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1、例析二次函數(shù)圖象性質(zhì)的運(yùn)用徐加生與二次函數(shù)相關(guān)的題目是高考的熱點(diǎn)題型,充分利用二次函數(shù)圖象的性質(zhì),從形象直觀到理性思考,能找到較為簡(jiǎn)捷的解題思路。下面從不同側(cè)面入手,介紹幾種常見類型的解題思路。一、圖象的位置根據(jù)題意考察結(jié)合條件的二次函數(shù)圖象的位置,以形助數(shù)列出不等式易求解。例1. 若二次函數(shù)在區(qū)間內(nèi)至少存在一點(diǎn)c,使,求實(shí)數(shù)p的取值范圍。分析1:依題意有或即或解得或所以分析2:(補(bǔ)集法)問題的反面即拋物線在內(nèi)位于x軸下方(含與x軸的交點(diǎn))。令且,得且求得或求其補(bǔ)集得符合題意的解是二、圖象的對(duì)稱軸二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸是二次函數(shù)的重要幾何特征,除軸對(duì)稱的關(guān)系外,還有圖象頂點(diǎn)的橫坐標(biāo)這一幾何量。靈
2、活運(yùn)用這些知識(shí)來解題,效果甚好。例2. 已知a0,函數(shù)(I)當(dāng)b0時(shí),若對(duì)任意,都有,證明。(II)當(dāng)b1時(shí),證明對(duì)任意,的充要條件是;(III)當(dāng)時(shí),討論對(duì)任意的充要條件。解:(I)因?yàn)閷?duì)恒成立,且所以又f(x)圖象過原點(diǎn)且對(duì)稱軸,故時(shí),恒成立的充要條件為或(II)當(dāng)時(shí),因,故的解集為空集,而的解等價(jià)于(III)當(dāng)時(shí),由得,因,且,由得,故時(shí),的充要條件是。三、與x軸的交點(diǎn)當(dāng)二次函數(shù)的圖象與x軸相交時(shí),利用交點(diǎn)所在位置,根據(jù)范圍列式,可獲簡(jiǎn)解。例3. 關(guān)于x的實(shí)系數(shù)二次方程的兩實(shí)根為,證明:(1)如果,那么且;(2)如果且,那么。分析:所證兩個(gè)小題,即證且的充要條件是且。若令,則問題轉(zhuǎn)化為求
3、證拋物線與x軸的兩個(gè)交點(diǎn)落在區(qū)間內(nèi)的充要條件是且,故。由,從而,且四、在x軸上截得的弦二次函數(shù)的圖象拋物線截x軸所得的弦長(zhǎng)為運(yùn)用此公式是解決有關(guān)弦長(zhǎng)問題的重要手段。例4. 已知二次函數(shù),其中且。(1)求證此函數(shù)的圖象與x軸交于相異兩點(diǎn);(2)設(shè)函數(shù)圖象截x軸所得的線段的長(zhǎng)為L(zhǎng),求L的取值范圍。略解:(1)因?yàn)榍?,則,所以,故,即函數(shù)圖象與x軸交于相異兩點(diǎn)。(2)設(shè)函數(shù)圖象與x軸兩交點(diǎn)為,則又且故,則有而在上是單調(diào)減函數(shù),則故五、函數(shù)圖象的頂點(diǎn)位置二次函數(shù)圖象的頂點(diǎn)即二次函數(shù)的最大值或最小值點(diǎn),而在閉區(qū)間上的最值問題必須根據(jù)頂點(diǎn)的位置變化來討論解決。例5. 已知函數(shù),當(dāng)時(shí),恒成立,求a的取值范圍。分析:若恒成立,即有f(x)在上的最小值。收于下面按對(duì)稱軸與定義域的位置關(guān)系分類求解。(1)當(dāng),即時(shí),解得,則。(2)當(dāng)即時(shí),得,則。(3)當(dāng),即時(shí),得,與矛盾,舍去。綜上所述,得。六、函數(shù)單調(diào)性二次函數(shù)的單調(diào)性是比較簡(jiǎn)單的,根據(jù)其單調(diào)區(qū)間的判定,可獲得函數(shù)取最值的情況,從而可列式來判斷參數(shù)的取值。例6. 已知且(1)設(shè),求的表達(dá)式;(2)設(shè),試問:是否存在實(shí)數(shù),使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù)。分析:(1)由得即則若設(shè),則要使在上是減函數(shù)并且在上是增函數(shù),即要使h(t)在上單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增根據(jù)二次函數(shù)單調(diào)性,知是對(duì)稱軸,故有得即存在實(shí)數(shù)滿足題意。