《數(shù)學(xué)第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.3 幾何概型》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué)第十二章 概率、隨機(jī)變量及其分布 12.3 幾何概型（67頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、12.3幾何概型第十二章概率、隨機(jī)變量及其分布基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)課時(shí)作業(yè)題型分類深度剖析內(nèi)容索引基礎(chǔ)知識(shí)自主學(xué)習(xí)1.幾何概型幾何概型如果每個(gè)事件發(fā)生的概率只與構(gòu)成該事件區(qū)域的 ( 或 )成比例，則稱這樣的概率模型為幾何概率模型，簡(jiǎn)稱為 .2.在幾何概型中，事件在幾何概型中，事件A的概率的計(jì)算公式的概率的計(jì)算公式P(A) .知識(shí)梳理長(zhǎng)度 面積體積幾何概型3.要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)要切實(shí)理解并掌握幾何概型試驗(yàn)的兩個(gè)基本特點(diǎn)(1)無(wú)限性：在一次試驗(yàn)中，可能出現(xiàn)的結(jié)果有 ；(2)等可能性：每個(gè)結(jié)果的發(fā)生具有 .4.隨機(jī)模擬方法隨機(jī)模擬方法(1)使用計(jì)算機(jī)或者其他方式進(jìn)行的模擬試驗(yàn)，以

2、便通過(guò)這個(gè)試驗(yàn)求出隨機(jī)事件的概率的近似值的方法就是模擬方法.無(wú)限多個(gè)等可能性(2)用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)模擬試驗(yàn)的方法為隨機(jī)模擬方法.這個(gè)方法的基本步驟是用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)產(chǎn)生某個(gè)范圍內(nèi)的隨機(jī)數(shù)，并賦予每個(gè)隨機(jī)數(shù)一定的意義；統(tǒng)計(jì)代表某意義的隨機(jī)數(shù)的個(gè)數(shù)M和總的隨機(jī)數(shù)個(gè)數(shù)N；計(jì)算頻率fn(A) 作為所求概率的近似值.題組一思考辨析題組一思考辨析1.判斷下列結(jié)論是否正確(請(qǐng)?jiān)诶ㄌ?hào)中打“”或“”)(1)在一個(gè)正方形區(qū)域內(nèi)任取一點(diǎn)的概率是零.()(2)幾何概型中，每一個(gè)基本事件就是從某個(gè)特定的幾何區(qū)域內(nèi)隨機(jī)地取一點(diǎn)，該區(qū)域中的每一點(diǎn)被取到的機(jī)會(huì)相等.()(3)在幾何概型定義中的區(qū)域可以是線段、平面圖形、立體圖

3、形.()(4)隨機(jī)模擬方法是以事件發(fā)生的頻率估計(jì)概率.()(5)與面積有關(guān)的幾何概型的概率與幾何圖形的形狀有關(guān).()(6)從區(qū)間1,10內(nèi)任取一個(gè)數(shù)，取到1的概率是P .()基礎(chǔ)自測(cè)123456題組二教材改編題組二教材改編2.P137思考在線段0,3上任投一點(diǎn)，則此點(diǎn)坐標(biāo)小于1的概率為答案解析1245633.P140T1有四個(gè)游戲盤(pán)，將它們水平放穩(wěn)后，在上面扔一顆玻璃小球，若小球落在陰影部分，則可中獎(jiǎng)，小明要想增加中獎(jiǎng)機(jī)會(huì)，應(yīng)選擇的游戲盤(pán)是 答案解析124563P(A)P(C)P(D)P(B).解析答案124563124563題組三易錯(cuò)自糾題組三易錯(cuò)自糾5.在區(qū)間2,4上隨機(jī)地取一個(gè)數(shù)x，若x

4、滿足|x|m的概率為 ，則m_.解析答案124563解析解析由|x|m，得mxm.36.在RtABC中，A30，過(guò)直角頂點(diǎn)C作射線CM交線段AB于點(diǎn)M，則|AM|AC|的概率為_(kāi).解析答案解析解析設(shè)事件D為“作射線CM，使|AM|AC|”.在AB上取點(diǎn)C使|AC|AC|，因?yàn)锳CC是等腰三角形，事件D發(fā)生的區(qū)域D907515，構(gòu)成事件總的區(qū)域90，124563題型分類深度剖析1.某公司的班車在7：00，8：00,8：30發(fā)車，小明在7：50至8：30之間到達(dá)發(fā)車站乘坐班車，且到達(dá)發(fā)車站的時(shí)刻是隨機(jī)的，則他等車時(shí)間不超過(guò)10分鐘的概率是 解析答案題型一與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型自主演練自主演練解

5、析解析如圖所示，畫(huà)出時(shí)間軸.小明到達(dá)的時(shí)間會(huì)隨機(jī)的落在圖中線段AB中，而當(dāng)他的到達(dá)時(shí)間落在線段AC或DB上時(shí)，才能保證他等車的時(shí)間不超過(guò)10分鐘，根據(jù)幾何概型，解析解析因?yàn)樵贒AB內(nèi)任作射線AP，所以它的所有等可能事件所在的區(qū)域H是DAB，當(dāng)射線AP與線段BC有公共點(diǎn)時(shí)，射線AP落在CAB內(nèi)，則區(qū)域H為CAB，所以射線AP與線段BC有公共點(diǎn)的概率為解析答案DE3.在區(qū)間0,5上隨機(jī)地選擇一個(gè)數(shù)p，則方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根的概率為_(kāi).解析解析方程x22px3p20有兩個(gè)負(fù)根，解析答案求解與長(zhǎng)度、角度有關(guān)的幾何概型的方法求與長(zhǎng)度(角度)有關(guān)的幾何概型的概率的方法是把題中所表示的幾何模型轉(zhuǎn)

6、化為長(zhǎng)度(角度)，然后求解.要特別注意“長(zhǎng)度型”與“角度型”的不同.解題的關(guān)鍵是構(gòu)建事件的區(qū)域(長(zhǎng)度或角度).思維升華思維升華命題點(diǎn)命題點(diǎn)1與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題與平面圖形面積有關(guān)的問(wèn)題典例典例 (2017全國(guó))如圖，正方形ABCD內(nèi)的圖形來(lái)自中國(guó)古代的太極圖，正方形內(nèi)切圓中的黑色部分和白色部分關(guān)于正方形的中心成中心對(duì)稱.在正方形內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自黑色部分的概率是_.題型二與面積有關(guān)的幾何概型多維探究多維探究解析答案解析解析不妨設(shè)正方形ABCD的邊長(zhǎng)為2，則正方形內(nèi)切圓的半徑為1，可得S正方形4.命題點(diǎn)命題點(diǎn)2與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問(wèn)題與線性規(guī)劃知識(shí)交匯命題的問(wèn)題解析答案解析解析如圖

7、，平面區(qū)域1就是三角形區(qū)域OAB，平面區(qū)域2與平面區(qū)域1的重疊部分就是區(qū)域OACD，命題點(diǎn)命題點(diǎn)3與定積分交匯命題的問(wèn)題與定積分交匯命題的問(wèn)題典例典例 如圖，點(diǎn)A的坐標(biāo)為(1,0)，點(diǎn)C的坐標(biāo)為(2,4)，函數(shù)f(x)x2.若在矩形ABCD內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率為_(kāi).解析答案3211(4)|3xx求解與面積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)求解與面積有關(guān)的幾何概型時(shí)，關(guān)鍵是弄清某事件對(duì)應(yīng)的面積，必要時(shí)可根據(jù)題意構(gòu)造兩個(gè)變量，把變量看成點(diǎn)的坐標(biāo)，找到全部試驗(yàn)結(jié)果構(gòu)成的平面圖形，以便求解.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (1)(2016全國(guó))從區(qū)間0,1隨機(jī)抽取2n個(gè)數(shù)x1，x2，xn，y1

8、，y2，yn，構(gòu)成n個(gè)數(shù)對(duì)(x1，y1)，(x2，y2)，(xn，yn)，其中兩數(shù)的平方和小于1的數(shù)對(duì)共有m個(gè)，則用隨機(jī)模擬的方法得到的圓周率的近似值為 解析答案解析解析由題意得(xi，yi)(i1,2，n)在如圖所示方格中，而平方和小于1的點(diǎn)均在如圖所示的陰影中，由幾何概型概率計(jì)算公式知解析答案解析答案(3)如圖，在邊長(zhǎng)為e(e為自然對(duì)數(shù)的底數(shù))的正方形中隨機(jī)撒一粒黃豆，則它落到陰影部分的概率為_(kāi).題型三與體積有關(guān)的幾何概型師生共研師生共研解析答案解析解析當(dāng)P在三棱錐的三條側(cè)棱的中點(diǎn)所在的平面及下底面構(gòu)成的正三棱臺(tái)內(nèi)時(shí)符合要求，由幾何概型知，(2)如圖，正方體ABCDA1B1C1D1的棱長(zhǎng)為

9、1，在正方體內(nèi)隨機(jī)取點(diǎn)M，則使四棱錐MABCD的體積小于的概率為_(kāi).解析答案解析解析過(guò)點(diǎn)M作平面RS平面AC，則兩平面間的距離是四棱錐MABCD的高，顯然點(diǎn)M在平面RS上任意位置時(shí)，四棱錐MABCD的體積都相等.若此時(shí)四棱錐MABCD的體積等于 ，求解與體積有關(guān)的幾何概型的注意點(diǎn)對(duì)于與體積有關(guān)的幾何概型問(wèn)題，關(guān)鍵是計(jì)算問(wèn)題的總體積(總空間)以及事件的體積(事件空間)，對(duì)于某些較復(fù)雜的也可利用其對(duì)立事件去求.思維升華思維升華跟蹤訓(xùn)練跟蹤訓(xùn)練 (2017湖南長(zhǎng)沙四縣聯(lián)考)如圖，在一個(gè)棱長(zhǎng)為2的正方體魚(yú)缸內(nèi)放入一個(gè)倒置的無(wú)底圓錐形容器，圓錐的底面圓周與魚(yú)缸的底面正方形相切，圓錐的頂點(diǎn)在魚(yú)缸的缸底上，

10、現(xiàn)在向魚(yú)缸內(nèi)隨機(jī)地投入一粒魚(yú)食，則“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是 解析答案解析解析魚(yú)缸底面正方形的面積為224，圓錐底面圓的面積為.所以“魚(yú)食能被魚(yú)缸內(nèi)在圓錐外面的魚(yú)吃到”的概率是1 ，故選A.典例典例 (1)在等腰RtABC中，C90，在直角邊BC上任取一點(diǎn)M，則CAM30的概率是_.(2)在長(zhǎng)為1的線段上任取兩點(diǎn)，則這兩點(diǎn)之間的距離小于 的概率為幾何概型中的“測(cè)度”現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)糾錯(cuò)心得現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)錯(cuò)解展示錯(cuò)解展示：錯(cuò)解展示：(1)C90，CAM30，所求概率為現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)現(xiàn)場(chǎng)糾錯(cuò)解析解析(1)點(diǎn)M在直角邊BC上是等可能出現(xiàn)的，“測(cè)度”是長(zhǎng)度.設(shè)直角邊長(zhǎng)為a，(2)設(shè)任取兩點(diǎn)所表示

11、的數(shù)分別為x，y，則0 x1，且0y1.糾錯(cuò)心得糾錯(cuò)心得(1)在線段上取點(diǎn)，則點(diǎn)在線段上等可能出現(xiàn)；在角內(nèi)作射線，則射線在角內(nèi)的分布等可能.(2)兩個(gè)變量在某個(gè)范圍內(nèi)取值，對(duì)應(yīng)的“測(cè)度”是面積.課時(shí)作業(yè)1.如圖所示，半徑為3的圓中有一封閉曲線圍成的陰影區(qū)域，在圓中隨機(jī)扔一粒豆子，它落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 ，則陰影部分的面積是 基礎(chǔ)保分練解析答案123456789101112131415162.設(shè)復(fù)數(shù)z(x1)yi(x，yR)，若|z|1，則yx的概率為 解析答案12345678910111213141516解析解析由|z|1可得(x1)2y21，表示以(1,0)為圓心，1為半徑的圓及其內(nèi)部，滿

12、足yx的部分為如圖陰影部分所示，由幾何概型概率公式可得所求概率為解析答案12345678910111213141516解析解析以PB，PC為鄰邊作平行四邊形PBDC，123456789101112131415164.已知函數(shù)f(x)的部分圖象如圖所示，向圖中的矩形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投出100粒豆子，記下落入陰影區(qū)域的豆子數(shù).通過(guò)10次這樣的試驗(yàn)，算得落入陰影區(qū)域的豆子的平均數(shù)約為39，由此可估計(jì) 的值約為 解析答案12345678910111213141516解析答案12345678910111213141516由幾何概型的概率計(jì)算公式，得所求概率121log ()2x 121log ()2x 解析答

13、案123456789101112131415166.(2017武昌質(zhì)檢)如圖，矩形ABCD的四個(gè)頂點(diǎn)的坐標(biāo)分別為A(0，1)，B(，1)，C(，1)，D(0，1)，正弦曲線f(x)sin x和余弦曲線g(x)cos x在矩形ABCD內(nèi)交于點(diǎn)F，向矩形ABCD區(qū)域內(nèi)隨機(jī)投擲一點(diǎn)，則該點(diǎn)落在陰影區(qū)域內(nèi)的概率是 12345678910111213141516解析解析根據(jù)題意，可得曲線ysin x與ycos x圍成的區(qū)域的面積為4(sincos )dxxx 4(cossin )|xx解析答案解析解析設(shè)事件“在區(qū)間4,5上隨機(jī)取一個(gè)數(shù)x，則xD”為事件A，由6xx20，解得2x3，D2,3.如圖，區(qū)間4

14、,5的長(zhǎng)度為9，定義域D的長(zhǎng)度為5，123456789101112131415168.如圖，在面積為S的矩形ABCD內(nèi)任取一點(diǎn)P，則PBC的面積小于 的概率為_(kāi).解析答案1234567891011121314151612345678910111213141516123456789101112131415169.如圖，在長(zhǎng)方體ABCDA1B1C1D1中，有一動(dòng)點(diǎn)在此長(zhǎng)方體內(nèi)隨機(jī)運(yùn)動(dòng)，則此動(dòng)點(diǎn)在三棱錐AA1BD內(nèi)的概率為_(kāi).解析答案123456789101112131415161AA BDV1AABDV解析答案1234567891011121314151610.正方形的四個(gè)頂點(diǎn)A(1，1)，B(1

15、，1)，C(1，1)，D(1,1)分別在拋物線yx2和yx2上，如圖所示.若將一個(gè)質(zhì)點(diǎn)隨機(jī)投入到正方形ABCD中，則質(zhì)點(diǎn)落在圖中陰影區(qū)域的概率是_.11.在區(qū)間，內(nèi)隨機(jī)取出兩個(gè)數(shù)分別記為a，b，求函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)的概率.12345678910111213141516解解由函數(shù)f(x)x22axb22有零點(diǎn)，可得(2a)24(b22)0，整理得a2b22，如圖所示，(a，b)可看成坐標(biāo)平面上的點(diǎn)，試驗(yàn)的全部結(jié)果構(gòu)成的區(qū)域?yàn)?a，b)|a，b，其面積S(2)242.事件A表示函數(shù)f(x)有零點(diǎn)，所構(gòu)成的區(qū)域?yàn)镸(a，b)|a2b22，即圖中陰影部分，其面積為SM423，解答12.

16、已知向量a(2,1)，b(x，y).(1)若x，y分別表示將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子(六個(gè)面的點(diǎn)數(shù)分別為1,2,3,4,5,6)先后拋擲兩次時(shí)第一次、第二次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，求滿足ab1的概率；解答12345678910111213141516解解將一枚質(zhì)地均勻的正方體骰子先后拋擲兩次，所包含的基本事件總數(shù)為6636，由ab1，得2xy1，所以滿足ab1的基本事件為(1,1)，(2,3)，(3,5)，共3個(gè).故滿足ab1的概率為(2)若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，求滿足ab0的概率.解答12345678910111213141516解解若x，y在連續(xù)區(qū)間1,6上取值，則全部基本事件的結(jié)果為(x，y

17、)|1x6,1y6.滿足ab0的基本事件的結(jié)果為A(x，y)|1x6,1y6且2xy0.畫(huà)出圖象如圖所示，矩形的面積為S矩形25，13.如圖，在圓心角為直角的扇形OAB中，分別以O(shè)A，OB為直徑作兩個(gè)半圓.在扇形OAB內(nèi)隨機(jī)取一點(diǎn)，則此點(diǎn)取自陰影部分的概率是 技能提升練解析答案12345678910111213141516解析解析設(shè)分別以O(shè)A，OB為直徑的兩個(gè)半圓交于點(diǎn)C，OA的中點(diǎn)為D，如圖，連接OC，DC.不妨令OAOB2，則ODDADC1.所以整體圖形中空白部分面積S22.所以陰影部分面積為S32.123456789101112131415161234567891011121314151

18、6解答12345678910111213141516要使f(x)ax24bx1在區(qū)間1，)上為增函數(shù)，即2ba.12345678910111213141516拓展沖刺練答案解析12345678910111213141516A.p1p2p3 B.p2p3p1C.p3p1p2 D.p3p2p11234567891011121314151616.甲、乙兩船駛向一個(gè)不能同時(shí)停泊兩艘船的碼頭，它們?cè)谝粫円箖?nèi)到達(dá)該碼頭的時(shí)刻是等可能的.如果甲船停泊時(shí)間為1 h，乙船停泊時(shí)間為2 h，求它們中的任意一艘都不需要等待碼頭空出的概率.12345678910111213141516解答解解設(shè)甲、乙兩艘船到達(dá)碼頭的時(shí)刻分別為x與y，記事件A為“兩船都不需要等待碼頭空出”，則0 x24，0y24，要使兩船都不需要等待碼頭空出，當(dāng)且僅當(dāng)甲比乙早到達(dá)1 h以上或乙比甲早到達(dá)2 h以上，即yx1或xy2.故所求事件構(gòu)成集合A(x，y)|yx1或xy2，x0,24，y0,24.12345678910111213141516A為圖中陰影部分，全部結(jié)果構(gòu)成集合為邊長(zhǎng)是24的正方形及其內(nèi)部.12345678910111213141516