《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（全國卷3含解析）》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理（全國卷3含解析）（23頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、絕密啟用前2020年普通高等學校招生全國統(tǒng)一考試數(shù)學試題 理全國卷3【命題特點】2020年新課標III高考數(shù)學試卷，試卷內(nèi)容上體現(xiàn)新課程理念，貼近中學數(shù)學教學，堅持對基礎(chǔ)知識、基本技能以及數(shù)學思想方法的考查。在保持穩(wěn)定的基礎(chǔ)上，進行適度的改革和創(chuàng)新。2020年的數(shù)學試卷“以穩(wěn)為主”試卷結(jié)構(gòu)平穩(wěn)，同時題目平和、無偏怪題，難度控制理想?！胺€(wěn)中求進”試卷考查的具體知識點有變化。 1、回歸教材，注重基礎(chǔ) 2020 年新課標III卷遵循了考查基礎(chǔ)知識為主體的原則，尤其是考試說明中的大部分考點，考查了復數(shù)、三角函數(shù)、折線圖、概率、解析幾何、向量、框圖、線性規(guī)劃等考點。 2、適當設(shè)置題目難度與區(qū)分度 與往年

2、課標III卷相對比，今年的難度設(shè)置在最后21題。尤其以選擇題第 12 題和填空題第 16道，只要能認真分析，解決此問題的是不成問題。 3、布局合理，考查全面，著重數(shù)學方法和數(shù)學思想的考察 解答題部分，包括三角函數(shù)、立體幾何、概率統(tǒng)計、解析幾何、導數(shù)五大版塊和二選一問題。以知識為載體，立意于能力。 4、命題考察的沿續(xù)性 2020 年新課標III卷，在力求創(chuàng)新基礎(chǔ)上，也有一些不變的東西。例如 2020 年新課標 III 卷在集合、復數(shù)、算法、線性規(guī)劃的命題方式基本完全一致?！久}趨勢】1.函數(shù)知識：以導數(shù)知識為背景的函數(shù)問題；分段函數(shù)與不等式結(jié)合的題目；三角函數(shù)的性質(zhì)及其討論；從重結(jié)果考查轉(zhuǎn)向重過

3、程考查；從熟悉情景的考查轉(zhuǎn)向新穎情景的考查。 2.函數(shù)零點問題：函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用 3.不等式知識：突出工具性，不等式的性質(zhì)與分段函數(shù)，絕對值的性質(zhì)綜合起來進行考查，考查學生的等價轉(zhuǎn)化能力和分類討論能力；4.立體幾何知識：2020年已經(jīng)變得簡單，2020年難度依然不大， 16題填空題將立體幾何的知識與運動問題相聯(lián)系，然后確定最值及取值范圍；第8題考查圓柱的體積問題，要求學生的空間想象能力比加強.5.解析幾何知識：解答題主要考查直線、拋物線和圓的知識，考試的難度與往年持平，選擇題5題考查共焦點問題，屬于常規(guī)題目，10題綜合了拋物線、圓和直線的

4、問題，需要對位置關(guān)系有透徹的理解。6.導數(shù)知識：導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點， 21題加強了與不等式的聯(lián)系，要求學生的對導數(shù)的深層含義能準確把握，12題涉及零點問題，由唯一性確定參數(shù)值，要應用選擇題的特點靈活處理.一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知集合A=，B=，則AB中元素的個數(shù)為A3B2C1D0【答案】B【解析】【考點】 交集運算；集合中的表示方法?！久麕燑c睛】求集合的基本運算時，要認清集合元素的屬性(是點集、數(shù)集或其他情形)和化簡集合，這是正確求解集合運算的兩個

5、先決條件。集合中元素的三個特性中的互異性對解題影響較大，特別是含有字母的集合，在求出字母的值后，要注意檢驗集合中的元素是否滿足互異性。2設(shè)復數(shù)z滿足(1+i)z=2i，則z=ABCD2【答案】C【解析】【考點】 復數(shù)的模；復數(shù)的運算法則【名師點睛】共軛與模是復數(shù)的重要性質(zhì)，注意運算性質(zhì)有：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) 。3某城市為了解游客人數(shù)的變化規(guī)律，提高旅游服務質(zhì)量，收集并整理了2020年1月至2020年12月期間月接待游客量（單位：萬人）的數(shù)據(jù)，繪制了下面的折線圖根據(jù)該折線圖，下列結(jié)論錯誤的是A月接待游客量逐月增加B年接待游客量逐年增加C各年的月接待游客量高峰

6、期大致在7,8月D各年1月至6月的月接待游客量相對7月至12月，波動性更小，變化比較平穩(wěn)【答案】A【解析】動性大，選項D說法正確；故選D?！究键c】 折線圖【名師點睛】將頻率分布直方圖中相鄰的矩形的上底邊的中點順次連結(jié)起來，就得到一條折線，我們稱這條折線為本組數(shù)據(jù)的頻率折線圖，頻率分布折線圖的的首、尾兩端取值區(qū)間兩端點須分別向外延伸半個組距，即折線圖是頻率分布直方圖的近似，他們比頻率分布表更直觀、形象地反映了樣本的分布規(guī)律。4的展開式中33的系數(shù)為A B C40D80【答案】C【解析】試題分析：， 由 展開式的通項公式： 可得：當 時， 展開式中 的系數(shù)為 ，當 時， 展開式中 的系數(shù)為 ，則

7、的系數(shù)為 。故選C?！究键c】 二項式展開式的通項公式【名師點睛】(1)二項式定理的核心是通項公式，求解此類問題可以分兩步完成：第一步根據(jù)所給出的條件(特定項)和通項公式，建立方程來確定指數(shù)(求解時要注意二項式系數(shù)中n和r的隱含條件，即n，r均為非負整數(shù)，且nr，如常數(shù)項指數(shù)為零、有理項指數(shù)為整數(shù)等)；第二步是根據(jù)所求的指數(shù)，再求所求解的項。(2)求兩個多項式的積的特定項，可先化簡或利用分類加法計數(shù)原理討論求解。5已知雙曲線C： (a0,b0)的一條漸近線方程為,且與橢圓有公共焦點，則C的方程為ABCD【答案】B【解析】故選B?！究键c】 雙曲線與橢圓共焦點問題；待定系數(shù)法求雙曲線的方程?！久麕燑c

8、睛】求雙曲線的標準方程的基本方法是待定系數(shù)法。具體過程是先定形，再定量，即先確定雙曲線標準方程的形式，然后再根據(jù)a，b，c，e及漸近線之間的關(guān)系，求出a，b的值。如果已知雙曲線的漸近線方程，求雙曲線的標準方程，可利用有公共漸近線的雙曲線方程為，再由條件求出的值即可。6設(shè)函數(shù)f(x)=cos(x+)，則下列結(jié)論錯誤的是Af(x)的一個周期為2By=f(x)的圖像關(guān)于直線x=對稱Cf(x+)的一個零點為x=Df(x)在(,)單調(diào)遞減【答案】D【解析】當 時， ，函數(shù)在該區(qū)間內(nèi)不單調(diào)，選項D錯誤；故選D。【考點】 函數(shù) 的性質(zhì)【名師點睛】(1)求最小正周期時可先把所給三角函數(shù)式化為yAsin(x)或

9、yAcos( x)的形式，則最小正周期為；奇偶性的判斷關(guān)鍵是解析式是否為yAsin x或yAcos xb的形式。(2)求f(x)Asin(x)(0)的對稱軸，只需令，求x；求f(x)的對稱中心的橫坐標，只需令xk(kZ)即可。7執(zhí)行右圖的程序框圖，為使輸出S的值小于91，則輸入的正整數(shù)N的最小值為A5B4C3D2【答案】D【解析】【考點】 流程圖【名師點睛】利用循環(huán)結(jié)構(gòu)表示算法，一定要先確定是用當型循環(huán)結(jié)構(gòu)，還是用直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)；當型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是先判斷再循環(huán)，直到型循環(huán)結(jié)構(gòu)的特點是先執(zhí)行一次循環(huán)體，再判斷；注意輸入框、處理框、判斷框的功能，不可混用；賦值語句賦值號左邊只能是變量，不能是表達

10、式，右邊的表達式可以是一個常量、變量或含變量的運算式。8已知圓柱的高為1，它的兩個底面的圓周在直徑為2的同一個球的球面上，則該圓柱的體積為ABCD【答案】B【解析】試題分析：繪制圓柱的軸截面如圖所示，由題意可得：，結(jié)合勾股定理，底面半徑，由圓柱的體積公式可得：圓柱的體積是，故選B?！究键c】 圓柱的體積公式【名師點睛】(1)求解以空間幾何體的體積的關(guān)鍵是確定幾何體的元素以及線面的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，利用相應體積公式求解；(2)若所給幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用等積法、分割法、補形法等方法進行求解。9等差數(shù)列的首項為1，公差不為0若a2，a3，a6成等比數(shù)列，則前6項的和為A B C3

11、D8【答案】A【解析】【考點】 等差數(shù)列求和公式；等差數(shù)列基本量的計算【名師點睛】(1)等差數(shù)列的通項公式及前n項和公式，共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現(xiàn)了用方程的思想解決問題。(2)數(shù)列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個基本量，用它們表示已知和未知是常用方法。10已知橢圓C：，（ab0）的左、右頂點分別為A1，A2，且以線段A1A2為直徑的圓與直線相切，則C的離心率為ABCD【答案】A【解析】【考點】 橢圓的離心率的求解；直線與圓的位置關(guān)系【名師點睛】橢圓的離心率是橢圓最重要的幾何性質(zhì)，求橢圓的離心率(或離心率的取

12、值范圍)，常見有兩種方法：求出a，c，代入公式e ；只需要根據(jù)一個條件得到關(guān)于a，b，c的齊次式，結(jié)合b2a2c2轉(zhuǎn)化為a，c的齊次式，然后等式(不等式)兩邊分別除以a或a2轉(zhuǎn)化為關(guān)于e的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得e(e的取值范圍)。11已知函數(shù)有唯一零點，則a=ABCD1【答案】C【解析】試題分析：函數(shù)的零點滿足，設(shè)，則，當時，當時，函數(shù) 單調(diào)遞減，當時，函數(shù) 單調(diào)遞增，【考點】 函數(shù)的零點；導函數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，分類討論的數(shù)學思想【名師點睛】函數(shù)零點的應用主要表現(xiàn)在利用零點求參數(shù)范圍，若方程可解，通過解方程即可得出參數(shù)的范圍，若方程不易解或不可解，則將問題轉(zhuǎn)化為構(gòu)造兩個函數(shù)，

13、利用兩個函數(shù)圖象的關(guān)系求解，這樣會使得問題變得直觀、簡單，這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合思想的應用。12在矩形ABCD中，AB=1，AD=2，動點P在以點C為圓心且與BD相切的圓上。若= +，則+的最大值為A3B2CD2【答案】A【解析】試題分析：如圖所示，建立平面直角坐標系設(shè) ,根據(jù)等面積公式可得圓的半徑，即圓C的方程是 ，【考點】 平面向量的坐標運算；平面向量基本定理【名師點睛】(1)應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是利用平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算。(2)用向量基本定理解決問題的一般思路是：先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決。二

14、、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13若，滿足約束條件，則的最小值為_?！敬鸢浮?【解析】試題分析：繪制不等式組表示的可行域，目標函數(shù)即：，其中表示斜率為的直線系與可行域有交點時直線的截距值的 倍，截距最大的時候目標函數(shù)取得最小值，數(shù)形結(jié)合可得目標函數(shù)在點 處取得最小值?！究键c】應用線性規(guī)劃求最值【名師點睛】求線性目標函數(shù)zaxby(ab0)的最值，當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最大，在y軸截距最小時，z值最??；當b0時，直線過可行域且在y軸上截距最大時，z值最小，在y軸上截距最小時，z值最大。14設(shè)等比數(shù)列滿足a1 + a2 = 1, a1 a3 = 3，則a4

15、 = _?！敬鸢浮俊窘馕觥俊究键c】 等比數(shù)列的通項公式【名師點睛】等比數(shù)列基本量的求解是等比數(shù)列中的一類基本問題，解決這類問題的關(guān)鍵在于熟練掌握等比數(shù)列的有關(guān)公式并能靈活運用，尤其需要注意的是，在使用等比數(shù)列的前n項和公式時，應該要分類討論，有時還應善于運用整體代換思想簡化運算過程。15設(shè)函數(shù)則滿足的x的取值范圍是_?！敬鸢浮俊窘馕觥吭囶}分析：令 ，當時，當時，當時，【考點】 分段函數(shù)；分類討論的思想【名師點睛】(1)求分段函數(shù)的函數(shù)值，要先確定要求值的自變量屬于哪一段區(qū)間，然后代入該段的解析式求值，當出現(xiàn)f(f(a)的形式時，應從內(nèi)到外依次求值。(2)當給出函數(shù)值求自變量的值時，先假設(shè)所求的

16、值在分段函數(shù)定義區(qū)間的各段上，然后求出相應自變量的值，切記要代入檢驗，看所求的自變量的值是否滿足相應段自變量的取值范圍。16a，b為空間中兩條互相垂直的直線，等腰直角三角形ABC的直角邊AC所在直線與a，b都垂直，斜邊AB以直線AC為旋轉(zhuǎn)軸旋轉(zhuǎn)，有下列結(jié)論：當直線AB與a成60角時，AB與b成30角；當直線AB與a成60角時，AB與b成60角；直線AB與a所成角的最小值為45；直線AB與a所成角的最小值為60。其中正確的是_。（填寫所有正確結(jié)論的編號）【答案】【解析】【考點】 異面直線所成的角【名師點睛】(1)平移線段法是求異面直線所成角的常用方法，其基本思路是通過平移直線，把異面問題化歸為共

17、面問題來解決，具體步驟如下：平移：平移異面直線中的一條或兩條，作出異面直線所成的角；認定：證明作出的角就是所求異面直線所成的角；計算：求該角的值，常利用解三角形；取舍：由異面直線所成的角的取值范圍是，當所作的角為鈍角時，應取它的補角作為兩條異面直線所成的角。(2)求異面直線所成的角要特別注意異面直線之間所成角的范圍。三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答。第22、23題為選考題，考生根據(jù)要求作答。（一）必考題：共60分。17（12分）ABC的內(nèi)角A，B，C的對邊分別為a，b，c。已知 ，a=2,b=2。（1）求c；（2）設(shè)D為

18、BC邊上一點，且ADAC,求ABD的面積?！敬鸢浮?1) ；(2) 【解析】【考點】 余弦定理解三角形；三角形的面積公式【名師點睛】在解決三角形問題中，面積公式最常用，因為公式中既有邊又有角，容易和正弦定理、余弦定理聯(lián)系起來。正、余弦定理在應用時，應注意靈活性，已知兩角和一邊，該三角形是確定的，其解是唯一的；已知兩邊和一邊的對角，該三角形具有不唯一性，通常根據(jù)三角函數(shù)值的有界性和大邊對大角定理進行判斷。18（12分）某超市計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同，進貨成本每瓶4元，售價每瓶6元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完。根據(jù)往年銷售經(jīng)驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：

19、）有關(guān)。如果最高氣溫不低于25，需求量為500瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間20，25），需求量為300瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為200瓶為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據(jù)，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫10，15）15，20）20，25）25，30）30，35）35，40）天數(shù)216362574以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率。（1）求六月份這種酸奶一天的需求量X（單位：瓶）的分布列；（2）設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤為Y（單位：元）。當六月份這種酸奶一天的進貨量n（單位：瓶）為多少時，Y的數(shù)學期望達到最大值？【答案】(1)分布列略；(2)

20、 n=300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元。【解析】若最高氣溫不低于25，則 ，若最高氣溫位于區(qū)間，則;若最高氣溫低于20，則 ;因此 。當時，若最高氣溫不低于20，則 ;若最高氣溫低于20，則 ;因此 。所以n=300時，Y的數(shù)學期望達到最大值，最大值為520元。【考點】 離散型隨機變量的分布列；數(shù)學期望；【名師點睛】離散型隨機變量的分布列指出了隨機變量X的取值范圍以及取各值的概率；要理解兩種特殊的概率分布兩點分布與超幾何分布；并善于靈活運用兩性質(zhì)：一是pi0(i1,2，)；二是p1p2pn1檢驗分布列的正誤。19（12分）如圖，四面體ABCD中，ABC是正三角形，ACD是直角

21、三角形，ABD=CBD，AB=BD（1）證明：平面ACD平面ABC；（2）過AC的平面交BD于點E，若平面AEC把四面體ABCD分成體積相等的兩部分，求二面角DAEC的余弦值?！敬鸢浮?1)證明略；(2) ?！窘馕觥坑钟捎贏BC是正三角形，故。所以為二面角 的平面角。在RtAOB中， 。又 ，所以 ，故 。所以平面ACD平面ABC。（2）可取 。設(shè)是平面AEC的法向量，則同理可得 。則 。所以二面角D-AE-C的余弦值為 ?！究键c】 二面角的平面角；面面角的向量求法【名師點睛】(1)求解本題要注意兩點：一是兩平面的法向量的夾角不一定是所求的二面角，二是利用方程思想進行向量運算，要認真細心，準確

22、計算。(2)設(shè)m，n分別為平面，的法向量，則二面角與互補或相等，故有|cos |cos|=。求解時一定要注意結(jié)合實際圖形判斷所求角是銳角還是鈍角。20（12分）已知拋物線C：y2=2x，過點（2,0）的直線l交C與A,B兩點，圓M是以線段AB為直徑的圓。（1）證明：坐標原點O在圓M上；（2）設(shè)圓M過點，求直線l與圓M的方程。【答案】(1)證明略；(2)直線 的方程為 ，圓 的方程為 ?；蛑本€ 的方程為 ，圓 的方程為 ?！窘馕觥抗首鴺嗽c 在圓 上。(2)由(1)可得 。故圓心 的坐標為 ，圓 的半徑 .由于圓 過點 ，因此 ，故 ，即 。由(1)可得 ?！究键c】 直線與拋物線的位置關(guān)系；圓的

23、方程【名師點睛】直線與拋物線的位置關(guān)系和直線與橢圓、雙曲線的位置關(guān)系類似，一般要用到根與系數(shù)的關(guān)系；在解決直線與拋物線的位置關(guān)系時，要特別注意直線與拋物線的對稱軸平行的特殊情況。中點弦問題，可以利用“點差法”，但不要忘記驗證0或說明中點在曲線內(nèi)部。21（12分）已知函數(shù) 。（1）若 ，求a的值；（2）設(shè)m為整數(shù)，且對于任意正整數(shù)n ，求m的最小值。【答案】(1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)由原函數(shù)與導函數(shù)的關(guān)系可得x=a是在的唯一最小值點，列方程解得 ；(2)利用題意結(jié)合(1)的結(jié)論對不等式進行放縮，求得，結(jié)合可知實數(shù) 的最小值為 試題解析：解：（1）的定義域為.故 。而 ，所以 的最

24、小值為 ?！究键c】 導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性；導數(shù)研究函數(shù)的最值；利用導數(shù)證明不等式【名師點睛】導數(shù)是研究函數(shù)的單調(diào)性、極值(最值)最有效的工具，而函數(shù)是高中數(shù)學中重要的知識點，所以在歷屆高考中，對導數(shù)的應用的考查都非常突出 ，本專題在高考中的命題方向及命題角度 從高考來看，對導數(shù)的應用的考查主要從以下幾個角度進行： (1)考查導數(shù)的幾何意義，往往與解析幾何、微積分相聯(lián)系 (2)利用導數(shù)求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，判斷單調(diào)性；已知單調(diào)性，求參數(shù) (3)利用導數(shù)求函數(shù)的最值(極值)，解決生活中的優(yōu)化問題 (4)考查數(shù)形結(jié)合思想的應用（二）選考題：共10分。請考生在第22、23題中任選一題作答，如果多做，則按所

25、做的第一題計分。22選修44：坐標系與參數(shù)方程（10分）在直角坐標系xOy中，直線l1的參數(shù)方程為（t為參數(shù)），直線l2的參數(shù)方程為。設(shè)l1與l2的交點為P，當k變化時，P的軌跡為曲線C。（1）寫出C的普通方程；（2）以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，設(shè)，M為l3與C的交點，求M的極徑。【答案】(1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)利用題意首先得到曲線 的參數(shù)方程，然后消去參數(shù)即可得到曲線 的普通方程；(2)聯(lián)立兩個極坐標方程可得，代入極坐標方程進行計算可得極徑的值為 試題解析：（1）消去參數(shù) 得 的普通方程；消去參數(shù)m得l2的普通方程【考點】 參數(shù)方程與直角坐標方程互化；極

26、坐標中的極徑的求解【名師點睛】本題考查了極坐標方程的求法及應用。重點考查了轉(zhuǎn)化與化歸能力。遇到求曲線交點、距離、線段長等幾何問題時，求解的一般方法是分別化為普通方程和直角坐標方程后求解，或者直接利用極坐標的幾何意義求解。要結(jié)合題目本身特點，確定選擇何種方程。23選修45：不等式選講（10分）已知函數(shù)f（x）=x+1x2。（1）求不等式f（x）1的解集；（2）若不等式的解集非空，求m的取值范圍。【答案】(1) ；(2) 【解析】試題分析：(1)將函數(shù)零點分段然后求解不等式即可；(2)利用題意結(jié)合絕對值不等式的性質(zhì)有，則m的取值范圍是試題解析：（1）【考點】 絕對值不等式的解法【名師點睛】絕對值不等式的解法有三種：法一：利用絕對值不等式的幾何意義求解，體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想；法二：利用“零點分段法”求解，體現(xiàn)了分類討論的思想；法三：通過構(gòu)造函數(shù)，利用函數(shù)的圖象求解，體現(xiàn)了函數(shù)與方程的思想。