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1、備戰(zhàn)2020數(shù)學(xué)應(yīng)考能力大提升
典型例題
例1 若a，b是兩個(gè)不共線的非零向量，t∈R，若a，b起點(diǎn)相同，t為何值時(shí)，a，tb，(a＋b)三向量的終點(diǎn)在一條直線上？
解：設(shè)a－tb＝m[a－(a＋b)]，m∈R，
化簡得a＝b，
∵a與b不共線，
∴?
∴t＝時(shí)，a，tb，(a＋b)的終點(diǎn)在一條直線上．
例2 設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量,
(1)若=a-3b,求證:A、B、C三點(diǎn)共線;
(2)若8a+kb與ka+2b共線,求實(shí)數(shù)k的值.
解:(1)證明:∵ (3a+b)-(2a-b)=a+2b.
而=(a-3b)-(3a+b)=-2a-4b=-2
∴與共
2、線,且有公共端點(diǎn)B,
∴A、B、C三點(diǎn)共線.[.Com]
(2)∵8a+kb與ka+2b共線,
存在實(shí)數(shù)λ使得8a+kb=λ(ka+2b)(8-λk)a+(k-2λ)b=0,
∵a與b是不共線的兩個(gè)非零向量,
∴?8＝2λ2?λ＝±2，
∴k＝2λ＝±4.
創(chuàng)新題型
1.如圖所示,△ABC中,點(diǎn)M是BC的中點(diǎn),點(diǎn)N在AC邊上,且AN=2NC,AM與BN相交于點(diǎn)P,求APPM的值.
2.設(shè)a、b是不共線的兩個(gè)非零向量，
(1)若＝2a－b，＝3a＋b，＝a－3b，
求證：A、B、C三點(diǎn)共線；
(2)若8a＋kb與ka＋2b共線
3、，求實(shí)數(shù)k的值；
(3)設(shè)＝ma，＝nb，＝α a＋β b，其中m、n、α、β均為實(shí)數(shù)，m≠0，n≠0，若M、P、N三點(diǎn)共線，
求證：＋＝1.
參考答案
2.解：(1)證明：∵＝(3a＋b)－(2a－b)＝a＋2b，
而＝(a－3b)－(3a＋b)＝－2a－4b＝－2，
∴與共線，且有公共端點(diǎn)B，
∴A、B、C三點(diǎn)共線.
(2)∵8a＋kb與ka＋2b共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得(8a＋kb)＝λ(ka＋2b)?(8－λk)a＋(k－2λ)b＝0，
∵a與b不共線，
∴
(3)證明：∵M(jìn)、P、N三點(diǎn)共線，∴存在實(shí)數(shù)λ，使得，
∴＝a＋b.
∵a、b不共線，∴
∴＋＝＋＝1.
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