《2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案:21《圓周角定理》(新人教A版選修4-1)》由會員分享,可在線閱讀,更多相關(guān)《2014-2015學(xué)年高二數(shù)學(xué)教案:21《圓周角定理》(新人教A版選修4-1)(14頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、一圓周角定理課標(biāo)解讀1.了解圓心角定理2.理解圓周角定理及其兩個推論,并能解決有關(guān)問題.1圓周角定理及其推論(1)圓周角定理:圓上一條弧所對的圓周角等于它所對的圓心角的一半(2)推論1:同弧或等弧所對的圓周角相等;同圓或等圓中,相等的圓周角所對的弧也相等(3)推論2:半圓(或直徑)所對的圓周角是直角;90的圓周角所對的弦是直徑2圓心角定理圓心角的度數(shù)等于它所對弧的度數(shù)1圓的一條弦所對的圓周角都相等嗎?【提示】不一定相等一般有兩種情況:相等或互補,弦所對的優(yōu)弧與所對劣弧上的點所成的圓周角互補,所對同一條弧上的圓周角都相等,直徑所對的圓周角既相等又互補2在推論1中,把“同弧或等弧改為“同弦或等弦的
2、話,結(jié)論還成立嗎?【提示】不成立因為一條弦所對的圓周角有兩種可能,在一般情況下是不相等的3“相等的圓周角所對的弧相等,正確嗎?【提示】不正確“相等的圓周角所對的弧相等是在“同圓或等圓中這一大前提下成立的,如圖假設(shè)ABDG,那么BACEDF,但.利用圓周角定理和圓心角定理進(jìn)行計算在半徑為5 cm的圓內(nèi)有長為5 cm的弦,求此弦所對的圓周角【思路探究】過圓心作弦的垂線構(gòu)造直角三角形先求弦所對的圓心角度數(shù),再分兩種情況求弦所對的圓周角的度數(shù)【自主解答】如下圖,過點O作ODAB于點D.ODAB,OD經(jīng)過圓心O,ADBD cm.在RtAOD中,OD cm,OAD30,AOD60.AOB2AOD120.A
3、CBAOB60.AOB120,劣弧的度數(shù)為120,優(yōu)弧的度數(shù)為240.AEB240120,此弦所對的圓周角為60或120.1解答此題時應(yīng)注意弦所對的圓周角有兩個,它們互為補角2和圓周角定理有關(guān)的線段、角的計算,不僅可以通過計算弧、圓心角、圓周角的度數(shù)來求相關(guān)的角、線段,有時,還可以通過比例線段,相似比來計算圖211如圖211,ABC內(nèi)接于O,點D是上任意一點,AD6 cm,BD5 cm,CD3 cm,求DE的長【解】,ADBCDE.又,BADECD.ABDCED.即.ED2.5 cm.與圓周角定理相關(guān)的證明如圖212,ABC的角平分線AD的延長線交它的外接圓于點E.圖212(1)證明:ABEA
4、DC;(2)假設(shè)ABC的面積SADAE,求BAC的大小【思路探究】(1)通過證明角相等來證明三角形相似(2)利用(1)的結(jié)論及面積相等求sinBAC的大小,從而求BAC的大小【自主解答】(1)由條件,可得BAECAD.因為AEB與ACB是同弧上的圓周角,所以AEBACD.故ABEADC.(2)因為ABEADC,所以,即ABACADAE.又SABACsinBAC且SADAE,故ABACsinBACADAE,那么sinBAC1,又BAC為三角形內(nèi)角,所以BAC90.1解答此題(2)時關(guān)鍵是利用ABACADAE以及面積SABACsinBAC確定sinBAC的值2利用圓中角的關(guān)系證明時應(yīng)注意的問題(1
5、)分析和所求,找好所在的三角形,并根據(jù)三角形所在圓上的特殊性,尋求相關(guān)的圓周角作為橋梁;(2)當(dāng)圓中出現(xiàn)直徑時,要注意尋找直徑所對的圓周角,然后在直角三角形中處理相關(guān)問題如圖213,ABC內(nèi)接于O,高AD、BE相交于H,AD的延長線交O于F,求證:BFBH.圖213【證明】BEAC,ADBC,AHEC.AHEBHF,F(xiàn)C,BHFF.BFBH.直徑所對的圓周角問題圖214如圖214所示,AB是半圓的直徑,AC為弦,且ACBC43,AB10 cm,ODAC于D.求四邊形OBCD的面積【思路探究】由AB是半圓的直徑知C90,再由條件求出OD、CD、BC的長可得四邊形OBCD的面積【自主解答】AB是半
6、圓的直徑,C90.ACBC43,AB10 cm,AC8 cm,BC6 cm.又ODAC,ODBC.OD是ABC的中位線,CDAC4 cm,ODBC3 cm.S四邊形OBCD(ODBC)DC(36)418 cm2.在圓中,直徑是一條特殊的弦,其所對的圓周角是直角,所對的弧是半圓,利用此性質(zhì)既可以計算角大小、線段長度又可以證明線線垂直、平行等位置關(guān)系,還可以證明比例式相等圖215如圖215,等腰三角形ABC中,以腰AC為直徑作半圓交AB于點E,交BC于點F,假設(shè)BAC50,那么的度數(shù)為()A25B50C100 D120【解析】如圖,連接AF.AC為O的直徑,AFC90,AFBC,ABAC,BAFB
7、AC25,的度數(shù)為50.【答案】B(教材第26頁習(xí)題2.1第3題)圖216如圖216,BC為O的直徑,ADBC,垂足為D,BF和AD相交于E,求證:AEBE.(2021陜西高考)如圖217,弦AB與CD相交于O內(nèi)一點E,過E作BC的平行線與AD的延長線交于點P,PD2DA2,那么PE_.圖217【命題意圖】此題主要考查圓周角定理、三角形相似等知識,證明三角形相似考查了邏輯推理能力,求線段的長度考查了知識的應(yīng)用能力及轉(zhuǎn)化意識【解析】BCPE,CPED.CA,APED.在PED和PAE中,PEDA,PP,PEDPAE,.PAPDDA3,PD2,PE2PAPD326,PE.【答案】1如圖218,在O
8、中,BAC60,那么BDC()圖218A30B45C60 D75【解析】O中,BAC與BDC都是所對的圓周角,故BDCBAC60.【答案】C2在ABC中,ABAC,ABAC,O是ABC的外接圓,那么所對的圓心角為()A22.5 B45C90 D不確定【解析】ACB45,所對的圓心角為2ACB90.【答案】C3(2021焦作模擬)如圖219,A、B、C是O的圓周上三點,假設(shè)BOC3BOA,那么CAB是ACB的_倍圖219【解析】BOC3BOA,3,CAB3ACB.【答案】34如圖2110所示,兩個同心圓中,的度數(shù)是30,且大圓半徑R4,小圓半徑r2,那么的度數(shù)是_圖2110【解析】的度數(shù)等于AO
9、B,又的度數(shù)等于AOB,那么的度數(shù)是30.【答案】30一、選擇題圖21111如圖2111所示,假設(shè)圓內(nèi)接四邊形的對角線相交于E,那么圖中相似三角形有()A1對B2對C3對 D4對【解析】由推論知:ADBACB,ABDACD,BACBDC,CADCBD,AEBDEC,AEDBEC.【答案】B2在半徑為R的圓中有一條長度為R的弦,那么該弦所對的圓周角的度數(shù)是()A30 B30或150C60 D60或120【解析】弦所對的圓心角為60,又弦所對的圓周角有兩個且互補,應(yīng)選B.【答案】B3如圖2112所示,等腰ABC內(nèi)接于O,ABAC,A40,D是的中點,E是的中點,分別連接BD、DE、BE,那么BDE
10、的三內(nèi)角的度數(shù)分別是()圖2112A50,30,100 B55,20,105C60,10,110 D40,20,120【解析】如下圖,連接AD.ABAC,D是的中點,AD過圓心O.A40,BEDBAD20 ,CBDCAD20.E是的中點,CBECBA35,EBDCBECBD55.BDE1802055105,應(yīng)選B.【答案】B4如圖2113,點A、B、C是圓O上的點,且AB4,ACB30,那么圓O的面積等于()圖2113A4 B8C12 D16【解析】連接OA,OB.ACB30,AOB60,又OAOB,AOB為等邊三角形又AB4,OAOB4.SO4216.【答案】D二、填空題圖21145(202
11、1平頂山模擬)如圖2114,RtABC的兩條直角邊AC,BC的長分別為3 cm,4 cm,以AC為直徑的圓與AB交于點D,那么_.【解析】連接CD,AC是O的直徑,CDA90.由射影定理得BC2BDBA,AC2ADAB,即.【答案】6如圖2115,AB為O的直徑,弦AC,BD交于點P,假設(shè)AB3,CD1,那么sinAPD_.圖2115【解析】由于AB為O的直徑,那么ADP90,所以APD是直角三角形那么sinAPD,cosAPD,由題意知,DCPABP,CDPBAP,所以PCDPBA.所以,又AB3,CD1,那么.cosAPD.又sin2APDcos2APD1,sinAPD.【答案】三、解答題
12、7如圖2116,A、B、C、D是O上的四個點,ABBC,BD交AC于點E,連接CD、AD.(1)求證:DB平分ADC;(2)假設(shè)BE3,ED6,求AB的長圖2116【解】(1)證明:ABBC,BDCADB,DB平分ADC.(2)由(1)可知.BACADB.ABEABD.ABEDBA.BE3,ED6,BD9.AB2BEBD3927.AB3.8如圖2117, ABC是圓O的內(nèi)接等邊三角形,ADAB,與BC的延長線相交于點D,與圓O相交于點E,假設(shè)圓O的半徑r1,求DE的長度圖2117【解】連接BE,ADAB,BE為O的直徑,且BE2r2.又AEBACB60,ABE30,EBD30.又ABD60,D
13、EBD30,DEBE2.9如圖2118所示,在圓內(nèi)接ABC中,ABAC,D是BC邊上的一點,E是直線AD和ABC外接圓的交點圖2118(1)求證:AB2ADAE;(2)如圖2118所示,當(dāng)D為BC延長線上的一點時,第(1)題的結(jié)論成立嗎?假設(shè)成立請證明;假設(shè)不成立,請說明理由【解】(1)證明:如右圖,連接BE.ABAC,ABCACB.ACBAEB,ABCAEB.又BADEAB.ABDAEB.ABAEADAB,即AB2ADAE.(2)如圖,連接BE,結(jié)論仍然成立,證法同(1)10.:如圖,BC為半圓O的直徑,F(xiàn)是半圓上異于B、C的一點,A是的中點,ADBC于點D,BF交AD于點E.(1)求證:BEBFBDBC;(2)試比擬線段BD與AE的大小,并說明道理【解】(1)證明:連接FC,那么BFFC.在BDE和BCF中,BFCEDB90FBCEBD,BDEBFC.即BEBFBDBC.(2)連接AC、AB,那么BAC90.,12.又2ABC90,3ABD90,23,13.AEBE.在RtEBD中,BEBD,AEBD.