《張量分析[共94頁]》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《張量分析[共94頁]（94頁珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第一節(jié)第一節(jié) 問題的提出問題的提出第二節(jié)第二節(jié) 矢量的基本運(yùn)算矢量的基本運(yùn)算第三節(jié)第三節(jié) 坐標(biāo)變換及張量的定義坐標(biāo)變換及張量的定義自然法則與坐標(biāo)無關(guān)，坐標(biāo)系的引入方便自然法則與坐標(biāo)無關(guān)，坐標(biāo)系的引入方便分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)；分析，但也掩蓋了物理本質(zhì)； 坐標(biāo)系引入后的相關(guān)表達(dá)式冗長(zhǎng)坐標(biāo)系引入后的相關(guān)表達(dá)式冗長(zhǎng) 引入張量方法引入張量方法 A A1 指標(biāo)符號(hào)指標(biāo)符號(hào)),(n21ixi下標(biāo)符號(hào)下標(biāo)符號(hào) i 稱為指標(biāo)；稱為指標(biāo)；n 為維數(shù)為維數(shù)指標(biāo)指標(biāo) i 可以是下標(biāo)，如可以是下標(biāo)，如 xi 也可以是上標(biāo)，如也可以是上標(biāo)，如 xi nxx ,x21記作記作指標(biāo)的取值范圍如不作說明，均表示從指標(biāo)的取值

2、范圍如不作說明，均表示從13定義這類符號(hào)系統(tǒng)為指標(biāo)符號(hào)，一般采用下標(biāo)定義這類符號(hào)系統(tǒng)為指標(biāo)符號(hào)，一般采用下標(biāo) xi（ i=1,2,3） x1，x2，x3 x, y, zui（ i=1,2,3） u1，u2，u3 u, v, wzzyzxyzyyxxzxyx333231232221131211ij321ji ),(一若干約定一若干約定 啞標(biāo)和自由標(biāo)啞標(biāo)和自由標(biāo) 1. Einstein求和約定求和約定 凡在某一項(xiàng)內(nèi)，凡在某一項(xiàng)內(nèi)，重復(fù)一次且僅重復(fù)一次重復(fù)一次且僅重復(fù)一次的的指標(biāo)，表示對(duì)該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，指標(biāo)，表示對(duì)該指標(biāo)在它的取值范圍內(nèi)求和，并稱這樣的指標(biāo)為并稱這樣的指標(biāo)為啞指標(biāo)啞指標(biāo)。

3、如：。如： n1iiinn2211iixaxaxaxan21ixa ),(又如：又如： zyx332211jjii重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗重復(fù)不止一次的指標(biāo)，求和約定失敗 求和約定僅對(duì)字母指標(biāo)有效，如求和約定僅對(duì)字母指標(biāo)有效，如 同一項(xiàng)內(nèi)二對(duì)啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如同一項(xiàng)內(nèi)二對(duì)啞標(biāo)應(yīng)使用不同指標(biāo)，如 31i31ijiijjiijxxaxxaz331234啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)啞標(biāo)可以換用不同的字母指標(biāo)2.2.求導(dǎo)記號(hào)的縮寫約定求導(dǎo)記號(hào)的縮寫約定 jijijjxuux, ) () (22,( )( ) ijk ijijijuux xx x k3.3.自由標(biāo)自由標(biāo) 定義：凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重

4、復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如定義：凡在同一項(xiàng)內(nèi)不重復(fù)出現(xiàn)的指標(biāo)。如 jijibxaj 為自由標(biāo)為自由標(biāo) j=1 1313212111bxaxaxa同一個(gè)方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同同一個(gè)方程中各項(xiàng)自由標(biāo)必須相同 不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo)，但所有項(xiàng)的不能改變某一項(xiàng)的自由標(biāo)，但所有項(xiàng)的自由標(biāo)可以改變自由標(biāo)可以改變 12 kikijikibxabxawrongrightjijibxa如：如：二二克羅內(nèi)克（克羅內(nèi)克（Kronecker-）符號(hào)）符號(hào) 定義定義： jijiij當(dāng)當(dāng)01由定義由定義 111213212223313233100010001ijIjiijii2222j3213j32j21j1iijdxdxdxd

5、xdzdydxdsA3j2j1jAAAAAAA性質(zhì)：性質(zhì)： jkjkiiijjijiilkljkijikjkijikjkij332211jjiiijij332211iiijijaaxxxAAAAAAAA3,三三Ricci 符號(hào)符號(hào) kjie定義：定義： 011ekji即：即：011113112111321132213312231123eeeeeeeee共共27個(gè)分量，亦稱為排列符號(hào)、置換符號(hào)個(gè)分量，亦稱為排列符號(hào)、置換符號(hào) ki ji jkjkijikikjkjieeeeee322113312312332211333231232221131211aaaaaaaaaaaaaaaaaaA)A(aa

6、aeaaaeaaaaaaaaakjikjikjikji71 321321322311332112312213-恒等式恒等式 )(81Aeet is jt js it skjik由此得由此得 633ee23eejjkjjkkkjjkjikjiskkskskjjsksjjsjikjiA A2 矢量的基本運(yùn)算矢量的基本運(yùn)算 ia分量矢量 a標(biāo)方向的單位矢量） ( 個(gè)坐基矢量3 e e e321) 12( 33221Aaaaaiieeeea1說明說明任意矢量可以表示為基矢量的線性組合任意矢量可以表示為基矢量的線性組合 12基矢量不是唯一的基矢量不是唯一的 1.1.點(diǎn)積點(diǎn)積 基矢量點(diǎn)積基矢量點(diǎn)積 )22

7、( A ijjiee 任意兩矢量的點(diǎn)積任意兩矢量的點(diǎn)積 3)2( A babababajjiiijjijijieeba1212.叉積叉積 基矢量的叉積基矢量的叉積 )A( ekji42 kjieee由于由于 kjkieeeekjki ktt321jieeeeeeeekjitjisjr itsrjjjiiieee321321特別地：特別地： 33k21eeeee12312eekkjikjiaaaeaaaaaaaaaA321333231232221131211（比較：（比較：） 兩個(gè)任意矢量的叉積兩個(gè)任意矢量的叉積 ) 52(A baeebababajikjikjijijijic eeeeeeba

8、kkjiji23.混合混合積積 基矢量混合積基矢量混合積 )72( )(Aeeekjikrr jir jikrkjieeeee故也有定義故也有定義 )()(kjikjieeeeeekjie1 矢量混合積矢量混合積 () ( 26)i jkijri jkijrkri jkijkeabceab c eab cAkrabcee表示的是以表示的是以 為邊長(zhǎng)的平行六面體的體積。為邊長(zhǎng)的平行六面體的體積。 cb,a,24.4.并矢（并乘）并矢（并乘） 定義：定義： jijieeeeabjijibaba展開共展開共9項(xiàng)，項(xiàng)， 可視為并矢的基可視為并矢的基 ije ejiba為并矢的分解系數(shù)或分量為并矢的分解

9、系數(shù)或分量 A A3 坐標(biāo)變換坐標(biāo)變換 與張量的定義與張量的定義 2x2x1x1x2x1x1x2x2e1e1.平面笛卡兒坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換平面笛卡兒坐標(biāo)系旋轉(zhuǎn)變換1ee22x2x1x1x2x1x1x2x),j ,i ()cosji21 (jie ,e令：cossinsincosji)cos()cos()cos()cos(22122111e ,ee ,ee ,ee ,e則：1e2ee21e)( 21212212211121xxxxxxji于是： 21212221121121xxxxxxTji同樣：21121 xxxxji）式得由（1 :jiTji比較ji為正交矩陣為正交矩陣引用指標(biāo)符號(hào)：引用指標(biāo)符號(hào)

10、：jj iixxjjiixx由由kkjijjjiixxx又又ikkjijkikixx 討論討論: :上式的幾何意義上式的幾何意義說明說明 1基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律基矢量具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律jijieeeeijji2矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換矢量的分量也具有與坐標(biāo)分量相同的變換規(guī)律規(guī)律jijijjiivvvv2x2x1x1x2x1x1x2x1e2ee21e2. 三維情況三維情況jiijjijieeee 考慮一位置矢量考慮一位置矢量 ijijjjeeeeeexjjjjxxxxiijjjxxcosx)(ije ,ejjiixx同理同理jijixx同二維問題，可得同二維問

11、題，可得ikkjij（正交性）（正交性）可試證：可試證：kijkji3. 張量定義張量定義 定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變換關(guān)系定義：在坐標(biāo)變換時(shí)，滿足如下變換關(guān)系的量稱為張量的量稱為張量lkjillkkjjiiijklijklkkjji ilkji自由標(biāo)數(shù)目自由標(biāo)數(shù)目n張量的階數(shù)；對(duì)于三維空間，張量的階數(shù)；對(duì)于三維空間，張量分量的個(gè)數(shù)為張量分量的個(gè)數(shù)為3n個(gè)，變換式也有個(gè)，變換式也有3n個(gè)。個(gè)。采用并矢記號(hào)（不變性記法或抽象記法）采用并矢記號(hào)（不變性記法或抽象記法） ()ijklijkle e e e可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）可寫成上式的量也稱為張量（第二種定義）討論討論 ijk

12、 lTTijklTe ee e12上述表達(dá)式具有不變性特征；上述表達(dá)式具有不變性特征；張量分量張量分量 與坐標(biāo)系有關(guān)；與坐標(biāo)系有關(guān)；ijT3 在坐標(biāo)變換時(shí)遵循相同的變換規(guī)律在坐標(biāo)變換時(shí)遵循相同的變換規(guī)律ijT 符合符合 ,為一新張量為一新張量A A4 張量代數(shù)張量代數(shù) 以二階張量為例說明以二階張量為例說明1. 加減法加減法 只有同階張量才能加減，仍為同階張量只有同階張量才能加減，仍為同階張量如：張量如：張量 A,BjijijijieeeeBeeeeAjiijjiijBBAAeeeeBAjijiijijijT)BA( ijklijkle e e e另證：另證： )( jji iijijjji i

13、jijiijjji ijiijjji ijiBABABBAA jiTijT 符合符合 ,為一新張量為一新張量ijklkkjjiilkji交換律：交換律：結(jié)合律：結(jié)合律：ABBACBACBA)()(2.矢量與張量的點(diǎn)積矢量與張量的點(diǎn)積 ijiTaijiTe eae12左點(diǎn)乘：左點(diǎn)乘：kkkjieeeeeTakiijikjiTaTa)(T)(akji右點(diǎn)乘右點(diǎn)乘 :kiikjieeeeeeaTkiijjikjkjiTaaTaTa)()(Tkj i時(shí)相等只有一般jiijTT, aTTa3.矢量與張量的叉積矢量與張量的叉積左叉乘左叉乘 A krkrkjieeeeeeeTakjirjirjikjikji

14、TaeeTa)T()a(12右叉乘右叉乘 BeeeeeeeaTriikjikjirkjrrkjkjikjiaTeeaTaT)()(aTTa 一般4. 張量與張量的點(diǎn)積張量與張量的點(diǎn)積SeeeeeeeeeeeeeeBAtsjitsjitsrkjitskkjirktsrkjitsrkjiBABABA)()(兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)兩個(gè)張量點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量。新張量的階數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減2。 5. 張量的雙點(diǎn)積張量的雙點(diǎn)積tititsrkjieeeeeeeeeeBAtjkjkiskjrstrjkistrjkiBABABA)( : )(:兩個(gè)張量雙點(diǎn)積的

15、結(jié)果仍為張量，新張量的階兩個(gè)張量雙點(diǎn)積的結(jié)果仍為張量，新張量的階數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減數(shù)是原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減4。 6. 張量的雙叉乘張量的雙叉乘tnmitnmitsrkjieeeeeeeeeeeeeeBArstjkiksnjrmksnstrjrmjkistrjkiBAeeeBeA)B()A( 兩個(gè)張量雙叉乘的結(jié)果仍為張量，新張量的階兩個(gè)張量雙叉乘的結(jié)果仍為張量，新張量的階數(shù)為原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減數(shù)為原兩個(gè)張量的階數(shù)之和減2。 7. 張量縮并張量縮并jieejiA A對(duì)對(duì)A進(jìn)行縮并進(jìn)行縮并 332211i ijijijiAAAAAA jieeA將其中的二個(gè)基矢量點(diǎn)乘，得到比原張量低二階

16、將其中的二個(gè)基矢量點(diǎn)乘，得到比原張量低二階的新張量。二階張量相當(dāng)于將對(duì)角元素求和，高的新張量。二階張量相當(dāng)于將對(duì)角元素求和，高階張量相當(dāng)于分量的某兩個(gè)指標(biāo)相同。階張量相當(dāng)于分量的某兩個(gè)指標(biāo)相同。8. 指標(biāo)置換 kjieeekjiA A若對(duì)該張量的分量中任意兩個(gè)指標(biāo)交換次序，得到若對(duì)該張量的分量中任意兩個(gè)指標(biāo)交換次序，得到一個(gè)與原張量同階的新張量。如：一個(gè)與原張量同階的新張量。如： kjikjieeeeeekjiki jBA 指標(biāo)置換也可以通過交換相應(yīng)的基矢量位置來得到。指標(biāo)置換也可以通過交換相應(yīng)的基矢量位置來得到。 kjikjikijeeeeeeeeekjiki jkjiBAA 9. 對(duì)稱化和

17、反稱化 對(duì)于二階張量：對(duì)于二階張量：i jjiTT 對(duì)稱，有對(duì)稱，有6個(gè)獨(dú)立分量個(gè)獨(dú)立分量 i jjiWW反對(duì)稱，有反對(duì)稱，有3個(gè)獨(dú)立分量個(gè)獨(dú)立分量 高階：對(duì)稱形式多樣高階：對(duì)稱形式多樣 ikjlijklEE關(guān)于關(guān)于j, ,k對(duì)稱的四階張量對(duì)稱的四階張量jikijkBB關(guān)于關(guān)于j, ,i反反對(duì)稱的三階張對(duì)稱的三階張量量對(duì)稱化：對(duì)稱化：對(duì)稱jijii jjijiTTAA21T ),(反對(duì)稱化：反對(duì)稱化：反對(duì)稱jijii jjijiTTAA21T ),(10.10.商法則商法則階張量的分量是（則：若有：階張量的分量是階張量的分量是設(shè)：) nmABACnBmCn21m21n21n21m21m21n2

18、1m21jjjiiijjjjjjiiiiiijjjiii證明證明next證明證明:)( ) ( )( 11111111111111111111nnnnmmmnnmmmmmmmnnmmjjljl jllkkkikillllkkkikikkkikiiijjjjiiiiBABACCBAC又：任意性），且）與（比較（n1jjBnmnnmmnmllkkljljkikijjiiAA11111111 舉例舉例A A5 二階二階張量張量 二階張量也稱仿射量，它相當(dāng)于一個(gè)方矩陣，二階張量也稱仿射量，它相當(dāng)于一個(gè)方矩陣，在向量空間，類似線性變換算子的作用。如：在向量空間，類似線性變換算子的作用。如： ueeeee

19、viikji ijjikjiuvBvBBjijvB結(jié)果為一矢量，分量為 B的作用如同一個(gè)算子，將空間內(nèi)一個(gè)向量的作用如同一個(gè)算子，將空間內(nèi)一個(gè)向量變換成另一個(gè)向量?；蛘哒f變換成另一個(gè)向量。或者說B能把一個(gè)向量空間能把一個(gè)向量空間映射為另一向量空間。映射為另一向量空間。 baba BBB)(B 是一個(gè)線性算子是一個(gè)線性算子1.1.轉(zhuǎn)置轉(zhuǎn)置定義：定義：jijieeeei jTjiBB TB為反對(duì)稱張量即如果為對(duì)稱張量即如果B B,BB B,BTT jiijjiijBBBBjieeBjiB對(duì)于:性質(zhì)：性質(zhì)：T1TTT)(B)(BB)(BAB)(ABBBAB)(A1TTTTTTT aaabba TBB

20、2.仿射量的逆 IBB1 jijkkiBB1性質(zhì)：性質(zhì)：II1111BAA)(B 1BB)( 11定義：定義：3.對(duì)稱仿射量的主向和主值 對(duì)于仿射量對(duì)于仿射量B，若存在三個(gè)相互垂直的方，若存在三個(gè)相互垂直的方向向i，其映象，其映象 Bi，B，B也相互也相互垂直，則稱該三個(gè)方向?yàn)榇怪?，則稱該三個(gè)方向?yàn)锽的主向。的主向。 定義：定義： 對(duì)稱仿射量對(duì)稱仿射量 T 必存在三個(gè)主向和三個(gè)相應(yīng)必存在三個(gè)主向和三個(gè)相應(yīng)的主值。主值的主值。主值S滿足如下特征方程。滿足如下特征方程。 0IIIIII23SSS 其中，其中，稱為仿射量稱為仿射量T的第一、第的第一、第二、第三不變量二、第三不變量 333231232

21、221131211333113113332232222211211332211IIIIIITTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTTT由特征方程由特征方程 可求解出可求解出三個(gè)主值為：三個(gè)主值為： 0IIIIII23SSSI31)32sin(32I31sin32I31)32sin(32321eSeSeSjijiTqeeqI31III3166,233arcsin31223 其中，其中， 4. 各向同性張量 定義：定義：在坐標(biāo)任意變換時(shí)，各分量保持不變的張量，稱為各向同性張量。 性質(zhì)：性質(zhì)：零階張量零階張量(即標(biāo)量即標(biāo)量)總是各向同性的。總是各向同性的。 一階張量一階張量(即矢量即矢量)總不是

22、各向同性的?？偛皇歉飨蛲缘?。 對(duì)于對(duì)稱二階張量，必存在三個(gè)主向和主值，如對(duì)于對(duì)稱二階張量，必存在三個(gè)主向和主值，如果其三個(gè)主值相等，即果其三個(gè)主值相等，即3，則，則是各向同性的。是各向同性的。 123TT j ijjjjjijieeeeeeeeeejijijiT因?yàn)椋阂驗(yàn)椋簀ijijijiTT因此：因此：4可以證明：四階各向同性張量有可以證明：四階各向同性張量有 kjl il jkilkjilkjiAT 是各向同性的是各向同性的A A6 張量分析張量分析一一 .梯度、散度、旋度梯度、散度、旋度力學(xué)中：力學(xué)中：幾何方程與位移場(chǎng)的梯度有關(guān)幾何方程與位移場(chǎng)的梯度有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)量與位移場(chǎng)的旋度有關(guān)轉(zhuǎn)動(dòng)量與

23、位移場(chǎng)的旋度有關(guān)平衡方程與應(yīng)力場(chǎng)的散度有關(guān)平衡方程與應(yīng)力場(chǎng)的散度有關(guān)1、哈密頓、哈密頓(Hamilton)算子算子(梯度算子梯度算子) 梯度、散度、旋度均涉及到梯度、散度、旋度均涉及到Hamilton算子算子,可以表可以表示為示為:iixiiee 可以證明可以證明, Hamilton算子具有張量的屬性算子具有張量的屬性,相當(dāng)相當(dāng)于一階張量。于一階張量。2、梯度、梯度 1標(biāo)量場(chǎng)標(biāo)量場(chǎng) iei321gradxxx,),( 為一階張量矢量為一階張量矢量 2張量場(chǎng)張量場(chǎng) jieeijA A（1）左梯度）左梯度kjiijkkjjkiiAAeeeeee,A （2）右梯度）右梯度高一階的張量場(chǎng) ikjijk

24、ikjjkiAAeeeeee,A AA 一般3、散度、散度 1矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) ueeji jijjuu,divu為一標(biāo)量為一標(biāo)量2張量場(chǎng)張量場(chǎng) （1）左散度）左散度kkkjieeeeejjkijijkjkiAAA,A （2）右散度）右散度kjjikjeeeeeejkjkjkkiijkjkiAAAA,A 4、旋度、旋度 1矢量場(chǎng)矢量場(chǎng) ueeeeeeeeujijik321 jijijikji321uuueuuuzyxcurjiee 2張量場(chǎng)張量場(chǎng) （1）左旋度）左旋度jikrkrkjieeeeeeeeej,rkikrk,ijrjir jik,ijkjiAeAeeAA A（2）右旋度）右旋度jiij

25、rjikjeeeeeeeeek,rijrkk,rji rkk,ijr ikkjiAeAeAeA AAA 一般二二. 高斯高斯Gauss公式公式SipjkVipjkdsnTdvT.,.式中，式中，S S是空間體積的封閉邊界面，是空間體積的封閉邊界面，n ni i為邊為邊界面界面S S的外法向方向余弦。的外法向方向余弦。 ,SijVijdsnAdvA ,SiVidsndv SVdsdvn ,SjjVjjdsnAdvA SVdsdvAnA討論：討論：1、標(biāo)量場(chǎng)、標(biāo)量場(chǎng)2、矢量場(chǎng)、矢量場(chǎng)推廣到任意階張量的情形：推廣到任意階張量的情形： ,SlkjiVlkjidsnAdvA其不變性記法為其不變性記法為

26、: : SVdsdvAnA稱為廣義高斯公式，或稱散度定理。稱為廣義高斯公式，或稱散度定理。 3 ,SikjiVikjidsnAdvAA A7 曲線坐標(biāo)中的曲線坐標(biāo)中的張量分析張量分析1、曲線坐標(biāo)、曲線坐標(biāo) 1x3x2xop1x2x3x3gr2g1g坐標(biāo)變換：坐標(biāo)變換：),(321iixxxfx 逆變換：逆變換：),(321iixxxgx 上述變換一一對(duì)應(yīng)的充要條件是：上述變換一一對(duì)應(yīng)的充要條件是：* fi，gi 為單值連續(xù)可微函數(shù)為單值連續(xù)可微函數(shù)*在域內(nèi)任意點(diǎn)處：在域內(nèi)任意點(diǎn)處：0 xxJji11 JJxxxxxxxxjrrijrrij i?0 xxJ0Jii1 ,有當(dāng)可以調(diào)整可以調(diào)整 的次

27、序，使的次序，使J0 ，稱為正常容許變換，稱為正常容許變換 i滿足以上二個(gè)條件，稱為容許變換滿足以上二個(gè)條件，稱為容許變換因?yàn)橐驗(yàn)?、局部基矢量、局部基矢量 在笛卡兒坐標(biāo)系，空間任意向量在笛卡兒坐標(biāo)系，空間任意向量(張量張量)都可以都可以在基上分解。這種做法可進(jìn)行兩種不同的解釋：在基上分解。這種做法可進(jìn)行兩種不同的解釋： 1. 1. 固定在原點(diǎn)固定在原點(diǎn)ie2. 2. 在每個(gè)考察點(diǎn)上在每個(gè)考察點(diǎn)上此處此處 僅表明方向的作用僅表明方向的作用在曲線坐標(biāo)系，我們采用第二種做法在曲線坐標(biāo)系，我們采用第二種做法ieie定義定義：切向量：切向量 iiieergiiiiixx)(xxx 作為該點(diǎn)的局部基，也

28、稱作為該點(diǎn)的局部基，也稱自然基自然基為書寫方便，曲線坐標(biāo)也不帶撇為書寫方便，曲線坐標(biāo)也不帶撇一般：一般： 不是單位矢量，大小和方向隨考察點(diǎn)而變不是單位矢量，大小和方向隨考察點(diǎn)而變ig定義：定義：)(jijig jijieegg類比1x3x2xop1x2x3x3gr2g1g對(duì)于正交曲線坐標(biāo)系對(duì)于正交曲線坐標(biāo)系 332211jig000g000ggjig稱為度量張量稱為度量張量例例1 求圓柱坐標(biāo)系的自然基和度量張量。求圓柱坐標(biāo)系的自然基和度量張量。 cosrx sinry zz 解：解：33212211321ergeergeergeeer zrrrzrrcossinsincossincos 100

29、0r00012jig例例2 球球坐標(biāo)系坐標(biāo)系),(r21332123211321eergeeergeeergeeercossinsinsinsinsincoscoscoscossinsincossincossinsincossinrrrrrrrrr 222sin0000001rrjigcossinsincossinrzryrx 笛卡兒坐標(biāo)系中關(guān)于張量的定義和張量的運(yùn)笛卡兒坐標(biāo)系中關(guān)于張量的定義和張量的運(yùn)算等，可以推廣到曲線坐標(biāo)系，如：算等，可以推廣到曲線坐標(biāo)系，如： kjigggkjiA A這時(shí)的基矢量這時(shí)的基矢量 及變換系數(shù)及變換系數(shù) 是空間點(diǎn)位置的函是空間點(diǎn)位置的函數(shù)數(shù)i iig自然基矢量

30、自然基矢量 量綱為量綱為1的單位矢量的單位矢量iiggi iiig1g1e 對(duì)于正交曲線坐標(biāo)對(duì)于正交曲線坐標(biāo)ijjiee 這樣定義的局部標(biāo)架與笛卡兒直角標(biāo)架相當(dāng)，稱這樣定義的局部標(biāo)架與笛卡兒直角標(biāo)架相當(dāng)，稱這種正交單位標(biāo)架為這種正交單位標(biāo)架為物理標(biāo)架物理標(biāo)架，或稱，或稱物理基物理基。 例例1 圓柱坐標(biāo)系的物理基為圓柱坐標(biāo)系的物理基為 321321eeeggg10000r1eee321cossinsincos例例2 球坐標(biāo)系的物理基為球坐標(biāo)系的物理基為 321321eeeggg0r1r1eee321cossinsinsincoscoscoscossinsincossinsin3、張量對(duì)曲線坐標(biāo)的

31、導(dǎo)數(shù)、張量對(duì)曲線坐標(biāo)的導(dǎo)數(shù) (1) (1) 曲線坐標(biāo)系的曲線坐標(biāo)系的Hamilton算子算子 以標(biāo)量場(chǎng)以標(biāo)量場(chǎng) 為對(duì)象（在曲線坐標(biāo)中）為對(duì)象（在曲線坐標(biāo)中）的長(zhǎng)度為沿為單位矢量SSSss) ( iiegrrSiiiiiigsxsxsxxs又：Sei1i iigsx類似直角坐標(biāo)，該表達(dá)式具有不變性另：另：sxxsii)( 1Seiii ixg）式，得：和（比較 Ssiiiii ixgee1iiiiiixg1e 而于是稱為稱為形式導(dǎo)數(shù)形式導(dǎo)數(shù) i(2) 克里斯多弗克里斯多弗（Christoffel）符號(hào)符號(hào) 物理基物理基 隨位置點(diǎn)而變化隨位置點(diǎn)而變化, ,涉及對(duì)它的導(dǎo)數(shù)涉及對(duì)它的導(dǎo)數(shù) ie 定義：

32、定義：kkjifdjiee 為為 在物理基上的分解系數(shù)，稱為在物理基上的分解系數(shù)，稱為克里斯多弗克里斯多弗符號(hào)符號(hào)。 kjijie kjjkjkjgggggee)1(11)1(1jjiijjkki ikkjjii iikjigxxgggggxgjgi jkg)( )(agkkkj,kiijjijigggggg)( )(bgiiik,ijjkkjkjgggggg)( )(cgjjji,jkkiikikgggggg注意到：注意到：jkjikiggggrgrgrgikki2iik2kiixxxxx ; )(21)()()(,kijjkiijkigggacbkjgg? kjggi涉及涉及代回后，可得：

33、代回后，可得： kj)()(,gg1xgggg21ggg1jjijjkjijikikjkkjji ikji 若干性質(zhì)：若干性質(zhì)：*kjikji證明：證明：kjkjee 0eeeeeejkikjijkikjikji )(0kkikjikji共有共有9個(gè)個(gè)在正交曲線坐標(biāo)系中，當(dāng)在正交曲線坐標(biāo)系中，當(dāng)時(shí)，時(shí)，0gkj*時(shí)，）式，當(dāng)由（kji0kji個(gè)。獨(dú)立但由反對(duì)稱性個(gè)個(gè)分量，剩下不為零的共這樣，612692727kjikjikji,kjggggggggkkjkkjjjkkjkkkkjjkkkjkln121211,）由（)( )()(kj,gg1xgggg21ggg1jjijjkjijikikjkk

34、jji ikji例例1 求圓柱坐標(biāo)系的求圓柱坐標(biāo)系的 kji解：解： 在圓柱坐標(biāo)系，在圓柱坐標(biāo)系， 1, 1332211grgg, 0ln1, 0ln1, 0ln1,1ln1, 0ln1, 0ln1ln1332232333113132233232221121211331311122121gggrggzgrgrggzgggkjggkkjjjkjk(3) 曲線坐標(biāo)系中張量的梯度曲線坐標(biāo)系中張量的梯度 矢量的梯度矢量的梯度 1kjkijijijikjkijijkjijijijjjiijjiivvvvvvvvvvv式中：jijikijieeeeeeeeeeeeev)()(ie仍記為為方便起見，ie 2

35、張量的梯度張量的梯度kjikjirjkrkjikjkjkjikjieeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeeAkjirjkrikrjrikjirkikjrjikjkjiikjikjkjikjiAAAAAAAAAA)(A)()(rjkr ikrjr ikjikjiAAAA其中，推廣到任意階張量的梯度為推廣到任意階張量的梯度為 eeeeeeeeeeeikjikjikjiikjsirjsirkkjrrsikrsrjikjsiskjsi)().(歸納起來，曲線坐標(biāo)系的歸納起來，曲線坐標(biāo)系的Hamilton算子可以寫成：算子可以寫成： iierjskrikjrsrikrsjrikjsikjsi.比較

36、：比較：笛卡兒直角坐標(biāo)系iie iie曲線坐標(biāo)系二者保持形式上一致，但 的運(yùn)算由上式定。ijijijjiivveeeevkjkijijivvvkjikjikjjiiAAkeeeeeeArjkrikrjrikjikjiAAAAiie（4）圓柱坐標(biāo)系張量的導(dǎo)數(shù)公式）圓柱坐標(biāo)系張量的導(dǎo)數(shù)公式 1grg1gzxxrx332211321, , , , 其余均為零r1,r1221212zxg1r1xg1rxg1333322221111,zuur1ur1rruzuur1ruuuuudiv)zr1rgradzrrzrkikiiiiijiii)(2)(1)jizriieeuueeeee)11()1(1)()()

37、 3(2222222121222222zrrrrzrrrkikiiikikiiiiijijijijieeee)1()1()1()(4)rAzAArrArAAzAArrArAAzAArrAAAAAAAArzzzzrzrrzrrrzrrrrjsjskskjsjjkjkjjijkjikjikjizrkkkkjikjieeeeeeeeeeeeA(5) 球坐標(biāo)系張量的導(dǎo)數(shù)公式球坐標(biāo)系張量的導(dǎo)數(shù)公式 sin, , ,rgrg1gxxrx332211321sin11111333322221111rxgrxgrxg其余全為零。,r,r,r1,r1r1,r1332323331313221212cotcotur1ur1urrr12r1er1ere1r22rsin)sin(sin)(u)()sin()()sin )(sinsin)( )(22222222r1r1rrrr13)cotcot(sin)cotcot(sin)cot(sin)(AAAA2r1Ar1Ar1AreAAAA2r1Ar1Ar1rAeAAAA2r1Ar1Ar1Are4rrrrrrrrrrrrrrrA