xué)校各1名教師的分法有CA60種；其中一所學(xué)校1名教師，另兩所學(xué)校各2名教師的分法有A90種。所以共有150種分配方法。答案1509