《安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七概率與統(tǒng)計第3講 隨機(jī)變量及其分布列 理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《安徽省2020年高考數(shù)學(xué)第二輪復(fù)習(xí) 專題七概率與統(tǒng)計第3講 隨機(jī)變量及其分布列 理（9頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、專題七 概率與統(tǒng)計第3講 隨機(jī)變量及其分布列真題試做1(2020課標(biāo)全國高考，理15)某一部件由三個電子元件按下圖方式連接而成，元件1或元件2正常工作，且元件3正常工作，則部件正常工作設(shè)三個電子元件的使用壽命(單位：小時)均服從正態(tài)分布N(1 000,502)，且各個元件能否正常工作相互獨立，那么該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為_2(2020山東高考，理19)現(xiàn)有甲、乙兩個靶某射手向甲靶射擊一次，命中的概率為，命中得1分，沒有命中得0分；向乙靶射擊兩次，每次命中的概率為，每命中一次得2分，沒有命中得0分，該射手每次射擊的結(jié)果相互獨立假設(shè)該射手完成以上三次射擊(1)求該射手恰好命中一次

2、的概率；(2)求該射手的總得分X的分布列及數(shù)學(xué)期望E(X)3(2020陜西高考，理20)某銀行柜臺設(shè)有一個服務(wù)窗口，假設(shè)顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間互相獨立，且都是整數(shù)分鐘，對以往顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間統(tǒng)計結(jié)果如下：辦理業(yè)務(wù)所需的時間(分)12345頻率0.10.40.30.10.1從第一個顧客開始辦理業(yè)務(wù)時計時(1)估計第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)的概率；(2)X表示至第2分鐘末已辦理完業(yè)務(wù)的顧客人數(shù)，求X的分布列及數(shù)學(xué)期望4(2020安徽高考，理17)某單位招聘面試，每次從試題庫中隨機(jī)調(diào)用一道試題若調(diào)用的是A類型試題，則使用后該試題回庫，并增補一道A類型試題和一道B類型試題入庫，此次調(diào)題

3、工作結(jié)束，若調(diào)用的是B類型試題，則使用后該試題回庫，此次調(diào)題工作結(jié)束試題庫中現(xiàn)有nm道試題，其中有n道A類型試題和m道B類型試題以X表示兩次調(diào)題工作完成后，試題庫中A類型試題的數(shù)量(1)求Xn2的概率；(2)設(shè)mn，求X的分布列和均值(數(shù)學(xué)期望)考向分析本講是概率統(tǒng)計的重點，主要考查三方面的內(nèi)容：相互獨立事件及其概率，題型有選擇、填空，有時也出現(xiàn)在解答題中與其他知識交會命題；二項分布及其應(yīng)用，準(zhǔn)確把握獨立重復(fù)試驗的特點是解答二項分布問題的關(guān)鍵，一般以中檔題為主；隨機(jī)變量的分布列、期望和方差，以考生比較熟悉的實際應(yīng)用題為背景，綜合排列組合、概率公式、互斥事件及獨立事件等基礎(chǔ)知識，考查對隨機(jī)變量的

4、識別及概率計算能力，解答時要注意分類與整合、轉(zhuǎn)化與化歸思想的運用，其中有選擇題，也有填空題，但更多的是解答題，難度中檔熱點例析熱點一 相互獨立事件及其概率【例1】乒乓球比賽規(guī)則規(guī)定：一局比賽，雙方比分在10平前，一方連續(xù)發(fā)球2次后，對方再連續(xù)發(fā)球2次，依次輪換，每次發(fā)球，勝方得1分，負(fù)方得0分設(shè)在甲、乙的比賽中，每次發(fā)球，發(fā)球方得1分的概率為0.6，各次發(fā)球的勝負(fù)結(jié)果相互獨立甲、乙的一局比賽中，甲先發(fā)球(1)求開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2的概率；(2)求開始第5次發(fā)球時，甲得分領(lǐng)先的概率規(guī)律方法(1)求復(fù)雜事件的概率的一般步驟：列出題中涉及的各事件，并且用適當(dāng)?shù)姆柋硎?；理清各事件?/p>

5、間的關(guān)系，列出關(guān)系式即把隨機(jī)事件分成幾個互斥事件的和，每個小事件再分為n個相互獨立事件的乘積根據(jù)事件之間的關(guān)系準(zhǔn)確選取概率公式進(jìn)行計算(2)直接計算符合條件的事件的概率較繁時，可先間接地計算對立事件的概率，再求出符合條件的事件的概率變式訓(xùn)練1甲、乙兩人輪流投籃，每人每次投一球約定甲先投且先投中者獲勝，一直到有人獲勝或每人都已投球3次時投籃結(jié)束設(shè)甲每次投籃投中的概率為，乙每次投籃投中的概率為，且各次投籃互不影響(1)求乙獲勝的概率；(2)求投籃結(jié)束時乙只投了2個球的概率熱點二 二項分布及其應(yīng)用【例2】(2020安徽六安一中第十次月考，理17)為備戰(zhàn)運動會，射擊隊運動員們正在積極備戰(zhàn)若某運動員每次

6、射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為.求該運動員在5次射擊中，(1)至少有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率；(2)記“射擊成績?yōu)?0環(huán)的次數(shù)”為，寫出的分布列并求E.(結(jié)果用分?jǐn)?shù)表示)規(guī)律方法事件服從二項分布的條件是：(1)每次試驗中，事件發(fā)生的概率是相同的(2)各次試驗中的事件是相互獨立的(3)每次試驗只有兩種結(jié)果：事件要么發(fā)生，要么不發(fā)生(4)隨機(jī)變量是這n次獨立重復(fù)試驗中事件發(fā)生的次數(shù)變式訓(xùn)練2某射手每次射擊擊中目標(biāo)的概率是，且各次射擊的結(jié)果互不影響(1)假設(shè)這名射手射擊5次，求恰有2次擊中目標(biāo)的概率；(2)假設(shè)這名射手射擊5次，求有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)的概率；(3)假設(shè)這名射手射擊3次，

7、每次射擊，擊中目標(biāo)得1分，未擊中目標(biāo)得0分在3次射擊中，若有2次連續(xù)擊中，而另外1次未擊中，則額外加1分；若3次全擊中，則額外加3分記為射手射擊3次后的總得分?jǐn)?shù)，求的分布列熱點三 離散型隨機(jī)變量的分布列、均值與方差【例3】(2020天津高考，理16)現(xiàn)有4個人去參加某娛樂活動，該活動有甲、乙兩個游戲可供參加者選擇為增加趣味性，約定：每個人通過擲一枚質(zhì)地均勻的骰子決定自己去參加哪個游戲，擲出點數(shù)為1或2的人去參加甲游戲，擲出點數(shù)大于2的人去參加乙游戲(1)求這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率；(2)求這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率；(3)用X，Y分別表示這4個人中去參

8、加甲、乙游戲的人數(shù)，記|XY|，求隨機(jī)變量的分布列與數(shù)學(xué)期望E()規(guī)律方法求離散型隨機(jī)變量的分布列，關(guān)鍵是計算各個概率值，一方面要弄清楚相應(yīng)的概型(古典概型、相互獨立事件的概率、獨立重復(fù)試驗等)，以便套用相關(guān)的計算公式計算；另一方面要注意運用分布列的性質(zhì)檢驗所求概率值是否正確變式訓(xùn)練3(2020安徽江南十校聯(lián)考，理18)“低碳經(jīng)濟(jì)”是促進(jìn)社會可持續(xù)發(fā)展的推進(jìn)器某企業(yè)現(xiàn)有100萬元資金可用于投資，如果投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟(jì)項目，一年后可能獲利20%，可能損失10%，也可能不賠不賺，這三種情況發(fā)生的概率分別為，；如果投資“低碳型”經(jīng)濟(jì)項目，一年后可能獲利30%，也可能損失20%，這兩種情況發(fā)生的概率分

9、別為a和b(其中ab1)(1)如果把100萬元投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟(jì)項目，用表示投資收益(投資收益回收資金投資資金)，求的概率分布及均值(數(shù)學(xué)期望)E；(2)如果把100萬元投資“低碳型”經(jīng)濟(jì)項目，預(yù)測其投資收益均值會不低于投資“傳統(tǒng)型”經(jīng)濟(jì)項目的投資收益均值，求a的取值范圍思想滲透轉(zhuǎn)化與化歸思想期望與概率的實際應(yīng)用解題中要善于透過問題的實際背景，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學(xué)規(guī)律，以便使用我們掌握的離散型隨機(jī)變量及其分布列的知識來解決實際問題【典型例題】某產(chǎn)品按行業(yè)生產(chǎn)標(biāo)準(zhǔn)分成8個等級，等級系數(shù)X依次為1,2，8，其中X5為標(biāo)準(zhǔn)A，X3為標(biāo)準(zhǔn)B，已知甲廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)A生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為6元/件；乙廠執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)

10、B生產(chǎn)該產(chǎn)品，產(chǎn)品的零售價為4元/件，假設(shè)甲、乙兩廠的產(chǎn)品都符合相應(yīng)的執(zhí)行標(biāo)準(zhǔn)(1)已知甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X1的概率分布列如下表所示：X15678P0.4ab0.1且X1的數(shù)學(xué)期望E(X1)6，求a，b的值；(2)為分析乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2，從該廠生產(chǎn)的產(chǎn)品中隨機(jī)抽取30件，相應(yīng)的等級系數(shù)組成一個樣本，數(shù)據(jù)如下：3 5 3 3 8 5 5 6 3 46 3 4 7 5 3 4 8 5 38 3 4 3 4 4 7 5 6 7用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，求等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望；(3)在(1)、(2)的條件下，若以“性價比”為判斷標(biāo)準(zhǔn)，則哪個工廠的產(chǎn)品更具可購買性？說明理

11、由注：(1)產(chǎn)品的“性價比”；(2)“性價比”大的產(chǎn)品更具可購買性. 解：(1)因為E(X1)6，所以50.46a7b80.16，即6a7b3.2，又由X1的概率分布列得0.4ab0.11，即ab0.5.由解得(2)由已知得，樣本的頻率分布表如下：X2345678f0.30.20.20.10.10.1用這個樣本的頻率分布估計總體分布，將頻率視為概率，可得等級系數(shù)X2的概率分布列如下：X2345678P0.30.20.20.10.10.1所以E(X2)30.340.250.260.170.180.14.8，即乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)X2的數(shù)學(xué)期望等于4.8.(3)乙廠的產(chǎn)品更具可購買性，理由如下：因為

12、甲廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于6，價格為6元/件，所以其“性價比”為1.因為乙廠產(chǎn)品的等級系數(shù)的數(shù)學(xué)期望等于4.8，價格為4元/件，所以其“性價比”為1.2.所以乙廠的產(chǎn)品更具可購買性1設(shè)隨機(jī)變量服從正態(tài)分布N(3，2)，若P(m)a，則P(6m)等于( )Aa B12aC2a D1a2設(shè)一隨機(jī)試驗的結(jié)果只有A和且P(A)m，令隨機(jī)變量，則的方差D()等于( )Am B2m(1m) Cm(m1) Dm(1m)3一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1,2,3,4,5,6，現(xiàn)從中隨機(jī)取出3個球，以Z表示取出球的最大號碼，令aP(Z6)，則函數(shù)yx22ax的單調(diào)遞增區(qū)間是( )A. B.C(，1)

13、 D(1，)4箱中裝有標(biāo)號為1,2,3,4,5,6且大小相同的6個球從箱中一次摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩球號碼之積是4的倍數(shù)，則獲獎現(xiàn)有4人參與摸獎，恰好有3人獲獎的概率是( )A. B. C. D.5(2020浙江五校聯(lián)考，理16)甲、乙兩個籃球隊進(jìn)行比賽，比賽采用5局3勝制(即先勝3局者獲勝)若甲、乙兩隊在每場比賽中獲勝的概率分別為和，記需要比賽的場次為，則E()_.6(2020山東濟(jì)南二模，20)一次考試共有12道選擇題，每道選擇題都有4個選項，其中有且只有一個是正確的評分標(biāo)準(zhǔn)規(guī)定：“每題只選一個選項，答對得5分，不答或答錯得0分”某考生已確定有8道題的答案是正確的，其余題中有兩

14、道題都可判斷兩個選項是錯誤的，有一道題可以判斷一個選項是錯誤的，還有一道題因不理解題意只好亂猜請求出該考生：(1)得60分的概率；(2)所得分?jǐn)?shù)的分布列和數(shù)學(xué)期望參考答案命題調(diào)研明晰考向真題試做1. 解析：設(shè)元件1,2,3的使用壽命超過1 000小時的事件分別記為A，B，C，顯然P(A)P(B)P(C)，該部件的使用壽命超過1 000的事件為(ABAB)C.該部件的使用壽命超過1 000小時的概率為P.2解：(1)記：“該射手恰好命中一次”為事件A，“該射手射擊甲靶命中”為事件B，“該射手第一次射擊乙靶命中”為事件C，“該射手第二次射擊乙靶命中”為事件D，由題意知P(B)，P(C)P(D)，由

15、于AB C D，根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(A)P(B C D)P(B )P(C)P( D)P(B)P()P()P()P(C)P()P()P()P(D).(2)根據(jù)題意，X的所有可能取值為0,1,2,3,4,5，根據(jù)事件的獨立性和互斥性得P(X0)P( )1P(B)1P(C)1P(D)，P(X1)P(B )P(B)P()P()，P(X2)P(C D)P(C)P( D)，P(X3)P(BCBD)P(BC)P(BD)，P(X4)P(CD)，P(X5)P(BCD).故X的分布列為X012345P所以EX012345.3解：設(shè)Y表示顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間，用頻率估計概率，得Y的分布列如下：Y1234

16、5P0.10.40.30.10.1(1)A表示事件“第三個顧客恰好等待4分鐘開始辦理業(yè)務(wù)”，則事件A對應(yīng)三種情形：第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘；第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為3分鐘，且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分鐘；第一個和第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為2分鐘所以P(A)P(Y1)P(Y3)P(Y3)P(Y1)P(Y2)P(Y2)0.10.30.30.10.40.40.22.(2)方法一：X所有可能的取值為0,1,2.X0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X1對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為1分

17、鐘且第二個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過1分鐘，或第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間為2分鐘，所以P(X1)P(Y1)P(Y1)P(Y2)0.10.90.40.49；X2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.方法二：X所有可能的取值為0,1,2.X0對應(yīng)第一個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間超過2分鐘，所以P(X0)P(Y2)0.5；X2對應(yīng)兩個顧客辦理業(yè)務(wù)所需的時間均為1分鐘，所以P(X2)P(Y1)P(Y1)0.10.10.01；P(X1)1P(X0)P(X

18、2)0.49.所以X的分布列為X012P0.50.490.01E(X)00.510.4920.010.51.4解：以Ai表示第i次調(diào)題調(diào)用到A類型試題，i1,2.(1)P(Xn2)P(A1A2).(2)X的可能取值為n，n1，n2.P(Xn)P(1 2).P(Xn1)P(A12)P(1A2)，P(Xn2)P(A1A2)，從而X的分布列是Xnn1n2PE(X)n(n1)(n2)n1.精要例析聚焦熱點熱點例析【例1】 解：記Ai表示事件：第1次和第2次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；Bi表示事件：第3次和第4次這兩次發(fā)球，甲共得i分，i0,1,2；A表示事件：第3次發(fā)球，甲得1分；B表示事件

19、：開始第4次發(fā)球時，甲、乙的比分為1比2；C表示事件：開始第5次發(fā)球時，甲得分領(lǐng)先(1)BA0AA1，P(A)0.4，P(A0)0.420.16，P(A1)20.60.40.48，P(B)P(A0AA1)P(A0A)P(A1)P(A0)P(A)P(A1)P()0.160.40.48(10.4)0.352.(2)P(B0)0.620.36，P(B1)20.40.60.48，P(B2)0.420.16，P(A2)0.620.36.CA1B2A2B1A2B2，P(C)P(A1B2A2B1A2B2)P(A1B2)P(A2B1)P(A2B2)P(A1)P(B2)P(A2)P(B1)P(A2)P(B2)0

20、.480.160.360.480.360.160.307 2.【變式訓(xùn)練1】 解：設(shè)Ak，Bk分別表示甲、乙在第k次投籃投中，則P(Ak)，P(Bk)(k1,2,3)(1)記“乙獲勝”為事件C，由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(C)P(1B1)P(112B2)P(11223B3)P(1)P(B1)P(1)P(1)P(2)P(B2)P(1)P(1)P(2)P(2)P(3)P(B3)2233.(2)記“投籃結(jié)束時乙只投了2個球”為事件D，則由互斥事件有一個發(fā)生的概率與相互獨立事件同時發(fā)生的概率計算公式知P(D)P(112B2)P(1122A3)P(1)P(1)P(

21、2)P(B2)P(1)P(1)P(2)P(2)P(A3)2222.【例2】 解：設(shè)隨機(jī)變量X為射擊成績?yōu)?0環(huán)的次數(shù)，則XB.(1)在5次射擊中，至少有3次射擊成績?yōu)?0環(huán)的概率為P(X3)P(X3)P(X4)P(X5).(2)由題意知的可能取值為0,1,2,3,4,5，的分布列為012345P因為B，所以E().【變式訓(xùn)練2】 解：(1)設(shè)X為射手在5次射擊中擊中目標(biāo)的次數(shù)，則XB.在5次射擊中，恰有2次擊中目標(biāo)的概率P(X2)C5223.(2)設(shè)“第i次射擊擊中目標(biāo)”為事件Ai(i1,2,3,4,5)；“射手在5次射擊中，有3次連續(xù)擊中目標(biāo)，另外2次未擊中目標(biāo)”為事件A，則P(A)P(A1

22、A2A34 5)P(1A2A3A45)P(1 2A3A4A5)32323.(3)由題意可知，的所有可能取值為0,1,2,3,6，P(0)P(1 2 3)3；P(1)P(A12 3)P(1A23)P(1 2A3)22；P(2)P(A12A3)；P(3)P(A1A23)P(1A2A3)22；P(6)P(A1A2A3)3.所以的分布列是01236P【例3】 解：依題意，這4個人中，每個人去參加甲游戲的概率為，去參加乙游戲的概率為.設(shè)“這4個人中恰有i人去參加甲游戲”為事件Ai(i0,1,2,3,4)，則P(Ai)C4ii4i.(1)這4個人中恰有2人去參加甲游戲的概率P(A2)C4222.(2)設(shè)“

23、這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)”為事件B，則BA3A4.由于A3與A4互斥，故P(B)P(A3)P(A4)C433C444.所以，這4個人中去參加甲游戲的人數(shù)大于去參加乙游戲的人數(shù)的概率為.(3)的所有可能取值為0,2,4.由于A1與A3互斥，A0與A4互斥，故P(0)P(A2)，P(2)P(A1)P(A3)，P(4)P(A0)P(A4).所以的分布列是024P隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望E()024.【變式訓(xùn)練3】 解：(1)依題意，的可能取值為20,0，10，的分布列為20010PE()200(10)10(萬元)(2)設(shè)表示100萬元投資“低碳型”經(jīng)濟(jì)項目的收益，則的分布列為30

24、20Pab E()30a20b50a20.依題意要求50a2010，a1.創(chuàng)新模擬預(yù)測演練1D 解析：正態(tài)分布曲線關(guān)于x對稱，即關(guān)于x3對稱，m與6m關(guān)于x3對稱，P(m)a，則P(6m)1a.2D3A 解析：P(Z6)，y在上單調(diào)遞增4B 解析：若摸出的兩球中含有4，必獲獎，有5種情形；若摸出的兩球是2,6，也能獲獎故獲獎的情形共6種，獲獎的概率為.現(xiàn)有4人參與摸獎，恰有3人獲獎的概率是C433.5. 解析：依題意的可能取值分別為3,4,5，P(3)，P(4)C322C322，P(5)1P(3)P.E()3P(3)4P(4)5P(5).6解：(1)設(shè)“可判斷兩個選項是錯誤的”兩道題之一選對為事件A，“可判斷一個選項是錯誤的”一道題選對為事件B，“不理解題意的”一道題選對為事件C，P(A)，P(B)，P(C)，得60分的概率為P.(2)可能的取值為40,45,50,55,60.P(40)，P(45)C12，P(50)C21C21，P(55)C21，P(60).所得分?jǐn)?shù)的分布列為：4045505560PE()40(4550)5560.