《選修4-2矩陣與變換第二節(jié) 矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《選修4-2矩陣與變換第二節(jié) 矩陣的逆矩陣、特征值與特征向量（12頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、1矩陣的逆矩陣(1)一般地，設(shè)是一個(gè)線性變換，如果存在線性變換，使得I，則稱變換可逆，并且稱是的逆變換(2)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果存在二階矩陣B，使得BAABE，則稱矩陣A可逆，或稱矩陣A是可逆矩陣，并且稱B是A的逆矩陣(3)(性質(zhì)1)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，如果A是可逆的，則A的逆矩陣是唯一的，A的逆矩陣記為A1.(4)(性質(zhì)2)設(shè)A，B是二階矩陣，如果A，B都可逆，則AB也可逆，且(AB)1B1A1.(5)二階矩陣A可逆，當(dāng)且僅當(dāng)det Aadbc0時(shí)，A1.2二階行列式與方程組的解對(duì)于關(guān)于x，y的二元一次方程組我們把稱為二階行列式，它的運(yùn)算結(jié)果是一個(gè)數(shù)值，記為det Aadbc.若將方程組

2、中行列式記為D，記為Dx，記為Dy，則當(dāng)D0時(shí)，方程組的解為3矩陣特征值、特征向量的相關(guān)概念(1)定義：設(shè)矩陣A，如果存在實(shí)數(shù)以及非零向量，使得A，則稱是矩陣A的一個(gè)特征值，是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量(2)一般地，設(shè)是矩陣A的屬于特征值的一個(gè)特征向量，則對(duì)任意的非零常數(shù)k，k也是矩陣A的屬于特征值的特征向量(3)一般地，屬于矩陣的不同特征值的特征向量不共線(4)設(shè)矩陣A，稱f()為矩陣A的特征多項(xiàng)式，方程0為矩陣A的特征方程4特征向量的應(yīng)用(1)設(shè)A是一個(gè)二階矩陣，是矩陣A的屬于特征值的任意一個(gè)特征向量，則Ann(nN*)(2)性質(zhì)1設(shè)1，2是二階矩陣A的兩個(gè)不同特征值，1，2是矩陣A

3、的分別屬于特征值1，2的特征向量，對(duì)于任意的非零平面向量，設(shè)t11t22(其中t1，t2為實(shí)數(shù))，則對(duì)任意的正整數(shù)n，有Ant11t22.1矩陣的逆矩陣是_答案：2若矩陣可逆，則k的值不可能是_答案：3若矩陣A不可逆，則實(shí)數(shù)a的值為_解析：由題意|A|2(a1)1(1a2)a22a10，a1.答案：14對(duì)任意實(shí)數(shù)x，矩陣總存在特征向量，則m的取值范圍是_解析：由條件得f()(x)(2)(m2)(3m)2(x2)2x(m3)(m2)0有實(shí)數(shù)根，所有1(x2)24(2xm2m6)0對(duì)任意實(shí)數(shù)x恒成立，所以2164(4m24m28)0，解得m的取值范圍是3m2.答案：3m2.5已知矩陣M的特征值18

4、及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e1，并有特征值22及對(duì)應(yīng)的一個(gè)特征向量e2.則矩陣M_.解析：設(shè)M，則8，故2，故聯(lián)立以上兩個(gè)方程組解得a6，b2，c4，d4，故M.答案：熱點(diǎn)考向一求逆矩陣求矩陣A的逆矩陣【解析】法一：設(shè)矩陣A的逆矩陣為，則 ，即，故且解得x1，z2，y2，w3，從而矩陣A的逆矩陣A1.法二：A，detA1.A1.【點(diǎn)評(píng)】方法一是待定系數(shù)法；方法二是公式法1已知變換矩陣A把平面上的點(diǎn)P(2，1)、Q(1,2)分別變換成點(diǎn)P1(3，4)、Q1(0,5)(1)求變換矩陣A；(2)判斷變換矩陣A是否可逆，如果可逆，求矩陣A的逆矩陣A1：如不可逆，請(qǐng)說明理由【解析】(1)假設(shè)所求的變換矩陣A，

5、依題意，可得 及 ，即解得：所以所求的變換矩陣A(2)detA22(1)15，A可逆A1.熱點(diǎn)考向二利用矩陣解二元一次方程組-(1)求矩陣A的逆矩陣；(2)利用逆矩陣知識(shí)，解方程組【解析】(1)法一：設(shè)矩陣A的逆矩陣為A1，則由 ，知解之得A1.法二：A，|A|431，A1.(2)二元一次方程組的系數(shù)矩陣為A，由(1)知A1.因此方程有唯一解A1. .即【點(diǎn)評(píng)】二元一次方程組(a1，b1不同時(shí)為零，a2，b2不同時(shí)為零)的系數(shù)矩陣為A，只有當(dāng)|A|0時(shí)，方程組有唯一解A1，若|A|0，則方程組有無數(shù)解或無解2用矩陣方法求解二元一次方程組解析：原方程組可以寫成，記M，其行列式2(5)14140，

6、M1.M1，即方程組的解為熱點(diǎn)考向三矩陣的特征值與特征向量給定矩陣A，B.(1)求A的特征值1，2及對(duì)應(yīng)特征向量1，2；(2)求A4B.【解析】(1)設(shè)A的一個(gè)特征值為，由題意知：0，即(2)(3)0，解得12，23，當(dāng)12時(shí)，由2，得A屬于特征值2的特征向量1；當(dāng)23時(shí)，由3，得A屬于特征值3的特征向量2(2)由于B12.故A4BA4(12)(241)(342)161812.【點(diǎn)評(píng)】求矩陣的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量是矩陣與變換的重點(diǎn)和難點(diǎn)，解決此類問題首先要利用行列式求出特征徝，然后求出相應(yīng)的特征向量請(qǐng)注意每一個(gè)特征值對(duì)應(yīng)無數(shù)個(gè)特征向量，選擇坐標(biāo)為整數(shù)的解就能使后面計(jì)算簡單、方便3已知矩陣A，

7、若矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為1，屬于特征值1的一個(gè)特征向量2，求矩陣A，并寫出A的逆矩陣解析：由矩陣A屬于特征值6的一個(gè)特征向量為1可得，6，即cd6；由矩陣A屬于特征值1的一個(gè)特征向量2，可得，即3c2d2，解得，即A.A的逆矩陣是.一、填空題1已知A可逆，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是_解析：矩陣A可逆當(dāng)且僅當(dāng)det(A)0，即63a0，a2，a的取值范圍為(，2)(2，)答案：(，2)(2，)2設(shè)矩陣M，則矩陣M的特征向量可以是_解析：矩陣M的特征多項(xiàng)式f()21.由于f()0得矩陣M的特征值為11，21.經(jīng)計(jì)算可得，矩陣M屬于特征值1的一個(gè)特征向量為，而屬于特征值1的一個(gè)特征向量為.答案

8、：3設(shè)可逆矩陣A的逆矩陣A1，則a_，b_，c_.解析：由AA1E得，即解方程組得a2，b，c.答案：24已知二元一次方程組從線性變換的角度求解時(shí)應(yīng)把向量繞原點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)_的旋轉(zhuǎn)變換解析：因?yàn)榉匠探M的矩陣形式是，它是把向量繞原點(diǎn)作逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)變換得到，所以解方程組就是把向量繞原點(diǎn)作順時(shí)針旋轉(zhuǎn)的旋轉(zhuǎn)變換答案：5A ，則A1_.解析：A ，|A|10.A1.答案：6現(xiàn)用矩陣對(duì)信息進(jìn)行加密后傳遞，規(guī)定英文字母數(shù)字化為：a1，b2，z26，雙方約定的矩陣為，發(fā)送方傳遞的密碼為67,30,31,8，此組密碼所發(fā)信息為_解析：因?yàn)锳，所以det A20，所以A1，而密碼矩陣為B，故明碼矩陣XA1B ，對(duì)應(yīng)

9、信息為“good”答案：good7矩陣M的特征值與特征向量分別為_解析：由(1)(3)(2)()2280，得矩陣M的特征值為14，22.設(shè)屬于特征值14的特征向量為，則它滿足方程(11)x(2)y0，即5x2y0.故可取為屬于特征值14的一個(gè)特征向量設(shè)屬于特征值22的特征向量為，同理可得x2y0.故可取為屬于特征值22的一個(gè)特征向量綜上所述，矩陣M有兩個(gè)特征值14，22，屬于14的一個(gè)特征向量為1；屬于22的一個(gè)特征向量為2.答案：14，1和22，28已知矩陣A，B，則滿足方程AXB的二階矩陣X_.解析：A，|A|23(1)(4)20.A1.AXB，XA1B，X.答案：二、解答題9已知矩陣A，

10、B，C，求滿足AXBC的矩陣X.解析：AXBC，所以(A1A)XBB1A1CB1而A1AXBB1EXBB1X(BB1)X，所以XA1CB1因?yàn)锳1，B1，所以XA1CB1.10已知矩陣A.(1)求矩陣A的特征值及對(duì)應(yīng)的特征向量；(2)計(jì)算矩陣An.解析：(1)矩陣A的特征方程為(6)(4)8210160.得矩陣A的特征值為18，22.當(dāng)18時(shí)，A屬于1的特征向量為1；當(dāng)22時(shí)，A屬于2的特征向量為2.(2)設(shè)AnAn18n1，An22n2，即，即解得a，b，c，d.故An.11給定矩陣M，N，向量.(1)求證：M和N互為逆矩陣；(2)求證：向量同時(shí)是M和N的特征向量；(3)指出矩陣M和N的一個(gè)

11、公共特征值解析：(1)證明：因MN，且NM，所以M和N互為逆矩陣(2)證明：因?yàn)镸，所以是N的特征向量因?yàn)镹，所以是N的特征向量(3)由(2)知，M對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值為1，N對(duì)應(yīng)于特征向量的特征值也為1，故1是矩陣M和N的一個(gè)公共特征值12(2011年福建)設(shè)矩陣M(其中a0，b0)若a2，b3，求M的逆矩陣M1；若曲線C：x2y21，在矩陣M所對(duì)應(yīng)的線性變換作用下得到曲線C：y21，求a，b的值解析：設(shè)M1，則MM1又M，.2x11,2y10,3x20,3y21.即x，y10，x20，y2.M1.設(shè)C上任一點(diǎn)P(x，y)，在M作用下得點(diǎn)P(x，y)則，又點(diǎn)P(x，y)在C上，所以y21.即b2y21為曲線C的方程又C的方程為x2y21，又a0，b0，所以