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1、難點7 實戰(zhàn)平拋與圓周兩大曲線運動 平拋運動與圓周運動是高中兩大曲線運動，應用范圍很廣，在高考中屬于必考題型。平拋運動具有數(shù)學函數(shù)的拋物線的數(shù)學理論支撐，有物理中運動的合成與分解的典型物理思想和物理思維。勻速圓周運動有獨立的向心力公式及曲線運動的相關物理量關聯(lián)，豎直面內的圓周運動具有最高點和最低點的臨界問題，且有繩子、桿或軌道銜接的三種不同情景。兩大曲線運動在實際問題的處理中相當靈活多變，需要在實戰(zhàn)中掌握更多的規(guī)律，從而獲得能力的提升。拋體運動規(guī)律及推論的靈活應用調研1】圖(a)OB如圖a所示，在傾角為的斜面上，將一小球以初速度v0沿水平方向從斜面頂端拋出，則從拋出開始計時，經(jīng)過多長時間小球離

2、斜面距離最大？最大值為多少？（設斜面足夠長）解法一（常規(guī)分解法）：（1）根據(jù)運動的獨立性將小球的運動分解為水平方向的勻速直線運動和豎直方向的自由落體運動，當軌跡的切線與斜面平行時，小球離斜面的距離最大。將合速度分解，則有水平方向的速度，豎直方向的速度和，解以上三式得：圖(b)EOFKPBx（2）如圖圖b所示，設小球離斜面最遠點為P點，同理將位移分解。水平位移，豎直位移。由幾何關系得小球離斜面的最大距離為：將代入上式解得：圖(c)g解法二（非常規(guī)分解法）：采用運動的合成與分解，如圖c所示，將小球的初速度和重力加速度沿平行于斜面的方向進行正交分解，則小球在垂直斜面的方向上是勻變速運動；在沿斜面的方

3、向上也是勻變速運動，當小球在垂直斜面的方向上的速度為零時，小球與斜面間的距離最大，設經(jīng)歷的時間為t，則，解得：此時由運動學公式得物體距斜面的最遠距離為：解法三（中點位移法）：平拋運動末速度的反向延長線交于平拋運動水平位移的中點。圖(d)NMVOV0KP當小球距斜面最遠時，此時末速度方向與初速方向夾角為角。如圖d所示，圖中M為末速度的反向延長線與水平位移的交點，最遠距離PK與MN相等，故MN即為所求的最遠距離。根據(jù)平拋運動規(guī)律有：，和由平拋運動的重要結論（中點位移）可知：根據(jù)圖4中的幾何關系得：由以上各式聯(lián)立解得：和即小球距離斜面的最遠距離為：EO圖(e)V0KP解法四（二次函數(shù)法）：設經(jīng)過時間

4、t小球到達離斜面距離最遠處P點，如圖e所示，此時有水平方向，豎直方向P點到斜面的距離為：此式是關于t的一元二次方程，當時，即時，小球離斜面最遠。將t的值代入上式解得最遠距離為：圖(f)V0OKPBx解法五（軌跡方程法）：如圖f所示，建立平面坐標系，則小球的平拋運動軌跡方程為：設某時刻小球的位置坐標P（，）為該運動曲線上的一點，因為直線OB的斜率：，所以直線OB的方程為：，即：點P（，）到直線OB的距離為：從上式可以看出：有最大值的條件是其分子有最大值，由二次函數(shù)的性質知：當時，有最大值，即小球此時離斜面最遠，最遠距離為：【規(guī)律總結】從以上的幾種解法可以看出：有關平拋運動的答題技巧可運用的解答方

5、法較多。但這些解答方法常常涉及數(shù)學建模能力（即把物理問題轉化為數(shù)學問題的能力）和知識遷移能力（即運用數(shù)學知識求解和討論物理問題的能力），尤其是這道很常見的經(jīng)典習題的多種解法可以培養(yǎng)一題多解的能力，開闊了視野。當然記住一些規(guī)律和推論，解題時將快人一步。實戰(zhàn)勻速圓周運動F r O 【調研2】如圖所示，一個被繩子牽引的小球在光滑水平板上以速度=1.0m/s做勻速圓周運動。運動半徑r=30cm?，F(xiàn)迅速松手使繩子放長20cm后立即拽緊繩子，使小球在更大半徑的新軌道上做勻速圓周運動。求：(1)實現(xiàn)這一過渡所需要的時間。(2)小球在新軌道上做勻速圓周運動時，繩子對小球的牽引力F2是原來繩子對小球的牽引力F1

6、的多少倍?【解析】松手后小球沿速度方向做勻速直線運動，如圖所示B v2v1vr O A 繩子被拉緊瞬間，繩子的拉力對小球產(chǎn)生沖量，使小球沿繩子方向的速度立即減小到零，速度變?yōu)?，且，解得【方法點拔】本題從一個軌道到另一個軌道的時間，思路上要明確了曲線運動的速度方向是切線方向，問題的突破口即可找到。而進入到第二個軌道的瞬間，拉力作用下導致速度發(fā)生突變，故要明確速度必須分解才能作為第二個軌道的速度。RmO【調研3】如圖所示，質量為m的小球置于正方體的光滑盒子中，盒子的邊長略大于球的直徑某同學拿著該盒子在豎直平面內做半徑為R的勻速圓周運動，已知重力加速度為g，空氣阻力不計，問：（1）要使盒子在最高點時

7、盒子與小球之間恰好無作用力，則該盒子做勻速圓周運動的周期為多少？（2）若盒子以第（1）問中周期的一半，做勻速圓周運動，則當盒子運動到圖示球心與O點位于同一水平面位置時，小球對盒子的哪些面有作用力，作用力為多大？【解析】設此時盒子的運動周期為T0，因為在最高點時盒子與小球之間剛好無作用力，因此小球僅受重力作用根據(jù)牛頓運動定律得：，且，解得：（2）設此時盒子的運動周期為T，則此時小球的向心加速度為：由第一問知：，且，解得：設小球受盒子右側面的作用力為F，受上側面的作用力為N，根據(jù)牛頓運動定律知：在水平方向上： ，即：在豎直方向上：，即：因為F為正值、N為負值，所以小球對盒子的右側面和下側面有作用力

8、，分別為4 mg和mg【學法指導】本題看似豎直面上的非勻速圓周運動的模式，實際上是勻速圓周運動模型。由于盒子對小球的作用力的方向不確定，導致受力分析難度加大。在運用向心力公式時必須用徑向方向的牛頓第二定律求解。兩大曲線運動的綜合應用v0O1OR【調研4】一質量為m的質點，系于長為R的輕繩的一端，繩的另一端固定在空間的O點，假定繩是柔軟不可伸長的今把質點從O點的正上方離O點的距離為R的O1點以水平的速度v0 拋出，如圖所示。試求；（1）輕繩即將伸直時，繩與豎直方向的夾角為多少？（2）當質點到達O點的正下方時，繩對質點的拉力為多大？v0O1ORR【解析】（1）第一過程：質點做平拋運動。設繩即將伸直

9、時，繩與豎直方向的夾角為，如圖所示。則水平方向v0tRsin，豎直方向gt2RRcos，其中v0聯(lián)立解得：t，（2）第二過程：繩繃直過程。繩棚直時，繩剛好水平，如圖所示。由于繩不可伸長，故繩繃直時，v0損失，質點僅有速度v，且vgtvvvv 0O第三過程：小球在豎直平面內做圓周運動。設質點到達O點正下方時，速度為v，根據(jù)機械能守恒守律有：mv2mv2mgR設此時繩對質點的拉力為T，則Tmgm聯(lián)立解得：Tmg【學法指導】本題若不認真思考容易錯認為小球做圓周運動，實際上分為平拋運動和圓周運動?？疾槠綊佭\動、機械能守恒定律、牛頓第二定律和圓周運動的向心力等知識點，側重對物理過程分析的考查，由于繩子不

10、可伸長，當繩繃直時，沿繩子方向的速度由于受到繩子拉力立即減小為零是分析的難點。特別注意此類問題往往在轉折點有機械能損失，如繩子繃直瞬間、非彈性碰撞瞬間等?！菊{研5】如圖所示，光滑水平面右端B處連接一個豎直的半徑為R的光滑半圓軌道，在離B距離為x的A點，用水平恒力將質量為m的質點從靜止開始推到B處后撤去恒力，質點沿半圓軌道運動到C處后又正好落回A點，求：（1）推力對小球做了多少功? (用題中所給的量表示)（2）x取何值時，完成上述運動所做的功最少?最小功為多少?（3）x取何值時，完成上述運動所用的力最小?最小力為多少?【解析】（1）質點從半圓弧軌道做平拋運動后又回到A點，設在C點的速度為VC，質

11、點從C點運動到A點所用的時間為t，在水平方向：x = VCt，在豎直方向：2R = gt2/2解得：VC = 對質點從A點到C點由動能定理有：WF g2R VC2/2解得：WFmg（16R2x2）/ 8R（2）要使力F做功最少，確定x的取值，由WF = g2R + VC2/2可知，只要質點在C點的速度最小，則WF就最小，若質點恰好能通過C點，其在C點的最小速度為v，由牛頓第二定律有：mg = mv2/R 即v=， 而=解得：x2R時，WF最小，其最小值為WF5mgR/2（3）由于WFmg（16R2x2）/ 8R ， 而WFFx所以由此可知：當 即x 4R時，力F最小，其最小值為mg?！緦W法指導

12、】本題將平拋運動與豎直面的圓周運動結合起來，通過推力做功影響拋體運動的落點。需要尋找做功的量與拋體運動水平位移的關系，并用數(shù)學函數(shù)尋找極值，表達式要靈活選用?！就卣褂柧殹?、如圖所示，從傾角為的斜面上的M點水平拋出一個小球，小球的初速度為，最后小球落在斜面上的N點,已知重力加速度為g，下列判斷中正確的是A可求出M、N之間的距離v0NMB可求出小球運動的時間C不可以求出小球什么時刻與斜面間的距離最大D可求出小球落到N點時的速度大小和方向O R v01、ABD【解析】可建立平行于斜面向下的x軸和垂直斜面向上的y軸，將加速度g和初速度分解到這兩個方向上，則小球沿x方向的分運動是初速度為cos，加速度

13、為gsin的勻變速直線運動，沿y方向的分運動是初速度為sin，加速度為-gcos的勻變速直線運動，根據(jù)勻變速直線運動的規(guī)律即可求出M、N之間的距離、小球運動的時間、小球什么時刻與斜面間的距離最大、小球落到N點時的速度大小和方向，所以ABD正確。2、如圖所示，固定在豎直平面內的光滑圓軌道半徑為R，軌道內側底部靜止著一個光滑小球，現(xiàn)給小球一個沖量使其在瞬間得到一個水平初速，若大小不同，則小球能夠上升到的最大高度（距離底部）也不同下列說法中正確的是A如果，則小球能夠上升的最大高度等于R/2B如果，則小球能夠上升的最大高度小于3R/2C如果，則小球能夠上升的最大高度等于2RO R v0A B C D如

14、果，則小球能夠上升的最大高度等于2R2、ABD【解析】在豎直平面內圓環(huán)軌道內側運動的小球，只可能在與圓心等高的B點上方離開軌道，在B點下方運動，無論速度多大，都不會離開軌道，因此B點下方速度可以為零，恰能上升到B點，則，A項小球不通上升到B點，因此滿足，得，A正確；當小球能通過軌道最高點時，速度應滿足，而，得，C錯D對；當時，小球在BC之間離開軌道做斜上拋運動，在軌跡最高點時速度大于零，不滿足，即上升的最大高度比小，B正確。3、做平拋運動的物體在它著地前的最后1s內，其速度方向由跟水平方向成45角變?yōu)楦椒较虺?0角，求物體的初速度。3、【解析】設物體的初速度為v0，下落高度為h，下落時間為

15、1s，則(t1) s末物體的水平分速度和豎直分速度都是v0, ts末物體的水平分速度和豎直分速度分別為v0、v0g。利用推論3作出物體的速度矢量直角三角形如圖所示，由圖可知tan 60解得v0=13. 4 m/s。Av0BCR2R4、在水平地面A處以初速度v0拋出一小球，恰好水平經(jīng)過光滑的半圓軌道的最低點B，已知半圓軌道半徑R0.2m，B點離地面的高度也為R，A點到B點的水平距離為2R，重力加速度g10m/s2 ，求（1）小球從A運動到B的時間；（2）小球能否到達半圓軌道的最高點C.4、【解析】（1）小球從A到B運動過程中，豎直方向作豎直上拋運動，則：Rgt2，解得t0.2s（2）水平方向勻速運動，2Rvxt豎直方向：vygt由：v0從A到C運動過程中，設到達C點速度為v，由機械能守恒定律：3mgRmv02mv2聯(lián)立以上式子解得v0，故無法通過最高點C。