《高考數(shù)學 考前最后一輪基礎知識鞏固之第五章 第3課 數(shù)列的求和》由會員分享,可在線閱讀,更多相關《高考數(shù)學 考前最后一輪基礎知識鞏固之第五章 第3課 數(shù)列的求和(8頁珍藏版)》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。
1、第3課數(shù)列的求和【考點導讀】對于一般數(shù)列求和是很困難的,在推導等差、等比數(shù)列的和時出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上,掌握數(shù)列求和的常見方法有: (1)公式法: 等差數(shù)列的求和公式, 等比數(shù)列的求和公式(2)分組求和法:在直接運用公式求和有困難時常,將“和式”中的“同類項”先合并在一起,再運用公式法求和(如:通項中含因式,周期數(shù)列等等)(3)倒序相加法:如果一個數(shù)列a,與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和,則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加,就得到了一個常數(shù)列的和,這一求和方法稱為倒序相加法。特征:an+a1=an-1+a2(4)錯項相減法:如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與
2、一個等比數(shù)列的對應項相乘所組成,此時求和可采用錯位相減法。(5)裂項相消法:把一個數(shù)列的各項拆成兩項之差,在求和時一些正負項相互抵消,于是前n項之和變成首尾若干少數(shù)項之和?!净A練習】1已知公差不為0的正項等差數(shù)列an中,Sn為前n項之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列,若a5=10,則S5 = 30 。2設,則等于。3已知數(shù)列an是等差數(shù)列,首項a1,a2020a2020,a2020a2020,則使前n項之和Sn成立的最大自然數(shù)n是 。4已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a2=8,a8=26,從an中依次取出第3項,第9項,第27項,第3n項,按原來的順序構(gòu)成一個新的數(shù)列bn, 則bn=_3
3、n+1+2_5 若數(shù)列滿足:,2,3.則. 【范例導析】例1.已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項,且()求; ()設,求數(shù)列解:(I)依題意 (II)點評:本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和,本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。例2數(shù)列前項之和滿足:(1) 求證:數(shù)列是等比數(shù)列;(2) 若數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足:,求數(shù)列的通項公式;(3) 定義數(shù)列為,求數(shù)列的前項之和。解:(1)由得:兩式相減得:即, 數(shù)列是等比數(shù)列。 (2),則有 。 (3),點評:本題考查了與之間的轉(zhuǎn)化問題,考查了基本等差數(shù)列的定義,還有裂項相消法求和問題。例3已知數(shù)列滿足,()求數(shù)列的通項公式; ()設,
4、求數(shù)列的前項和;()設,數(shù)列的前項和為求證:對任意的,分析:本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列,對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解:(),又,數(shù)列是首項為,公比為的等比數(shù)列 , 即. () (), 當時,則, 對任意的, 點評:本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項,第二問分組求和法是非常常見的方法,第三問不等式的證明要用到放縮的辦法,放縮的目的是利于求和,所以通常會放成等差、等比數(shù)列求和,或者放縮之后可以裂項相消求和。備用題已知數(shù)列,點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上,其中=1,2,3,(1) 證明數(shù)列l(wèi)g(1+
5、an)是等比數(shù)列;設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an),求Tn及數(shù)列an的通項;(2) 記bn=,求bn數(shù)列的前項和Sn,并證明Sn+=1.解:()由已知,; ,兩邊取對數(shù)得:,即;是公比為2的等比數(shù)列.()由()知(*)=;由(*)式得() 又 ; ; ; 又 .【反饋演練】1已知數(shù)列的通項公式,其前項和為,則數(shù)列的前10項的和為 75 。 2已知數(shù)列的通項公式,則它的前項和為。3已知數(shù)列的通項公式,其前項和為,則 377 。4已知數(shù)列中,則數(shù)列的前項和為。5數(shù)列的前項和為。6已知數(shù)列的前項和為,且,則數(shù)列的通項公式為。7已知數(shù)列中,且有,則數(shù)列的通項公式為,前項和為。8對正整數(shù)
6、n,設曲線在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為,則數(shù)列的前n項和的公式是解:,曲線在x=2處的切線的斜率為切點為, 所以切線方程為, 令x=0得:,設,則數(shù)列的前n項和為:9數(shù)列an滿足a1=2,對于任意的nN*都有an0, 且(n+1)an2+anan+1nan+12=0,又知數(shù)列bn的通項為bn=2n1+1.(1)求數(shù)列an的通項an及它的前n項和Sn;(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn;解:(1)可解得,從而an=2n,有Sn=n2+n,(2)Tn=2n+n1.10數(shù)列an中,a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式;(2)設Sn=a1+a2+a
7、n,求Sn;(3)設bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整數(shù)m,使得對任意nN*均有Tn成立?若存在,求出m的值;若不存在,說明理由.解:(1)由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數(shù)列,d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5,當n5時,Sn=n2+9n,當n5時,Sn=n29n+40,故Sn=(3)bn=;要使Tn總成立,需T1=成立,即m8且mZ,故適合條件的m的最大值為7.11設數(shù)列an的首項a1=1,前n項和Sn滿足關系式:3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求證:數(shù)列an是等比
8、數(shù)列;(2)設數(shù)列an的公比為f(t),作數(shù)列bn,使b1=1,bn=f()(n=2,3,4),求數(shù)列bn的通項bn;(3)求和:b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1.解:(1)由S1=a1=1,S2=1+a2,得3t(1+a2)(2t+3)=3t. a2=.又3tSn(2t+3)Sn1=3t,3tSn1(2t+3)Sn2=3t得3tan(2t+3)an1=0.,n=2,3,4, 所以an是一個首項為1公比為的等比數(shù)列;(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1.可見bn是一個首項為1,公差為的等差數(shù)列. 于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n是首項分別為1和,公差均為的等差數(shù)列,于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=n(+)= (2n2+3n)12已知為銳角,且,函數(shù),數(shù)列an的首項. 求函數(shù)的表達式; 求證:; 求證:分析:本題是借助函數(shù)給出遞推關系,第(2)問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì),第(3)問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式,這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解: 又為銳角 都大于0 , , 又 點評:把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想,本題中的第(3)問不等式的證明更具有一般性。