《2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座 第三講 活力的韋達(dá)定理（5頁珍藏版）》請?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、2019-2020年九年級數(shù)學(xué)競賽輔導(dǎo)講座第三講活力的韋達(dá)定理一元二次方程的根與系數(shù)的關(guān)系，通常也稱為韋達(dá)定理，這是因?yàn)樵摱ɡ硎怯?6世紀(jì)法國最杰出的數(shù)學(xué)家韋達(dá)發(fā)現(xiàn)的韋達(dá)定理簡單的形式中包含了豐富的數(shù)學(xué)內(nèi)容，應(yīng)用廣泛，主要體現(xiàn)在：運(yùn)用韋達(dá)定理，求方程中參數(shù)的值；運(yùn)用韋達(dá)定理，求代數(shù)式的值；利用韋達(dá)定理并結(jié)合根的判別式，討論根的符號特征；利用韋達(dá)定理逆定理，構(gòu)造一元二次方程輔助解題等韋達(dá)定理具有對稱性，設(shè)而不求、整體代入是利用韋達(dá)定理解題的基本思路韋達(dá)定理，充滿活力，它與代數(shù)、幾何中許多知識可有機(jī)結(jié)合，生成豐富多彩的數(shù)學(xué)問題，而解這類問題常用到對稱分析、構(gòu)造等數(shù)學(xué)思想方法【例題求解】【例1】已知

2、、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為.思路點(diǎn)撥所求代數(shù)式為、的非對稱式，通過根的定義、一元二次方程的變形轉(zhuǎn)化為(例【例2】如果、都是質(zhì)數(shù)，且，那么的值為()A.B.或2C.D.或2思路點(diǎn)撥可將兩個(gè)等式相減，得到、的關(guān)系，由于兩個(gè)等式結(jié)構(gòu)相同，可視、為方程的兩實(shí)根，這樣就為根與系數(shù)關(guān)系的應(yīng)用創(chuàng)造了條件注：應(yīng)用韋達(dá)定理的代數(shù)式的值，一般是關(guān)于、的對稱式，這類問題可通過變形用+、表示求解，而非對稱式的求值常用到以下技巧：(1) 恰當(dāng)組合；(2) 根據(jù)根的定義降次；(3) 構(gòu)造對稱式【例3】已知關(guān)于的方程：(1) 求證：無論m取什么實(shí)數(shù)值，這個(gè)方程總有兩個(gè)相異實(shí)根.(2) 若這個(gè)方程的兩個(gè)實(shí)根、滿足，

3、求m的值及相應(yīng)的、.思路點(diǎn)撥對于(2)，先判定、的符號特征，并從分類討論入手【例4】設(shè)、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，當(dāng)m為何值時(shí)，有最小值?并求出這個(gè)最小值.思路點(diǎn)撥利用根與系數(shù)關(guān)系把待求式用m的代數(shù)式表示，再從配方法入手，應(yīng)注意本例是在一定約束條件下(三。)進(jìn)行的.注：應(yīng)用韋達(dá)定理的前提條件是一元二次方程有兩個(gè)實(shí)數(shù)根，即應(yīng)用韋達(dá)定理解題時(shí)，須滿足判別式420這一條件，轉(zhuǎn)化是一種重要的數(shù)學(xué)思想方法，但要注意轉(zhuǎn)化前后問題的等價(jià)性【例5】已知：四邊形ABCD中，ABCD，且AB、CD的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)根.(1)當(dāng)m=2和m2時(shí)，四邊形ABCD分別是哪種四邊形?并說明理由.若M、N分別是AD、BC的中點(diǎn)

4、，線段MN分別交AC、BD于點(diǎn)P，Q，PQ=1,且ABCD,求AB、CD的長.(xx年哈爾濱市中考題)思路點(diǎn)撥對于(2),易建立含AC、BD及m的關(guān)系式，要求出m值，還需運(yùn)用與中點(diǎn)相關(guān)知識找尋CD、AB的另一隱含關(guān)系式.注：在處理以線段的長為根的一元二次方程問題時(shí)，往往通過韋達(dá)定理、幾何性質(zhì)將幾何問題從“形”向“數(shù)”(方程)轉(zhuǎn)化，既要注意通過根的判別式的檢驗(yàn)，又要考慮幾何量的非負(fù)性學(xué)歷訓(xùn)練1(1)已知和為一元二次方程的兩個(gè)實(shí)根，并和滿足不等式，則實(shí)數(shù)取值范圍是(2)已知關(guān)于的一元二次方程有兩個(gè)負(fù)數(shù)根，那么實(shí)數(shù)的取值范圍.2. 已知、是方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根，則代數(shù)式的值為.3. CD是RtAABC斜

5、邊上的高線，AD、BD是方程的兩根，則ABC的面積是.4. 設(shè)、是關(guān)于的方程的兩根，+1、+1是關(guān)于的方程的兩根，貝X的值分別等于()A1，-3B1，3C-1，-3D-1，35. 在RtAABC中，ZC=90,a、b、c分別是ZA、ZB、ZC的對邊，a、b是關(guān)于的方程的兩根，那么AB邊上的中線長是()A.B.C.5D.26. 方程恰有兩個(gè)正整數(shù)根、，則的值是()A.1B.-lC.D.7.若關(guān)于的一元二次方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根滿足關(guān)系式：x(x+1)+乂2(乂2+1)=(x+1)(乂2+1)，判斷是否正確?8. 已知關(guān)于的方程.(1) 當(dāng)是為何值時(shí)，此方程有實(shí)數(shù)根；(2) 若此方程的兩個(gè)實(shí)數(shù)根、滿足：

6、，求的值.9. 已知方程的兩根均為正整數(shù)，且，那么這個(gè)方程兩根為.10. 已知、是方程的兩個(gè)根，則的值為11. AABC的一邊長為5,另兩邊長恰為方程的兩根，則m的取值范圍是.12. 兩個(gè)質(zhì)數(shù)、恰好是整系數(shù)方程的兩個(gè)根，則的值是()A9413BCD13設(shè)方程有一個(gè)正根，一個(gè)負(fù)根，則以、為根的一元二次方程為()ABCD14. 如果方程的三根可以作為一個(gè)三角形的三邊之長，那么實(shí)數(shù)m的取值范圍是()A.0WmW1B.m2C.D.WmWl15. 如圖，在矩形ABCD中，對角線AC的長為10,且AB、BC(ABBC)的長是關(guān)于的方程的兩個(gè)根(1)求rn的值；(2)若E是AB上的一點(diǎn)，CF丄DE于F,求B

7、E為何值時(shí)，ACEF的面積是厶CED的面積的,請說明理由16.設(shè)m是不小于的實(shí)數(shù)，使得關(guān)于的方程工x2+2（m一2）x+m2-3m+D實(shí)數(shù)根、.c(1) 若，求m的值.(2) 求的最大值./17. 如圖，已知在厶ABC中，ZACB=90,過C作CD丄AB于D,且AD么，BD=n，AC2：BC2=2：1；又關(guān)于x的方程兩實(shí)數(shù)根的差的平方小于192，求整數(shù)m、呼的值第7?)18. 設(shè)、為三個(gè)不同的實(shí)數(shù)，使得方程和和有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，并且使方程和也有一個(gè)相同的實(shí)數(shù)根，試求的值參考答案充滿活力的韋達(dá)定理【例題求解】例10原式=a+1p2a=l(a+p)=l1=0例2選B當(dāng)a=b時(shí)，原式=2,當(dāng)a工b

8、g、b為方程x213x+m=0的兩個(gè)根p+b=130(2)xix2=-2時(shí),=一20,乂AB+CD=2mT17ABCD=(加一豆嚴(yán)+忑0,.ABHCD,而ABCD,故四邊形ABCD是梯形.(2)PQ=-DC-ABi=l,：.DC-AB=2ELj(DCAB)2=(DC+ABF4DCABA22=(2m)2-4(m2-,n+2)得也=3,從而AB=2,CD=4.【學(xué)力訓(xùn)練】I. (1)(2)m72.33.64.C5.B6.CX|X2=1997,X|=1,x2=1997,p=0知x,、兀同號，分40,花0及q0、Z20情況討論，得上=0.9.30,210.5設(shè)A=J+3/?,B=F+3a,由A+B=1

9、0及AB=0,得A=5.II. 弓SM18設(shè)另兩邊為6,c.則由bc=y(64-c)2-4Ac5及Q0,解得ym18.12. B/+g=99.p、q為2,97,m=pg=94.13.C($0(44jw0o14. C設(shè)三根為1,心，業(yè)則|耳一衛(wèi)11，由得，解得4Wl415. (l)w=8；(2)AB=8,BC=6,由評竺=,得DE=3EF又厶DAECFD,得語=器,AE=D；JE=籍設(shè)亦=$,則dF=人廳+AF=36+,.“二即b_i2y+36=0,解得y=6,故BE=2.16=4刃+40,得刃1，結(jié)合題設(shè)知：一1=加VI.(1)乳+j亦=(r+x,)?-2x.x.,=2mz-10m+10=6.解得巾=5土岡川千一1VmLi一場e=，把代入得”W2.4n2-mz-8n+40又丁1+x28(?jl),X|jr2=4(n?212),由(4Xi)J19z,得把代入，得y2,.”=1,2,從而得zn=2或4.18設(shè)x?+ajri+l=O,rf+處1+c=0,得=討*同理，由卅+衛(wèi)+a=（hxf+“2+6=0,得攵2=7（cH1）故竝=*另一方面由韋達(dá)定理知+是第一個(gè)方程的根，這就表明孔是方程x2+t+1=0和F+工+=0的公共根.因此兩式相減有（。一1）（工21）=0,但當(dāng)a=l時(shí)，這兩個(gè)方程無實(shí)根，故jt2=1從而jti=1于是a=2,b+c=1,所以,+6+c=3,