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1、數(shù)學精練(23)
1.在棱長為4的正方體中,、分別為棱、上的動點,點為正方形
的中心. 則空間四邊形在該正方體各個面上的正投影所構(gòu)成的圖形中,面積的最
大值為 ▲ .
答案:12
O
B
C
F1
F2
D
x
y
(第 3題)
2.若對任意的都成立,則的最小值為 ▲ .
答案:
3.如圖,在平面直角坐標系xOy中,F(xiàn)1,F(xiàn)2分別為橢圓
()的左、右焦點,B,C分別為橢圓
的上、下頂點,直線BF2與橢圓的另一交點為. 若
,則直線的斜率為 ▲ .
答案:
4.各項均為正偶數(shù)的數(shù)列a1
2、,a2,a3,a4中,前三項依次成公差為d(d?>?0)的等差數(shù)列,后三項
依次成公比為q的等比數(shù)列. 若,則q的所有可能的值構(gòu)成的集合為 ▲ .
答案:
5
在斜三角形中,角A,B,C的對邊分別為 a,b,c.
(1)若,求的值;
(2)若,求的值.
解:(1)由正弦定理,得.
從而可化為. …………………………3分
由余弦定理,得.
整理得,即. ……………………………………………………7分
(2)在斜三角形中,,
所以可化為,
即.…………………………………
3、…10分
故.
整理,得, ………………………12分
因為△ABC是斜三角形,所以sinAcosAcosC,
所以.………………………………………14分
6
A
(第16題)
B
C
D
D1
C1
B1
A1
M
如圖,在六面體中,,, .求證:
(1);
(2).
證明:(1)取線段的中點,連結(jié)、,
因為,,
所以,.…………………………3分
又,平面,所以平面.
而
4、平面,
所以.………………………………………7分
(2)因為,
平面,平面,
所以平面.………………………………9分
又平面,平面平面,………11分
所以.同理得,
所以.…………………………………………14分
7
將52名志愿者分成A,B兩組參加義務(wù)植樹活動,A組種植150捆白楊樹苗,B組種植200捆
沙棘樹苗.假定A,B兩組同時開始種植.
(1)根據(jù)歷年統(tǒng)計,每名志愿者種植一捆白楊樹苗
5、用時小時,種植一捆沙棘樹苗用時小時.應(yīng)如何分配A,B兩組的人數(shù),使植樹活動持續(xù)時間最短?
(2)在按(1)分配的人數(shù)種植1小時后發(fā)現(xiàn),每名志愿者種植一捆白楊樹苗用時仍為小時,
而每名志愿者種植一捆沙棘樹苗實際用時小時,于是從A組抽調(diào)6名志愿者加入B組繼
續(xù)種植,求植樹活動所持續(xù)的時間.
解:(1)設(shè)A組人數(shù)為,且,,
則A組活動所需時間;…………………………2分
B組活動所需時間.………………………4分
令,即,解得.
所以兩組同時開始的植樹活動所需時間
…………………………………6分
而故.
所以當A、B兩組人數(shù)分別為
6、時,使植樹活動持續(xù)時間最短.………………8分
(2)A組所需時間為1+(小時),…………………10分
B組所需時間為(小時), ………………12分
所以植樹活動所持續(xù)的時間為小時. ………………………14分
8
如圖,在平面直角坐標系中,已知圓:,圓:.
(第18題)
才
(1)若過點的直線被圓截得的弦長為
,求直線的方程;
(2)設(shè)動圓同時平分圓的周長、圓的周長.
①證明:動圓圓心C在一條定直線上運動;
②動圓是否經(jīng)過定點?若經(jīng)過,求出定點的
坐標;若不經(jīng)過,請說明理由.
7、 解:(1)設(shè)直線的方程為,即.
因為直線被圓截得的弦長為,而圓的半徑為1,
所以圓心到:的距離為.…………………………3分
化簡,得,解得或.
所以直線的方程為或.…………………………………6分
(2)①證明:設(shè)圓心,由題意,得,
即.
化簡得,
即動圓圓心C在定直線上運動.…………………………………………10分
②圓過定點,設(shè),
則動圓C的半徑為.
于是動圓C的方程為.
整理,得.…………………………………………14分
由得或
所以定點的坐標
8、為,.………………………16分
9
已知函數(shù).
(1)設(shè)P,Q是函數(shù)圖象上相異的兩點,證明:直線PQ的斜率大于0;
(2)求實數(shù)的取值范圍,使不等式在上恒成立.
解:(1)由題意,得.
所以函數(shù)在R上單調(diào)遞增.
設(shè),,則有,即. ………………………………6分
(2)當時,恒成立.………………………………………8分
當時,令,
.
①當,即時,,
所以在上為單調(diào)增函數(shù).
所以,符合題意. ……………………
9、………10分
②當,即時,令,
于是.
因為,所以,從而.
所以在上為單調(diào)增函數(shù).
所以,即,
亦即.……………………………………………………………12分
(i)當,即時,,
所以在上為單調(diào)增函數(shù).于是,符合題意.…………14分
(ii)當,即時,存在,使得
當時,有,此時在上為單調(diào)減函數(shù),
從而,不能使恒成立.
綜上所述,實數(shù)的取值范圍為.……………………………………………………16分
20
設(shè)數(shù)列{}的各項均為正數(shù).若對任意的,存在,使得成立,則稱
數(shù)列
10、{}為“Jk型”數(shù)列.
(1)若數(shù)列{}是“J2型”數(shù)列,且,,求;
(2)若數(shù)列{}既是“J3型”數(shù)列,又是“J4型”數(shù)列,證明:數(shù)列{}是等比數(shù)列.
解:(1)由題意,得,,,,…成等比數(shù)列,且公比,
所以. ………………………………………………………………4分
(2)證明:由{}是“型”數(shù)列,得
,,,,,,…成等比數(shù)列,設(shè)公比為. …………………………6分
由{}是“型”數(shù)列,得
,,,,,…成等比數(shù)列,設(shè)公比為;
,,,,,…成等比數(shù)列,設(shè)公比為;
,,,,,…成等比數(shù)列,設(shè)公比為;
則,,.
所以,不妨記,且. ……………………………12分
于是,
,
,
所以,故{}為等比數(shù)列.
參考答案