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1、數(shù)學沖刺復習 數(shù)學精練（3） 1 ． 在中，分別是角 A、B、C的對邊， 且（1）求角B的大??；（2）設(shè)函數(shù)，求函數(shù)的最小正周期，最大值及當取得最大值時的值. 【解析】（1）由，得 由正弦定理，得 2分 即， ， 4分 在中，，， 6分 （2）， 8分 所以的最小正周期為 10分 令，得 即當時取最大值1 12分 2 有兩枚大小相同、質(zhì)地均勻的正四面體玩具，每個玩具的各個面上分別寫著數(shù)字1，2，3，5。同時投擲這兩枚玩具一次，記為兩個朝

2、下的面上的數(shù)字之和. （1）求事件“m不小于6”的概率； （2）“m為奇數(shù)”的概率和“m為偶數(shù)”的概率是不是相等？證明你作出的結(jié)論。 【解析】因玩具是均勻的，所以玩具各面朝下的可能性相等，出現(xiàn)的可能情況有 （1，1），（1，2），（1，3），（1，5），（2，1），（2，2），（2，3），（2，5） （3，1），（3，2），（3，3），（3，5），（5，1），（5，2），（5，3），（5，5） 共16種 4分 （1）事件“m不小于6”包含其中（1，5），（2，5），（3，5），（3，3）（5，1），（5，2），（5，3），（5，8）共8

3、個基本事件 6分 所以P(m≥6)= 8分 （2）“m為奇數(shù)”的概率和“m為偶數(shù)”的概率不相等。 因為m為奇數(shù)的概率為 10分 M為偶數(shù)的概率為。這兩個概率值不相等 12分 3 在某校教師趣味投籃比賽中,比賽規(guī)則是: 每場投6個球，至少投進4個球且最后2個球都投進者獲獎；否則不獲獎. 已知教師甲投進每個球的概率都是． （Ⅰ）記教師甲在每場的6次投球中投進球的個數(shù)為X，求X的分布列及數(shù)學期望； （Ⅱ）求教師甲在一場比賽中獲獎的概率； （Ⅲ）已知教師乙在某場比賽中，6個球中恰好投進了4個球，求教師乙在這場比賽中獲獎的概率；教師乙在這場比賽

4、中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率相等嗎？ 【解析】（Ⅰ）X的所有可能取值為0，1，2，3，4，5，6. 依條件可知X~B(6，). () X的分布列為：[ X 0 1 2 3 4 5 6 P 所以=. 或因為X~B(6，)，所以. 即X的數(shù)學期望為4． ……………4分 （Ⅱ）設(shè)教師甲在一場比賽中獲獎為事件A， 則 答：教師甲在一場比賽中獲獎的概率為 ………………………………8分 （Ⅲ）設(shè)教師乙在這場比賽中獲獎為事件B， 則. 即教師乙在這場比賽中獲獎的概率為. 顯然，所以教師乙在這場比

5、賽中獲獎的概率與教師甲在一場比賽中獲獎的概率不相等． …………………12分 4 如圖所示，在三棱柱ABC—A1B1C1中， 平面ABC，AB=2BC，AC=AA1=BC. （1）證明：平面AB1C1； （2）若D是棱CC1的中點，在棱AB上是 否存在一點E，使DE//平面AB1C1？若存在， 請確定點E的位置；若不存在，請說明理由. 【解析】證明：（1），為直角三角形且 從而BCAC。又AA1平面ABC，BCCC1 2分 從而BC面ACC1A1，BCA1C，B1C1A1C 4分 ，側(cè)面ACC1A1為正方形， 又B1C1∩AC1

6、=C1，面AB1C1. 6分 （2）存在點E，且E為AB的中點 8分 下面給出證明： 取BB1的中點F，連接DF，則DF//B1C1。 AB的中點為E，連接EF，則EF//AB1。 B1C1與AB1是相交直線，面DEF//面AB1C1。 10分 而面DEF，DE//面AB1C1 12分 5（本小題共12分）在如圖的多面體中，⊥平面，,，，，，，是的中點． (Ⅰ) 求證：平面； (Ⅱ) 求證：； (Ⅲ) 求二面角的余弦值. 【解析】(Ⅰ)證明：∵， ∴. 又∵,是的中點， ∴， ∴四邊形是平行四邊形,

7、 ∴ . ……………2分 ∵平面，平面， ∴平面. …………………4分 (Ⅱ) 解法1 證明：∵平面，平面， ∴， 又，平面， ∴平面. ………………………5分 過作交于，則平面. ∵平面， ∴. ………………………6分 ∵，∴四邊形平行四邊形， ∴， ∴，又， ∴四邊形為正方形， ∴，

8、 ………………………7分 又平面，平面, ∴⊥平面. ∵平面, ∴. ………………8分 解法2 ∵平面，平面，平面，∴，， 又, ∴兩兩垂直. ……………………5分 以點E為坐標原點，分別為軸建立如圖的空間直角坐標系. 由已知得，（0，0，2），（2，0，0）， （2，4，0），（0，3，0），（0，2，2）， （2，2，0）. …………………………6分 ∴，，………

9、7分 ∴, ∴. …………………………8分 (Ⅲ)由已知得是平面的法向量. 設(shè)平面的法向量為，∵， ∴，即，令,得. ……………10分 設(shè)二面角的大小為， 則， …………………………11分 ∴二面角的余弦值為 …………………………12分 6 已知正項數(shù)列的前項和為 當時，點在直線上，數(shù)列滿足 （1）求數(shù)列的通項公式； （2）設(shè)數(shù)列的前n項和為。求。 【解析】（1）當且時，點在直線上， ①　　　　 ② 由②-①得： 2分 由得，又，4分 數(shù)列是以為首項，2為公比的等比數(shù)列。 6分 （2）

10、 8分 ③ ④ 10分 由③-④得：， 12分 7．（本小題滿分12分）已知函數(shù) （1）當時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和極值。 （2）若函數(shù)在[1，4]上是減函數(shù)，求實數(shù)的取值范圍. 【解析】（1）函數(shù)的定義域為（0，+∞）。 當時， 2分 當變化時，的變化情況如下： - 0 + 極小值 的單調(diào)遞減區(qū)間是 ；單調(diào)遞增區(qū)間是。 極小值是 6分 （2）由，得 8分 又函數(shù)為[1，4]上的單調(diào)減函數(shù)。 則在[1，4]上恒成立， 所以不等式在[1，4]上恒成立， 即在[1，4]上恒成立。 10分 設(shè)，顯然在[1，4]上為減函數(shù)， 所以的最小值為的取值范圍是 12分