《小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)題第38講 應(yīng)用同余問題》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《小學(xué)六年級(jí)奧數(shù)題第38講 應(yīng)用同余問題（5頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第38講 應(yīng)用同余問題一、知識(shí)要點(diǎn)同余這個(gè)概念最初是由偉大的德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯發(fā)現(xiàn)的。同余的定義是這樣的：兩個(gè)整數(shù)a，b，如果它們除以同一自然數(shù)m所得的余數(shù)想同，則稱a，b對(duì)于模m同余。記作：ab（mod）。讀做：同余于模。比如，12除以5，47除以5，它們有相同的余數(shù)2，這時(shí)我們就說，對(duì)于除數(shù)5，12和47同余，記做1247（mod5）。同余的性質(zhì)比較多，主要有以下一些：性質(zhì)（1）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)之和（或差）與它們的余數(shù)之和（或差）同余。比如：32除以5余數(shù)是2，19除以5余數(shù)是4，兩個(gè)余數(shù)的和是2+4=6?！?2+19”除以5的余數(shù)就恰好等于它們的余數(shù)和6除以5的余數(shù)。也就是說，對(duì)于除

2、數(shù)5，“32+19”與它們的余數(shù)和“2+4”同余，用符號(hào)表示就是：322（mod5），194（mod5），32+192+41（mod5）性質(zhì)（2）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，兩個(gè)數(shù)的乘積與它們余數(shù)的乘積同余。性質(zhì)（3）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果有兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的差就一定能被這個(gè)除數(shù)整除。性質(zhì)（4）：對(duì)于同一個(gè)除數(shù)，如果兩個(gè)整數(shù)同余，那么它們的乘方仍然同余。應(yīng)用同余性質(zhì)幾萼體的關(guān)鍵是要在正確理解的基礎(chǔ)上靈活運(yùn)用同余性質(zhì)。把求一個(gè)較大的數(shù)除以某數(shù)的余數(shù)問題轉(zhuǎn)化為求一個(gè)較小的數(shù)除以這個(gè)數(shù)的余數(shù)，使復(fù)雜的題變簡(jiǎn)單，使困難的題變?nèi)菀?。二、精講精練【例題1】求199259除以7的余數(shù)。應(yīng)用同余性質(zhì)（2）可將19

3、9259轉(zhuǎn)化為求1992除以7和59除以7的余數(shù)的乘積，使計(jì)算簡(jiǎn)化。1992除以7余4，59除以7余3。根據(jù)同余性質(zhì)，“43”除以7的余數(shù)與“199259”除以7的余數(shù)應(yīng)該是相同的，通過求“43”除以7的余數(shù)就可知道199259除以7的余數(shù)了。因?yàn)?99259435（mod 7）所以199259除以7的余數(shù)是5。練習(xí)1：1、求4217364除以6的余數(shù)。2、求12除以13的余數(shù)。3、求87943765283除以11的余數(shù)?！纠}2】已知2001年的國(guó)慶節(jié)是星期一，求2010年的國(guó)慶節(jié)是星期幾？一星期有7天，要求2010年的國(guó)慶節(jié)是星期幾，就要求從2001年到2010年的國(guó)慶節(jié)的總天數(shù)被7除的余

4、數(shù)就行了。但在甲酸中，如果我們能充分利用同余性質(zhì)，就可以不必算出這個(gè)總天數(shù)。2001年國(guó)慶節(jié)到2010年國(guó)慶節(jié)之間共有2個(gè)閏年7個(gè)平年，即有“3662+3657”天。因?yàn)?662224（mod 7），3657170（mod 7），3662+365722+174+04（mod 7）答：2010年的國(guó)慶節(jié)是星期五。練習(xí)2：1、已知2002年元旦是星期二。求2008年元旦是星期幾？2、已知2002年的“七月一日”是星期一。求2015年的“十月一日”是星期幾？3、今天是星期四，再過365的15次方是星期幾？【例題3】求2001的2003次方除以13的余數(shù)。2001除以13余12，即200112（mod

5、 13）。根據(jù)同余性質(zhì)（4），可知2001的2003次方12的2003次方（mod 13），但12的2003次方仍然是一個(gè)很大的值，要求它的余數(shù)比較困難。這時(shí)的關(guān)鍵就是要找出12的幾次方對(duì)模13與1是同余的。經(jīng)試驗(yàn)可知12的平方1（mod 13），而200321001+1。所以（12的平方）的1001次方1的1001（mod 13），即12的2002次方1（mod 13），而12的2003次方12的2002次方12。根據(jù)同余性質(zhì)（2）可知12的2002次方1211212（mod 13）因?yàn)椋?001的2003次方12的2003次方（mod 13）12的平方1（mod 13），而20032100

6、1+112的2003次方12的2002次方1211212（mod 13）所以2001的2003次方除以13的余數(shù)是12。練習(xí)3：1、求12的200次方除以13的余數(shù)。2、求3的92次方除以21余幾。3、9個(gè)小朋友坐成一圈，要把35的7次方粒瓜子平均分給他們，最后剩下幾粒？ 【例題4】自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，m最大是多少？自然數(shù)16520，14903，14177除以m的余數(shù)相同，換句話說就是165201490314177（mod m）。根據(jù)同余性質(zhì)（3），這三個(gè)餓數(shù)同余，那么它們的差就能被m整除。要求m最大是多少，就是求它們差的最大公約數(shù)是多少？因?yàn)?65201

7、4903=1617=37的平方111652014177=2343=31171 1490314177=726=2311的平方M是這些差的公約數(shù)，m最大是311=33。練習(xí)4：1、若2836、4582、5164、6522四個(gè)整數(shù)都被同一個(gè)兩位數(shù)相除，所得的余數(shù)相同。除數(shù)是多少？2、一個(gè)整數(shù)除226、192、141都得到相同的余數(shù)，且余數(shù)不為0，這個(gè)整數(shù)是幾？3、當(dāng)1991和1769除以某一個(gè)自然數(shù)m時(shí)，余數(shù)分別為2和1，那么m最小是多少？【例題5】某數(shù)用6除余3，用7除余5，用8除余1，這個(gè)數(shù)最小是幾？我們可從較大的除數(shù)開始嘗試。首先考慮與1模8同余的數(shù)，91（mod 8），但9輸以7余數(shù)不是5，

8、所以某數(shù)不是9。171（mod 8），17除以7的余數(shù)也不是5。251（mod 8），25除以7的余數(shù)也不是5。331（mod 8），33除以7的余數(shù)正好是5，而且33除以6余數(shù)正好是3，所以這個(gè)數(shù)最小是33。上面的方法實(shí)際是一種列舉法，也可以簡(jiǎn)化為下面的格式：被8除余1的數(shù)有：9，17，25，33，41，49，57，65，73，81，89，其中被7除余5的數(shù)有：33，89，這些數(shù)中被6除余3的數(shù)最小是33。練習(xí)5：1、某數(shù)除以7余1，除以5余1，除以12余9。這個(gè)數(shù)最小是幾？2、某數(shù)除以7余6，除以5余1，除以11余3，求此數(shù)最小值。3、在一個(gè)圓圈上有幾十個(gè)孔（如圖38-1），小明像玩跳棋那樣從A孔出發(fā)沿逆時(shí)針方向每隔幾個(gè)孔跳一步，希望一圈以后能跑回A孔，他先試著每隔2孔跳一步，也只能跳到B孔。最后他每隔6孔跳一步，正好跳回A孔。問：這個(gè)圓圈上共有多少個(gè)孔？