《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破三 數(shù)列通項公式的求法學(xué)案（含解析）新人教B版必修5》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020版高中數(shù)學(xué) 第二章 數(shù)列 專題突破三 數(shù)列通項公式的求法學(xué)案（含解析）新人教B版必修5（13頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題突破三數(shù)列通項公式的求法求數(shù)列的通項公式，是數(shù)列問題中的一類重要題型，在數(shù)列學(xué)習(xí)和考試中占有很重要的位置，本專題就來談?wù)剶?shù)列通項公式的求法.一、通過數(shù)列前若干項歸納出數(shù)列的一個通項公式例1由數(shù)列的前n項，寫出通項公式：(1)3,5,3,5,3,5，；(2)，；(3)2，；(4)，.解(1)這個數(shù)列前6項構(gòu)成一個擺動數(shù)列，奇數(shù)項為3，偶數(shù)項為5.所以它的一個通項公式為an4(1)n，nN.(2)數(shù)列中的項以分?jǐn)?shù)形式出現(xiàn)，分子為項數(shù)，分母比分子大1，所以它的一個通項公式為an，nN.(3)數(shù)列可化為11,2，3，4，5，所以它的一個通項公式為ann，nN.(4)數(shù)列可化為，所以它的一個通項公式

2、為an，nN.反思感悟這類數(shù)列通常是由基本數(shù)列如等差數(shù)列、等比數(shù)列通過加減乘除運算得到，故解決這類問題可以根據(jù)所給數(shù)列的特點(遞增及增長速度、遞減及遞減速度、是否擺動數(shù)列)聯(lián)想基本數(shù)列，再考察它與基本數(shù)列的關(guān)系需要注意的是，對于無窮數(shù)列，利用前若干項歸納出的通項公式屬于“猜想”，而且表達(dá)式不一定唯一跟蹤訓(xùn)練1由數(shù)列的前幾項，寫出通項公式：(1)1，7,13，19,25，；(2)，；(3)1，.解(1)數(shù)列每一項的絕對值構(gòu)成一個以1為首項，6為公差的等差數(shù)列，且奇數(shù)項為正，偶數(shù)項為負(fù)，所以它的一個通項公式為an(1)n+1(6n5)，nN.(2)數(shù)列化為，分子，分母分別構(gòu)成等差數(shù)列，所以它的一個

3、通項公式為an，nN.(3)數(shù)列化為，所以數(shù)列的一個通項公式為an(1)n+1，nN.二、利用遞推公式求通項公式命題角度1累加、累乘例2(1)數(shù)列an滿足a11，對任意的nN都有an1a1ann，求通項公式；(2)已知數(shù)列an滿足a1，an1an，求an.解(1)an1ann1，an1ann1，即a2a12，a3a23，anan1n(n2)等式兩邊同時相加得ana1234n(n2)即ana1234n1234n.又a11也適合上式，an，nN.(2)由條件知，分別令n1,2,3，n1，代入上式得(n1)個等式，累乘，即(n2)，又a1，an.又a1也適合上式，an，nN.反思感悟形如an1anf

4、(n)的遞推公式求通項可以使用疊加法，步驟如下：第一步將遞推公式寫成an1anf(n)；第二步當(dāng)n2時，依次寫出anan1，a2a1，并將它們疊加起來；第三步得到ana1的值，解出an；第四步檢驗a1是否滿足所求通項公式，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式疊乘法類似跟蹤訓(xùn)練2在數(shù)列an中，a11，anan1n1(n2,3,4，)，求an的通項公式解當(dāng)n1時，a11，當(dāng)n2時，這n1個等式累加得，ana112(n1)，故ana1且a11也滿足該式，an(nN)命題角度2構(gòu)造等差(比)數(shù)列例3已知數(shù)列an滿足an13an2，且a11，則an_.答案23n-11解析設(shè)an1A3(anA)，化簡

5、得an13an2A.又an13an2，2A2，即A1.an113(an1)，即3.數(shù)列an1是等比數(shù)列，首項為a112，公比為3.則an123n-1，即an23n-11.反思感悟形如an1panq(其中p，q為常數(shù)，且pq(p1)0)可用待定系數(shù)法求得通項公式，步驟如下：第一步假設(shè)遞推公式可改寫為an1tp(ant)；第二步由待定系數(shù)法，解得t；第三步寫出數(shù)列的通項公式；第四步寫出數(shù)列an通項公式跟蹤訓(xùn)練3已知數(shù)列an滿足an12an35n，a16，求數(shù)列an的通項公式解設(shè)an15n+12(an5n)，將an12an35n代入式，得2an35n5n+12an25n，等式兩邊消去2an，得35n

6、5n+125n，兩邊除以5n，得352，則1，代入式得an15n+12(an5n)由a1516510及式得an5n0，則2，則數(shù)列an5n是以1為首項，2為公比的等比數(shù)列，則an5n2n-1，故an2n-15n(nN)命題角度3預(yù)設(shè)階梯轉(zhuǎn)化為等差(比)數(shù)列例4在數(shù)列an中，a12，an14an3n1，nN.(1)證明：數(shù)列ann是等比數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明由an14an3n1，得an1(n1)4(ann)，nN.因為a1110，所以ann0，所以4，所以數(shù)列ann是首項為1，公比為4的等比數(shù)列(2)解由(1)，可知ann4n-1，nN，于是數(shù)列an的通項公式為an4n-1n

7、，nN.反思感悟課程標(biāo)準(zhǔn)對遞推公式要求不高，故對遞推公式的考查也比較簡單，一般先構(gòu)造好等差(比)數(shù)列讓學(xué)者證明，再在此基礎(chǔ)上求出通項公式，故同學(xué)們不必在此處挖掘過深跟蹤訓(xùn)練4在數(shù)列an中，a11,3anan1anan10(n2，nN)(1)證明：數(shù)列是等差數(shù)列；(2)求數(shù)列an的通項公式(1)證明由3anan1anan10(n2)，整理得3(n2)，所以數(shù)列是以1為首項，3為公差的等差數(shù)列(2)解由(1)可得13(n1)3n2，所以an，nN.三、利用前n項和Sn與an的關(guān)系求通項公式例5已知數(shù)列an的前n項和為Sn，若Sn2an4，nN，則an等于()A2n+1B2nC2n-1D2n-2答案

8、A解析因為Sn2an4，所以n2時，Sn-12an-14，兩式相減可得SnSn12an2an1，即an2an2an-1，整理得an2an1，因為S1a12a14，即a14，所以2.所以數(shù)列an是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，則an42n-12n+1，故選A.反思感悟已知Snf(an)或Snf(n)的解題步驟：第一步利用Sn滿足條件p，寫出當(dāng)n2時，Sn1的表達(dá)式；第二步利用anSnSn1(n2)，求出an或者轉(zhuǎn)化為an的遞推公式的形式；第三步若求出n2時的an的通項公式，則根據(jù)a1S1求出a1，并代入n2時的an的通項公式進(jìn)行驗證，若成立，則合并；若不成立，則寫出分段形式如果求出的是an的遞推

9、公式，則問題化歸為例3形式的問題跟蹤訓(xùn)練5在數(shù)列an中，a11，a12a23a3nanan1(nN)，求數(shù)列an的通項公式an.解由a12a23a3nanan1，得當(dāng)n2時，a12a23a3(n1)an1an，兩式作差得nanan1an，得(n1)an13nan(n2)，即數(shù)列nan從第二項起是公比為3的等比數(shù)列，且a11，a21，于是2a22，故當(dāng)n2時，nan23n-2.于是an1已知數(shù)列的前4項為2,0,2,0，則依此歸納該數(shù)列的通項不可能是()Aan(1)n-11BanCan2sinDancos(n1)1答案C解析對n1,2,3,4進(jìn)行驗證，知an2sin不合題意，故選C.2數(shù)列0，的

10、一個通項公式為()Aan(nN)Ban(nN)Can(nN)Dan(nN)答案C解析注意到分子0,2,4,6都是偶數(shù)，對照選項排除即可3已知數(shù)列an滿足a11，anan1(n2)，則an_.答案解析因為anan1(n2)，所以an1an2，a2a1.以上(n1)個式子相乘得ana1.當(dāng)n1時，a11也滿足an.綜上an.4數(shù)列an的前n項和為Snn23n1，nN，則它的通項公式為_答案an解析當(dāng)n1時，a1S15；當(dāng)n2時，anSnSn12n2.故數(shù)列an的通項公式為an5在等比數(shù)列an中，若公比q4，且前三項之和等于21，則該數(shù)列的通項公式是_答案an4n-1解析依題意a14a142a121

11、，所以a11，所以ana1qn-14n-1.6已知數(shù)列an的前n項和Sn2n23n.求an的通項公式解因為Sn2n23n，所以當(dāng)n2時，Sn12(n1)23(n1)2n27n5，所以anSnSn14n5，n2，又當(dāng)n1時，a1S11，滿足an4n5，所以an4n5，nN.7已知數(shù)列an的前n項和Sn1an，其中0.證明an是等比數(shù)列，并求其通項公式解由題意得a1S11a1，故1，a1，a10.由Sn1an，Sn11an1，得an1an1an，即an1(1)an.由a10，0得an0，所以.所以an是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以ann1，nN.一、選擇題1已知數(shù)列an中，a12，an1an2n

12、(nN)，則a100的值是()A9900B9902C9904D11000答案B解析a100(a100a99)(a99a98)(a2a1)a12(999821)2229 902.2已知數(shù)列an中，a11，an1，則這個數(shù)列的第n項為()A2n1B2n1C.D.答案C解析an1，a11，2.為等差數(shù)列，公差為2，首項1.1(n1)22n1，an.3已知數(shù)列an的首項為a11，且滿足an1an，則此數(shù)列的通項公式an等于()A2nBn(n1)C.D.答案C解析an1an，2n+1an12nan2，即2n+1an12nan2.又21a12，數(shù)列2nan是以2為首項，2為公差的等差數(shù)列，2nan2(n1

13、)22n，an.4已知數(shù)列an滿足aa4，且a11，an0，則an等于()A.B.C.D8n答案A解析aa4，數(shù)列a是等差數(shù)列，且首項a1，公差d4，a1(n1)44n3.又an0，an.5已知數(shù)列an滿足：Sn1an(nN)，其中Sn為數(shù)列an的前n項和，則an的通項公式an等于()A.B.nC21-2nD2n答案B解析因為Sn1an，所以Sn11an1，得an1an1an，所以an1an.n1時，a11a1，解得a1，所以an是首項為，公比為的等比數(shù)列，所以ann-1n.6某種細(xì)胞開始時有2個，一小時后分裂為4個并死去1個，兩小時后分裂為6個并死去1個，按照這種規(guī)律進(jìn)行下去，100小時后細(xì)

14、胞的存活數(shù)為()A21001B21001C2991D2991答案B解析由題意得2，an2n-11，a1012101-1121001.二、填空題7如果數(shù)列an的前n項和Sn2an1，則此數(shù)列的通項公式an_.答案2n-1解析當(dāng)n1時，S12a11，a12a11，a11.當(dāng)n2時，anSnSn1(2an1)(2an11)，an2an1，an是首項為1，公比為2的等比數(shù)列，an2n-1，nN.8等比數(shù)列an中，a1，a2，a3分別是下表一、二、三行中的某一個數(shù)，且a1，a2，a3中的任何兩個數(shù)不在下表的同一列.第一列第二列第三列第一行3210第二行6414第三行9818則數(shù)列an的通項公式為_答案a

15、n23n-1解析當(dāng)a13時，不合題意；當(dāng)a12時，當(dāng)且僅當(dāng)a26，a318時，符合題意；當(dāng)a110時，不合題意因此a12，a26，a318.所以公比q3，故an23n-1.9在數(shù)列an中，a11，an1an，則數(shù)列an的通項公式an_.答案n解析當(dāng)n2時，ana1n，n1時，a11也符合此式10數(shù)列an滿足a11，anan1(n2且nN)，則數(shù)列an的通項公式為an_.答案2解析anan1(n2)，a11，a2a11，a3a2，a4a3，anan1.以上各式累加，得ana11.ana112，當(dāng)n1時，21a1，an2，故數(shù)列an的通項公式為an2.11若數(shù)列an的前n項和Snan，則an的通項

16、公式是an_.答案(2)n-1解析當(dāng)n1時，a11；當(dāng)n2時，anSnSn1anan1，故2，故an(2)n-1.三、解答題12已知數(shù)列an中，a11，an12an3，數(shù)列bn中，b11，且點(bn1，bn)在直線yx1上(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)求數(shù)列bn的通項公式解(1)an12an3，an132(an3)，2，又a134，數(shù)列an3是首項為4，公比為2的等比數(shù)列，an342n-12n1，an2n+13，nN.(2)(bn1，bn)在直線yx1上，bnbn11，即bn1bn1，又b11，數(shù)列bn是首項為1，公差為1的等差數(shù)列，bnn，nN.13已知Sn4an，求an與Sn.解Sn4

17、an，Sn14an1，n2，當(dāng)n2時，SnSn1anan1an.anan1n-1.2，2nan2n-1an12，2nan是等差數(shù)列，d2，首項為2a1.a1S14a12a1，a11，2nan22(n1)2n.annn-1，nN，Sn4an4n4.14若數(shù)列an中，a13且an1a(n是正整數(shù))，則它的通項公式an為_答案an解析由題意知an0，將an1a兩邊取對數(shù)得lg an12lg an，即2，所以數(shù)列l(wèi)g an是以lg a1lg 3為首項，2為公比的等比數(shù)列，lg an(lg a1)2n1lg ，即an.15已知數(shù)列an的首項a11，an1(nN)(1)證明：數(shù)列是等比數(shù)列(2)求an的通項an.(1)證明因為an1，所以.所以.又a11，所以，所以數(shù)列是以為首項，為公比的等比數(shù)列(2)解由(1)知n-1，即，所以an.13