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1、淺談函數的對稱性 新化二中數學組 陳秋生 函數的對稱性是函數性質的一條非常重要的性質，對學生的邏輯思維能力和數形結合思想有著較高的要求，也逐漸成了高考和競賽的熱點，筆者在分析2020年高考試題時發(fā)現：全國卷Ⅱ（文）第4題，北京卷（文）第2題，天津卷（理）第8題，山東卷（理）第6題，湖南（文）第8題等，都是一些能直接用函數對稱性解決的問題。但同時也使很多同學感到困惑，本文就筆者在教學中的一些心得談幾點淺顯的看法。 一、 函數自身的對稱性 結論１. 若函數 y = f (x)滿足f (a +x) = f (b－x)那么函數本身的圖像關于直線x = 對稱，反之亦然。 證明 ：已知對于任

2、意的都有f(a+) =f(b－)= 令a+=, b－= 則Ａ（，），Ｂ（，）是函數y=f(x)上的點 　　　顯然，兩點是關于x= 對稱的。 　　　反之，若已知函數關于直線x = 對稱， 　　　在函數y = f (x)上任取一點Ｐ（）那么（） 關于x = 對稱點（a+ b－,）也在函數上 故f()=f(a+ b－)f(a+(-a))=f(b-(-a)) 所以有f (a +x) = f (b－x)成立。 推論：偶函數（f(x)=f(-x)）關于y軸對稱。 結論２.如果函數 y = f (x)滿足f (x) + f (a－x) = b，那么它的圖像關于點A

3、 ()對稱，反之亦然。 證明：設點P(x ,y)是y = f (x)圖像上任一點， 則點P()關于點A ())的對稱點P‘（a－， b－）也在 y = f (x)圖像上，故b－ = f (a－) 即 + f (a－)=b 故f (x) + f (a－x) = b 反之，設點P()是y = f (x)圖像上任一點，則0 = f () ∵ f (x) + f (a－x) =b∴f () + f (a－) =b，即b－ = f (a－) 。 故點P‘（a－， b－）也在y = f (x) 圖像上， 而點P與點P‘關于點A ())對稱， 所以函數圖象是關于點成中心對稱的。 推

4、論：奇函數（f(-x)=-f(x)）圖象關于原點成中心對稱。 結論３ A)若函數y = f (x) 圖像同時關于點P (a ,c)和點Q (b ,c)成中心對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。 B)若函數y = f (x) 圖像同時關于直線x = a 和直線x = b成軸對稱 （a≠b），則y = f (x)是周期函數，且2| a－b|是其一個周期。 C)若函數y = f (x)圖像既關于點A (a ,c) 成中心對稱又關于直線x =b成軸對稱（a≠b），則y = f (x)是周期函數，且4| a－b|是其一個周期。 證明（略）

5、例如：設函數y=f(x)定義在實數集上，則函數y=f(x－2)與函數y=f(2－x)的圖象關于＿＿＿＿＿對稱。 ∵函數是定義在Ｒ上的函數且f(x－2)＝f(2－x) 由f(a-x)=f(x+b)的對稱軸是x=0 ∴函數圖象關于y軸對稱！　 細心的讀者會看出，它其實不是同一個函數的對稱問題，而是兩個函數的對稱，所以上述的解法是錯誤的。 二、 不同函數的對稱問題 結論１.若點p(,)關于點Ａ（a,b）對稱點為q() 　　　　則＝2a-,=2b- 若點p(,)關于直線Ax+By+C=0對稱點為q() 　　　　則＝ 　　　　?。剑ㄗC明留給讀者） 結論２. 函數y = f (x

6、)與y = 2b－f (2a－x)的圖像關于點A (a ,b)成中心對稱。 結論３.函數y = f (x)與y = f (2a－x)的圖像關于直線x = a成軸對稱。 函數y = f (x)與a－x = f (a－y)的圖像關于直線x +y = a成軸對稱。 函數y = f (x)與x－a = f (y + a)的圖像關于直線x－y = a成軸對稱。 設點P(x0 ,y0)是y = f (x)圖像上任一點，則y0 = f (x0)。記點P( x ,y)關于直線x－y = a的軸對稱點為P‘（x1， y1），則x1 = a + y0 , y1 = x0－a ，∴x0 = a +

7、y1 , y0= x1－a 代入y0 = f (x0)之中得x1－a = f (a + y1) ∴點P‘（x1， y1）在函數x－a = f (y + a)的圖像上。 同理可證：函數x－a = f (y + a)的圖像上任一點關于直線x－y = a的軸對稱點也在函數y = f (x)的圖像上。故定理5中的③成立。 推論：函數y = f (x)的圖像與x = f (y)的圖像關于直線x = y 成軸對稱。 三、 函數對稱性應用舉例 例1：定義在R上的非常數函數滿足：f (10+x)為偶函數，且f (5－x) = f (5+x),則f (x)一定是（ ） （第十二屆希望杯高二 第二試題

8、） (A)是偶函數，也是周期函數 (B)是偶函數，但不是周期函數 (C)是奇函數，也是周期函數 (D)是奇函數，但不是周期函數 解：∵f (10+x)為偶函數，∴f (10+x) = f (10－x). ∴f (x)有兩條對稱軸 x = 5與x =10 ，因此f (x)是以10為其一個周期的周期函數， ∴x =0即y軸也是f (x)的對稱軸，因此f (x)還是一個偶函數。 故選(A) 例2：設定義域為R的函數y = f (x)、y = g(x)都有反函數，并且f(x－1)和g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱，若g(5) = 1999，那么f(4)=（ ）。

9、 （A） 1999； （B）2000； （C）2001； （D）2002。 解：∵y = f(x－1)和y = g-1(x－2)函數的圖像關于直線y = x對稱， ∴y = g-1(x－2) 反函數是y = f(x－1)，而y = g-1(x－2)的反函數是:y = 2 + g(x), ∴f(x－1) = 2 + g(x), ∴有f(5－1) = 2 + g(5)=2001 故f(4) = 2001,應選（C） 例3.設f(x)是定義在R上的偶函數，且f(1+x)= f(1－x),當－1≤x≤0時， f (x) = －x，則f (8.6 ) = _________ （第八屆

10、希望杯高二 第一試題） 解：∵f(x)是定義在R上的偶函數∴x = 0是y = f(x)對稱軸； 又∵f(1+x)= f(1－x) ∴x = 1也是y = f (x) 對稱軸。故y = f(x)是以2為周期的周期函數，∴f (8.6 ) = f (8+0.6 ) = f (0.6 ) = f (－0.6 ) = 0.3 例4.函數 y = sin (2x + )的圖像的一條對稱軸的方程是（ ）(92全國高考理) (A) x = － (B) x = － (C) x = (D) x = 解：函數 y = sin (2x + )的圖像的所有對稱軸的方程是2x + = k+ ∴

11、x = －,顯然取k = 1時的對稱軸方程是x = － 故選(A) 例5. 設f(x)是定義在R上的奇函數，且f(x+2)= －f(x),當0≤x≤1時， f (x) = x，則f (7.5 ) = （ ） (A) 0.5 (B) －0.5 (C) 1.5 (D) －1.5 解：∵y = f (x)是定義在R上的奇函數，∴點（0，0）是其對稱中心； 又∵f (x+2 )= －f (x) = f (－x)，即f (1+ x) = f (1－x)， ∴直線x = 1是y = f (x) 對稱軸，故y = f (x)是周期為2的周期函數。 ∴f (7.5 ) = f (8－0.5 ) = f (－0.5 ) = －f (0.5 ) =－0.5 故選(B)