《(新高考)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專練 第2講 數(shù)列教學(xué)案 理》由會(huì)員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《(新高考)2020版高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí) 第三部分 講重點(diǎn) 解答題專練 第2講 數(shù)列教學(xué)案 理(7頁(yè)珍藏版)》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。
1、第2講數(shù)列真題調(diào)研【例1】2019全國(guó)卷已知數(shù)列an和bn滿足a11,b10,4an13anbn4,4bn13bnan4.(1)證明:anbn是等比數(shù)列,anbn是等差數(shù)列;(2)求an和bn的通項(xiàng)公式解:(1)由題設(shè)得4(an1bn1)2(anbn),即an1bn1(anbn)又因?yàn)閍1b11,所以anbn是首項(xiàng)為1,公比為的等比數(shù)列由題設(shè)得4(an1bn1)4(anbn)8, 即an1bn1anbn2.又因?yàn)閍1b11,所以anbn是首項(xiàng)為1,公差為2的等差數(shù)列(2)由(1)知,anbn,anbn2n1.所以an(anbn)(anbn)n,bn(anbn)(anbn)n.【例2】2019江
2、蘇卷定義首項(xiàng)為1且公比為正數(shù)的等比數(shù)列為“M數(shù)列”(1)已知等比數(shù)列an(nN*)滿足:a2a4a5,a34a24a10,求證:數(shù)列an為“M數(shù)列”;(2)已知數(shù)列bn(nN*)滿足:b11,其中Sn為數(shù)列bn的前n項(xiàng)和求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式;設(shè)m為正整數(shù)若存在“M數(shù)列”cn(nN*),對(duì)任意正整數(shù)k,當(dāng)km時(shí),都有ckbkck1成立,求m的最大值解:(1)設(shè)等比數(shù)列an的公比為q,所以a10,q0.由得解得因此數(shù)列an為“M數(shù)列”(2)因?yàn)椋詁n0.由b11,S1b1,得,則b22.由,得Sn,當(dāng)n2時(shí),由bnSnSn1,得bn,整理得bn1bn12bn.所以數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等
3、差數(shù)列因此,數(shù)列bn的通項(xiàng)公式為bnn(nN*)由知,bkk,kN*.因?yàn)閿?shù)列cn為“M數(shù)列”,設(shè)公比為q,所以c11,q0.因?yàn)閏kbkck1,所以qk1kqk,其中k1,2,3,m.當(dāng)k1時(shí),有q1;當(dāng)k2,3,m時(shí),有l(wèi)nq.設(shè)f(x)(x1),則f(x).令f(x)0,得xe.列表如下:x(1,e)e(e,)f(x)0f(x)極大值因?yàn)椋詅(k)maxf(3).取q,當(dāng)k1,2,3,4,5時(shí),lnq,即kqk,經(jīng)檢驗(yàn)知qk1k也成立因此所求m的最大值不小于5.若m6,分別取k3,6,得3q3,且q56,從而q15243,且q15216,所以q不存在因此所求m的最大值小于6.綜上,所
4、求m的最大值為5.【例3】2019天津卷設(shè)an是等差數(shù)列,bn是等比數(shù)列已知a14,b16,b22a22,b32a34.(1)求an和bn的通項(xiàng)公式;(2)設(shè)數(shù)列cn滿足c11,cn其中kN*.求數(shù)列的通項(xiàng)公式;求解:(1)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d,等比數(shù)列bn的公比為q.依題意得解得故an4(n1)33n1,bn62n132n.所以,an的通項(xiàng)公式為an3n1,bn的通項(xiàng)公式為bn32n.(2)(32n1)(32n1)94n1.所以,數(shù)列的通項(xiàng)公式為94n1.(94i1)(322n152n1)9n2722n152n1n12(nN*)【例4】2019浙江卷設(shè)等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,a34
5、,a4S3.數(shù)列bn滿足:對(duì)每個(gè)nN*,Snbn,Sn1bn,Sn2bn成等比數(shù)列(1)求數(shù)列an,bn的通項(xiàng)公式;(2)記cn,nN*,證明:c1c2cn2,nN*.解:(1)設(shè)數(shù)列an的公差為d,由題意得a12d4,a13d3a13d,解得a10,d2.從而an2n2,nN*.所以Snn2n,nN*.由Snbn,Sn1bn,Sn2bn成等比數(shù)列得(Sn1bn)2(Snbn)(Sn2bn)解得bn(SSnSn2)所以bnn2n,nN*.(2)cn,nN*.我們用數(shù)學(xué)歸納法證明(1)當(dāng)n1時(shí),c102,不等式成立;(2)假設(shè)當(dāng)nk(kN*)時(shí)不等式成立,即c1c2ck2,那么,當(dāng)nk1時(shí),c1c2ckck122222()2,即當(dāng)nk1時(shí)不等式也成立根據(jù)(1)和(2),不等式c1c2cn0,q0,解得an2n.(2)由已知得,Snlog2a1log2a2log2an,2,的前n項(xiàng)和Tn2.7