《數(shù)學(xué) 第二部分題型八 二次函數(shù)綜合題》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《數(shù)學(xué) 第二部分題型八 二次函數(shù)綜合題（118頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、題型八題型八 二次函數(shù)綜合題二次函數(shù)綜合題類型一類型一 與線段、周長有關(guān)的問題與線段、周長有關(guān)的問題類型二類型二 與面積有關(guān)的問題與面積有關(guān)的問題類型三類型三 與特殊三角形有關(guān)的問題與特殊三角形有關(guān)的問題類型四類型四 與特殊四邊形有關(guān)的問題與特殊四邊形有關(guān)的問題類型一類型一 與線段、周長有關(guān)的問題與線段、周長有關(guān)的問題典例精講例 1 如圖，拋物線如圖，拋物線yax2bxc(a0)與與x軸交于軸交于點點A、B(1，0 0)，與，與y軸交于點軸交于點C，直線，直線y x2經(jīng)過經(jīng)過點點A、C.拋物線的頂點為拋物線的頂點為D，對稱軸，對稱軸為直線為直線l.(1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式及頂點及

2、頂點D的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；12【思維教練】已知直線【思維教練】已知直線y x2 2經(jīng)過點經(jīng)過點A、C，結(jié)結(jié)合題干，可求得合題干，可求得A、C兩點的坐標(biāo)，結(jié)合兩點的坐標(biāo)，結(jié)合B(1，0)，代代入即可求出拋物線解析式，將拋物線解析式配方成入即可求出拋物線解析式，將拋物線解析式配方成頂點式，即可求得頂點頂點式，即可求得頂點D的坐標(biāo)的坐標(biāo)12解解：(1)(1)對于直線對于直線 y x2，令令y0，得得x4，令令x0得得y2，點點A(4，0)，點點C(0，2)，已知點已知點B(1，0)，將將A、B、C三點的坐標(biāo)代入拋物三點的坐標(biāo)代入拋物 線線的解析式得：的解析式得： 解解得得1216400,2abcabcc

3、 1= -25=,2= -2abc拋物線的解析式為拋物線的解析式為y x2 x2.又由拋物線又由拋物線y x2 x2得得：y (x25x)2 (x )2 ，拋物線頂點拋物線頂點D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )12521252121252985298(2)設(shè)點設(shè)點E為為x軸上一點，且軸上一點，且AECE，求點，求點E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；【思維教練】已知點【思維教練】已知點E在在x軸上，則設(shè)軸上，則設(shè)E點坐標(biāo)為點坐標(biāo)為(e，0)，要求點要求點E的坐標(biāo)，已知的坐標(biāo)，已知AECE，需先分別用含需先分別用含e的式子表示出的式子表示出AE和和CE，由于由于A點坐標(biāo)點坐標(biāo)(1)(1)中已求得，中已求得，則則EA4e

4、，由題圖可知由題圖可知O、E、C三點可構(gòu)成三點可構(gòu)成RtCOE，結(jié)合結(jié)合C點坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示點坐標(biāo)，利用勾股定理即可表示出出CE的長，建立方程求解即可的長，建立方程求解即可(2)如解圖如解圖，由點，由點E在在x軸上，可設(shè)點軸上，可設(shè)點E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(e，0)，連接連接CE，則則EA4e.在在RtCOE中，根據(jù)勾股定理得中，根據(jù)勾股定理得CE2OC2OE222e2，AECE，(4e)222e2，解得解得e ，則點則點E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ，0)3232例例1 1題解圖題解圖(3)設(shè)點設(shè)點G是是y軸上一點，是否存在點軸上一點，是否存在點G，使得，使得GDGB的值最小，若存在，求出點的

5、值最小，若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不存在，的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；請說明理由；【思維教練】要求【思維教練】要求GDGB的值最小，解決方法為找的值最小，解決方法為找其中一點的對稱點，將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段求解，其中一點的對稱點，將兩條線段轉(zhuǎn)化成一條線段求解，即先找點即先找點B關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點軸的對稱點B，再連接再連接BD，則則BD與與y軸的交點即為所求的軸的交點即為所求的G點，可先求直線點，可先求直線BD的解析的解析式，再求其與式，再求其與y軸的交點即可軸的交點即可(3)存在如解圖存在如解圖，取點，取點B關(guān)于關(guān)于y軸的對稱點軸的對稱點B，則則點點B的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (1 1，0)0

6、)連接連接BD，直線直線BD與與y軸的軸的交點交點G即為所求的點即為所求的點設(shè)直線設(shè)直線BD 的解析式為的解析式為ykxd(k0)，其中其中D( ， )， 解得解得0,5928kdkd 928.928kd5298例例1 1題解圖題解圖直線直線BD的解析式為的解析式為y x ，令令x0，得得y ，點點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0， )928928928928(4)在直線在直線l上是否存在一點上是否存在一點F，使，使得得BCF的周長最小，若存在，求的周長最小，若存在，求出點出點F的坐標(biāo)及的坐標(biāo)及BCF周長的最小周長的最小值；若不存在，請說明理由；值；若不存在，請說明理由；【思維教練】因為【思維教練】因為

7、BC的長為定值，要使的長為定值，要使BCF的周長最的周長最小，即要使小，即要使CFBF的值最小，由點的值最小，由點A，B關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱，對稱，可知可知AC與與l的交點即為點的交點即為點F，即可得即可得CFBF最小最小(4)存在要使存在要使BCF的周長最小，即的周長最小，即BCBFCF最小，在最小，在RtOBC中中，OB1，OC2，由勾股定理由勾股定理得得BC 為定值為定值，當(dāng)當(dāng)BFCF最小時最小時，CBCF最小最小點點B與點與點A關(guān)于直線關(guān)于直線l對稱對稱，AC與對稱軸與對稱軸l l的交點即為所的交點即為所求的點求的點F，如解圖如解圖所示所示22125例例1 1題解圖題解圖根據(jù)拋物線解

8、析式可得對稱軸根據(jù)拋物線解析式可得對稱軸l為直線為直線 x . 將將x 代入直線代入直線 y x2，得得 ，點點F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )在在RtAOC中中，AO4，OC2，根據(jù)勾股定理得根據(jù)勾股定理得 AC2 ，BCF周長的最小值為周長的最小值為BCAC .5252121532224y 5234552 53 5(5)在在y軸上是否存在一點軸上是否存在一點S，使得，使得SDSB的值最大，的值最大，若存在，求出點若存在，求出點S的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；【思維教練】要使【思維教練】要使SDSB的值最大，則需分兩種情的值最大，則需分兩種情況討論：況討論：S、B、

9、D三點不共線時構(gòu)成三角形，由三點不共線時構(gòu)成三角形，由三角形三邊關(guān)系得到三角形三邊關(guān)系得到SDSBBD；當(dāng)三點共線時，當(dāng)三點共線時，有有SDSBBD.從而得到當(dāng)點從而得到當(dāng)點S在在DB的延長線上時的延長線上時滿足條件，求出直線滿足條件，求出直線BD的解析式后，求出直線的解析式后，求出直線BD與與y軸的交點坐標(biāo)即可軸的交點坐標(biāo)即可(5)存在當(dāng)存在當(dāng)S與與D、B不在同一條直線上時，由三角不在同一條直線上時，由三角形三邊關(guān)系得形三邊關(guān)系得SDSBBD，當(dāng)當(dāng)S與與D、B在同一條直線上時，在同一條直線上時，SDSBBD，SDSBBD，即當(dāng)即當(dāng)S在在DB的延長線上時，的延長線上時，SDSB最大，最大值為最

10、大，最大值為BD.如解圖如解圖，例例1 1題解圖題解圖B(1，0)，D( ， )，易得直線易得直線BD的解析式為的解析式為y x ，當(dāng)當(dāng)x0時時，y ，即當(dāng)點即當(dāng)點S的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0， )時時，SDSB的值最大的值最大529834343434(6)若點若點H是拋物線上位于是拋物線上位于AC上方的一點，過點上方的一點，過點H作作y軸的平行線，交軸的平行線，交AC于點于點K，設(shè)點，設(shè)點H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，線段線段HKd.求求d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；求求d的最大值及此時的最大值及此時H點的坐標(biāo)點的坐標(biāo)【思維教練】由題可得點【思維教練】由題可得點H的橫坐標(biāo)為的橫坐標(biāo)為h，分分

11、別將別將h代入拋物線及直線代入拋物線及直線AC的解析式中，即可得的解析式中，即可得到點到點H、K的縱坐標(biāo)，再由點的縱坐標(biāo)，再由點H在點在點K的上方，表的上方，表示出示出HK，可得到可得到d關(guān)于關(guān)于h的函數(shù)關(guān)系式；的函數(shù)關(guān)系式；利用二利用二次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得次函數(shù)的性質(zhì)求最值，即可得d的最大值的最大值(6)如解圖如解圖，點點H在拋物線上在拋物線上，設(shè)點設(shè)點H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(h， )，HKy軸軸，交交AC于于K， 點點K的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(h， )，點點H在點在點K的上方，的上方，HK=215222hh122h215(2)22dhh 211(2)222hhh 例例1 1題解圖題解圖由由可知

12、，可知，當(dāng)當(dāng)h2時時，d最大最大，024，符合題意符合題意，當(dāng)當(dāng)h2時時，d最大，最大值為最大，最大值為2，此時點此時點H的坐標(biāo)的坐標(biāo)為為(2，1)2221112(4 )(2)2222dhhhhh 線段線段、周長最值問題有兩種形式：、周長最值問題有兩種形式：1平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常通過線段兩端平行于坐標(biāo)軸的線段的最值問題，常常通過線段兩端點的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式，點的坐標(biāo)差表示線段長的函數(shù)關(guān)系式， 然后運(yùn)用二次函數(shù)性然后運(yùn)用二次函數(shù)性質(zhì)求最值解決這類問題的關(guān)鍵是：質(zhì)求最值解決這類問題的關(guān)鍵是：(1)確定線段的函數(shù)關(guān)系確定線段的函數(shù)關(guān)系式，注意當(dāng)線段平行于式，注意當(dāng)線段平行于

13、y軸時，用上端點的縱坐標(biāo)減去下端軸時，用上端點的縱坐標(biāo)減去下端點的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行點的縱坐標(biāo)；當(dāng)線段平行x軸時，用右端點的橫坐標(biāo)減去左軸時，用右端點的橫坐標(biāo)減去左端點的橫坐標(biāo)；端點的橫坐標(biāo)；(2)確定函數(shù)最值，注意函數(shù)自變量取值范圍確定函數(shù)最值，注意函數(shù)自變量取值范圍要確定正確；要確定正確；滿滿 分分 技技 法法2“將軍飲馬將軍飲馬”型問題或其變形問題，這類問題一般是型問題或其變形問題，這類問題一般是已知兩個定點和一條定直線，然后在定直線上確定一點，已知兩個定點和一條定直線，然后在定直線上確定一點，使得這個點到兩定點距離和最小其變形問題有三角形周使得這個點到兩定點距離和最小其變形問題有三角形

14、周長最小或四邊形周長最小等；這類問題的解決方法是：作長最小或四邊形周長最小等；這類問題的解決方法是：作其中一個定點關(guān)于已知直線的對稱點，連接對稱點與另一其中一個定點關(guān)于已知直線的對稱點，連接對稱點與另一個定點，它們與已知直線的交點即為所求的點，然后通過個定點，它們與已知直線的交點即為所求的點，然后通過求直線解析式及直線交點坐標(biāo)，計算最小值或點坐標(biāo)求直線解析式及直線交點坐標(biāo)，計算最小值或點坐標(biāo)滿滿 分分 技技 法法類型二類型二 與面積有關(guān)的問題與面積有關(guān)的問題典例精講例 1 如圖如圖，在直角坐標(biāo)系中，直線，在直角坐標(biāo)系中，直線yx3與與x軸軸相交于點相交于點A，與，與y軸相交于點軸相交于點C，點

15、，點B在在x軸的正半軸上，軸的正半軸上，且且AB4，拋物線，拋物線yax2bxc經(jīng)過點經(jīng)過點A，B，C. (1)求拋物線的解析式求拋物線的解析式【思維教練【思維教練】要求拋物線的解析式，需知過拋物線】要求拋物線的解析式，需知過拋物線的三點的三點A、B、C的坐標(biāo)，利用直線的坐標(biāo)，利用直線yx3求得求得A、C兩點的坐標(biāo)，結(jié)合已知的兩點的坐標(biāo)，結(jié)合已知的AB4，求得求得B點坐標(biāo)，點坐標(biāo)，代入求解即可代入求解即可AB4，B(1，0)拋物線拋物線yax2bxc經(jīng)過點經(jīng)過點A，B，C， ，解得解得拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3.93003ab ca b cc 123abc解解：對于對于yx3

16、，當(dāng)當(dāng)x0時時，y3；當(dāng)當(dāng)y0時時， x3，A(3，0)，C(0，3)，(2)求求ABC的面積的面積【思維教練】【思維教練】要求要求ABC的面積，需知的面積，需知ABC的的一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于一條邊的長度和這條邊上高的長度，由于ABC的的邊邊AB已知，底邊已知，底邊AB上的高為上的高為OC，即為點即為點C的縱坐的縱坐標(biāo)，代入三角形的面積公式計算即可標(biāo)，代入三角形的面積公式計算即可 解解：點點C坐標(biāo)為坐標(biāo)為(0，3)，OC3.SABC |AB|OC| 436.1212(3)點點D為拋物線的頂點，為拋物線的頂點，DE是拋物線的對稱軸，是拋物線的對稱軸，點點E在在x軸上，在拋物線上存

17、在點軸上，在拋物線上存在點Q，使得，使得QAE的的面積與面積與CBE的面積相等，請直接寫出點的面積相等，請直接寫出點Q的坐標(biāo)的坐標(biāo)【思維教練】【思維教練】QAE與與CBE的底邊的底邊AEBE，要要使兩三角形面積相等，只要高相等，因為使兩三角形面積相等，只要高相等，因為CBE底底邊邊BE上的高為上的高為3，所以點所以點Q的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為3和和3時，滿時，滿足條件，分別代入拋物線解析式求解即可足條件，分別代入拋物線解析式求解即可 解解：Q點的坐標(biāo)為點的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)77【解法提示】如解圖【解法提示】如解圖，依題意，依題意，AEBE，當(dāng)當(dāng)QAE的邊

18、的邊AE上的高為上的高為3時，時，QAE的面積與的面積與CBE的面積相等的面積相等當(dāng)當(dāng)y3時，時，x22x33，解得解得x12，x20，點點Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)例例2 2題解圖題解圖 當(dāng)當(dāng)y3時，時，x22x33，解得，解得x1 ，點點Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1 ，3)或或(1 ，3)綜上所述，點綜上所述，點Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)或或(0，3)或或(1 ，3)或或(1 ，3)77777(4)在在(3)的條件下，連接的條件下，連接AD，CD，求四邊形，求四邊形AOCD和和ACD的面積的面積.【思維教練】要求四邊形【思維教練】要求四邊形AOCD和和ACD的面積，由的面積，由

19、于四邊形于四邊形AOCD是不規(guī)則圖形，則可利用是不規(guī)則圖形，則可利用S四邊形四邊形AOCDSAODSCOD計算由于計算由于ACD的底與高不容易計的底與高不容易計算，所以可利用算，所以可利用SACDS四邊形四邊形AOCDSAOC計算計算 解解：如解圖如解圖，連接，連接OD，由由yx22x3(x1)24，知點知點D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)，S四邊形四邊形AOCDSAODSCODSACDS四邊形四邊形AOCDSAOC11153 43 1222 1513 3 322 例例2 2題解圖題解圖(5)在在(3)的條件下，在直線的條件下，在直線AC上方的拋物線上，存上方的拋物線上，存在一點在一點P(不與不與

20、D重合重合)，使，使ACD的面積等于的面積等于ACP的的面積請求出點面積請求出點P的坐標(biāo)的坐標(biāo)【思維教練】要求點【思維教練】要求點P的坐標(biāo)，先確定點的坐標(biāo)，先確定點P的位置，的位置，由于由于ACD與與ACP的底的底AC相等，則只要等高，面相等，則只要等高，面積即相等，可過點積即相等，可過點D作作AC的平行線與拋物線相交，的平行線與拋物線相交，交點即為所求點，即可求得點交點即為所求點，即可求得點P坐標(biāo)坐標(biāo) 解解：如解圖如解圖，過點過點D作直線作直線DPAC，交拋物線于交拋物線于點點P，連接連接AP，PC，BD，則則SACDSACP .DPAC，且直線且直線AC的解析式為的解析式為yx3，可設(shè)直線

21、可設(shè)直線DP的解析式為的解析式為yxn，把點把點D(1，4)代入代入，得得1n4，n5，DP的解析式為的解析式為yx5.例例2 2題解圖題解圖DP的解析式為的解析式為yx5.聯(lián)立得聯(lián)立得 解得解得D(1，4)，點點P不與點不與點D重合重合，點點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2，3)2523yxyxx 111,4xy2223xy (6)在直線在直線AC上方的拋物線上，是否存在一點上方的拋物線上，是否存在一點M，使，使MAC的面積最大？若存在，請求出點的面積最大？若存在，請求出點M的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由不存在，請說明理由【思維教練】要使【思維教練】要使MAC面積最大，可先把面積最大，可先把M

22、AC的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的的面積用含字母的式子表示出來，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得性質(zhì)討論其最值，進(jìn)而求得M點坐標(biāo)點坐標(biāo)解解：存在一點存在一點M，使使MAC的面的面積最大如積最大如解圖解圖，過點，過點M作作MNy軸軸，交交AC于點于點N，設(shè)設(shè)M(x，x22x3)，則則N(x，x3)，例例2 2題解圖題解圖MNx22x3(x3)x23x，SMACSAMNSCMN MN3 (x23x) (x )2 ， 0，3 x 0，當(dāng)當(dāng)x 時時，SMAC的最大值為的最大值為 .當(dāng)當(dāng)x 時時， ，點點M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )123232322783232278322331

23、5()2 () 3224y 321541.解決二次函數(shù)與三角形面積最值綜合題，常見方法有：解決二次函數(shù)與三角形面積最值綜合題，常見方法有：(1)若三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸，首先計算若三角形有一條邊在坐標(biāo)軸上或平行于坐標(biāo)軸，首先計算這條邊的兩個頂點的坐標(biāo)；然后利用坐標(biāo)的差表示這條邊的這條邊的兩個頂點的坐標(biāo)；然后利用坐標(biāo)的差表示這條邊的長長(若平行于若平行于x軸，用右邊的點的橫坐標(biāo)減去左邊點的橫坐標(biāo)軸，用右邊的點的橫坐標(biāo)減去左邊點的橫坐標(biāo)可得邊長；若平行于可得邊長；若平行于y軸，用上端點的縱坐標(biāo)減去下端點的縱軸，用上端點的縱坐標(biāo)減去下端點的縱坐標(biāo)可得邊長坐標(biāo)可得邊長)；再確定另一頂點

24、到這條邊的距離，一般是另；再確定另一頂點到這條邊的距離，一般是另一點的橫一點的橫(縱縱)坐標(biāo)與已知邊的點的橫坐標(biāo)與已知邊的點的橫(縱縱)坐標(biāo)的差；然后運(yùn)用坐標(biāo)的差；然后運(yùn)用三角形面積公式計算三角形面積公式計算滿滿 分分 技技 法法(2)若三角形的邊都不與坐標(biāo)軸平行，解決問題的一般步驟為：若三角形的邊都不與坐標(biāo)軸平行，解決問題的一般步驟為：根據(jù)三角形兩定點確定這條邊所在直線的解析式；根據(jù)三角形兩定點確定這條邊所在直線的解析式；過動點作坐標(biāo)軸的平行線，與這條直線交于一點；過動點作坐標(biāo)軸的平行線，與這條直線交于一點；分別用拋物線及直線的解析式表示出這兩個點的坐標(biāo)，并分別用拋物線及直線的解析式表示出這

25、兩個點的坐標(biāo)，并表示它們之間的距離；表示它們之間的距離；以所求距離為底邊，以兩定點的坐標(biāo)差的絕對值為高，列以所求距離為底邊，以兩定點的坐標(biāo)差的絕對值為高，列出三角形面積的函數(shù)關(guān)系式；出三角形面積的函數(shù)關(guān)系式；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值、對應(yīng)的點坐標(biāo)根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)確定最值、對應(yīng)的點坐標(biāo)2. 對于二次函數(shù)與四邊形面積的綜合題，常常會將其轉(zhuǎn)化為對于二次函數(shù)與四邊形面積的綜合題，常常會將其轉(zhuǎn)化為三角形面積進(jìn)行計算三角形面積進(jìn)行計算滿滿 分分 技技 法法(7)點點H是拋物線第二象限內(nèi)一點，作是拋物線第二象限內(nèi)一點，作HGx軸，試確定軸，試確定H點的位置，使點的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線A

26、C分為相等的兩分為相等的兩部分部分【思維教練】設(shè)【思維教練】設(shè)HG與與AC相交于點相交于點I，HGA要被要被分成面積相等的兩部分，由于高分成面積相等的兩部分，由于高AG一樣，只需一樣，只需HI與與IG相等即可，可設(shè)相等即可，可設(shè)H點坐標(biāo)，分別表示出線段點坐標(biāo)，分別表示出線段HI與與IG，利用其相等列方程求解即可利用其相等列方程求解即可 解：解：如解圖如解圖，設(shè)，設(shè)HG與與AC相交于點相交于點I，H(x，x22x3)，則則I(x，x3)，則則HIx22x3(x3)x23x，IGx3， 當(dāng)當(dāng)HIIG時時，AHI和和AIG等等底同高則面積相等，即底同高則面積相等，即HGA的的面積被直線面積被直線AC

27、分為相等的兩部分分為相等的兩部分，x23xx3，整理得整理得x24x30，解得解得x11，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去) )，點點H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)例例2 2題解圖題解圖(8)點點H是拋物線第二象限內(nèi)一點，作是拋物線第二象限內(nèi)一點，作HGx軸，軸，試確定試確定H點的位置，使點的位置，使HGA的面積被直線的面積被直線AC分為分為1 2的兩部分的兩部分【思維教練】【思維教練】同上，利用同上，利用HI與與IG為為12或或21關(guān)關(guān)系列方程求解即可系列方程求解即可解解：如解圖：如解圖，由，由(7)(7)可知，可分兩種情況討論：可知，可分兩種情況討論：若若H1I12I1G1，則有則有x2

28、3x2(x3)， 整理得整理得x25x60， 解得解得x12，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，H1(2，3)例例2 2題解圖題解圖若若2H2I2I2G2，則有則有2(x23x)x3，整理得整理得2x27x30，解得解得x1 ，x23(不合題意，舍去不合題意，舍去)，H2( ， )綜上所述，點綜上所述，點H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為H1(2，3)或或H2( ， )121541215412與與圖形面積數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題圖形面積數(shù)量關(guān)系有關(guān)的問題1如果是面積的倍數(shù)關(guān)系，一般需要用等積變形如果是面積的倍數(shù)關(guān)系，一般需要用等積變形來解決，即過三角形的一個頂點作它對邊的平行線來解決，即過三角形的一個頂點作它

29、對邊的平行線或是從圖形中尋找出這樣的直線，利用等底同高來或是從圖形中尋找出這樣的直線，利用等底同高來進(jìn)行等積變形，從而實現(xiàn)三角形頂點的轉(zhuǎn)移；進(jìn)行等積變形，從而實現(xiàn)三角形頂點的轉(zhuǎn)移；2如果過某個頂點的線段平分三角形的面積，則如果過某個頂點的線段平分三角形的面積，則該線段一定過該頂點對邊的中點該線段一定過該頂點對邊的中點 突突 破破 設(shè)設(shè) 問問(9)在對稱軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點在對稱軸左側(cè)的拋物線上，是否存在點R，使得，使得SRBC ？若存在，求出點？若存在，求出點R的坐標(biāo)；若不存在，的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由請說明理由92【思維教練】先假設(shè)存在點【思維教練】先假設(shè)存在點R，使得使得SRB

30、C .過過點點R作作BC的垂線交的垂線交BC于點于點K，可得可得 BCRK ，此時點此時點R，K坐標(biāo)不容易計算可考慮作坐標(biāo)不容易計算可考慮作RHy軸與軸與BC的延長線相交于點的延長線相交于點F，利用利用RKF與與BOC相似，得到相似，得到RFOBBCRK9，設(shè)出設(shè)出R點坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方點坐標(biāo)利用此關(guān)系式列方程求解程求解 929212解解：不妨假設(shè)存在點不妨假設(shè)存在點R，使使SRBC ，如解圖如解圖. .過點過點R作作RKBC，交交BC的延長線的延長線于點于點K，作作RHy軸，交軸，交x軸于點軸于點H，交交BC的延長線于點的延長線于點F，連接連接BR，CR，BC，則則FBCO，RKFBOC9

31、0，RKFBOC， ，BCRKBORF，又又SRBC ，BO1，92BKRFBOBC92例例2 2題解圖題解圖 BCRK BORF ，RF9.由由B(1，0)，C(0，3)可求出直線可求出直線BC的解析式的解析式為為 y3x3，設(shè)設(shè)R(x，x22x3)，則則F(x，3x3)RF3x3(x22x3)x2x. x2x9，921212解得解得x1 ，x2 (不合題意，舍去不合題意，舍去)R( ， )存在點存在點R，使使SRBC ，點點R的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )1372137213723 37 1529213723 37 152類型三類型三 與特殊三角形有關(guān)的問題與特殊三角形有關(guān)的問題典例精講例 3

32、 如圖，在平面直角坐標(biāo)系如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，拋物線與中，拋物線與x軸軸交于點交于點A(1，0)，B(3，0)，與，與y軸交于點軸交于點C，直線，直線BC的解析式為的解析式為ykx3，拋物線，拋物線的頂點為的頂點為D，對稱軸與，對稱軸與直線直線BC交于點交于點E，與，與x軸交軸交于點于點F.(1)求拋物線解析式及點求拋物線解析式及點D、E的坐標(biāo)；的坐標(biāo)； 【思維教練】要求拋物線的解析式，根據(jù)題目需知【思維教練】要求拋物線的解析式，根據(jù)題目需知經(jīng)過拋物線上的三點經(jīng)過拋物線上的三點A，B，C的坐標(biāo)，由直線的坐標(biāo)，由直線BC解析解析式得到點式得到點C的坐標(biāo)，結(jié)合題干，拋物線與的坐標(biāo)，結(jié)合題

33、干，拋物線與x軸交于點軸交于點A，B，故設(shè)拋物線的解析式為故設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)將點將點C的坐標(biāo)代入，即可求解的坐標(biāo)代入，即可求解解解：直線直線BC的解析式為的解析式為ykx3，令令x0，得得y3，點點C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(0，3)，設(shè)拋物線的解析式為設(shè)拋物線的解析式為ya(x1)(x3)，將將C(0，3)代入，得代入，得3a3，解得解得a1， 拋物線的解析式為拋物線的解析式為yx22x3，轉(zhuǎn)化為頂點式為轉(zhuǎn)化為頂點式為y(x1)24，拋物線的頂點拋物線的頂點D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)，對稱軸為對稱軸為x1，將點將點B(3，0)代入直線代入直線ykx3，得得03k3，解得：解得

34、：k1，直線直線BC的解析式為的解析式為yx3，令令x1，得得y2，點點E的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，2)(2)判斷判斷CAF的形狀，并說明理由；的形狀，并說明理由；【思維教練】先確定點【思維教練】先確定點F的坐標(biāo)，得到的坐標(biāo)，得到OFOA，再由再由CO垂直平分垂直平分AF即可得出結(jié)論即可得出結(jié)論 解解：CAF是等腰三角形理由如下：是等腰三角形理由如下：拋物線的對稱軸為拋物線的對稱軸為x1，點點F的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，0)，AOOF1，即即O為為AF的中點，的中點，COAF，CO是線段是線段AF的垂直平分線，的垂直平分線，CACF，CAF是等腰三角形是等腰三角形(3)x軸上是否存在點軸上是否存在點G

35、，使得，使得ACG是以是以AC為底為底邊的等腰三角形，若存在，求出點邊的等腰三角形，若存在，求出點G的坐標(biāo)；若不的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；存在，請說明理由；【思維教練】由【思維教練】由ACG是以是以AC為底邊的等腰三角形為底邊的等腰三角形可考慮作可考慮作AC的垂直平分線，與的垂直平分線，與x軸交點為軸交點為G，設(shè)出點，設(shè)出點G的坐標(biāo)，然后表示出的坐標(biāo)，然后表示出AG、OG、OC和和CG.列關(guān)系式即列關(guān)系式即可求解可求解解解：存在如解圖存在如解圖，作，作AC的垂直平分線，交的垂直平分線，交x軸軸于點于點G，連接連接CG，則點則點G即為所求即為所求設(shè)點設(shè)點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(g，0)，在在Rt

36、COG中中，CO3，OGg，由勾股定理得由勾股定理得CG2CO2OG29g2，又又AGg1，AGCG，9g2(g1)2，解得解得 g4，此時點此時點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4，0)例例3 3題解圖題解圖(4)若點若點P在拋物線上，點在拋物線上，點Q在拋物線對稱軸上，是否在拋物線對稱軸上，是否存在點存在點P使得使得PDQ是等邊三角形，若存在，求出點是等邊三角形，若存在，求出點P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；例3題圖【思維教練】【思維教練】由由(1)(1)知拋物線解析式，對稱軸及頂點知拋物線解析式，對稱軸及頂點D的坐標(biāo)，過點的坐標(biāo)，過點P作作PHDQ于點于點H，設(shè)出設(shè)出H

37、點坐標(biāo)點坐標(biāo)，由等邊三角形的性質(zhì)可得由等邊三角形的性質(zhì)可得PH DH，可得可得H點坐標(biāo)，點坐標(biāo)，從而求得點從而求得點P的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可知點的坐標(biāo)，由拋物線的對稱性可知點P在對在對稱軸兩側(cè)各有一點，求得符合條件的另一點稱軸兩側(cè)各有一點，求得符合條件的另一點P的坐標(biāo)的坐標(biāo)即可即可3解解：存在由存在由(1)(1)得拋物線解析式得拋物線解析式為為yx22x3，對稱軸對稱軸為為x1，頂點頂點D的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，4)點點P在拋物線上，設(shè)點在拋物線上，設(shè)點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(t，t22t3)，如解圖如解圖，過點，過點P作作PHDQ于點于點H，則則PHx軸軸，點點H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1，t22t

38、3)，DPQ是等邊三角形，是等邊三角形，DHHQ，PH DHDH4(t22t3)t22t1，當(dāng)點當(dāng)點P在在DQ的右側(cè)時的右側(cè)時，PHt1，t1 (t22t1)，即即 t2(2 1)t 10，例例3 3題解圖題解圖33333解得解得：t1 , t21(舍舍)，此時點此時點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， ).當(dāng)點當(dāng)點P在在DQ的左側(cè)時，根據(jù)對稱性可知，此時點的左側(cè)時，根據(jù)對稱性可知，此時點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( , ).綜上，存在點綜上，存在點P使得使得PDQ是等邊三角形，此時點是等邊三角形，此時點P的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( ， )或或( ， ).333333113333113333113113333探究直角三

39、角形的存在性探究直角三角形的存在性 先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況先假設(shè)結(jié)論成立，根據(jù)直角頂點的不確定性，分情況討論；討論；找點：當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直找點：當(dāng)所給定長未說明是直角三角形的斜邊還是直角邊時，需分情況討論，具體方法如下：角邊時，需分情況討論，具體方法如下：a當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一當(dāng)定長為直角三角形的直角邊時，分別以定長的某一端點作定長的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，此交點端點作定長的垂線，與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；即為符合條件的點；滿滿 分分 技技 法法b當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑

40、作圓，當(dāng)定長為直角三角形的斜邊時，以此定長為直徑作圓，圓弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；圓弧與坐標(biāo)軸或拋物線有交點時，此交點即為符合條件的點；計算：把圖形中的點坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出計算：把圖形中的點坐標(biāo)用含有自變量的代數(shù)式表示出來，從而表示出三角形的各個邊來，從而表示出三角形的各個邊( (表示線段時，注意代數(shù)式的表示線段時，注意代數(shù)式的符號符號) )再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股再利用相似三角形的性質(zhì)得出比例式，或者利用勾股定理進(jìn)行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點坐標(biāo)定理進(jìn)行計算，或者利用三角函數(shù)建立方程求點坐標(biāo)滿滿 分分 技技 法法(5)(5)

41、若點若點H在在拋物線對稱軸上，是否存在點拋物線對稱軸上，是否存在點H，使得，使得BCH是直角三角形，若存在，求出點是直角三角形，若存在，求出點H H的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；不存在，請說明理由；例3題解圖【思維教練】要使思維教練】要使BCH是直角三角形，需從直角是直角三角形，需從直角考慮，分考慮，分HCB90，HBC90，CHB90三種情況討論，借助三角形相似對應(yīng)邊成比例即三種情況討論，借助三角形相似對應(yīng)邊成比例即可得出結(jié)論可得出結(jié)論 解解：存在設(shè)點存在設(shè)點H 的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(1(1，h) )，要使要使BCH為直角三角形，可分以下三種情況討論：為直角三角形，可分以下三種情況討論

42、：(i)(i)HCB9090，如解圖如解圖，C(0(0，3)3)，D(1(1，4)4)，B(3(3，0)0)，BC2 23 32 23 32 21818，BD2 2(3(31)1)2 24 42 22020，CD2 21 12 2(4(43)3)2 22 2，BC2CD2BD2， DCBC， 此時點此時點H與點與點D重合，坐標(biāo)為重合，坐標(biāo)為H1(1，4)；例例3 3題解圖題解圖(ii)HBC9090，如解圖如解圖，易得，易得BEHBHE4545，BEBH，又又BFEH，F(xiàn)HEF2 2，點點H2的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(1(1，2)2)；例例3 3題解圖題解圖(iii)(iii)CHB9090，如解圖如

43、解圖，過點，過點C作作CMDF于點于點M，則則CHMBHE9090，BHEFBH9090CHMFBH，又又CMHBFH9090， CHMHBF， , ,即即 解得解得：h1 ，h2HMBFCMHF321hh31723172例例3 3題解圖題解圖此時這樣的點此時這樣的點H有兩個，坐標(biāo)分別為有兩個，坐標(biāo)分別為H3(1 ， ），），H4(1， ）.31723172綜上所述，存在點綜上所述，存在點H使得使得BCH是直角三角形，點是直角三角形，點H的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為H1(1(1，4)4)，H2(1(1，2)2)，H3(1(1， ），），H4(1(1， ）. .31723172(6)(6)設(shè)點設(shè)點P是第一象

44、限內(nèi)拋物線上的動點，點是第一象限內(nèi)拋物線上的動點，點Q是線是線段段BC上一點，是否存在點上一點，是否存在點P使得使得PCQ是等腰直角是等腰直角三角形，若存在，求出點三角形，若存在，求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由說明理由例3題圖【思維教練】要使【思維教練】要使PCQ是等腰直角三角形，根是等腰直角三角形，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：有一個角為直角，一個據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)：有一個角為直角，一個銳角為銳角為4545. .結(jié)合結(jié)合CBOBCO45，從而考從而考慮分三種情況：慮分三種情況：PCQ90，PQy軸軸；CPQ90，CPx軸軸；CQP90，CPx軸軸，分別討論即可得出分

45、別討論即可得出結(jié)果結(jié)果 解解：存在存在BOC是等腰直角三角形是等腰直角三角形，且且BOC9090，CBO4545，點點Q在直線在直線BC上，設(shè)點上，設(shè)點Q的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (t，t3)3)，(i)當(dāng)當(dāng)PCBC時，如解圖時，如解圖，由由(5)(5)得此時得此時點點P與點與點D重合，坐標(biāo)為重合，坐標(biāo)為(1(1，4)4)，PQCBCO4545，PQy軸軸，點點Q Q與點與點E重合，重合，此時此時PCQ是等腰直角三角形，點是等腰直角三角形，點Q的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為( (1 1，2)2)； 例例3 3題解圖題解圖(ii)當(dāng)當(dāng)CPQ90，CPx軸時軸時，如如解圖解圖，則，則PQy軸軸，PCQCBO45，此，

46、此時時CPQ是等腰直角三角形，是等腰直角三角形，且點且點P(2，3)，點點Q(2，1)；例例3 3題解圖題解圖(iii)當(dāng)當(dāng)CQP9090，CPx軸時，如軸時，如解圖解圖，過點，過點Q作作QQCP，CPQ是等腰直角三角形是等腰直角三角形，CQPQ，CQPQ，點點Q在拋物線對稱軸上，則點在拋物線對稱軸上，則點Q的坐的坐標(biāo)為標(biāo)為(1，2)綜上所述，這樣的點綜上所述，這樣的點Q有兩個，坐標(biāo)分有兩個，坐標(biāo)分別為別為(1，2) ) 或或(2，1)例例3 3題解圖題解圖類型四類型四 與特殊四邊形有關(guān)的問題與特殊四邊形有關(guān)的問題典例精講例4 如圖，拋物線經(jīng)過如圖，拋物線經(jīng)過A(5，0)，B(1，0)，C(0

47、，5)三點，頂點為三點，頂點為M，連接連接AC，BC，拋物線的對稱軸為，拋物線的對稱軸為l，l與與x軸交點為軸交點為D，與與AC交點交點為為E. (1)求此拋物線的解析式，求此拋物線的解析式，頂點頂點M的坐標(biāo)，對稱軸的坐標(biāo)，對稱軸l；例例4 4題圖題圖【思維教練】【思維教練】由由A，B，C三點的坐標(biāo)，設(shè)拋物線三點的坐標(biāo)，設(shè)拋物線解析式為解析式為yax2bxc，將三點代入求解即可；將將三點代入求解即可；將拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，可得頂點拋物線解析式轉(zhuǎn)化為頂點式，可得頂點M的坐標(biāo)和的坐標(biāo)和對稱軸對稱軸l；解解：(1)(1)設(shè)拋物線解析式為設(shè)拋物線解析式為yax2bxc，將點將點A(5，0)，B(

48、1，0)，C(0，5)代入，得代入，得 解得解得拋物線的解析式拋物線的解析式為為 yx2 26x5.5.將解析式化為頂點式得將解析式化為頂點式得 y(x3)24，頂點頂點M的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(3，4)，對稱軸對稱軸l為為直線直線 x3.25500,5abcabcc16,5abc(2)(2)拋物線沿直線拋物線沿直線AB平移，使平移，使得點得點A落在點落在點B處，此時點處，此時點C的的對應(yīng)點為對應(yīng)點為C，求點，求點C的坐標(biāo)，的坐標(biāo)，試判定四邊形試判定四邊形ABCC的形狀，的形狀，并說明理由；并說明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】【思維教練】要判定四邊形要判定四邊形ABCC的形狀，根據(jù)的形狀，根據(jù)

49、平移的性質(zhì)，點平移的性質(zhì)，點A平移到點平移到點B的規(guī)律與點的規(guī)律與點C平移到點平移到點C的規(guī)律一致，即可得到點的規(guī)律一致，即可得到點C坐標(biāo)，再由坐標(biāo)，再由ABCC，ABCC判定四邊形的形狀；判定四邊形的形狀；解解：如解圖如解圖，A( (5 5，0)0)，B( (1 1，0)0)，C(0(0，5)5)，點點A向右平移向右平移4 4個單位長度得到點個單位長度得到點B. .由平移性質(zhì)可知由平移性質(zhì)可知C平移到平移到C與與A平移平移到到B的規(guī)律一致的規(guī)律一致，C(4(4，5)5)四邊形四邊形ABCC是平行四邊形理由如下：是平行四邊形理由如下：根據(jù)平移規(guī)律得：根據(jù)平移規(guī)律得：ABCC4 4，ABCC，四

50、邊形四邊形ABCC是平行四邊形是平行四邊形. . 例例4 4題圖解題圖解(3)(3)設(shè)點設(shè)點C是平面內(nèi)一點，是平面內(nèi)一點，是否存在以點是否存在以點A，B，C，C為為頂點的四邊形是平行四邊形？頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點若存在，求出點C的坐標(biāo)；若的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；不存在，請說明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】以點【思維教練】以點A、B、C、C為頂點的四邊形為為頂點的四邊形為平行四邊形，已知線段平行四邊形，已知線段AB和和AC，可分兩種情況討論：可分兩種情況討論：(1)(1)當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的邊時，可利用平移的性為平行四邊形的邊時，可利用平移的性質(zhì)：質(zhì)：將線

51、段將線段AB沿沿AC平移，使點平移，使點A與點與點C重合，重合，將將線段線段BC沿沿BA平移，使點平移，使點B與點與點A重合；重合；(2)(2)當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的對角線，為平行四邊形的對角線，AC為平行四邊形的邊時，利為平行四邊形的邊時，利用平移的性質(zhì)，將線段用平移的性質(zhì)，將線段AC沿著沿著CB邊平移，使點邊平移，使點C與點與點B重合，此時點重合，此時點C即為所求即為所求解解：存在存在，( (i) )當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的為平行四邊形的邊時，邊時，如如解圖解圖，將線段，將線段AB沿沿AC平移，使點平移，使點A與點與點C重合，此時重合，此時點點C坐標(biāo)為坐標(biāo)為(4，5)；如解圖

52、如解圖，將線段，將線段BC沿沿BA平移，平移，使使點點B與點與點A重合，此時點重合，此時點C的的坐標(biāo)為坐標(biāo)為(4，5)；例例4 4題圖解題圖解例例4 4題圖解題圖解(ii)當(dāng)線段當(dāng)線段AB為平行四邊形的對角線為平行四邊形的對角線，AC為平行四邊形的邊時為平行四邊形的邊時，如解圖如解圖，將線段，將線段AC沿沿CB平移，使平移，使點點C與點與點B重合，此時點重合，此時點C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(6，5)綜上所述，滿足條件的點綜上所述，滿足條件的點C的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(4，5)，(4，5)，(6，5)例例4 4題圖解題圖解( (4)4)設(shè)點設(shè)點K是拋物線上一點，過是拋物線上一點，過K作作KJy軸，交直線軸，

53、交直線AC于點于點J，是否，是否存在點存在點K，使得以，使得以M，E，K，J為頂為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點求出點K的坐標(biāo)；若不存在，請說的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】根據(jù)點【思維教練】根據(jù)點K、J分別為拋物線和直線分別為拋物線和直線AC上的點，設(shè)出點上的點，設(shè)出點K、J坐標(biāo)，由坐標(biāo)，由KJME，從而從而只需只需KJME即可得到平行四邊形，再根據(jù)點即可得到平行四邊形，再根據(jù)點K、J坐標(biāo)及其相對位置，求出點坐標(biāo)及其相對位置，求出點K坐標(biāo)；坐標(biāo)；解解：存在，理由如下：存在，理由如下：如解圖如解圖，設(shè)點，設(shè)點K的坐標(biāo)

54、為的坐標(biāo)為( (e，e26e5) )，KJy軸軸，交交AC于于J，直線直線AC的解析的解析式為式為yx5 5，設(shè)點設(shè)點J的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(e，e5) )M(3，4)，E(3，2)，ME6. .MEy 軸軸，KJy 軸軸，KJME，要得到平行四邊形，只需要得到平行四邊形，只需KJME6.6.例例4 4題解圖題解圖 ( (i) )當(dāng)點當(dāng)點K 在點在點J 的下方時，的下方時， KJ(e5)(e26e5)e25e，則則e2 25 5e6 6，解得解得e12 2，e2 23 3，則則K1(2 2，3)3)，K2( (3 3，4)(4)(舍去舍去) )；( (ii) )當(dāng)點當(dāng)點K在點在點J的上方時，的上方

55、時，KJ( (e26e5)(e5)e25e，則則e25e6，解得解得e36，e41，則則K3(6，5)，K4(1，12)；綜上所述，滿足條件的點綜上所述，滿足條件的點K有有3 3個，坐標(biāo)分別為個，坐標(biāo)分別為(2，3)，(6，5)，(1，12)(5)(5)設(shè)點設(shè)點N是拋物線上一點，點是拋物線上一點，點S是是x軸上一點，是否存在點軸上一點，是否存在點N，使得，使得以以A，E，N，S為頂點的四邊形是平為頂點的四邊形是平行四邊形？若存在，求出點行四邊形？若存在，求出點N的坐的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；標(biāo)；若不存在，請說明理由；例例4 4題圖題圖【思維教練】分【思維教練】分NS為平行四邊形的邊和為平行

56、四邊形的邊和NS為平行為平行四邊形的對角線兩種情況討論，結(jié)合圖形過四邊形的對角線兩種情況討論，結(jié)合圖形過N作作NTx軸，由平行四邊形性質(zhì)得到軸，由平行四邊形性質(zhì)得到SNT AED，從而得到從而得到NTED2，即可得到點即可得到點N的坐標(biāo)的坐標(biāo)；解解：存在，理由如下：存在，理由如下：(i)當(dāng)當(dāng)NS為平行四邊形的一條邊時，為平行四邊形的一條邊時，如解圖如解圖，過，過N作作NTx軸，交軸，交x軸于軸于T，以解圖以解圖中中N1為例為例，NSAE，且且NSAE，則則NSTEAD，NTx軸軸，EDx軸軸，NTSEDA90SNT AED，NTED2.2.設(shè)點設(shè)點N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (n，n26n5) )，

57、例例4 4題解圖題解圖a當(dāng)點當(dāng)點 N 在在 x 軸軸上方，上方，則則NTn26n52，解得解得n1 3 3，n2 3 3，N1( ( 3 3，2)2)，N2( 3 3，2)2)；b當(dāng)點當(dāng)點 N 在在 x 軸軸下方，下方，則則NTn26n52，解得解得n33 3 + + n43 3 ，N3( (3 3 ，2)2)，N4( (3 3 ，2)2)； 66662例例4 4題解圖題解圖222(ii)如解圖如解圖，當(dāng)，當(dāng)NS是平行四邊形的對角線時，則是平行四邊形的對角線時，則NEx軸，軸，點點N的縱坐標(biāo)為的縱坐標(biāo)為2 2，代入拋物線得代入拋物線得n26n52，解得解得n1 3，n2 3( (舍去舍去) )

58、，點點N的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( 3，2)綜上所述，滿足條件的點綜上所述，滿足條件的點N有有4 4個個，分別為分別為( 3，2)，( 3，2)，(3 ，2)，(3 ，2)62例例4 4題解圖題解圖66266 探究平行四邊形的存在性具體方法如下：探究平行四邊形的存在性具體方法如下： (1)(1)假設(shè)結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論成立；( (2)2)找點：探究平行四邊形的存在性問題，一般是已知兩定找點：探究平行四邊形的存在性問題，一般是已知兩定點求未知點坐標(biāo)，此時可以分兩種情況，分別以這兩點所構(gòu)點求未知點坐標(biāo)，此時可以分兩種情況，分別以這兩點所構(gòu)成的線段為邊和對角線來討論：成的線段為邊和對角線來討論：以這兩點所構(gòu)成

59、線段為邊以這兩點所構(gòu)成線段為邊時，可以利用平行四邊形對邊平行且相等，畫出符合題意的時，可以利用平行四邊形對邊平行且相等，畫出符合題意的圖形；圖形；以這兩點所構(gòu)成線段為對角線時，則該線段的中點以這兩點所構(gòu)成線段為對角線時，則該線段的中點為平行四邊形對角線的交點，結(jié)合拋物線的對稱性，畫出符為平行四邊形對角線的交點，結(jié)合拋物線的對稱性，畫出符合題意的圖形合題意的圖形法法技技分分滿滿(3)(3)建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)有的符合條件的圖形后，可以利用平行四邊形的性質(zhì)進(jìn)行計算，也可以利用拋物線的對稱性

60、、相似三角形進(jìn)行計算，也可以利用拋物線的對稱性、相似三角形或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，要具體情況具體分析，或直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算，要具體情況具體分析，有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組有時也可以利用直線的解析式聯(lián)立方程組，由方程組的解為交點坐標(biāo)的方法求解的解為交點坐標(biāo)的方法求解法法技技分分滿滿(6)(6)設(shè)點設(shè)點G是拋物線對稱軸上一點，是拋物線對稱軸上一點，點點K是平面內(nèi)一點，是否存在點是平面內(nèi)一點，是否存在點G，使得以使得以A，C，G，K為頂點的四邊形為頂點的四邊形是矩形？若存在，求出點是矩形？若存在，求出點G的坐標(biāo)；的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；若不存在，請說明理由；例例4

61、 4題圖題圖【思維教練】使得以【思維教練】使得以A、C、G、K為頂點的四邊形為頂點的四邊形是矩形，是矩形，K點任意，則只需點任意，則只需ACG是直角三角形，即是直角三角形，即可構(gòu)成以可構(gòu)成以A，C，G，K為頂點的矩形，然后利用勾股為頂點的矩形，然后利用勾股定理列方程求解；定理列方程求解；解解：存在存在，理由如下：，理由如下：要以要以A，C，G，K為頂點的為頂點的四邊形是矩形，則四邊形是矩形，則ACG 一定是直角三角形如解一定是直角三角形如解 圖圖，設(shè)點，設(shè)點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，g)g)，作作GHy軸于點軸于點H( (以解以解圖圖中點中點G1 1為例為例) )，AC25 52 25

62、52 25050， AG2(53)2g24g2， CG232(5g)2g210g34，例例4 4題圖解題圖解(i)若若ACG9090，則則AC2CG2AG2，即即5050g21010g34344 4g2，解得解得g8 8，此時點此時點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，8)8)；(ii)若若CAG9090，則則AC2AG2CG2，即即50504 4g2 2g2 21010g3434，解得解得g2 2， 此時點此時點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，2)2)； (iii)若若CGA90，則則CG2AG2AC2， 即即g210g344g250，解得解得g16，g21， 此時點此時點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(

63、(3，6)或或( (3，1)，綜上所述，滿足條件的點綜上所述，滿足條件的點G有有4 4個，分別為個，分別為(3，8)，(3，6)，(3，1)，(3，2)探究矩形的存在性具體方法如下：探究矩形的存在性具體方法如下： (1)(1)假設(shè)結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論成立； ( (2)2)分情況討論：分別以己知的兩個定點連線的線段為矩分情況討論：分別以己知的兩個定點連線的線段為矩形的長或?qū)捇驅(qū)蔷€作出所有的矩形；或者轉(zhuǎn)化為探究直角形的長或?qū)捇驅(qū)蔷€作出所有的矩形；或者轉(zhuǎn)化為探究直角三角形的存在性問題，分別以兩個定點連線的線段為直角三三角形的存在性問題，分別以兩個定點連線的線段為直角三角形的直角邊或斜邊作出所有符合

64、條件的直角三角形，進(jìn)而角形的直角邊或斜邊作出所有符合條件的直角三角形，進(jìn)而作出矩形；作出矩形；(3)(3)建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的符合條件的圖形后，建立方程求解或利用全等三角形、直角三合條件的圖形后，建立方程求解或利用全等三角形、直角三角形的性質(zhì)進(jìn)行計算角形的性質(zhì)進(jìn)行計算法法技技分分滿滿(7)(7)設(shè)點設(shè)點G是拋物線對稱軸上一點，是拋物線對稱軸上一點，過點過點G作平行于作平行于AB的一條直線的一條直線l，點，點K在在l上，若以上，若以A，O，G，K為頂點的為頂點的四邊形是菱形，請求出所有滿足條件四邊形是菱形，請求出所有滿足條

65、件的點的點G，點，點K的坐標(biāo)的坐標(biāo)例例4 4題圖題圖【思維教練】由【思維教練】由GKAO可知，若可知，若GKAO，則以則以A，O，G，K為頂點的四邊形是平行四邊形，再證為頂點的四邊形是平行四邊形，再證OGOA或或AGOA即可滿足菱形的條件，根據(jù)即可滿足菱形的條件，根據(jù)G點點在在l上，設(shè)出點上，設(shè)出點G坐標(biāo)，得到方程求解即可坐標(biāo)，得到方程求解即可；解解：如解圖如解圖，設(shè)點，設(shè)點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，g)g)，由勾股定理易得由勾股定理易得OG2OD2DG29g2，AG2AD2GD24g2，GKAO，(i)(i)當(dāng)當(dāng)OGAO，且且GKAO時時，四邊形四邊形OGKA是菱形是菱形，此時有此時有

66、9 9g2 22525，解得解得g14 4，g24 4，例例4 4題解圖題解圖點點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3，4)4)，( (3 3，4)4)，點，點K的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (8 8，4)4)，( (8 8，4)4)；(ii)當(dāng)當(dāng)AGAO，且且GKAO時，四邊形時，四邊形AGKO是菱形是菱形，此時此時4 4g22525，解得解得g3 ，g4 ，點點G的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為( (3 3， ) )，( (3 3， ) )，點點K的坐標(biāo)為的坐標(biāo)為(2(2， ) )，(2(2， ) )212121212121探究菱形的存在性具體方法如下：探究菱形的存在性具體方法如下：(1)(1)假設(shè)結(jié)論成立；假設(shè)結(jié)論成立；(2)(2)分情況討論：已知兩個定點去探究菱形時，以分情況討論：已知兩個定點去探究菱形時，以兩個定點確定的線段作為要探究的菱形的對角線或兩個定點確定的線段作為要探究的菱形的對角線或邊長畫出符合題意的菱形，結(jié)合題干要求找出滿足邊長畫出符合題意的菱形，結(jié)合題干要求找出滿足條件的菱形；條件的菱形；法法技技分分滿滿(3)(3)建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類方法畫出所有的建立關(guān)系式，并計算：根據(jù)以上分類