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1、第五十講　古典概型與幾何概型 班級(jí)________　姓名________　考號(hào)________　日期________　得分________ 一、選擇題：(本大題共6小題，每小題6分，共36分，將正確答案的代號(hào)填在題后的括號(hào)內(nèi)．) 1．一對(duì)年輕夫婦和其兩歲的孩子做游戲，讓孩子把分別寫(xiě)有“One”，“World”，“One”，“Dream”的四張卡片隨機(jī)排成一行，若卡片按從左到右的順序排成“One World One Dream”，則孩子會(huì)得到父母的獎(jiǎng)勵(lì)，那么孩子受到獎(jiǎng)勵(lì)的概率為(　　) A.　　　　　　　　　 B. C. D. 解析：試驗(yàn)包含的基本事件的個(gè)數(shù)為12個(gè)，故排

2、對(duì)的概率為，選A. 答案：A 2．在面積為S的△ABC的邊AB上任取一點(diǎn)，則△PBC的面積大于的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：如圖，當(dāng)BM＝BA時(shí)，△MBC的面積為，而當(dāng)P在M、A之間運(yùn)動(dòng)時(shí)，△PBC的面積大于，而MA＝AB，則△PBC的面積大于的概率P＝＝.故選C. 答案：C 3．有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆小玻璃球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是(　　) 解析：各選項(xiàng)中獎(jiǎng)的概率依次為，，，，故選A. 答案：A 4．在一個(gè)袋子中裝有分別標(biāo)注數(shù)字1,2,3,4,5的五個(gè)小球，這些小球除標(biāo)注

3、數(shù)字外完全相同，現(xiàn)從中隨機(jī)取2個(gè)小球，則取出的小球標(biāo)注的數(shù)字之和為3或6的概率是(　　) A. B. C. D. 解析：隨機(jī)從袋子中取2個(gè)小球的基本事件為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)共有10種，其中數(shù)字之和為3或6的有(1,2)，(1,5)，(2,4)，∴數(shù)字之和為3或6的概率是P＝. 答案：D 5．如圖所示，在邊長(zhǎng)為2的正方形中有一封閉曲線(xiàn)圍成的陰影區(qū)域．在正方形中隨機(jī)撒一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率為，則陰影區(qū)域的面積為(　　) A. B. C. D. 解析：

4、正方形的面積為4，由＝，知陰影區(qū)域的面積為，選B. 答案：B 6．4張卡片上分別寫(xiě)有數(shù)字1,2,3,4，從這4張卡片中隨機(jī)抽取2張，則取出的2張卡片上的數(shù)字之和為奇數(shù)的概率為(　　) A. B. C. D. 解析：從4張卡片中隨機(jī)取2張共有6種取法，取得2張卡片上數(shù)字之和為奇數(shù)即{1,2}，{1,4}，{3,2}，{3,4}四種，故其概率為＝.故選C. 答案：C 二、填空題：(本大題共4小題，每小題6分，共24分，把正確答案填在題后的橫線(xiàn)上．) 7．甲、乙兩人玩數(shù)字游戲，先由甲心中任想一個(gè)數(shù)字記為a，再由乙猜甲剛才想的數(shù)字，把乙想的數(shù)字記為b，且a、b∈{1,2,3,4,5

5、,6}，若|a－b|≤1，則稱(chēng)“甲乙心有靈犀”，現(xiàn)任意找兩個(gè)人玩這個(gè)游戲，得出他們“心有靈犀”的概率為_(kāi)_______． 解析：數(shù)字a，b的所有取法有62＝36種，滿(mǎn)足|a－b|≤1的取法有16種，所以其概率為P＝＝. 答案： 8．設(shè)D是半徑為R的圓周上的一定點(diǎn)，在圓周上隨機(jī)取一點(diǎn)C，連接CD得一弦，若A表示“所得弦的長(zhǎng)大于圓內(nèi)接等邊三角形的邊長(zhǎng)”，則P(A)＝________. 解析：如圖所示，△DPQ為圓內(nèi)接正三角形，當(dāng)C點(diǎn)位于劣弧上時(shí)，弦DC>PD， ∴P(A)＝. 答案： 9．任取一個(gè)三位正整數(shù)n，則對(duì)數(shù)log2n是一個(gè)正整數(shù)的概率是________． 解析：∵26

6、＝64,27＝128,28＝256,29＝512,210＝1024， ∴滿(mǎn)足條件的正整數(shù)只有27,28,29三個(gè)， ∴所求的概率是P＝＝. 答案： 10．已知函數(shù)f(x)＝2ax2－bx＋1，若a是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]上任取的一個(gè)數(shù)，則此函數(shù)在[1，＋∞)上遞增的概率為_(kāi)_______． 解析：令t＝ax2－bx＋1，函數(shù)f(x)在[1，＋∞)上遞增，根據(jù)復(fù)合函數(shù)單調(diào)性的判斷方法，則t＝ax2－bx＋1須在[1，＋∞)上遞增， ∴－≤1，即2a≥b. 由題意得 畫(huà)出圖示得陰影部分面積． ∴概率為P＝＝. 答案： 三、解答題：(本大題共3

7、小題，11、12題13分，13題14分，寫(xiě)出證明過(guò)程或推演步驟．) 11．漢字是世界上最古老的文字之一，字形結(jié)構(gòu)體現(xiàn)著人類(lèi)追求均衡對(duì)稱(chēng)、和諧穩(wěn)定的天性．如圖，三個(gè)漢字可以看成是軸對(duì)稱(chēng)圖形． (1)請(qǐng)?jiān)賹?xiě)出2個(gè)可看成軸對(duì)稱(chēng)圖形的漢字； (2)小敏和小慧利用“土”“口”“木”三個(gè)漢字設(shè)計(jì)一個(gè)游戲，規(guī)則如下：將這三個(gè)漢字分別寫(xiě)在背面都相同的三張卡片上，背面朝上，洗勻后抽出一張，放回洗勻后再抽出一張，若兩次抽出的漢字能構(gòu)成上下結(jié)構(gòu)的漢字(如“土”“土”構(gòu)成“圭”)則小敏獲勝，否則小慧獲勝．你認(rèn)為這個(gè)游戲?qū)φl(shuí)有利？請(qǐng)用列表或畫(huà)樹(shù)狀圖的方法進(jìn)行分析，并寫(xiě)出構(gòu)成的漢字進(jìn)行說(shuō)明． 解：(1)如：田

8、、日等； (2)這個(gè)游戲?qū)π』塾欣? 每次游戲時(shí)，所有可能出現(xiàn)的如果如下(列表)： 　　　第二張卡片 第一張卡片　　　 土 口 木 土 (土，土) (土，口) (土，木) 口 (口，土) (口，口) (口，木) 木 (木，土) (木，口) (木，木) 總共有9種結(jié)果，且每種結(jié)果出現(xiàn)的可能性相同，其中能組成上下結(jié)構(gòu)的漢字的結(jié)果有4種：(土，土)“圭”，(口，口)“呂”，(木，口)“杏”或“呆”，(口，木)“呆”或“杏”．所以小敏獲勝的概率為，小慧獲勝的概率為.所以這個(gè)游戲?qū)π』塾欣? 12．設(shè)有關(guān)于x的一元二次方程x2＋2ax＋b2＝0. (1)若a是

9、從0,1,2,3四個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，b是從0,1,2三個(gè)數(shù)中任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率； (2)若a是從區(qū)間[0,3]任取的一個(gè)數(shù)，b是從區(qū)間[0,2]任取的一個(gè)數(shù)，求上述方程有實(shí)根的概率． 解：記事件A為“方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根”， 當(dāng)a≥0，b≥0時(shí)，方程x2＋2ax＋b2＝0有實(shí)根的充要條件為a≥b. (1)基本事件共有12個(gè)：(0,0)，(0,1)，(0,2)，(1,0)，(1,1)，(1,2)，(2,0)，(2,1)，(2,2)，(3,0)，(3,1)，(3,2)，其中第一個(gè)數(shù)表示a的取值，第二個(gè)數(shù)表示b的取值． 事件A中包含9個(gè)基本事件，事件A發(fā)生的

10、概率為 P(A)＝＝. (2)試驗(yàn)的全部結(jié)果所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)? {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2}． 構(gòu)成事件A的區(qū)域?yàn)? {(a，b)|0≤a≤3,0≤b≤2，a≥b}， 所以所求的概率為 P(A)＝＝. 13．已知集合A＝{x|－1≤x≤0}，集合B＝{x|ax＋b·2x－1<0,0≤a≤2,1≤b≤3}． (1)若a，b∈N，求A∩B≠?的概率； (2)若a，b∈R，求A∩B＝?的概率． 解：(1)因?yàn)閍，b∈N，(a，b)可取(0,1)，(0,2)，(0,3)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共9組． 令函數(shù)f(x)＝ax＋b

11、·2x－1，x∈[－1,0]， 則f′(x)＝a＋bln2·2x. 因?yàn)閍∈[0,2]，b∈[1,3]，所以f′(x)>0， 即f(x)在[－1,0]上是單調(diào)遞增函數(shù)． f(x)在[－1,0]上的最小值為－a＋－1. 要使A∩B≠?，只需－a＋－1<0，即2a－b＋2>0. 所以(a，b)只能取(0,1)，(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(2,3)共7組． 所以A∩B≠?的概率為. (2)因?yàn)閍∈[0,2]，b∈[1,3]，所以(a，b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域?yàn)檫呴L(zhǎng)為2的正方形(如圖)，面積為4. 由(1)可知，要使A∩B＝?； 只需f(x)min＝－a＋－1≥0?2a－b＋2≤0，所以滿(mǎn)足A∩B＝?的(a，b)對(duì)應(yīng)的區(qū)域是圖中的陰影部分． 所以S陰影＝×1×＝， 所以A∩B＝?的概率為P＝＝.