6、個家用汽車的節(jié)能方法．在符合安全行駛要求的情況下，通過減少汽車后備廂中放置的不常用物品和控制加油量等措施，使汽車負載減少．假設汽車以72 km/h的速度勻速行駛時，負載改變前、后汽車受到的阻力分別為2 000 N和1 950 N，請計算該方法使汽車發(fā)動機輸出功率減少了多少？
【解析】 v＝72 km/h＝20 m/s，由P＝Fv得
P1＝F1v＝Ff1v，P2＝F2v＝Ff2v，
故ΔP＝P1－P2＝(Ff1－Ff2)v＝1×103 W.
【答案】 1×103 W
考點一 [36] 功的正負判斷方法
一、根據(jù)夾角判斷
力與位移的夾角
在推力F作用下，斜面與物塊一起水平運動
7、
(1)G對m不做功
(2)FN對m做正功
(3)Ff對m做負功
力與瞬時速度的夾角
衛(wèi)星由位置1到2的過程中，F(xiàn)與v的夾角大于90°做負功
二、從能的轉(zhuǎn)化角度來進行判斷
圖5－1－2
此法常用于判斷相互聯(lián)系的兩個物體之間的相互作用力做功的情況．
例如車M靜止在光滑水平軌道上，球m用細線懸掛在車上，由圖5－1－2中的位置無初速地釋放，則可判斷在球下擺過程中繩的拉力對車做正功．因為繩的拉力使車的動能增加了．又因為M和m構成的系統(tǒng)的機械能是守恒的，M增加的機械能等于m減少的機械能，所以繩的拉力一定對球m做負功．
——————[1個示范例]——————
圖5－1
8、－3
(xx·貴陽一中檢測)人造地球衛(wèi)星在橢圓軌道上運行，由圖5－1－3中的a點運動到b點的過程中( )
A．萬有引力對衛(wèi)星做正功
B．萬有引力對衛(wèi)星做負功
C．萬有引力對衛(wèi)星先做正功，再做負功
D．萬有引力對衛(wèi)星一直不做功
【解析】 由于圖中萬有引力與速度方向夾角始終小于90°，故在此過程中萬有引力對衛(wèi)星做正功，A正確．
【答案】 A
——————[1個預測例]——————
圖5－1－4
(多選)如圖5－1－4所示，重球m用一條不可伸長的輕質(zhì)細線拴住后懸于O點，重球置于一個斜面不光滑的斜劈M上，用水平力F向左推動斜劈M在光滑水平桌面上由位置甲勻速向左移動到位置
9、乙，在此過程中，正確的說法是( )
A．M、m間的摩擦力對m不做功
B．M、m間的摩擦力對m做負功
C．F對M所做的功與m對M所做的功的絕對值相等
D．M、m間的彈力對m做正功
【審題指導】 審題時注意該題中的幾個關鍵條件：
(1)斜面不光滑．
(2)光滑水平桌面．
(3)勻速．
【解析】 小球在向左擺動過程中，M對m的摩擦力方向與小球m的位移方向間夾角小于90°，故摩擦力對m做正功，A、B均錯誤；因M勻速向左運動，地面對M的支持力和M的重力不做功，一定有F對M所做的功與m對M所做的功合功為零，C正確；M對m的彈力方向與m位移方向夾角小于90°，故對m做正功，D項正確．
10、【答案】 CD
(1)作用力和反作用力雖然等大反向，但由于其分別作用在兩個物體上，產(chǎn)生的位移效果無必然聯(lián)系，故作用力和反作用力的功不一定一正一負，大小也不一定相等．
(2)摩擦力并非只做負功，可以做正功、負功或不做功．
考點二 [37] 功的計算
一、恒力做的功：直接用W＝Flcos α計算．
二、合外力做的功
方法一：先求合外力F合，再用W合＝F合lcos α求功．
方法二：先求各個力做的功W1、W2、W2、……，再應用W合＝W1＋W2＋W3＋……求合外力做的功．
三、變力做的功
1．應用動能定理求解．
2．應用W＝Pt求解，此法適用于變力的功率P不變
11、．
3．將變力做功轉(zhuǎn)化為恒力做功，此法適用于力的大小不變，方向與運動方向相同或相反，或力的方向不變，大小隨位移均勻變化的情況．
——————[1個示范例]——————
如圖5－1－5所示，建筑工人通過滑輪裝置將一質(zhì)量是100 kg的料車沿30°角的斜面由底端勻速地拉到頂端，斜面長L是4 m，若不計滑輪的質(zhì)量和各處的摩擦力，g取10 N/kg，求這一過程中
圖5－1－5
(1)人拉繩子的力做的功；
(2)物體的重力做的功；
(3)物體受到的合力對物體做的總功．
【解析】 (1)工人拉繩子的力：
F＝mgsin θ
工人將料車拉到斜面頂端時，拉繩子的長度：l＝2L，根據(jù)公
12、式W＝Flcos α，得
W1＝mgsin θ·2L＝2 000 J.
(2)重力做功：
W2＝－mgh＝－mgLsin θ＝－2 000 J.
(3)由于料車在斜面上勻速運動，則料車所受的合力為0，故W合＝0.
【答案】 (1)2 000 J (2)－2 000 J (3)0
——————[1個預測例]——————
圖5－1－6
人在A點拉著繩通過一定滑輪吊起質(zhì)量m＝50 kg的物體，如圖5－1－6所示，開始時繩與水平方向的夾角為60°.當人勻速提起重物由A點沿水平方向運動l＝2 m而到達B點時，繩與水平方向成30°角．則人對繩的拉力做了多少功？
【審題指導】 解答該
13、題應注意：
(1)人對繩的拉力方向時刻變化，該力一定是變力．
(2)求變力的功要注意應用轉(zhuǎn)化的思想，求人拉繩的功可轉(zhuǎn)化為繩對物體拉力的功．
【解析】 人對繩的拉力的功與繩對物體的拉力的功是相同的，而由于勻速提升物體，故物體處于平衡狀態(tài)，可知繩上拉力F＝mg.而重物上升的高度h等于右側(cè)繩子的伸長量Δl，由幾何關系易得：h(cot 30°－cot 60°)＝l，Δl＝－，解得Δl＝1.46 m．人對繩子做的功W＝mgΔl＝500×1.46 J＝730 J.
【答案】 730 J
公式W＝Flcos α中位移“l(fā)”的意義：
(1)力對平動的物體(可看作質(zhì)點)做功，“l(fā)”
14、為物體上每一點的位移(即受力質(zhì)點對地的位移)．
(2)若受力物體發(fā)生轉(zhuǎn)動或形變，“l(fā)”應取作用點的位移．
(3)“l(fā)”的取值一般以大地為參考系．
考點三 [38] 功率的計算
一、平均功率的計算方法
1．利用＝.
2．利用＝F·cos θ，其中為物體運動的平均速度，F(xiàn)為恒力．
二、瞬時功率的計算方法
1．利用公式P＝F·vcos θ，其中v為t時刻的瞬時速度．
2．利用公式P＝F·vF，其中vF為物體的速度v在力F方向上的分速度．
3．利用公式P＝Fv·v，其中Fv為物體受的外力F在速度v方向上的分力．
——————[1個示范例]——————
(xx·江蘇高考)如
15、圖5－1－7所示，細線的一端固定于O點，另一端系一小球．在水平拉力作用下，小球以恒定速率在豎直平面內(nèi)由A點運動到B點．在此過程中拉力的瞬時功率變化情況是( )
圖5－1－7
A．逐漸增大 B．逐漸減小
C．先增大，后減小 D．先減小，后增大
【解析】 小球速率恒定，由動能定理知：拉力做的功與克服重力做的功始終相等，將小球的速度分解，可發(fā)現(xiàn)小球在豎直方向分速度逐漸增大，重力的瞬時功率也逐漸增大，則拉力的瞬時功率也逐漸增大，A項正確．
【答案】 A
——————[1個預測例]——————
甲 乙
圖5－1－8
如圖5－1－8甲所示，滑輪質(zhì)量
16、、摩擦均不計，質(zhì)量為2 kg的物體在F作用下由靜止開始向上做勻加速運動，其速度隨時間的變化關系如圖乙所示，g取10 m/s2.
求：(1)4 s末力F的瞬時功率；
(2)4 s內(nèi)F做功的平均功率．
【審題指導】 根據(jù)物體的運動情況求出物體的加速度，由牛頓第二定律求出拉力F的大小，再由功和功率的公式進行計算．
【解析】 (1)由圖象可得，物體的加速度
a＝ m/s2＝0.5 m/s2
由牛頓第二定律2F－mg＝ma，
解得F＝10.5 N
4 s末F的瞬時功率為：
P＝Fv＝10.5×2×2 W＝42 W.
(2)4 s內(nèi)的平均功率
＝F ＝10.5×2 W＝21 W.
17、
【答案】 (1)42 W (2)21 W
求力做功的功率時應注意的問題
(1)首先要明確所求功率是平均功率還是瞬時功率，對應于某一過程的功率為平均功率，對應于某一時刻的功率為瞬時功率．
(2)求功率大小時要注意F與v方向間的夾角α對結果的影響．
(3)用P＝F·cos α求平均功率時，應容易求得，如求勻變速直線運動中某力的平均功率．
機車的兩種啟動模型的分析
一、模型綜述
物體在牽引力(受功率和速度制約)作用下，從靜止開始克服一定的阻力，加速度不變或變化，最終加速度等于零，速度達到最大值．
二、兩種模型的比較
1．兩種啟動方式的比較
兩種模型
以恒
18、定功率啟動
以恒定加速度啟動
P－t圖和v－t圖
OA段
過程分析
v↑?F＝↓?a＝↓
a＝不變?F不變P＝Fv↑直到P額＝Fv1
運動性質(zhì)
加速度減小的加速直線運動
勻加速直線運動，維持時間t0＝
AB
段
過程分析
F＝f?a＝0
?f＝
v↑?F＝↓
?a＝↓
運動性質(zhì)
以vm做勻速直線運動
加速度減小的加速運動
BC段
無
F＝f?a?0?
以vm＝勻速運動
2.三個重要關系式
(1)無論哪種啟動過程，機車的最大速度都等于其勻速運動時的速度，即vm＝＝(式中Fmin為最小牽引力，其值等于阻力f)．
(2)機車以恒定加速度啟動
19、的運動過程中，勻加速過程結束時，功率最大，速度不是最大，即v＝
20、力和繩索對車廂的拉力FT，設此時車廂的最大加速度為a，則有：
水平方向：FTcos θ＝ma(2分)
豎直方向：FTsin θ＝mg(2分)
由上述兩式得：a＝gcot θ(1分)
(3)因為汽車做勻加速運動，所以F′－Ff＝(M＋m)a(2分)
因Ff＝μ(m＋M)g(用隔離法同樣可得)(1分)
則F′＝(μ＋cot θ)(M＋m)g(1分)
因為汽車達到勻加速運動的最大速度時，汽車的功率恰好達到額定功率，則有P額＝F′va(1分)
由題意知，汽車一開始就做加速度最大的勻加速運動，勻加速運動的最大速度為va＝at(1分)
則汽車以最大加速度行駛的時間為：
t＝(1分)
21、【答案】 (1) (2)gcot θ
(3)
圖5－1－10
一輛汽車在平直的公路上以某一初速度運動，運動過程中保持恒定的牽引功率，其加速度a和速度的倒數(shù)(1/v)圖象如圖5－1－10所示．若已知汽車的質(zhì)量，則根據(jù)圖象所給的信息，不能求出的物理量是( )
A．汽車的功率
B．汽車行駛的最大速度
C．汽車所受到的阻力
D．汽車運動到最大速度所需的時間
【解析】 由P＝F·v和F－Ff＝ma得出：a＝·－，由圖象可求出圖線斜率k，則k＝，可求出汽車的功率P，由＝0時，a＝－2 m/s2，得：－2＝－可求出汽車所受阻力Ff，再由P＝Ff·vm可求出汽車運動的最大速度v
22、m，但汽車做變加速直線運動，無法求出汽車運動到最大速度的時間，故選D.
【答案】 D
分析機車啟動問題時的注意事項
(1)機車啟動的方式不同，機車運動的規(guī)律就不同，因此機車啟動時，其功率、速度、加速度、牽引力等物理量的變化規(guī)律也不相同，分析圖象時應注意坐標軸的意義及圖象變化所描述的規(guī)律．
(2)恒定功率下的加速一定不是勻加速，這種加速過程發(fā)動機做的功可用W＝Pt計算，不能用W＝Fl計算(因為F是變力)．
(3)以恒定牽引力加速時的功率一定不恒定，這種加速過程發(fā)動機做的功常用W＝Fl計算，不能用W＝Pt計算(因為功率P是變化的).
⊙功、功率的分析
1．物體在
23、水平拉力F作用下，沿x軸方向由坐標原點開始運動，設拉力F隨x的變化分別如圖5－1－11甲、乙、丙所示，其中圖甲為一半圓圖形，對應拉力做功分別為W甲、W乙、W丙，則以下說法正確的是( )
甲 丙 乙
圖5－1－11
A．W甲>W乙>W丙 B．W甲>W乙＝W丙
C．W甲＝W乙＝W丙 D．無法比較它們的大小
【解析】 拉力F為變力，其對物體做的功一定等于F－x圖線與x軸所圍的面積，由圖可以看出，W甲＝Fmx0，W乙＝Fmx0，W丙＝Fmx0，所以W甲>W乙＝W丙，B正確．
【答案】 B
2.
圖5－1－12
兩個完全相同的小球A、B
24、，在某一高度處以相同大小的初速度v0分別沿水平方向和豎直方向拋出，如圖5－1－12，下列說法正確的是( )
A．兩小球落地時速度相同
B．兩小球落地時，重力的瞬時功率相同
C．從開始運動至落地，重力對兩小球做功相同
D．從開始運動至落地，重力對兩小球做功的平均功率相同
【解析】 因A、B兩小球完全相同，其重力相同，從拋出到落地過程中高度相同，故重力對兩小球做功相同，C正確；由動能定理可知，兩球落地時動能相同，速度大小相同，但方向不同，故速度并不相同，A錯；因落地時速度大小相同但方向與重力方向夾角不同，故落地時重力的瞬時功率不同，B錯；由于A做平拋運動，B做豎直上拋運動，它們的運動時
25、間不同，故重力的平均功率不同，D錯．故選C.
【答案】 C
⊙功、功率的計算
3.
圖5－1－13
一個質(zhì)量為m的小球，用長為L的輕繩懸掛于O點，小球在水平拉力F作用下，從平衡位置P點很緩慢地移動到Q點，此時輕繩與豎直方向夾角為θ，如圖5－1－13所示，則拉力F所做的功為( )
A．mgLcos θ B．mgL(1－cos θ)
C．FLsin θ D．FLcos θ
【解析】 小球從P點到Q點時，受重力、繩子的拉力及水平拉力F作用，因很緩慢地移動，小球速度可視為零，由平衡條件可知：F＝mgtan θ，隨θ的增大，拉力F也增大，故F是變力，因此不能直接用公
26、式W＝Flcos θ計算．根據(jù)動能定理，有：WF－WG＝0.
所以WF＝WG＝mgL(1－cos θ)，選項B正確．
【答案】 B
⊙機車啟動模型
4．(多選)(xx·哈爾濱師大附中模擬)質(zhì)量為m的汽車在平直公路上加速行駛，受到的阻力恒為f.當速度為v時，汽車發(fā)動機輸出功率為P，則此時汽車的( )
A．牽引力為 B．牽引力大于
C．加速度為 D．加速度小于
【解析】 功率、牽引力、速度的關系為P＝Fv，A對，B錯；由牛頓第二定律有F－f＝ma，F(xiàn)＝，a<，C錯，D對．
【答案】 AD
⊙功、功率在現(xiàn)實生活中的應用
5．(xx·北京高考)摩天大樓中一部直通高層的客運
27、電梯，行程超過百米．電梯的簡化模型如圖5－1－14所示．考慮安全、舒適、省時等因素，電梯的加速度a是隨時間t變化的．已知電梯在t＝0時由靜止開始上升，a－t圖象如圖5－1－15所示．電梯總質(zhì)量m＝2.0×103 kg.忽略一切阻力，重力加速度g取10 m/s2.
(1)求電梯在上升過程中受到的最大拉力F1和最小拉力F2；
圖5－1－14
(2)類比是一種常用的研究方法．對于直線運動，教科書中講解了由v－t圖象求位移的方法．請你借鑒此方法，對比加速度和速度的定義，根據(jù)圖5－1－15所示a－t圖象，求電梯在第1 s內(nèi)的速度改變量Δv1和第2 s末的速率v2；
(3)求電梯以最大速率
28、上升時，拉力做功的功率P；再求在0～11 s時間內(nèi)，拉力和重力對電梯所做的總功W.
圖5－1－15
【解析】 (1)由牛頓第二定律，有F－mg＝ma
由a－t圖像可知，F(xiàn)1和F2對應的加速度分別是
a1＝1.0 m/s2，a2＝－1.0 m/s2，則
F1＝m(g＋a1)＝2.0×103×(10＋1.0)N＝2.2×104 N
F2＝m(g＋a2)＝2.0×103×(10－1.0)N＝1.8×104 N.
(2)類比可得，所求速度變化量等于第1 s內(nèi)a－t圖線與t軸所圍圖形的面積，
可得Δv1＝0.5 m/s
同理可得Δv2＝v2－v0＝1.5 m/s
v0＝0，第2 s末的速率v2＝1.5 m/s.
(3)由a－t圖象可知，11 s～30 s內(nèi)速率最大，其值等于0～11 s內(nèi)a－t圖線與t軸所圍圖形的面積，此時電梯做勻速運動，拉力F等于重力mg，所求功率P＝Fvm＝mg·vm＝2.0×103×10×10 W＝2.0×105 W
由動能定理，總功W＝Ek2－Ek1＝mv－0＝×2.0×103×102 J＝1.0×105 J.
【答案】 (1)2.2×104 N 1.8×104 N (2)0.5 m/s
1．5 m/s (3)2.0×105 W 1.0×105 J
2022年高考物理總復習講義 第5章 第1講 功和功率
