《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（浙江專版）2019版高考數(shù)學(xué)大一輪復(fù)習(xí) 第七章 數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法 第1節(jié) 數(shù)列的概念及簡單表示法學(xué)案 理（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第1節(jié)數(shù)列的概念及簡單表示法最新考綱1.了解數(shù)列的概念和幾種簡單的表示方法(列表、圖象、通項公式)；2.了解數(shù)列是自變量為正整數(shù)的一類特殊函數(shù)知 識 梳 理1數(shù)列的概念(1)數(shù)列的定義：按照一定順序排列的一列數(shù)稱為數(shù)列，數(shù)列中的每一個數(shù)叫做這個數(shù)列的項(2)數(shù)列與函數(shù)的關(guān)系：從函數(shù)觀點看，數(shù)列可以看成以正整數(shù)集N*(或它的有限子集)為定義域的函數(shù)anf(n)，當(dāng)自變量按照從小到大的順序依次取值時所對應(yīng)的一列函數(shù)值(3)數(shù)列有三種表示法，它們分別是列表法、圖象法和通項公式法2數(shù)列的分類分類原則類型滿足條件按項數(shù)分類有窮數(shù)列項數(shù)有限無窮數(shù)列項數(shù)無限按項與項間的大小關(guān)系分類遞增數(shù)列an1an其中nN

2、*遞減數(shù)列an1an常數(shù)列an1an按其他標準分類有界數(shù)列存在正數(shù)M，使|an|M擺動數(shù)列從第二項起，有些項大于它的前一項，有些項小于它的前一項的數(shù)列3.數(shù)列的通項公式(1)通項公式：如果數(shù)列an的第n項an與序號n之間的關(guān)系可以用一個式子anf(n)來表示，那么這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式(2)遞推公式：如果已知數(shù)列an的第1項(或前幾項)，且從第二項(或某一項)開始的任一項an與它的前一項an1(或前幾項)間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式4已知數(shù)列an的前n項和Sn，則an常用結(jié)論與微點提醒1一些常見數(shù)列的通項公式(1)數(shù)列1，2，3，4，的通項公式為a

3、nn；(2)數(shù)列2，4，6，8，的通項公式為an2n；(3)數(shù)列1，2，4，8，的通項公式為an2n1；(4)數(shù)列1，4，9，16，的通項公式為ann2；(5)數(shù)列1，的通項公式為an.2已知遞推關(guān)系求通項一般有兩種常見思路：(1)算出前幾項，再歸納、猜想；(2)利用累加或累乘法求數(shù)列的通項公式診 斷 自 測1思考辨析(在括號內(nèi)打“”或“”)(1)相同的一組數(shù)按不同順序排列時都表示同一個數(shù)列()(2)一個數(shù)列中的數(shù)是不可以重復(fù)的()(3)所有數(shù)列的第n項都能使用公式表達()(4)根據(jù)數(shù)列的前幾項歸納出的數(shù)列的通項公式可能不止一個()解析(1)數(shù)列：1，2，3和數(shù)列：3，2，1是不同的數(shù)列(2)

4、數(shù)列中的數(shù)是可以重復(fù)的(3)不是所有的數(shù)列都有通項公式答案(1)(2)(3)(4)2設(shè)數(shù)列an的前n項和Snn2，則a8的值為()A15 B16 C49 D64解析當(dāng)n8時，a8S8S7827215.答案A3已知數(shù)列的前4項為2，0，2，0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是()Aan(1)n11 BanCan2sin Dancos(n1)1解析對n1，2，3，4進行驗證，an2sin不合題意，故選C.答案C4已知ann2n，且對于任意的nN*，數(shù)列an是遞增數(shù)列，則實數(shù)的取值范圍是_解析因為an是遞增數(shù)列，所以對任意的nN*，都有an1an，即(n1)2(n1)n2n，整理，得2n10，即(2n

5、1)(*)因為n1，所以(2n1)3，要使不等式(*)恒成立，只需3.答案(3，)5(2018臺州月考)在數(shù)列xn中，x110，xnlog2(xn12)，則數(shù)列xn的第2項是_，所有項和T_解析x110，xnlog2(xn12)，x2log2(x12)log283，x3log2(x22)log210.數(shù)列xn所有項的和為103013.答案3136(必修5P33A5改編)根據(jù)下面的圖形及相應(yīng)的點數(shù)，寫出點數(shù)構(gòu)成的數(shù)列的一個通項公式an_解析a11，a261515(21)，a31115215(31)，a41615315(41)，an15(n1)5n4.答案5n4考點一由數(shù)列的前幾項求數(shù)列的通項【例

6、1】 根據(jù)下面各數(shù)列前幾項的值，寫出數(shù)列的一個通項公式：(1)1，7，13，19，；(2)，；(3)，2，8，；(4)5，55，555，5 555，.解(1)偶數(shù)項為正，奇數(shù)項為負，故通項公式必含有因式(1)n，觀察各項的絕對值，后一項的絕對值總比它前一項的絕對值大6，故數(shù)列的一個通項公式為an(1)n(6n5)(2)這是一個分數(shù)數(shù)列，其分子構(gòu)成偶數(shù)數(shù)列，而分母可分解為13，35，57，79，911，每一項都是兩個相鄰奇數(shù)的乘積，分子依次為2，4，6，相鄰的偶數(shù)，故所求數(shù)列的一個通項公式為an.(3)數(shù)列的各項，有的是分數(shù)，有的是整數(shù)，可將數(shù)列的各項都統(tǒng)一成分數(shù)再觀察即，分子為項數(shù)的平方，從而

7、可得數(shù)列的一個通項公式為an.(4)將原數(shù)列改寫為9，99，999，易知數(shù)列9，99，999，的通項為10n1，故所求的數(shù)列的一個通項公式為an(10n1)規(guī)律方法根據(jù)所給數(shù)列的前幾項求其通項時，需仔細觀察分析，抓住以下幾方面的特征：(1)分式中分子、分母的各自特征；(2)相鄰項的聯(lián)系特征；(3)拆項后的各部分特征；(4)符號特征應(yīng)多進行對比、分析，從整體到局部多角度觀察、歸納、聯(lián)想【訓(xùn)練1】 (1)數(shù)列0，的一個通項公式為()Aan(nN*) Ban(nN*)Can(nN*) Dan(nN*)(2)數(shù)列，的一個通項公式an_解析(1)注意到分子0，2，4，6都是偶數(shù)，對照選項排除即可(2)這

8、個數(shù)列前4項的絕對值都等于序號與序號加1的積的倒數(shù)，且奇數(shù)項為負，偶數(shù)項為正，所以它的一個通項公式為an(1)n.答案(1)C(2)(1)n考點二由Sn與an的關(guān)系求an(易錯警示)【例2】 (1)(2017溫州市十校聯(lián)考)在數(shù)列an中，Sn是其前n項和，且Sn2an1，則數(shù)列的通項公式an_(2)已知數(shù)列an的前n項和Sn3n1，則數(shù)列的通項公式an_解析(1)依題意得Sn12an11，Sn2an1，兩式相減得Sn1Sn2an12an，即an12an，又S12a11a1，因此a11，所以數(shù)列an是以a11為首項、2為公比的等比數(shù)列，an2n1.(2)當(dāng)n1時，a1S1314，當(dāng)n2時，anS

9、nSn13n13n1123n1.顯然當(dāng)n1時，不滿足上式an答案(1)2n1(2)規(guī)律方法數(shù)列的通項an與前n項和Sn的關(guān)系是an當(dāng)n1時，a1若適合SnSn1，則n1的情況可并入n2時的通項an；當(dāng)n1時，a1若不適合SnSn1，則用分段函數(shù)的形式表示易錯警示在利用數(shù)列的前n項和求通項時，往往容易忽略先求出a1，而是直接把數(shù)列的通項公式寫成anSnSn1的形式，但它只適用于n2的情形【訓(xùn)練2】 (1)若數(shù)列an的前n項和Sn3n22n1，則數(shù)列an的通項公式an_(2)若數(shù)列an的前n項和Snan，則an的通項公式an_解析(1)當(dāng)n1時，a1S13122112；當(dāng)n2時，anSnSn13n

10、22n13(n1)22(n1)16n5，顯然當(dāng)n1時，不滿足上式故數(shù)列的通項公式為an(2)由Snan，得當(dāng)n2時，Sn1an1，兩式相減，得ananan1，當(dāng)n2時，an2an1，即2.又n1時，S1a1a1，a11，an(2)n1.答案(1)(2)(2)n1考點三由數(shù)列的遞推關(guān)系求通項公式【例3】 (1)已知數(shù)列an滿足a11，a24，an22an3an1(nN*)，則數(shù)列an的通項公式an_(2)(2018衢州質(zhì)檢)在數(shù)列an中，a11，(n22n)(an1an)1(nN*)，則通項公式an_解析(1)由an22an3an10，得an2an12(an1an)，數(shù)列an1an是以a2a13

11、為首項，2為公比的等比數(shù)列，an1an32n1，n2時，anan132n2，a3a232，a2a13，將以上各式累加得ana132n23233(2n11)，an32n12(當(dāng)n1時，也滿足)(2)由(n22n)(an1an)1得an1an，所以a2a1，a3a2，an1an2，anan1，所以an(anan1)(an1an2)(a3a2)(a2a1)a11.答案(1)32n12(2)規(guī)律方法(1)形如an1anf(n)的遞推關(guān)系式利用累加法求通項公式，特別注意能消去多少項，保留多少項(2)形如an1anf(n)的遞推關(guān)系式可化為f(n)的形式，可用累乘法，也可用ana1代入求出通項(3)形如a

12、n1panq的遞推關(guān)系式可以化為(an1x)p(anx)的形式，構(gòu)成新的等比數(shù)列，求出通項公式，求變量x是關(guān)鍵【訓(xùn)練3】 在數(shù)列an中，(1)若a12，an1ann1，則通項公式an_(2)(一題多解)若a11，anan1(n2)，則通項公式an_(3)若a11，an12an3，則通項公式an_解析(1)由題意得，當(dāng)n2時，ana1(a2a1)(a3a2)(anan1)2(23n)21.又a121，符合上式，因此an1.(2)法一因為anan1(n2)，所以an1an2，a2a1，以上(n1)個式子的等號兩端分別相乘得ana1.法二因為ana11.(3)設(shè)遞推公式an12an3可以轉(zhuǎn)化為an1

13、t2(ant)，即an12ant，解得t3.故an132(an3)令bnan3，則b1a134，且2.所以bn是以4為首項，2為公比的等比數(shù)列bn42n12n1，an2n13.答案(1)1(2)(3)2n13基礎(chǔ)鞏固題組一、選擇題1數(shù)列，的第10項是()A B C D解析所給數(shù)列呈現(xiàn)分數(shù)形式，且正負相間，求通項公式時，我們可以把每一部分進行分解：符號、分母、分子很容易歸納出數(shù)列an的通項公式an(1)n1，故a10.答案C2數(shù)列0，1，0，1，0，1，0，1，的一個通項公式an等于()A. Bcos Ccos Dcos 解析令n1，2，3，逐一驗證四個選項，易得D正確答案D3(一題多解)在數(shù)列

14、an中，已知a11，an12an1，則其通項公式an()A2n1 B2n11C2n1 D2(n1)解析法一由an12an1，可求a23，a37，a415，驗證可知an2n1.法二由題意知an112(an1)，數(shù)列an1是以2為首項，2為公比的等比數(shù)列，an12n，an2n1.答案A4數(shù)列an滿足an1an2n3，若a12，則a8a4()A7 B6 C5 D4解析依題意得(an2an1)(an1an)2(n1)3(2n3)，即an2an2，所以a8a4(a8a6)(a6a4)224.答案D5數(shù)列an的前n項積為n2，那么當(dāng)n2時，an等于()A2n1 Bn2C. D.解析設(shè)數(shù)列an的前n項積為T

15、n，則Tnn2，當(dāng)n2時，an.答案D6(2018寧波鎮(zhèn)海中學(xué)調(diào)研)已知數(shù)列an的首項a1a，其前n項和為Sn，且滿足SnSn14n2(n2，nN*)，若對任意nN*，anan1恒成立，則a的取值范圍是()A(3，5) B(4，6)C3，5) D4，6)解析由SnSn14n2(n2，nN*)，得Sn1Sn4(n1)2.兩式相減得，an1an8n4(n2)，則an2an18n12.兩式相減得，an2an8(n2)又由a1a，a1a2a116得a2162a，又由a1a2a3a1a2432得a342a，所以a2na28(n1)8n82a，a2n1a38(n1)8n42a.因為對任意nN*，anan1

16、恒成立，所以解得3a5.答案A二、填空題7若數(shù)列an滿足關(guān)系an11，a8，則a5_解析借助遞推關(guān)系，則a8遞推依次得到a7，a6，a5.答案8已知數(shù)列an的前n項和為Sn，且an0(nN*)，又anan1Sn，則a3a1_解析因為anan1Sn，所以令n1得a1a2S1a1，由于a10，則a21，令n2，得a2a3S2a1a2，即a31a1，所以a3a11.答案19已知數(shù)列an的前n項和Snn22n1(nN*)，則a1_；an_解析當(dāng)n2時，anSnSn12n1，當(dāng)n1時，a1S14211，因此an答案410(2018紹興一中適應(yīng)性考試)數(shù)列an的前n項和為Snn2n1，bn(1)n(an2

17、)(nN*)，則數(shù)列an的通項公式為_，數(shù)列bn的前50項和為_解析當(dāng)n1時，a1S13；當(dāng)n2時，anSnSn1n2n1(n1)2(n1)12n，當(dāng)n1時不滿足上式，則其通項公式為an當(dāng)n1時，b11；當(dāng)n2時，bn(1)n(an2)(1)n2(n1)，則數(shù)列bn的前50項和為121222324912(12349)122549.答案an49三、解答題11數(shù)列an的通項公式是ann27n6.(1)這個數(shù)列的第4項是多少？(2)150是不是這個數(shù)列的項？若是這個數(shù)列的項，它是第幾項？(3)該數(shù)列從第幾項開始各項都是正數(shù)？解(1)當(dāng)n4時，a4424766.(2)令an150，即n27n6150，

18、解得n16或n9(舍去)，即150是這個數(shù)列的第16項(3)令ann27n60，解得n6或n1(舍)從第7項起各項都是正數(shù)12已知數(shù)列an中，a11，前n項和Snan.(1)求a2，a3；(2)求an的通項公式解(1)由S2a2得3(a1a2)4a2，解得a23a13.由S3a3得3(a1a2a3)5a3，解得a3(a1a2)6.(2)由題設(shè)知a11.當(dāng)n2時，有anSnSn1anan1，整理得anan1.于是a11，a2a1，a3a2，an1an2，anan1.將以上n個等式兩端分別相乘，整理得an.顯然，當(dāng)n1時也滿足上式綜上可知，an的通項公式an.能力提升題組13設(shè)an3n215n18

19、，則數(shù)列an中的最大項的值是()A. B. C4 D0解析an3，由二次函數(shù)性質(zhì)，得當(dāng)n2或3時，an最大，最大為0.答案D14(2018杭州調(diào)考)已知數(shù)列an滿足an2an1an，且a12，a23，則a2 019的值為_解析由題意得，a3a2a11，a4a3a22，a5a4a33，a6a5a41，a7a6a52，數(shù)列an是周期為6的周期數(shù)列，而2 01963363，a2 019a31.答案115(2017金麗衢十二校聯(lián)考)對于各項均為整數(shù)的數(shù)列an，如果aii(i1，2，3，)為完全平方數(shù)，則稱數(shù)列an具有“P性質(zhì)”不論數(shù)列an是否具有“P性質(zhì)”，如果存在與an不是同一數(shù)列的bn，且bn同時

20、滿足下面兩個條件：b1，b2，b3，bn是a1，a2，a3，an的一個排列；數(shù)列bn具有“P性質(zhì)”，則稱數(shù)列an具有“變換P性質(zhì)”下面三個數(shù)列：數(shù)列an的前n項和Sn(n21)；數(shù)列1，2，3，4，5；1，2，3，11.具有“P性質(zhì)”的為_；具有“變換P性質(zhì)”的為_解析對于，當(dāng)n2時，anSnSn1n2n，a10，ann2n，aiii2(i1，2，3，)為完全平方數(shù)，數(shù)列an具有“P性質(zhì)”；對于，數(shù)列1，2，3，4，5，具有“變換P性質(zhì)”，數(shù)列bn為3，2，1，5，4，具有“P性質(zhì)”，數(shù)列an具有“變換P性質(zhì)”；對于，因為11，4都只有與5的和才能構(gòu)成完全平方數(shù)，所以1，2，3，11，不具有“

21、變換P性質(zhì)”答案16(2018臺州測試)已知數(shù)列an中，an1(nN*，aR且a0)(1)若a7，求數(shù)列an中的最大項和最小項的值；(2)若對任意的nN*，都有ana6成立，求a的取值范圍解(1)an1(nN*，aR，且a0)，又a7，an1(nN*)結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知1a1a2a3a4，a5a6a7an1(nN*)數(shù)列an中的最大項為a52，最小項為a40.(2)an11，已知對任意的nN*，都有ana6成立，結(jié)合函數(shù)f(x)1的單調(diào)性，可知56，即10a8.即a的取值范圍是(10，8)17(一題多解)已知數(shù)列an的前n項和Sn2n22n，數(shù)列bn的前n項和Tn2bn.(1)求

22、數(shù)列an與bn的通項公式；(2)設(shè)cnabn，證明：當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1cn.(1)解當(dāng)n1時，a1S14.對于n2，有anSnSn12n(n1)2(n1)n4n.又當(dāng)n1時，a14適合上式，故an的通項公式an4n.將n1代入Tn2bn，得b12b1，故T1b11.(求bn法一)對于n2，由Tn12bn1，Tn2bn，得bnTnTn1(bnbn1)，bnbn1，所以數(shù)列bn是以1為首項，公比為的等比數(shù)列，故bn21n.(求bn法二)對于n2，由Tn2bn，得Tn2(TnTn1)，2Tn2Tn1，Tn2(Tn12)，Tn221n(T12)21n，Tn221n，bnTnTn1(221n)(222n)21n.又n1時，b11適合上式，故bn的通項公式bn21n.(2)證明(法一)由cnabnn225n，得.當(dāng)且僅當(dāng)n3時，1，即cn1cn.(法二)由cnabnn225n，得cn1cn24n(n1)22n224n(n1)22當(dāng)且僅當(dāng)n3時，cn1cn0，即cn1cn.13