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1、山東省齊河縣高考數(shù)學(xué)三輪沖刺 專題 離散型隨機(jī)變量及其分布練習(xí)(含解析)一、選擇題(本大題共12小題,共60分)1. 若,且,則 A. B. 3 C. D. 2(正確答案)A解:隨機(jī)變量,且,且,解得,故選:A根據(jù)隨機(jī)變量符合二項(xiàng)分布和二項(xiàng)分布的期望和方差公式,得到關(guān)于n和p的方程組,整體計(jì)算求解方程組得答案本題考查離散型隨機(jī)變量的期望與方差,考查二項(xiàng)分布的期望公式與方差公式的應(yīng)用,是基礎(chǔ)題2. 某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為p,各成員的支付方式相互獨(dú)立設(shè)X為該群體的10位成員中使用移動(dòng)支付的人數(shù),則 A. B. C. D. (正確答案)B解:某群體中的每位成員使用移動(dòng)支付的概率都為
2、p,看做是獨(dú)立重復(fù)事件,滿足,可得,可得即因?yàn)?,可得,解得或舍去故選:B利用已知條件,轉(zhuǎn)化為二項(xiàng)分布,利用方差轉(zhuǎn)化求解即可本題考查離散型離散型隨機(jī)變量的期望與方差的求法,獨(dú)立重復(fù)事件的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想以及計(jì)算能力3. 設(shè)袋中有兩個(gè)紅球一個(gè)黑球,除顏色不同,其他均相同,現(xiàn)有放回的抽取,每次抽取一個(gè),記下顏色后放回袋中,連續(xù)摸三次,X表示三次中紅球被摸中的次數(shù),每個(gè)小球被抽取的幾率相同,每次抽取相對(duì)立,則方差 A. 2 B. 1 C. D. (正確答案)C解:每一次紅球被摸到的概率由題意可得:,1,2,則故選:C每一次紅球被摸到的概率由題意可得:,1,2,即可得出本小題主要考查二項(xiàng)分布列的性質(zhì)及
3、其數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題4. 袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球每次隨機(jī)抽取1個(gè)球后,若取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中,直到取到紅球?yàn)橹谷舫槿〉拇螖?shù)為,則表示“放回5個(gè)紅球”事件的是 A. B. C. D. (正確答案)C解:由題意知,袋中裝有10個(gè)紅球、5個(gè)黑球,取得黑球則另換1個(gè)紅球放回袋中,所以“放回5個(gè)紅球”表示前五次抽取黑球,第六次抽取紅球,即,故選C根據(jù)題意和無放回抽樣的性質(zhì)求出表示“放回5個(gè)紅球”事件的值本題考查了離散型隨機(jī)變量的取值,以及無放回抽樣的性質(zhì),是基礎(chǔ)題5. 已知隨機(jī)變量,若,則,分別是 A. 6和 B. 4和 C. 4和 D. 6和(正確
4、答案)C解:由題意,知隨機(jī)變量X服從二項(xiàng)分布,則均值,方差,又,故選:C先由,得均值,方差,然后由得,再根據(jù)公式求解即可解題關(guān)鍵是若兩個(gè)隨機(jī)變量Y,X滿足一次關(guān)系式b為常數(shù),當(dāng)已知、時(shí),則有,6. 已知5件產(chǎn)品中有2件次品,現(xiàn)逐一檢測(cè),直至能確定所有次品為止,記檢測(cè)的次數(shù)為,則 A. 3 B. C. D. 4(正確答案)B解:由題意知的可能取值為2,3,4,故選:B由題意知的可能取值為2,3,4,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出本題離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用7. 在“石頭、剪刀、布”的游戲中,規(guī)定:“石頭贏剪刀”、“
5、剪刀贏布”、“布贏石頭”現(xiàn)有甲、乙兩人玩這個(gè)游戲,共玩3局,每一局中每人等可能地獨(dú)立選擇一種手勢(shì)設(shè)甲贏乙的局?jǐn)?shù)為,則隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望是 A. B. C. D. 1(正確答案)D解:由題意可得隨機(jī)變量的可能取值為:0、1、2、3,每一局中甲勝的概率為,平的概率為,輸?shù)母怕蕿椋?,故,故E 故選D的可能取值為:0、1、2、3,每一局中甲勝的概率為,進(jìn)而可得,由二項(xiàng)分布的期望的求解可得答案本題考查離散型隨機(jī)變量的期望的求解,得出是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題8. 設(shè),隨機(jī)變量的分布列是012P則當(dāng)p在內(nèi)增大時(shí), A. 減小 B. 增大C. 先減小后增大 D. 先增大后減小(正確答案)D解:設(shè),隨機(jī)變量
6、的分布列是;方差是,時(shí),單調(diào)遞增;時(shí),單調(diào)遞減;先增大后減小故選:D求出隨機(jī)變量的分布列與方差,再討論的單調(diào)情況本題考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望與方差的計(jì)算問題,也考查了運(yùn)算求解能力,是基礎(chǔ)題9. 一個(gè)籃球運(yùn)動(dòng)員投籃一次得3分的概率為a,得2分的概率為b,不得分的概率為b,已知他投籃一次得分的數(shù)學(xué)期望為2,則的最小值為 A. B. C. D. 4(正確答案)C解:由題意可得:,即,b,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號(hào)故選:C由題意可得:,即,b,再利用“乘1法”與基本不等式的性質(zhì)即可得出本題考查了數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式、“乘1法”與基本不等式的性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題10. 口袋中有5個(gè)形狀和大
7、小完全相同的小球,編號(hào)分別為0,1,2,3,4,從中任取3個(gè)球,以表示取出球的最小號(hào)碼,則 A. B. C. D. (正確答案)B解:由題意可得,1,2則,可得分布列為: 0 1 2 P 故選:B由題意可得,1,可得,即可得出本題考查了隨機(jī)變量分布列及其數(shù)學(xué)期望計(jì)算公式,考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題11. 設(shè)離散型隨機(jī)變量X的分布列為X123P則的充要條件是 A. B. C. D. (正確答案)C解:由離散型隨機(jī)變量X的分布列知:當(dāng)時(shí),解得,當(dāng)時(shí),的充要條件是故選:C當(dāng)時(shí),由離散型隨機(jī)變量X的分布列的性質(zhì)列出方程組得,當(dāng)時(shí),能求出從而得到的充要條件是本題考查離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望為2
8、的充要條件的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意離散型隨機(jī)變量的性質(zhì)的合理運(yùn)用12. 隨機(jī)變量X的分布列如表所示,若,則 X01PabA. 9 B. 7 C. 5 D. 3(正確答案)C解:,由隨機(jī)變量X的分布列得:,解得,故選:C由,利用隨機(jī)變量X的分布列列出方程組,求出,由此能求出,再由,能求出結(jié)果本題考查方差的求法,考查離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望、方差等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力,考查函數(shù)與方程思想,是基礎(chǔ)題二、填空題(本大題共4小題,共20分)13. 一批產(chǎn)品的二等品率為,從這批產(chǎn)品中每次隨機(jī)取一件,有放回地抽取100次,X表示抽到的二等品件數(shù),則 _ (正確答案)解:由題意可
9、知,該事件滿足獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn),是一個(gè)二項(xiàng)分布模型,其中,則故答案為:判斷概率滿足的類型,然后求解方差即可本題考查離散性隨機(jī)變量的期望與方差的求法,判斷概率類型滿足二項(xiàng)分布是解題的關(guān)鍵14. 隨機(jī)變量的取值為0,1,2,若,則 _ (正確答案)解析:設(shè),則由已知得,解得,所以故答案為: 結(jié)合方差的計(jì)算公式可知,應(yīng)先求出,根據(jù)已知條件結(jié)合分布列的性質(zhì)和期望的計(jì)算公式不難求得本題綜合考查了分布列的性質(zhì)以及期望、方差的計(jì)算公式15. 射擊比賽每人射2次,約定全部不中得0分,只中一彈得10分,中兩彈得15分,某人每次射擊的命中率均為,則他得分的數(shù)學(xué)期望是_分(正確答案)解:射擊的命中的得分為X,X的取值可
10、能為0,10,15,故答案為:射擊的命中得分為X,X的取值可能為0,10,15,然后分別求出相應(yīng)的概率,根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式解之即可本題主要考查了二項(xiàng)分布與n次獨(dú)立重復(fù)試驗(yàn)的模型,同時(shí)考查了離散型隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望,屬于中檔題16. 隨機(jī)變量的分布列為: 0123Px隨機(jī)變量的方差 _ (正確答案)1解:由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得:,解得,故答案為:1由隨機(jī)變量的分布列的性質(zhì)得求出,從而得,由此能求出本題考查方差的求法,是基礎(chǔ)題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意方差性質(zhì)的合理運(yùn)用三、解答題(本大題共3小題,共40分)17. 某公司計(jì)劃購買2臺(tái)機(jī)器,該種機(jī)器使用三年后即被淘汰機(jī)器有一易損零件,在購進(jìn)機(jī)器時(shí),可
11、以額外購買這種零件作為備件,每個(gè)200元在機(jī)器使用期間,如果備件不足再購買,則每個(gè)500元現(xiàn)需決策在購買機(jī)器時(shí)應(yīng)同時(shí)購買幾個(gè)易損零件,為此搜集并整理了100臺(tái)這種機(jī)器在三年使用期內(nèi)更換的易損零件數(shù),得下面柱狀圖:以這100臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)的頻率代替1臺(tái)機(jī)器更換的易損零件數(shù)發(fā)生的概率,記X表示2臺(tái)機(jī)器三年內(nèi)共需更換的易損零件數(shù),n表示購買2臺(tái)機(jī)器的同時(shí)購買的易損零件數(shù)求X的分布列;若要求,確定n的最小值;以購買易損零件所需費(fèi)用的期望值為決策依據(jù),在與之中選其一,應(yīng)選用哪個(gè)?(正確答案)解:由已知得X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,的分布列為: X 16 17 18 1
12、9 20 21 22 P 由知:中,n的最小值為19由得:買19個(gè)所需費(fèi)用期望:,買20個(gè)所需費(fèi)用期望:,買19個(gè)更合適由已知得X的可能取值為16,17,18,19,20,21,22,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列由X的分布列求出,由此能確定滿足中n的最小值由X的分布列得求出買19個(gè)所需費(fèi)用期望和買20個(gè)所需費(fèi)用期望,由此能求出買19個(gè)更合適本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望的求法及應(yīng)用,是中檔題,解題時(shí)要認(rèn)真審題,注意相互獨(dú)立事件概率乘法公式的合理運(yùn)用18. 某超市計(jì)劃按月訂購一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶4元,售價(jià)每瓶6元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天
13、全部處理完根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫單位:有關(guān)如果最高氣溫不低于25,需求量為500瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為300瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率求六月份這種酸奶一天的需求量單位:瓶的分布列;設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為單位:元,當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量單位:瓶為多少時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值?(正確答案)解:由題意知X的可能取值為200,300,500,的分布列為: X 200 30
14、0 500 P 由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為200瓶,只需考慮,當(dāng)時(shí),若最高氣溫不低于25,則;若最高氣溫位于區(qū)間,則;若最高氣溫低于20,則,當(dāng)時(shí),若最高氣溫不低于20,則,若最高氣溫低于20,則,時(shí),Y的數(shù)學(xué)期望達(dá)到最大值,最大值為520元本題考查離散型隨機(jī)變量的分布列的求法,考查數(shù)學(xué)期望的最大值的求法,考查函數(shù)、離散型隨機(jī)變量分布列、數(shù)學(xué)期望等基礎(chǔ)知識(shí),考查推理論證能力、運(yùn)算求解能力,考查分類與整合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,是中檔題由題意知X的可能取值為200,300,500,分別求出相應(yīng)的概率,由此能求出X的分布列由題意知這種酸奶一天的需求量至多為500瓶,至少為20
15、0瓶,只需考慮,根據(jù)和分類討論經(jīng),能得到當(dāng)時(shí),EY最大值為520元19. 某企業(yè)有甲、乙兩個(gè)研發(fā)小組,他們研發(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和現(xiàn)安排甲組研發(fā)新產(chǎn)品A,乙組研發(fā)新產(chǎn)品B,設(shè)甲、乙兩組的研發(fā)相互獨(dú)立求至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率;若新產(chǎn)品A研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)120萬元;若新產(chǎn)品B研發(fā)成功,預(yù)計(jì)企業(yè)可獲利潤(rùn)100萬元,求該企業(yè)可獲利潤(rùn)的分布列和數(shù)學(xué)期望(正確答案)解:設(shè)至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的事件為事件A且事件B為事件A的對(duì)立事件,則事件B為一種新產(chǎn)品都沒有成功,因?yàn)榧滓已邪l(fā)新產(chǎn)品成功的概率分別為和則,再根據(jù)對(duì)立事件的概率之間的公式可得,故至少有一種新產(chǎn)品研發(fā)成功的概率為由題可得設(shè)企業(yè)可獲得利潤(rùn)為X,則X的取值有0,120,100,220,由獨(dú)立試驗(yàn)的概率計(jì)算公式可得,所以X的分布列如下: X0120100220 則數(shù)學(xué)期望利用對(duì)立事件的概率公式,計(jì)算即可,求出企業(yè)利潤(rùn)的分布列,再根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式計(jì)算即可本題主要考查了對(duì)立事件的概率,分布列和數(shù)學(xué)期望,培養(yǎng)學(xué)生的計(jì)算能力,也是近幾年高考題目的??嫉念}型