《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2（17頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、（贛豫陜）2022-2023學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第一章 立體幾何初步 6.1 垂直關(guān)系的判定學(xué)案 北師大版必修2 學(xué)習(xí)目標(biāo)　1.掌握直線與平面垂直的定義、判定定理.2.掌握平面與平面垂直的概念、判定定理.3.會(huì)應(yīng)用兩定義及兩定理證明有關(guān)的垂直問(wèn)題． 知識(shí)點(diǎn)一　直線與平面垂直的定義 思考　 在陽(yáng)光下觀察直立于地面的旗桿及它在地面上的影子，隨著時(shí)間的變化，影子的位置在移動(dòng)，在各個(gè)時(shí)刻旗桿所在的直線與其影子所在的直線夾角是否發(fā)生變化，為多少？ 答案　不變，90°. 梳理　線面垂直的概念 定義 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線都垂直，那么稱這條直線和這個(gè)平面垂直 記法 l⊥α

2、有關(guān)概念 直線l叫作平面α的垂線，平面α叫作直線l的垂面，它們唯一的公共點(diǎn)P叫作垂足 圖示 畫法 畫直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫成與表示平面的平行四邊形的橫邊垂直 知識(shí)點(diǎn)二　直線和平面垂直的判定定理 將一塊三角形紙片ABC沿折痕AD折起，將翻折后的紙片豎起放置在桌面上(BD，DC與桌面接觸)．觀察折痕AD與桌面的位置關(guān)系． 思考1　折痕AD與桌面一定垂直嗎？ 答案　不一定． 思考2　當(dāng)折痕AD滿足什么條件時(shí)，AD與桌面垂直？ 答案　當(dāng)AD⊥BD且AD⊥CD時(shí)，折痕AD與桌面垂直． 梳理　判定定理 文字語(yǔ)言 如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直

3、，那么該直線與此平面垂直 符號(hào)語(yǔ)言 l⊥a，l⊥b，aα，bα，a∩b＝A?l⊥α 圖形語(yǔ)言 知識(shí)點(diǎn)三　二面角 思考1　觀察教室內(nèi)門與墻面，當(dāng)門繞著門軸旋轉(zhuǎn)時(shí)，門所在的平面與墻面所形成的角的大小和形狀．?dāng)?shù)學(xué)上，用哪個(gè)概念來(lái)描述門所在的平面與墻面所在的平面所形成的角？ 答案　二面角． 思考2　平時(shí)，我們常說(shuō)“把門開(kāi)大一點(diǎn)”，在這里指的是哪個(gè)角大一點(diǎn)？ 答案　二面角的平面角． 梳理　(1)定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形． (2)相關(guān)概念：①這條直線叫作二面角的棱．②兩個(gè)半平面叫作二面角的面． (3)二面角的記法 以直線AB為棱，半平面α，β為面

4、的二面角，記作二面角面α－AB－β. (4)二面角的平面角：若有①O∈l；②OAα，OBβ；③OA⊥l，OB⊥l，則二面角α－l－β的平面角是∠AOB. 知識(shí)點(diǎn)四　平面與平面垂直 思考　建筑工人常在一根細(xì)線上拴一個(gè)重物，做成“鉛錘”，用這種方法來(lái)檢查墻與地面是否垂直．當(dāng)掛鉛錘的線從上面某一點(diǎn)垂下時(shí)，如果墻壁貼近鉛錘線，則說(shuō)明墻和地面什么關(guān)系？此時(shí)鉛錘線與地面什么關(guān)系？ 答案　都是垂直． 梳理　(1)平面與平面垂直的概念 ①定義：如果兩個(gè)平面相交，且它們所成的二面角是直二面角，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直． ②畫法： ③記法：α⊥β. (2)判定定理 文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平

5、面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 l⊥α，lβ?α⊥β 1．若直線l⊥平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可能平行．(　×　) 2．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α.(　×　) 3．若l⊥α，則過(guò)l有無(wú)數(shù)個(gè)平面與α垂直．(　√　) 4．兩垂直平面的二面角的平面角大小為90°.(　√　) 類型一　線面垂直的定義及判定定理的理解 例1　下列命題中，正確的序號(hào)是________． ①若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α； ②若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α； ③若直線l不垂直于

6、平面α，則α內(nèi)沒(méi)有與l垂直的直線； ④若直線l不垂直于平面α，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直； ⑤過(guò)一點(diǎn)和已知平面垂直的直線有且只有一條． 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案?、堍? 解析　當(dāng)直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直時(shí)，l與α不一定垂直，所以①不正確；當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以②不正確；當(dāng)l與α不垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條平行直線垂直，所以③不正確，④正確；過(guò)一點(diǎn)有且只有一條直線垂直于已知平面，所以⑤正確． 反思與感悟　(1)對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不

7、是一回事，后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線與平面斜交． (2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線． 跟蹤訓(xùn)練1　(1)若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于(　　) A．平面OAB B．平面OAC C．平面OBC D．平面ABC (2)如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正五邊形的兩邊．能保證該直線與平面垂直的是________．(填序號(hào)) 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案　(1)C　(2)①③④ 解析　(1)∵OA⊥OB，OA⊥OC，OB∩OC＝O，OB，OC?平面OBC， ∴

8、OA⊥平面OBC. (2)根據(jù)直線與平面垂直的判定定理，平面內(nèi)這兩條直線必須是相交的，①③④中給定的兩直線一定相交，能保證直線與平面垂直，而②梯形的兩邊可能是上、下底邊，它們互相平行，不滿足定理?xiàng)l件． 類型二　線面垂直的判定 例2　如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，求證：BC⊥平面PAC. 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　直線與平面垂直的證明 證明　∵PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. 又∵AB是⊙O的直徑，∴BC⊥AC. 而PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 引申探究　若本例中其

9、他條件不變，作AE⊥PC交PC于點(diǎn)E，求證：AE⊥平面PBC. 證明　由例2知BC⊥平面PAC， 又∵AE平面PAC，∴BC⊥AE. ∵PC⊥AE，且PC∩BC＝C，PC，BC平面PBC， ∴AE⊥平面PBC. 反思與感悟　(1)使用直線與平面垂直的判定定理的關(guān)鍵是在平面內(nèi)找到兩條相交直線都與已知直線垂直，即把線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直來(lái)解決． (2)證明線面垂直的方法 ①線面垂直的定義． ②線面垂直的判定定理． ③如果兩條平行直線的一條直線垂直于一個(gè)平面，那么另一條直線也垂直于這個(gè)平面． ④如果一條直線垂直于兩個(gè)平行平面中的一個(gè)平面，那么它也垂直于另一個(gè)平面． 跟蹤

10、訓(xùn)練2　如圖，已知PA垂直于⊙O所在的平面，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上任意一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作AE⊥PC于點(diǎn)E，作AF⊥PB于點(diǎn)F，求證：PB⊥平面AEF. 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　直線與平面垂直的證明 證明　由引申探究知AE⊥平面PBC. ∵PB平面PBC， ∴AE⊥PB，又AF⊥PB， 且AE∩AF＝A，AE，AF平面AEF， ∴PB⊥平面AEF. 類型三　面面垂直的判定 例3　如圖所示，在四棱錐S－ABCD中，底面四邊形ABCD是平行四邊形，SC⊥平面ABCD，E為SA的中點(diǎn)． 求證：平面EBD⊥平面ABCD. 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　

11、利用判定定理證明兩平面垂直 證明　連接AC，與BD交于O點(diǎn)，連接OE. ∵O為AC的中點(diǎn)，E為SA的中點(diǎn)， ∴EO∥SC.∵SC⊥平面ABCD， ∴EO⊥平面ABCD. 又∵EO平面EBD，∴平面EBD⊥平面ABCD. 反思與感悟　(1)由面面垂直的判定定理知，要證兩個(gè)平面互相垂直，關(guān)鍵是證明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線． (2)證明面面垂直的常用方法：①面面垂直的判定定理；②所成二面角是直二面角． 跟蹤訓(xùn)練3　如圖，三棱柱ABC－A1B1C1中，側(cè)棱垂直于底面，∠ACB＝90°，AC＝AA1，D是棱AA1的中點(diǎn)．證明：平面BDC1⊥平面BDC. 考點(diǎn)　平面

12、與平面垂直的判定 題點(diǎn)　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　由題設(shè)知BC⊥CC1， BC⊥AC，CC1∩AC＝C，CC1，AC平面ACC1A1， 所以BC⊥平面ACC1A1. 又DC1平面ACC1A1，所以DC1⊥BC. 由題設(shè)知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°， 即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，DC，BC平面BDC， 所以DC1⊥平面BDC. 又DC1平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC. 類型四　與二面角有關(guān)的計(jì)算 例4　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值． 考點(diǎn)　二面

13、角 題點(diǎn)　看圖索角 解　取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O，BO. 由題意知B1O⊥A1C1， 又BA1＝BC1，O為A1C1的中點(diǎn)， 所以BO⊥A1C1， 所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角． 因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1平面A1B1C1D1， 所以BB1⊥OB1. 設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則OB1＝a， 在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝， 所以二面角B－A1C1－B1的正切值為. 反思與感悟　(1)求二面角的大小關(guān)鍵是要找出或作出平面角．再把平面角放在三角形中，利用解三角形得到平面角的大小或三角函數(shù)值，其步驟為作角→證明→計(jì)算．

14、 (2)為了能在適當(dāng)位置作出平面角要注意觀察二面角兩個(gè)面的圖形特點(diǎn)，如是否為等腰三角形等． 跟蹤訓(xùn)練4　如圖，AB是⊙O的直徑，PA垂直于⊙O所在的平面，C是圓周上的一點(diǎn)，且PA＝AC，求二面角P－BC－A的大小． 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　看圖索角 解　由已知PA⊥平面ABC，BC平面ABC， ∴PA⊥BC. ∵AB是⊙O的直徑，且點(diǎn)C在圓周上， ∴AC⊥BC. 又∵PA∩AC＝A，PA，AC平面PAC， ∴BC⊥平面PAC. 又PC平面PAC， ∴PC⊥BC. 又∵BC是二面角P－BC－A的棱， ∴∠PCA是二面角P－BC－A的平面角． 由PA＝AC知，△P

15、AC是等腰直角三角形， ∴∠PCA＝45°，即二面角P－BC－A的大小是45°. 1．已知直線m，n是異面直線，則過(guò)直線n且與直線m垂直的平面(　　) A．有且只有一個(gè) B．至多一個(gè) C．有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案　B 解析　若異面直線m，n垂直，則符合要求的平面有一個(gè)，否則不存在． 2．已知m和n是兩條不同的直線，α和β是兩個(gè)不重合的平面，那么下面給出的條件中，一定能推出m⊥β的是(　　) A．α∥β，且mα B．m∥n，且n⊥β C．m⊥n，且nβ D．m⊥n，且n∥β 考點(diǎn)　直線與

16、平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案　B 解析　A中，由α∥β，且mα，知m∥β；B中，由n⊥β，知n垂直于平面β內(nèi)的任意直線，再由m∥n，知m也垂直于β內(nèi)的任意直線，所以m⊥β，符合題意；C，D中，mβ或m∥β或m與β相交，不符合題意，故選B. 3．如圖，α∩β＝l，點(diǎn)A，C∈α，點(diǎn)B∈β，且BA⊥α，BC⊥β，那么直線l與直線AC的關(guān)系是(　　) A．異面 B．平行 C．垂直 D．不確定 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案　C 解析　∵BA⊥α，α∩β＝l，lα，∴BA⊥l.同理BC⊥l，又BA∩BC＝B，∴l(xiāng)⊥平

17、面ABC. ∵AC平面ABC，∴l(xiāng)⊥AC. 4．三棱錐P－ABC中，PA＝PB＝PC＝，AB＝10，BC＝8，CA＝6，則二面角P－AC－B的大小為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　看圖索角 答案　60° 解析　由題意易得點(diǎn)P在平面ABC上的射影O是AB的中點(diǎn)．取AC的中點(diǎn)Q，連接OQ，則OQ∥BC. 由題意可得△ABC是直角三角形，且∠ACB＝90°， ∴∠AQO＝90°，即OQ⊥AC. 又∵PA＝PC，∴PQ⊥AC， ∴∠PQO即是二面角P－AC－B的平面角． ∵PA＝，AQ＝AC＝3，∴PQ＝8. 又∵OQ＝BC＝4，∴cos∠PQO＝＝， ∴∠PQ

18、O＝60°，即二面角P－AC－B的大小為60°. 5.如圖，在四面體ABCD中，CB＝CD，AD⊥BD，且E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)． 求證：平面EFC⊥平面BCD. 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　∵E，F(xiàn)分別是AB，BD的中點(diǎn)， ∴EF∥AD， 又∵AD⊥BD，∴EF⊥BD. ∵CB＝CD，F(xiàn)是BD的中點(diǎn)， ∴CF⊥BD. 又EF∩CF＝F，EF，CF平面EFC， ∴BD⊥平面EFC. 又∵BD平面BCD， ∴平面EFC⊥平面BCD. 1.直線和平面垂直的判定方法： (1)利用線面垂直的定義； (

19、2)利用線面垂直的判定定理； (3)利用下面兩個(gè)結(jié)論：①若a∥b，a⊥α，則b⊥α； ②若α∥β，a⊥α，則a⊥β. 2．證明兩個(gè)平面垂直的主要途徑： (1)利用面面垂直的定義； (2)面面垂直的判定定理，即如果一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直． 3．證明兩個(gè)平面垂直，通常是通過(guò)證明線線垂直→線面垂直→面面垂直來(lái)實(shí)現(xiàn)的，因此，在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一垂直的判定都是從某一垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的． 一、選擇題 1．已知l⊥α，則過(guò)l與α垂直的平面(　　) A．有1個(gè) B．有2個(gè)

20、C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定兩平面垂直 答案　C 解析　過(guò)直線l的平面都與α垂直． 2．過(guò)兩點(diǎn)與一個(gè)已知平面垂直的平面(　　) A．有且只有一個(gè) B．有無(wú)數(shù)個(gè) C．有且只有一個(gè)或無(wú)數(shù)個(gè) D．可能不存在 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定兩平面垂直 答案　C 解析　若過(guò)兩點(diǎn)的直線與已知平面垂直時(shí)，此時(shí)過(guò)這兩點(diǎn)有無(wú)數(shù)個(gè)平面與已知平面垂直，若過(guò)兩點(diǎn)的直線與已知平面不垂直時(shí)，則有且只有一個(gè)過(guò)這兩點(diǎn)的平面與已知平面垂直． 3．下列說(shuō)法中，正確的有(　　) ①如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線和這個(gè)平面垂直； ②

21、過(guò)直線l外一點(diǎn)P，有且僅有一個(gè)平面與l垂直； ③如果三條共點(diǎn)直線兩兩垂直，那么其中一條直線垂直于另兩條直線確定的平面； ④垂直于角的兩邊的直線必垂直角所在的平面； ⑤過(guò)點(diǎn)A垂直于直線a的所有直線都在過(guò)點(diǎn)A垂直于a的平面內(nèi)． A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè) 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案　B 解析　①④不正確，其他三項(xiàng)均正確． 4．從空間一點(diǎn)P向二面角α－l－β的兩個(gè)面α，β分別作垂線PE，PF，E，F(xiàn)為垂足，若∠EPF＝60°，則二面角α－l－β的平面角的大小是(　　) A．60° B．120° C．60°或120°

22、D．不確定 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　求二面角的大小 答案　C 解析　若點(diǎn)P在二面角內(nèi)，則二面角的平面角為120°；若點(diǎn)P在二面角外，則二面角的平面角為60°. 5．三棱錐P－ABC的三條側(cè)棱PA，PB，PC兩兩垂直，O是頂點(diǎn)P在底面ABC上的射影，則(　　) A．S△ABC＝S△PBC＋S△OBC B．S＝S△OBC·S△ABC C．2S△PBC＝S△OBC＋S△ABC D．2S△OBC＝S△PBC＋S△ABC 答案　B 解析　如圖，由題設(shè)，知O是垂心，且有AP⊥PD，所以PD2＝OD·AD，即S＝S△OBC·S△ABC. 6．如圖，O為正方體ABCD－A1B1C1D1

23、的底面ABCD的中心，則下列直線中與B1O垂直的是(　　) A．A1D B．AA1 C．A1D1 D．A1C1 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定直線與平面垂直 答案　D 解析　由題易知，A1C1⊥平面BB1D1D，又OB1平面BB1D1D， ∴A1C1⊥B1O. 7．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，截面A1BD與底面ABCD所成二面角A1－BD－A的正切值為(　　) A. B. C. D. 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　求二面角的大小 答案　C 解析　如圖，連接AC，交BD于點(diǎn)O，連接A1O，則O為BD中點(diǎn)． 因?yàn)锳1D＝A1B，所以A1O

24、⊥BD. 又因?yàn)樵谡叫蜛BCD中， AC⊥BD， 所以∠A1OA為二面角A1－BD－A的平面角． 設(shè)AA1＝1，則AO＝. 所以tan∠A1OA＝＝. 二、填空題 8．在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝________. 考點(diǎn)　線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 答案　13 解析　如圖，在Rt△ABC中， CD＝AB. 因?yàn)锳C＝6，BC＝8， 所以AB＝＝10， 所以CD＝5. 因?yàn)镋C⊥平面ABC，CD平面ABC， 所以EC⊥CD. 所以ED＝＝＝13.

25、 9．在△ABC中，AB＝AC＝5，BC＝6，PA⊥平面ABC，PA＝8，則P到BC的距離是________． 考點(diǎn)　線、面平行、垂直的綜合應(yīng)用 題點(diǎn)　平行與垂直的計(jì)算與探索性問(wèn)題 答案　4 解析　如圖所示，作PD⊥BC于點(diǎn)D，連接AD. ∵PA⊥平面ABC， ∴PA⊥BC. 又PD∩PA＝P， ∴CB⊥平面PAD， ∴AD⊥BC. 在△ACD中，AC＝5，CD＝3，∴AD＝4.在Rt△PAD中，PA＝8，AD＝4，∴PD＝＝4. 10．已知α，β是兩個(gè)不同的平面，m，n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個(gè)論斷： ①m⊥n；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α. 以其

26、中三個(gè)論斷作為條件，余下一個(gè)論斷作為結(jié)論，寫出你認(rèn)為正確的一個(gè)命題：________.(用序號(hào)表示) 考點(diǎn)　 題點(diǎn)　 答案　①③④?②(或②③④?①) 解析　當(dāng)m⊥α，m⊥n時(shí)，有n∥α或nα.∴當(dāng)n⊥β時(shí)，α⊥β，即①③④?②或當(dāng)α⊥β，m⊥α?xí)r，有m∥β或mβ，∴當(dāng)n⊥β時(shí)，m⊥n，即②③④?①. 11．已知三棱錐D－ABC的三個(gè)側(cè)面與底面全等，且AB＝AC＝，BC＝2，則二面角D－BC－A的大小為_(kāi)_______． 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　求二面角的大小 答案　90° 解析　如圖，由題意知AB＝AC＝BD＝CD＝，BC＝AD＝2. 取BC的中點(diǎn)E，連接DE

27、，AE， 則AE⊥BC，DE⊥BC， 所以∠DEA為所求二面角的平面角． 易得AE＝DE＝， 又AD＝2， 所以∠DEA＝90°. 三、解答題 12．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，AP＝AB＝2，BC＝2，E，F(xiàn)分別是AD，PC的中點(diǎn)．證明：PC⊥平面BEF. 考點(diǎn)　直線與平面垂直的判定 題點(diǎn)　直線與平面垂直的證明 證明　如圖，連接PE，EC， 在Rt△PAE和Rt△CDE中，PA＝AB＝CD，AE＝DE， ∴PE＝CE， 即△PEC是等腰三角形． 又F是PC的中點(diǎn)， ∴EF⊥PC. 又BP＝＝2＝BC，F(xiàn)是PC的

28、中點(diǎn)， ∴BF⊥PC. 又BF∩EF＝F，BF，EF平面BEF， ∴PC⊥平面BEF. 13．如圖所示，在正三棱柱ABC－A1B1C1中，E為BB1的中點(diǎn)，求證：截面A1CE⊥側(cè)面ACC1A1. 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　利用判定定理證明兩平面垂直 證明　如圖所示，取A1C的中點(diǎn)F，AC的中點(diǎn)G，連接FG，EF，BG，則FG∥AA1，且GF＝AA1. 因?yàn)锽E＝EB1，A1B1＝CB，∠A1B1E＝∠CBE＝90°，所以△A1B1E≌△CBE， 所以A1E＝CE. 因?yàn)镕為A1C的中點(diǎn)，所以EF⊥A1C. 又FG∥AA1∥BE，GF＝AA1＝BE，且BE

29、⊥BG， 所以四邊形BEFG是矩形，所以EF⊥FG. 因?yàn)锳1C∩FG＝F，A1C，F(xiàn)G平面ACC1A1， 所以EF⊥側(cè)面ACC1A1. 又因?yàn)镋F平面A1CE，所以截面A1CE⊥側(cè)面ACC1A1. 四、探究與拓展 14．在正四面體P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點(diǎn)，下面四個(gè)結(jié)論中不成立的是(　　) A．BC∥平面PDF B．DF⊥平面PAE C．平面PDF⊥平面ABC D．平面PAE⊥平面ABC 考點(diǎn)　平面與平面垂直的判定 題點(diǎn)　判定兩平面垂直 答案　C 解析　如圖所示，∵BC∥DF， ∴BC∥平面PDF，∴A正確． 由BC⊥PE

30、，BC⊥AE，PE∩AE＝E，得BC⊥平面PAE， ∴DF⊥平面PAE，∴B正確． ∴平面ABC⊥平面PAE(BC⊥平面PAE)， ∴D正確． 15.如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AD＝AA1＝1，AB＝2，點(diǎn)E在棱AB上移動(dòng)． (1)證明：D1E⊥A1D； (2)求AE等于何值時(shí)，二面角D1－EC－D的大小為45°？ 考點(diǎn)　二面角 題點(diǎn)　看圖索角 (1)證明　連接D1A，D1B. ∵在長(zhǎng)方形A1ADD1中，AD＝AA1＝1， ∴四邊形A1ADD1為正方形，∴A1D⊥AD1.又由題意知AB⊥A1D，且AB∩AD1＝A， ∴A1D⊥平面ABD1.∵D1E平面ABD1，∴A1D⊥D1E. (2)解　過(guò)D作DF⊥EC于點(diǎn)F，連接D1F. ∵D1D⊥平面DB，EC平面DB，∴D1D⊥EC. 又DF∩D1D＝D，∴EC⊥平面D1DF. ∵D1F平面D1DF，∴EC⊥D1F， ∴∠DFD1為二面角D1－EC－D的平面角， ∴∠DFD1＝45°，又∠D1DF＝90°，D1D＝1，∴DF＝1. 在Rt△DFC中，∵DC＝2，∴∠DCF＝30°，∴∠ECB＝60°. 在Rt△EBC中，∵BC＝1，∴EB＝，AE＝2－.