《高考數(shù)學 考前最后一輪基礎知識鞏固之第五章 第3課 數(shù)列的求和》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《高考數(shù)學 考前最后一輪基礎知識鞏固之第五章 第3課 數(shù)列的求和（8頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第3課數(shù)列的求和【考點導讀】對于一般數(shù)列求和是很困難的，在推導等差、等比數(shù)列的和時出現(xiàn)了一些方法可以遷移到一般數(shù)列的求和上，掌握數(shù)列求和的常見方法有： （1）公式法： 等差數(shù)列的求和公式， 等比數(shù)列的求和公式（2）分組求和法：在直接運用公式求和有困難時常，將“和式”中的“同類項”先合并在一起，再運用公式法求和（如：通項中含因式，周期數(shù)列等等）（3）倒序相加法：如果一個數(shù)列a，與首末兩項等距的兩項之和等于首末兩項之和，則可用把正著寫和與倒著寫和的兩個和式相加，就得到了一個常數(shù)列的和，這一求和方法稱為倒序相加法。特征：an+a1=an-1+a2（4）錯項相減法：如果一個數(shù)列的各項是由一個等差數(shù)列與

2、一個等比數(shù)列的對應項相乘所組成，此時求和可采用錯位相減法。（5）裂項相消法：把一個數(shù)列的各項拆成兩項之差，在求和時一些正負項相互抵消，于是前n項之和變成首尾若干少數(shù)項之和?！净A練習】1已知公差不為0的正項等差數(shù)列an中,Sn為前n項之和,lga1、lga2、lga4成等差數(shù)列，若a5=10,則S5 = 30 。2設，則等于。3已知數(shù)列an是等差數(shù)列，首項a1，a2020a2020，a2020a2020，則使前n項之和Sn成立的最大自然數(shù)n是 。4已知數(shù)列an是等差數(shù)列,且a2=8,a8=26,從an中依次取出第3項,第9項,第27項,第3n項,按原來的順序構(gòu)成一個新的數(shù)列bn, 則bn=_3

3、n+1+2_5 若數(shù)列滿足：，2，3.則. 【范例導析】例1.已知等比數(shù)列分別是某等差數(shù)列的第5項、第3項、第2項，且（）求； （）設，求數(shù)列解：（I）依題意 （II）點評：本題考查了等比數(shù)列的基本性質(zhì)和等差數(shù)列的求和，本題還考查了轉(zhuǎn)化的思想。例2數(shù)列前項之和滿足：（1） 求證：數(shù)列是等比數(shù)列；（2） 若數(shù)列的公比為,數(shù)列滿足：，求數(shù)列的通項公式；（3） 定義數(shù)列為，求數(shù)列的前項之和。解：（1）由得：兩式相減得：即, 數(shù)列是等比數(shù)列。 （2），則有 。 （3），點評：本題考查了與之間的轉(zhuǎn)化問題，考查了基本等差數(shù)列的定義，還有裂項相消法求和問題。例3已知數(shù)列滿足，（）求數(shù)列的通項公式； （）設，

4、求數(shù)列的前項和；（）設，數(shù)列的前項和為求證：對任意的，分析：本題所給的遞推關系式是要分別“取倒”再轉(zhuǎn)化成等比型的數(shù)列，對數(shù)列中不等式的證明通常是放縮通項以利于求和。解：（），又，數(shù)列是首項為，公比為的等比數(shù)列 ， 即. （） （）， 當時，則， 對任意的， 點評：本題利用轉(zhuǎn)化思想將遞推關系式轉(zhuǎn)化成我們熟悉的結(jié)構(gòu)求得數(shù)列的通項，第二問分組求和法是非常常見的方法，第三問不等式的證明要用到放縮的辦法，放縮的目的是利于求和，所以通常會放成等差、等比數(shù)列求和，或者放縮之后可以裂項相消求和。備用題已知數(shù)列，點(an,an+1)在函數(shù)f(x)=x2+2x的圖象上，其中=1，2，3，（1） 證明數(shù)列l(wèi)g(1+

5、an)是等比數(shù)列；設Tn=(1+a1) (1+a2) (1+an)，求Tn及數(shù)列an的通項；（2） 記bn=，求bn數(shù)列的前項和Sn，并證明Sn+=1.解：（）由已知，； ，兩邊取對數(shù)得：，即；是公比為2的等比數(shù)列.（）由（）知（*）=；由（*）式得（） 又 ； ； ； 又 .【反饋演練】1已知數(shù)列的通項公式，其前項和為，則數(shù)列的前10項的和為 75 。 2已知數(shù)列的通項公式，則它的前項和為。3已知數(shù)列的通項公式，其前項和為，則 377 。4已知數(shù)列中，則數(shù)列的前項和為。5數(shù)列的前項和為。6已知數(shù)列的前項和為，且，則數(shù)列的通項公式為。7已知數(shù)列中，且有，則數(shù)列的通項公式為，前項和為。8對正整數(shù)

6、n，設曲線在x2處的切線與y軸交點的縱坐標為，則數(shù)列的前n項和的公式是解：，曲線在x=2處的切線的斜率為切點為, 所以切線方程為, 令x=0得：,設，則數(shù)列的前n項和為：9數(shù)列an滿足a1=2，對于任意的nN*都有an0, 且(n+1)an2+anan+1nan+12=0，又知數(shù)列bn的通項為bn=2n1+1.(1)求數(shù)列an的通項an及它的前n項和Sn；(2)求數(shù)列bn的前n項和Tn；解：(1）可解得，從而an=2n，有Sn=n2+n，(2)Tn=2n+n1.10數(shù)列an中，a1=8,a4=2且滿足an+2=2an+1an,(nN*).(1)求數(shù)列an的通項公式；(2)設Sn=a1+a2+a

7、n,求Sn;(3)設bn=(nN*),Tn=b1+b2+bn(nN*),是否存在最大的整數(shù)m，使得對任意nN*均有Tn成立？若存在，求出m的值；若不存在，說明理由.解：(1）由an+2=2an+1anan+2an+1=an+1an可知an成等差數(shù)列，d=2,an=102n.(2)由an=102n0可得n5，當n5時，Sn=n2+9n，當n5時，Sn=n29n+40，故Sn=(3)bn=；要使Tn總成立，需T1=成立，即m8且mZ，故適合條件的m的最大值為7.11設數(shù)列an的首項a1=1，前n項和Sn滿足關系式：3tSn(2t+3)Sn1=3t(t0,n=2,3,4).(1)求證：數(shù)列an是等比

8、數(shù)列；(2)設數(shù)列an的公比為f(t)，作數(shù)列bn，使b1=1,bn=f()(n=2,3,4)，求數(shù)列bn的通項bn；(3)求和：b1b2b2b3+b3b4+b2n1b2nb2nb2n+1.解：(1)由S1=a1=1,S2=1+a2，得3t(1+a2)(2t+3)=3t. a2=.又3tSn(2t+3)Sn1=3t，3tSn1(2t+3)Sn2=3t得3tan(2t+3)an1=0.,n=2,3,4, 所以an是一個首項為1公比為的等比數(shù)列；(2)由f(t)= =,得bn=f()=+bn1.可見bn是一個首項為1，公差為的等差數(shù)列. 于是bn=1+(n1)=;(3)由bn=,可知b2n1和b2n是首項分別為1和，公差均為的等差數(shù)列，于是b2n=,b1b2b2b3+b3b4b4b5+b2n1b2nb2nb2n+1=b2(b1b3)+b4(b3b5)+b2n(b2n1b2n+1)= (b2+b4+b2n)=n(+)= (2n2+3n)12已知為銳角，且，函數(shù)，數(shù)列an的首項. 求函數(shù)的表達式； 求證：； 求證：分析：本題是借助函數(shù)給出遞推關系，第（2）問的不等式利用了函數(shù)的性質(zhì)，第（3）問是轉(zhuǎn)化成可以裂項的形式，這是證明數(shù)列中的不等式的另一種出路。解： 又為銳角 都大于0 , , 又 點評：把復雜的問題轉(zhuǎn)化成清晰的問題是數(shù)學中的重要思想，本題中的第（3）問不等式的證明更具有一般性。