《新課標(biāo)2020高三數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí)：專題十《化歸思想》》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《新課標(biāo)2020高三數(shù)學(xué)高考二輪復(fù)習(xí)：專題十《化歸思想》（6頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、【專題十】化歸思想【考情分析】化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的思想.等價(jià)轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過(guò)變換迅速而合理的尋找和選擇問(wèn)題解決的途徑和方法.【知識(shí)交匯】化歸思想的核心，是以可變的觀點(diǎn)對(duì)所要解決的問(wèn)題進(jìn)行變形，就是在解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)，不是對(duì)問(wèn)題進(jìn)行直接進(jìn)攻，而是采取迂回的戰(zhàn)術(shù)，通過(guò)變形把要解決的問(wèn)題，化歸為某個(gè)已經(jīng)解決的問(wèn)題。從而求得原問(wèn)題的解決。化歸思想不同于一般所講的“轉(zhuǎn)化”或“變換”。它的基本形式有：化未知為已知；化難為易，化繁為簡(jiǎn)；化高維為低維

2、；化抽象為具體；化非規(guī)范性問(wèn)題為規(guī)范性問(wèn)題；化數(shù)為形，化形為數(shù)；化曲為直；化實(shí)際問(wèn)題為數(shù)學(xué)問(wèn)題；化綜合為單一；化一般為特殊等。匈牙利著名數(shù)學(xué)家羅莎彼得在他的名著無(wú)窮的玩藝中，通過(guò)一個(gè)十分生動(dòng)而有趣的笑話，來(lái)說(shuō)明數(shù)學(xué)家是如何用化歸的思想方法來(lái)解題的。有人提出了這樣一個(gè)問(wèn)題：“假設(shè)在你面前有煤氣灶，水龍頭、水壺和火柴，你想燒開水，應(yīng)當(dāng)怎樣去做？”對(duì)此，某人回答說(shuō)：“在壺中灌上水，點(diǎn)燃煤氣，再把壺放在煤氣灶上。”提問(wèn)者肯定了這一回答，但是，他又追問(wèn)道：“如果其他的條件都沒(méi)有變化，只是水壺中已經(jīng)有了足夠的水，那么你又應(yīng)該怎樣去做？”這時(shí)被提問(wèn)者一定會(huì)大聲而有把握地回答說(shuō)：“點(diǎn)燃煤氣，再把水壺放上去?！?/p>

3、但是更完善的回答應(yīng)該是這樣的：“只有物理學(xué)家才會(huì)按照剛才所說(shuō)的辦法去做，而數(shù)學(xué)家會(huì)回答：只須把水壺中的水倒掉，問(wèn)題就化歸為前面所說(shuō)的問(wèn)題了”。 化歸思想是指問(wèn)題之間的相互轉(zhuǎn)化。前蘇聯(lián)著名數(shù)學(xué)家C.A.雅諾夫斯卡婭，有一次向奧林匹克競(jìng)賽參加者發(fā)表了什么叫解題的演講，她的答案顯得驚人地簡(jiǎn)單，完全出乎人的意料：“解題就是把題歸結(jié)為已經(jīng)解決過(guò)的問(wèn)題”，這句話實(shí)際上就是體現(xiàn)了化歸思想。因此化歸的常用模式為 問(wèn)題A問(wèn)題B問(wèn)題A的解答問(wèn)題B的解答 轉(zhuǎn)化 對(duì) 象 目 標(biāo) 解答【思想方法】一、將未知的問(wèn)題轉(zhuǎn)化歸結(jié)為已知的知識(shí)【例1】設(shè)若方程中的cosx有兩個(gè)不同的符號(hào),求實(shí)數(shù)k的取值范圍。【分析】令cosx=t

4、,則由得方程中的cosx有兩個(gè)不同的符號(hào)，等價(jià)于關(guān)于t的方程(1)在有異號(hào)兩根,設(shè),則原問(wèn)題又等價(jià)于, 由此可得【評(píng)注】將未知的問(wèn)題向已知的知識(shí)轉(zhuǎn)化，并使未知和已知的知識(shí)發(fā)生聯(lián)系，使之能用熟悉的知識(shí)和方法解決新的問(wèn)題。這種轉(zhuǎn)化經(jīng)常可達(dá)到事半功倍的效果。例如要求空間兩條異面直線所成的角，只須通過(guò)作平行線轉(zhuǎn)化成大家所熟悉的兩相交直線所成的角。又如復(fù)雜的三角函數(shù)的最值問(wèn)題有時(shí)也可以通過(guò)換元轉(zhuǎn)化為熟悉的二次函數(shù)最值問(wèn)題，再如還可以用三角法解決幾何量的最值問(wèn)題等等。二、數(shù)形之間的轉(zhuǎn)化【例3】討論方程的實(shí)數(shù)解的個(gè)數(shù).分析:此題若從代數(shù)的角度去解恐怕是無(wú)從下手,我們不妨利用數(shù)形結(jié)合來(lái)考慮看會(huì)怎么樣？此題可轉(zhuǎn)

5、化為求函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)的問(wèn)題.解:作出函數(shù)的圖象,如右圖所示,函數(shù)為水平直線,由圖形可知:當(dāng)時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)或時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)時(shí),解的個(gè)數(shù)是; 當(dāng)時(shí), 解的個(gè)數(shù)為3;【評(píng)注】注意數(shù)形的相互轉(zhuǎn)化，使數(shù)形達(dá)到和諧的統(tǒng)一，以增強(qiáng)直觀性和形象性及深刻了解數(shù)學(xué)的內(nèi)涵，便于發(fā)現(xiàn)和解決實(shí)質(zhì)問(wèn)題。某些代數(shù)問(wèn)題、三角問(wèn)題，往往潛在著幾何背景，而借助其背景圖形的性質(zhì)，可使那些抽象的概念，復(fù)雜的數(shù)量關(guān)系幾何直觀，以便于探求解題思路或找到問(wèn)題的結(jié)論。三、特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化在平面直角坐標(biāo)系中，已知的頂點(diǎn)和，頂點(diǎn)在橢圓上，則_解析：這里頂點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，所以、不易確定。但根據(jù)“一般成立特殊一定成立

6、”可將這個(gè)一般性的問(wèn)題轉(zhuǎn)化化歸為點(diǎn)在特殊位置（橢圓短軸端點(diǎn)）來(lái)處理較易。當(dāng)然：注意到A、C是兩焦點(diǎn)，利用正弦定理，進(jìn)行數(shù)形轉(zhuǎn)化也能取得很好的效果.答案：頂點(diǎn)取橢圓短軸端點(diǎn)，即 ，則，點(diǎn)評(píng)：象這種“特殊與一般的相互轉(zhuǎn)化”在高考的選擇題和填空題中經(jīng)常應(yīng)用?！驹u(píng)注】對(duì)于那些結(jié)論不明或解題思路不易發(fā)現(xiàn)的問(wèn)題，可先用特殊情形探求解題思路或命題結(jié)論，再在一般情況下給出證明，這不失為一種解題的明智之舉。四、正與反的相互轉(zhuǎn)化 若下列方程：，=0中至少有一個(gè)方程有實(shí)根. 試求實(shí)數(shù)a的取值范圍.分析：三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根的反面情況有一種：三個(gè)方程均沒(méi)有實(shí)數(shù). 先求出反面情況時(shí)a的范圍，取所得范圍的補(bǔ)集就是

7、正面情況的答案.解：設(shè)三個(gè)方程均無(wú)實(shí)根，則有 解得所以當(dāng)時(shí)，三個(gè)方程至少有一個(gè)方程有實(shí)根.【評(píng)注】對(duì)于那些從“正面進(jìn)攻”很難奏效或運(yùn)算較難的問(wèn)題，可先攻其反面，從而使正面問(wèn)題得以解決。五、實(shí)際問(wèn)題向數(shù)學(xué)問(wèn)題的轉(zhuǎn)化歸結(jié)【例6】某廠家擬在2020年舉行促銷活動(dòng)，經(jīng)調(diào)查測(cè)算，該產(chǎn)品的年銷售量（即該廠的年產(chǎn)量）萬(wàn)件與年促銷費(fèi)用萬(wàn)元滿足（為常數(shù)），如果不搞促銷活動(dòng)，則該產(chǎn)品的年銷售量是1萬(wàn)件. 已知2020年生產(chǎn)該產(chǎn)品的固定投入為8萬(wàn)元，每生產(chǎn)1萬(wàn)件該產(chǎn)品需要再投入16萬(wàn)元，廠家將每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格定為每件產(chǎn)品年平均成本的1.5倍（產(chǎn)品成本包括固定投入和再投入兩部分資金，不包括促銷費(fèi)用）（1）將2020

8、年該產(chǎn)品的利潤(rùn)y萬(wàn)元表示為年促銷費(fèi)用萬(wàn)元的函數(shù)；（2）該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入多少萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大？解：（1）由題意可知，當(dāng)時(shí)，即，每件產(chǎn)品的銷售價(jià)格為元.2020年的利潤(rùn) （2）時(shí)，.，當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，.答：該廠家2020年的促銷費(fèi)用投入3萬(wàn)元時(shí)，廠家的利潤(rùn)最大，最大為21萬(wàn)元.【評(píng)注】將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題，使之能用數(shù)學(xué)理論解決具體的實(shí)際問(wèn)題。解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問(wèn)題。要善于調(diào)整應(yīng)用題中的條件關(guān)系和題型結(jié)構(gòu)，使問(wèn)題化難為易，化繁為簡(jiǎn)。若有些較復(fù)雜的應(yīng)用題采用直接設(shè)元列方程轉(zhuǎn)化較困難，則可合理地設(shè)置間接未知數(shù)來(lái)設(shè)法進(jìn)行轉(zhuǎn)化，以尋求解決問(wèn)題的新途徑?！緦ｎ}演練】1若不等式對(duì)一切均成立，試

9、求實(shí)數(shù)的取值范圍。 2. 方程y=x33x=a有相異三個(gè)解，求a的取值范圍.3. 曲線y=1+ (2x2)與直線y=r(x2)+4有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，實(shí)數(shù)r的取值范圍 .4. 為處理含有某種雜質(zhì)的污水，要制造一個(gè)底寬為2米的無(wú)蓋長(zhǎng)方體沉淀箱（如圖），污水從A孔流入，經(jīng)沉淀后從B孔流出，設(shè)箱體的長(zhǎng)度為a米，高度為b米，已知流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)與a、b的乘積ab成反比，現(xiàn)有制箱材料60平方米，問(wèn)當(dāng)a、b各為多少米時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小（A、B孔的面積忽略不計(jì)）？化歸與轉(zhuǎn)換的思想，就是在研究和解決數(shù)學(xué)問(wèn)題時(shí)采用某種方式，借助某種函數(shù)性質(zhì)、圖象、公式或已知條件將問(wèn)題通過(guò)變換加以轉(zhuǎn)化

10、，進(jìn)而達(dá)到解決問(wèn)題的思想.等價(jià)轉(zhuǎn)化總是將抽象轉(zhuǎn)化為具體，復(fù)雜轉(zhuǎn)化為簡(jiǎn)單、未知轉(zhuǎn)化為已知，通過(guò)變換迅速而合理的尋找和選擇問(wèn)題解決的途徑和方法.【參考答案】1. 解: 令，則要使它對(duì)均有，只要有 或。2. 解：.提示：f(x)=3x23=3(x1)(x+1)易確定f(1)=2是極大值，f(1)=2是極小值.當(dāng)2a2時(shí)有三個(gè)相異交點(diǎn).3. 解：解析：方程y=1+的曲線為半圓，y=r(x2)+4為過(guò)（2，4）的直線.答案：（4. 解法一：設(shè)經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)為y，則由條件y=(k0為比例系數(shù))其中a、b滿足2a+4b+2ab=60 要求y的最小值，只須求ab的最大值.由(a+2)(b+1)=32(a0,b0)且ab=30(a+2b)應(yīng)用重要不等式a+2b=(a+2)+(2b+2)4ab18，當(dāng)且僅當(dāng)a=2b時(shí)等號(hào)成立將a=2b代入得a=6,b=3.故當(dāng)且僅當(dāng)a=6,b=3時(shí)，經(jīng)沉淀后流出的水中該雜質(zhì)的質(zhì)量分?jǐn)?shù)最小.解法二：由2a+4b+2ab=60,得,記(0a30)則要求y的最小值只須求u的最大值.由，令u=0得a=6且當(dāng)0a6時(shí)，u0，當(dāng)6u30時(shí)u0,在a=6時(shí)取最大值，此時(shí)b=3.從而當(dāng)且僅當(dāng)a=6，b=3時(shí),y=取最小值.