《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3-3-1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020學(xué)年高中數(shù)學(xué) 第3章 概率 3-3-1 幾何概型學(xué)案 新人教A版必修3（16頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、33.1幾何概型1通過實例體會幾何概型的含義，會區(qū)分古典概型和幾何概型2掌握幾何概型的概率計算公式，會求一些事件的概率1幾何概型的定義與特點(1)定義：如果每個事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的長度(面積或體積)成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡稱為幾何概型(2)特點：可能出現(xiàn)的結(jié)果有無限多個；每個結(jié)果發(fā)生的可能性相等2幾何概型中事件A的概率的計算公式P(A).1幾何概型有何特點？提示試驗中所有可能出現(xiàn)的結(jié)果(基本事件)有無限多個；每個基本事件出現(xiàn)的可能性相等2古典概型與幾何概型有何區(qū)別？提示古典概型的試驗結(jié)果是有限的，而幾何概型的試驗結(jié)果是無限的3判斷正誤(正確的打“”，錯誤的打“

2、”)(1)幾何概型的概率與構(gòu)成事件的區(qū)域形狀無關(guān)()(2)在射擊中，運動員擊中靶心的概率在(0,1)內(nèi)()(3)幾何概型的基本事件有無數(shù)多個()(4)從區(qū)間1,1上取一個數(shù)，求取到1的概率屬于幾何概型()答案(1)(2)(3)(4)題型一與長度、角度有關(guān)的幾何概型【典例1】(1)如圖所示，A、B兩盞路燈之間長度是30 m，由于光線較暗，想在其間再隨意安裝兩盞路燈C、D，問A與C，B與D之間的距離都不小于10 m的概率是多少？(2)如圖所示，在等腰直角三角形ABC中，過直角頂點C在ACB內(nèi)部作一條直線CM，與線段AB交于點M.求AMAC的概率. 思路導(dǎo)引(1)在A、B之間每一位置處安裝路燈C，D

3、都是一個基本事件，基本事件有無限多個，且每一個基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件發(fā)生的概率只與長度有關(guān)；(2)過直角頂點C在ACB內(nèi)部作一條直線CM，與線段AB交于點M. 基本事件有無限多個，且每一個基本事件的發(fā)生都是等可能的，因此事件發(fā)生的概率只與角度有關(guān)解(1)記E：“A與C、B與D之間的距離都不小于10 m”，把AB三等分，由于中間長度為3010 (m)，P(E).(2)在AB上取ACAC，則ACC67.5.設(shè)事件A在ACB內(nèi)部作一條射線CM，與線段AB交于點M，AMAC，則所有可能結(jié)果的區(qū)域角度為90，事件A的區(qū)域角度為67.5，P(A).(1)與長度有關(guān)的幾何概型問題綜述如果試驗的

4、結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用長度表示，則其概率的計算公式為：P(A).將每個基本事件理解為從某個特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機地取一點，該區(qū)域中每一點被取到的機會都一樣，而一個隨機事件的發(fā)生則理解為恰好取到上述區(qū)域內(nèi)的某個指定區(qū)域中的點，這樣的概率模型就可以用幾何概型來求解(2)與角度有關(guān)的幾何概型的求法當(dāng)涉及射線的轉(zhuǎn)動，扇形中有關(guān)落點區(qū)域問題時，常以角度的大小作為區(qū)域度量來計算概率與角度有關(guān)的幾何概型的概率計算公式為P(A).解決此類問題的關(guān)鍵是事件A在區(qū)域角度內(nèi)是均勻的，進(jìn)而判定事件的發(fā)生是等可能的對于一個具體問題，能否用幾何概型的概率公式計算事件的概率，關(guān)鍵在于能否將問題幾何化，也可根據(jù)實際問題的

5、具體情況，選取合適的參數(shù)建立適當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系，在此基礎(chǔ)上，將試驗的每一個結(jié)果一一對應(yīng)于該坐標(biāo)系中的每一點，使得全體結(jié)果構(gòu)成一個可度量的區(qū)域如果試驗結(jié)果涉及的區(qū)域可用角表示，則可以判定需利用與角度有關(guān)的幾何概型概率的計算公式解決對于此類題，往往角的始邊是固定的，只要考慮終邊位置的情況即可針對訓(xùn)練1(1)在區(qū)間1,2上隨機取一個數(shù)x，則|x|1的概率為_(2)某汽車站每隔15 min有一輛汽車到達(dá)，乘客到達(dá)車站的時刻是任意的，求一位乘客到達(dá)車站后等車時間超過10 min的概率解析(1)區(qū)間1,2的長度為3，由|x|1得x1,1，而區(qū)間1,1的長度為2，x取每個值為隨機的，在1,2上取一個數(shù)x，|x|1

6、的概率P.(2)設(shè)上一輛車于時刻T1到達(dá)，而下一輛車于時刻T2到達(dá)，則線段T1T2的長度為15，設(shè)T是線段T1T2上的點，且T1T5，T2T10，如圖所示記“等車時間超過10 min”為事件A，則當(dāng)乘客到達(dá)車站的時刻t落在線段T1T上(不含端點)時，事件A發(fā)生P(A)，即該乘客等車時間超過10 min的概率是.答案(1)(2)題型二與面積有關(guān)的幾何概型問題【典例2】(1)如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來自中國古代的太極圖正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自黑色部分的概率是()A. B. C. D.(2) 如圖，矩形ABCD中，點A在x軸上，

7、點B的坐標(biāo)為(1,0)，且點C與點D在函數(shù)f(x)的圖象上若在矩形ABCD內(nèi)隨機取一點，則此點取自陰影部分的概率等于()A.B.C.D.解析(1)不妨設(shè)正方形的邊長為2，則正方形的面積為4，正方形的內(nèi)切圓的半徑為1，面積為.由于正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對稱，所以黑色部分的面積為，故此點取自黑色部分的概率為，故選B.(2)易知點C的坐標(biāo)為(1,2)，點D的坐標(biāo)為(2,2)，所以矩形ABCD的面積為6，陰影部分的面積為，故所求概率為.答案(1)B(2)B(1)與面積有關(guān)的幾何概型的概率公式如果試驗的結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域的幾何度量可用面積表示，則其概率的計算公式為：P(A

8、).(2)解與面積相關(guān)的幾何概型問題的三個關(guān)鍵點根據(jù)題意確認(rèn)是否是與面積有關(guān)的幾何概型問題；找出或構(gòu)造出隨機事件對應(yīng)的幾何圖形，利用圖形的幾何特征計算相關(guān)面積；套用公式，從而求得隨機事件的概率針對訓(xùn)練2如圖，在矩形區(qū)域ABCD的A，C兩點處各有一個通信基站，假設(shè)其信號覆蓋范圍分別是扇形區(qū)域ADE和扇形區(qū)域CBF(該矩形區(qū)域內(nèi)無其他信號來源，基站工作正常)若在該矩形區(qū)域內(nèi)隨機地選一地點，則該地點無信號的概率是()A1B.1C2D.解析由幾何概型知所求的概率P1.答案A題型三與體積有關(guān)的幾何概型的問題【典例3】一個多面體的直觀圖和三視圖如下圖所示，M是AB的中點，一只蜻蜓在幾何體ADFBCE內(nèi)自由

9、飛翔，則它飛入幾何體FAMCD內(nèi)的概率為()A. B. C. D.解析由三視圖可知DA，DC，DF兩兩垂直，且DADCDFa，VFAMCDS梯形AMCDDFa3.又VADFBCEa3，蜻蜓飛入幾何體FAMCD內(nèi)的概率為P.答案C體積型幾何概型問題解法探秘(1)如果試驗的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域可用體積來度量，我們要結(jié)合問題的背景，選擇好觀察角度，準(zhǔn)確找出基本事件所占的體積及事件A占的體積其概率的計算公式為：P(A).(2)解決此類問題一定要注意幾何概型的條件，并且要特別注意所求的概率是與體積有關(guān)還是與長度有關(guān)，不要將二者混淆針對訓(xùn)練3(1)一只蝴蝶(體積忽略不計)在一個長、寬、高分別為5,4,3的

10、長方體內(nèi)自由飛行，若蝴蝶在飛行過程中始終保持與長方體的6個面的距離均大于1，則稱其為“安全飛行”，那么蝴蝶“安全飛行”的概率為()A.B.C.D.(2)一個靶子如圖所示，隨機地擲一個飛鏢扎在靶子上，假設(shè)飛鏢既不會落在靶心，也不會落在陰影部分與空白的交線上，現(xiàn)隨機向靶擲飛鏢30次，則飛鏢落在陰影部分的次數(shù)約為()A5 B10C15 D20解析(1)長方體的體積為54360，蝴蝶“安全飛行”區(qū)域的體積為3216.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可得蝴蝶“安全飛行”的概率為.(2)陰影部分對應(yīng)的圓心角度數(shù)和為60，所以飛鏢落在陰影內(nèi)的概率為，飛鏢落在陰影內(nèi)的次數(shù)約為305.答案(1)A(2)A課堂歸納小

11、結(jié)1幾何概型適用于試驗結(jié)果是無窮多且事件是等可能發(fā)生的概率模型2幾何概型主要用于解決與長度、面積、體積有關(guān)的題目3注意理解幾何概型與古典概型的區(qū)別.4.理解如何將實際問題轉(zhuǎn)化為幾何概型的問題，利用幾何概型公式求解，概率公式為P(A).1將一條5米長的繩子隨機地切斷為兩段，則兩段繩子都不短于1米的概率為()A. B. C. D.解析由題意，只要在距離兩端分別至少為1米處剪斷，滿足題意的位置有3米，由幾何概型公式得到所求概率為，故選C.答案C2如圖，正方形ABCD的內(nèi)切圓中黑色部分和白色部分關(guān)于正方形對邊中點的連線對稱，在正方形內(nèi)隨機取一點，則此點取自灰色部分的概率是()A.B.C.D4解析設(shè)正方

12、形的邊長為2，根據(jù)幾何概型概率計算公式，此點取自灰色部分的概率P.故選A.答案A3在一球內(nèi)有一棱長為1的內(nèi)接正方體，一點在球內(nèi)運動，則此點落在正方體內(nèi)部的概率為()A. B. C. D.解析由題意可得正方體的體積為V11.又球的直徑是正方體的體對角線，故球的半徑R.球的體積V2R3.則此點落在正方體內(nèi)的概率為P.答案D4函數(shù)f(x)2x(x0)，其值域為D，在區(qū)間(1,2)上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是()A. B. C. D.解析函數(shù)f(x)2x(x2成立的概率為()A. B. C. D.解析這是一個幾何概型，其中基本事件的總數(shù)構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)的長度是2(2)4，由f(x)2可得x1，所以滿

13、足題設(shè)的基本事件構(gòu)成的區(qū)域?qū)?yīng)的長度是211，則使不等式f(x)2成立的概率為.答案A2某路口人行橫道的信號燈為紅燈和綠燈交替出現(xiàn)，紅燈持續(xù)時間為40 s若一名行人來到該路口遇到紅燈，則至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈的概率為()A. B. C. D.解析記“至少需要等待15 s才出現(xiàn)綠燈”為事件A，則P(A).答案B3已知ABCD為長方形，AB2，BC1，O為AB的中點，在長方形ABCD內(nèi)隨機取一點P，則取到的點P到O的距離大于1的概率為()A. B1 C. D1解析如圖所示，設(shè)取到的點P到O的距離大于1為事件M，則點P應(yīng)在陰影部分內(nèi)，陰影部分的面積為21122，所以P(M)1.答案B4在長為

14、10 cm的線段AB上任取一點P，并以線段AP為邊作正方形，這個正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間的概率為()A. B. C. D.解析在線段AB上任取一點P，事件“正方形的面積介于25 cm2與49 cm2之間”等價于事件“5|AP|7”，則所求概率為.答案B5如圖所示，有四個游戲盤，將它們水平放穩(wěn)后，向上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中獎，小明要想增加中獎機會，應(yīng)選擇的游戲盤是()解析A中獎概率為，B中獎概率為，C中獎概率為，D中獎概率為.答案A6記函數(shù)f(x)的定義域為D.在區(qū)間4,5上隨機取一個數(shù)x，則xD的概率是_解析由6xx20，解得2x3，則D2,3，則所

15、求概率為.答案7水池的容積是20 m3，水池里的水龍頭A和B的水流速度都是1 m3/h，它們一晝夜(024 h)內(nèi)隨機開啟，則水池不溢水的概率為_解析如圖所示，橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)分別表示A，B兩水龍頭開啟的時間，則陰影部分是滿足不溢水的對應(yīng)區(qū)域，因為正方形區(qū)域的面積為2424，陰影部分的面積是2020，所以所求的概率P.答案8已知方程x23x10，若p在0,10中隨機取值，則方程有實數(shù)根的概率為_解析因為總的基本事件是0,10內(nèi)的全部實數(shù)，所以基本事件總數(shù)為無限個，符合幾何概型的條件，事件對應(yīng)的測度為區(qū)間的長度，總的基本事件對應(yīng)區(qū)間0,10，長度為10，而事件“方程有實數(shù)根”應(yīng)滿足0，即9410，

16、得p5，所以對應(yīng)區(qū)間0,5，長度為5，所以所求概率為.答案9已知點M(x，y)滿足|x|1，|y|1.求點M落在圓(x1)2(y1)21的內(nèi)部的概率解如圖所示，區(qū)域為圖中的正方形，正方形的面積為4，且陰影部分是四分之一圓，其面積為，則點M落在圓(x1)2(y1)21的內(nèi)部的概率為.10在街道旁邊有一游戲：在鋪滿邊長為9 cm的正方形塑料板的寬廣地面上，擲一枚半徑為1 cm的小圓板規(guī)則如下：每擲一次交5角錢，若小圓板壓在邊上，可重擲一次；若擲在正方形內(nèi)，需再交5角錢才可玩；若壓在正方形塑料板的頂點上，可獲得一元錢試問：(1)小圓板壓在塑料板的邊上的概率是多少？(2)小圓板壓在塑料板頂點上的概率是

17、多少？解(1)如圖(1)所示，因為O落在正方形ABCD內(nèi)任何位置是等可能的，小圓板與正方形塑料板ABCD的邊相交接是在圓板的中心O到與它靠近的邊的距離不超過1 cm時，所以O(shè)落在圖中陰影部分時，小圓板就能與塑料板ABCD的邊相交接，這個范圍的面積等于927232(cm2)，因此所求的概率是.(2)小圓板與正方形的頂點相交接是在圓心O與正方形的頂點的距離不超過小圓板的半徑1 cm時，如圖(2)陰影部分，四塊合起來面積為 cm2，故所求概率是.應(yīng)試能力等級練(時間20分鐘)11在區(qū)間0,1上隨機取兩個數(shù)x，y，記p1為事件“xy”的概率，p2為事件“|xy|”的概率，p3為事件“xy”的概率，則(

18、)Ap1p2p3Bp2p3p1Cp3p1p2Dp3p2p1解析x，y0,1，事件“xy”表示的區(qū)域如圖(1)中陰影部分S1，事件“|xy|”表示的區(qū)域如圖(2)中陰影部分S2，事件“xy”表示的區(qū)域如圖(3)中陰影部分S3.由圖知，陰影部分的面積S2S3S1，正方形的面積為111.根據(jù)幾何概型的概率計算公式，可得p2p3p1.答案B12在1,1上隨機地取一個數(shù)k，則事件“直線ykx與圓(x5)2y29相交”發(fā)生的概率為_A. B. C. D.解析若直線ykx與圓(x5)2y29相交，則有圓心到直線的距離d3，即kSABC，所以|PB|AB|，故PBC的面積大于的概率是.答案14已知0a1，分別

19、在區(qū)間(0，a)和(0,4a)內(nèi)任取一個數(shù)，而取出的兩數(shù)之和小于1的概率為，則a的值為_解析設(shè)所取的兩個數(shù)分別為x，y，由題知所有基本事件構(gòu)成的集合為(x，y)|0xa,0y4a,0a1，其對應(yīng)區(qū)域為矩形，面積為S()a(4a)，而事件A(x，y)|xy1，其對應(yīng)區(qū)域面積為S(A)(11a)a，由幾何概型的概率計算公式知，即a(5a4)0，解得a.答案15.如圖，已知AB是半圓O的直徑，AB8，M，N，P是將半圓圓周四等分的三個等分點(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，求這3個點組成直角三角形的概率；(2)在半圓內(nèi)任取一點S，求SAB的面積大于8的概率解(1)從A，B，M，N，P這5個點中任取3個點，一共可以組成10個三角形：ABM，ABN，ABP，AMN，AMP，ANP，BMN，BMP，BNP，MNP，其中是直角三角形的只有ABM，ABN，ABP 3個，所以組成直角三角形的概率為.(2)連接MP，ON，OM，OP，取線段MP的中點D，則ODMP，易求得OD2，當(dāng)S點在線段MP上時，SABS288，所以只有當(dāng)S點落在陰影部分(不在MP上)時，SAB的面積才能大于8，而S陰影S扇形MOPSOMP424248，所以由幾何概型的概率公式得SAB的面積大于8的概率為.16