《高等數(shù)學(xué)：第十章 曲線積分與曲面積分》由會員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第十章 曲線積分與曲面積分（188頁珍藏版）》請在裝配圖網(wǎng)上搜索。

1、第十章第十章 曲線積分與曲面積分曲線積分與曲面積分第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分第二節(jié)第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分第三節(jié)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用習(xí)題課習(xí)題課 一一第四節(jié)第四節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分習(xí)題課習(xí)題課 二二第五節(jié)第五節(jié) 對坐標(biāo)的曲面積分對坐標(biāo)的曲面積分第七節(jié)第七節(jié) 斯托克斯公式與旋度斯托克斯公式與旋度第六節(jié)第六節(jié) 高斯公式與散度高斯公式與散度吳新民吳新民第一節(jié)第一節(jié) 對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分一一 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)二二 對弧長的曲線積分的計算與應(yīng)用對弧長的曲線積分的計算與應(yīng)用吳新民吳新

2、民一一 對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在平面所假設(shè)曲線形細(xì)長構(gòu)件在平面所占占弧段為弧段為AB , 其線密度為其線密度為( , ),x y “大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限” (,)kkks 可得可得 nk 10lim M為計算此構(gòu)件的質(zhì)量為計算此構(gòu)件的質(zhì)量, ,(,)kk 1.1.引例引例: 曲線形構(gòu)件的質(zhì)量曲線形構(gòu)件的質(zhì)量采用采用A0M 1M2M1kM kM1nM nM Bks 吳新民吳新民2. .定義定義設(shè)設(shè)L 是平面中一條有限長的光滑曲線是平面中一條有限長的光滑曲線,是定義是定義( , )f x y若將若將 L的任

3、意分割成的任意分割成n個小弧段個小弧段在在 L上的一個有界函數(shù)上的一個有界函數(shù), (1),ks kn 同時用同時用ks 表示第表示第k個小弧段的弧長，個小弧段的弧長，在在ks 上任取一點上任取一點(,),kk 作和式作和式1(,),nkkkkfs 記記1max,kk ns 如果當(dāng)如果當(dāng)0 時，時， 對對L的無論怎樣的劃分，的無論怎樣的劃分，點點(,)kk 在在ks 上無論怎樣的取法，上無論怎樣的取法， 和式都有同一極限，和式都有同一極限，則稱則稱( , )f x y在在L上是上是可積可積的，的， 并稱此極限為并稱此極限為( , )f x y在在L上上對弧長的曲線積分對弧長的曲線積分， 或稱為或

4、稱為第一類曲線積分第一類曲線積分， 記作記作吳新民吳新民( , )d .Lf x ys 即即01( , )dlim(,).nkkkkLf x ysfs 其中其中( , )f x y稱為被積函數(shù)，稱為被積函數(shù)， L稱為積分曲線稱為積分曲線,稱為弧長稱為弧長ds元素元素.可以證明，可以證明， 如果如果( , )f x y在光滑曲線段在光滑曲線段L上連續(xù)，上連續(xù)，則則( , )f x y在在L上對弧長的曲線積分一定存在上對弧長的曲線積分一定存在.根據(jù)定義根據(jù)定義,如果線密度函數(shù)如果線密度函數(shù)( , )x y 在光滑曲線段在光滑曲線段L上連續(xù)時，上連續(xù)時， 則則L的質(zhì)量的質(zhì)量M可以表示為可以表示為(

5、, )d .Lx ys 吳新民吳新民性質(zhì)性質(zhì)(1) 設(shè)設(shè)ba,為常數(shù)，則為常數(shù)，則( , )( , )dLaf x ybg x ys ( , )dLaf x ys ( , )dLb g x ys (2) 設(shè)設(shè),21LLL 則則( , )dLf x ys 1( , )dLf x ys 2( , )dLf x ys 如果如果L是分段光滑的是分段光滑的, 我們規(guī)定函數(shù)在我們規(guī)定函數(shù)在L上的對弧長上的對弧長的曲線積分的曲線積分等于函數(shù)在各光滑曲線段上對弧長的曲線等于函數(shù)在各光滑曲線段上對弧長的曲線積分的和積分的和.吳新民吳新民類似可以將定義推廣到三元函數(shù)類似可以將定義推廣到三元函數(shù)),(zyxf在空間

6、在空間曲線曲線 上對弧長的曲線積分上對弧長的曲線積分( , , )df x y zs 0lim nk 1kkkksf ).,( ( , )d .Lf x ys 注意注意函數(shù)函數(shù)( , )f x y在閉曲線在閉曲線L上對弧長的曲線積上對弧長的曲線積分記為分記為吳新民吳新民二二 對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算22( , )d ( ),( )( )( )dLf x ysfttttt 定理定理:),(yxf設(shè)設(shè)且且)()( tty上的連續(xù)函數(shù)上的連續(xù)函數(shù),證證:是定義在光滑曲線弧是定義在光滑曲線弧則曲線積分則曲線積分),(:txL ,d),(存在存在 Lsyxf根據(jù)定義根據(jù)定義 kknk

7、ksf ),(lim10 ( , )dLf x ys 122( )( )dkktktsttt 設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為設(shè)各分點對應(yīng)參數(shù)為),1 ,0(nktk 吳新民吳新民取取(,)( (),(),kkkk ,)()(22kkkt nk 10lim ( , )dLf x ys 22()()kkkt )(, )(kkf 連續(xù)連續(xù)注意注意)()(22tt 則則,1kkktt 22 ( ),( )( )( )dfttttt 吳新民吳新民說明說明:, 0, 0)1( kkts因此積分限必須滿足因此積分限必須滿足! (2) 注意到注意到 22d(d )(d )sxy22( )( )dttt因此上述計算公式相當(dāng)

8、于因此上述計算公式相當(dāng)于“換元法換元法”. 如果曲線如果曲線 L 的方程為的方程為),()(bxaxy 則有則有( , )dLf x ys 21( )dxx ba ( ,( )f xx 如果方程為極坐標(biāo)形式如果方程為極坐標(biāo)形式:),()(: L則則L的參數(shù)式方程為的參數(shù)式方程為( )cos ,( )sin ,xy 因此因此吳新民吳新民推廣推廣: 設(shè)空間曲線弧設(shè)空間曲線弧)()(, )(),(: ttztytx則則( , , )df x y zs 222( )( )( ) dtttt ( , )dLf x ys 22( )( )d ( ( )cos,( )sin)f 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為(

9、( ),( ),( )fttt吳新民吳新民例例1. 計算計算d ,Lx s 其中其中 L 是拋物線是拋物線2yx 與點與點 B (1,1) 之間的一段弧之間的一段弧 . 解解:)10(:2 xxyLdLx s 10 21(2 ) dxx12014dxxx 321201(14)12x)155(121 上點上點 O (0,0)x吳新民吳新民xyo例例2 設(shè)設(shè)C 是由極坐標(biāo)系下曲線是由極坐標(biāo)系下曲線,a 0 及及4 所圍區(qū)域的邊界所圍區(qū)域的邊界, 求求22dxyCIes 2)24( aea 解解 分段積分分段積分0a04 022a I10dx 22sina 22cosa d 11dx a 0 0y

10、4 yx cossinxaya xeae2xe吳新民吳新民例例3解解I 222220sin cossincosdabtt atbt t 2022)(2 baab.)(3)(22bababaab 22(sin )( cos ) datbtt02 tbab2222sin)( 2222d()sin)babt求求d ,LIxy s 其中其中L 為橢圓為橢圓cos ,sinxatybt 第一象限第一象限.cossinat bt 吳新民吳新民例例4解解I . 0 例例5解解.21222kaka ka sincos2 I21() d2yy 2 222222sincosdaak02 求求d ,LIy s 其中

11、其中L為為24yx 介于介于(1, 2),(1,2) 之之間一段間一段.oxy(1, 2) (1,2)24xy y求求d ,Ixyz s 其中其中:cos ,sin ,xRyRzk(02 ).吳新民吳新民d ds 例例6. 計算計算222()d ,Ixyzs 其中其中 為球面為球面22yx 解解: , 11)(:24122121 zxyx: 20 2)sin2( 2)cos2( 2)sin2( 2092d2I 2d cos221 z. 1的交線的交線與平面與平面 zx292 z化為參數(shù)方程化為參數(shù)方程 21cos2 x sin2 y則則18 吳新民吳新民例例7. 計算計算2d ,xs 其中其中

12、 為球面為球面 2222azyx 被平面被平面 所截的圓周所截的圓周. 0 zyx解解: 由對稱性可知由對稱性可知2dxs 22221d()d3xsxyzs21d3as aa 2312 332a 2dys 2dzs 吳新民吳新民xoyz(1)( , ),x yL 當(dāng)表示的線密度時當(dāng)表示的線密度時( , )d ;LMx ys ( , )d .LSf x ys L( , )x y( , )f x yS對弧長的曲線積分的應(yīng)用對弧長的曲線積分的應(yīng)用(2) 當(dāng)當(dāng)( , )1f x y 時，時，L 的弧長的弧長dLs (3) 如果如果( , )f x y表示立于曲線表示立于曲線L的柱面在點的柱面在點(x,

13、 y)的高，的高， 則該柱面則該柱面的面積的面積吳新民吳新民(4),xy曲線弧對 軸及 軸的轉(zhuǎn)動慣量曲線弧對 軸及 軸的轉(zhuǎn)動慣量22d ,d .xyLLIysIxs(5) 曲線弧的重心坐標(biāo)曲線弧的重心坐標(biāo)dd,.ddLLLLxsysxyss吳新民吳新民例例8. 計算半徑為計算半徑為 R ,中心角為中心角為2的圓弧的圓弧 L 對于它的對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量I (設(shè)線密度設(shè)線密度 = 1). 解解:R xyoL2dLIys d)cos()sin(sin2222 RRR dsin23 R 0342sin22 R)cossin(3 R則則 )(sincos: RyRxL建立坐標(biāo)系如圖

14、建立坐標(biāo)系如圖,吳新民吳新民第二節(jié)第二節(jié) 對坐標(biāo)的曲線積分對坐標(biāo)的曲線積分一一 對坐標(biāo)的曲線積分的概念對坐標(biāo)的曲線積分的概念二二 對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)三三 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法對坐標(biāo)的曲線積分的計算法四四 兩類曲線積分間的關(guān)系兩類曲線積分間的關(guān)系吳新民吳新民一一 對坐標(biāo)的曲線積分的概念對坐標(biāo)的曲線積分的概念oxyABL1 nMiM1 iM2M1Mix iy 1 實例實例 變力沿曲線所作的功變力沿曲線所作的功,:BALjyxQiyxPyxF),(),(),( 常力所作的功常力所作的功大化小大化小.),(,),(,1111110BMyxMyxMMAnnnn .)()(1

15、jyixMMiiii .ABFW 方法：大化小，常代變，近似和，求極限。方法：大化小，常代變，近似和，求極限。吳新民吳新民近似和近似和. ),(),(1 niiiiiiiyQxP 取極限取極限. ),(),(lim10 niiiiiiiyQxPW 近似值精確值(,)(,)(,) ,iiiiiiFPiQj (,)(,).iiiiiiiWPxQy 即即 niiWW1oxyABL1 nMiM1 iM2M1M),(iiF ix iy 1(,),iiiiMM 取取1(,),iiiiiWFMM 常代變常代變吳新民吳新民2 定義定義. 設(shè)設(shè) L 為為xoy 平面內(nèi)從平面內(nèi)從 A 到到B 的一條有向光的一條有

16、向光滑弧段滑弧段, 在在L 上定義了一個有界向量函數(shù)上定義了一個有界向量函數(shù)( , )( , )( , )F x yP x y iQ x y j 如果用分點如果用分點000(,),(,),(,)kkknnnAMxyMxyMxyB將將L 任意分成任意分成n 段有向小曲線弧段有向小曲線弧1(1,2, ),kkMMkn 在在1kkMM 任取一點任取一點(,),kk 作和式作和式1(,)nkkkkFs 1 (,)(,)nkkkkkkkPxQy 其中其中111()() ,kkkkkkkkksMMx iy jxxiyyj 若當(dāng)各小弧段的弧長的最大值若當(dāng)各小弧段的弧長的最大值趨向于零時，趨向于零時，對對L的

17、無論的無論吳新民吳新民怎樣的分法，怎樣的分法，點點(,)kk 在在1kkMM 上無論怎樣取法，上無論怎樣取法，和式有同一極限，和式有同一極限，則稱此極限為向量函數(shù)則稱此極限為向量函數(shù)( , )F x y 沿有沿有向曲線向曲線L從從A到到B對對坐標(biāo)的曲線積分坐標(biāo)的曲線積分(或或第二類曲線積分第二類曲線積分),記作記作( , ) dLF x ys 或或( , )d( , )d ,LP x yxQ x yy 即即( , ) dLF x ys 01lim(,)nkkkFl 或或( , )d( , )d ,LP x yxQ x yy 01lim (,)(,).nkkkkkkkPxQy L稱為稱為積分路徑

18、積分路徑，其中其中ds ddxiyj稱為稱為有向弧元素有向弧元素，吳新民吳新民( , ),( , )P x y Q x y為為被積函數(shù)被積函數(shù).根據(jù)定義若根據(jù)定義若( , )0,Q x y 則則( , ) dLF x ys ( , )dLP x yx 01lim(,)nkkkkPx 通常將通常將( , )dLP x yx 稱為稱為( , )P x y對坐標(biāo)對坐標(biāo)x 的曲線積分的曲線積分， 同同樣將樣將( , )dLQ x yy 稱為稱為( , )Q x y對坐標(biāo)對坐標(biāo)y的曲線積分的曲線積分.可以證明，可以證明， 如果如果( , ),( , )P x y Q x y在光滑曲線弧段在光滑曲線弧段L

19、上上連續(xù)連續(xù),則曲線積分則曲線積分( , )d ,( , )dLLP x yxQ x yy一定存在一定存在.規(guī)定：規(guī)定： 如果如果L是分段光滑的，是分段光滑的， 則在則在L上的對坐標(biāo)的曲線上的對坐標(biāo)的曲線積分積分等于各光滑弧段上對坐標(biāo)的曲線積分的和等于各光滑弧段上對坐標(biāo)的曲線積分的和.吳新民吳新民二二 對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)對坐標(biāo)的曲線積分的性質(zhì)1ddLP xQ y ddLP xQ y (1) 線性性質(zhì)線性性質(zhì)12( , )( , )dLP x yP x yx 12( , )d( , )d ;LLP x yxP x yx12( , )( , )dLQ x yQx yy 12( , )d( ,

20、)d .LLQ x yyQx yy其中其中,為常數(shù)為常數(shù).(2) 對積分弧段的可加性：對積分弧段的可加性：光滑曲線弧光滑曲線弧L1,L2依次連成，依次連成，設(shè)有向光滑曲線弧設(shè)有向光滑曲線弧L是由是由則則2dd .LP xQ y 吳新民吳新民( , )d( , )dLP x yxQ x yy (3) 有向性：有向性：設(shè)設(shè)L是有向曲線弧，是有向曲線弧，L 是與是與L反向的有反向的有向曲線弧向曲線弧,則則( , )d( , )d .LP x yxQ x yy 事實上，事實上， 根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分定義，根據(jù)對坐標(biāo)的曲線積分定義， 則將則將L分成分成n個有向小弧段個有向小弧段1,kkMM 相應(yīng)的將相應(yīng)

21、的將L 分成分成n個有向小弧段個有向小弧段1,kkM M 因此在和式中注意到因此在和式中注意到11kkkkMMM M 可得對坐標(biāo)的曲線積分的有向性可得對坐標(biāo)的曲線積分的有向性.吳新民吳新民三三 對坐標(biāo)的曲線積分的計算法對坐標(biāo)的曲線積分的計算法定理定理:),(, ),(yxQyxP設(shè)設(shè)在有向光滑弧在有向光滑弧 L 上有定上有定L 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為 )()(tytx ,: t則曲線則曲線L )(),(ttP)(t )(t dt)(),(ttQ 義且連續(xù)義且連續(xù),證明證明:( , )dLP x yx ( ),( ) dPttt )(t 積分存在積分存在, ( , )d( , )dP x yx

22、Q x yy 且有且有下面先證下面先證吳新民吳新民對應(yīng)參數(shù)對應(yīng)參數(shù)設(shè)分點設(shè)分點根據(jù)定義根據(jù)定義ix,it(,)( (),(),iiii 取取由于由于1 iiixxx)()(1 iitt iit )( ( , )dLP x yx ( ),( ) dPttt niiiP10)(, )(lim iit )( ( ) t ( , )dLP x yx niiiixP10),(lim 設(shè)設(shè), (0)it所以所以如果如果, 則則dLP x ( , )dLP x yx 吳新民吳新民同理可證同理可證( , )dLQ x yy ( ),( ) dQttt )(t ( ),( ) dPttt )(t ( ),( )

23、 dPttt )(t 特別是特別是, 如果如果 L 的方程為的方程為,:),(baxxy 則則 xxxQxxPbad )(,)(, )(x ( , )d( , )dLP x yxQ x yy 吳新民吳新民對空間光滑曲線弧對空間光滑曲線弧 :有有( , , )d( , , )d( , , )dP x y zxQ x y zyR x y zz )(t )(t )(t )(, )(),(tttP ( ),( ),( ),xtytzt ( ),( ),( )Qttt ( ),( ),( )Rttt dt以上內(nèi)容可以推廣到在空間曲線以上內(nèi)容可以推廣到在空間曲線上的曲線積分，上的曲線積分，若若 為空間曲線

24、弧為空間曲線弧 , ( , , )( ( , , ),( , , ),( , , )F x y zP x y zQ x y zR x y z d( , , )d( , , )d( , , )d ,FsP x y zxQ x y zyR x y zz d(d ,d ,d )sxyz 例如例如:,t記記吳新民吳新民例例1. 計算計算d ,Lxy x 其中其中L 為沿拋物線為沿拋物線xy 2解法解法1OBAOL :AO:OBdLxy x 01 31202dxx dLxy x xyxy 解法解法2:L1412dyy 從點從點10 的一段的一段. )1,1()1,1(BA到到 )1 , 1(B)1, 1

25、( Aoyx,yx :10 x,yx :01xdAOxy x dOBxy x ()xx dxxx dx45 2,xy :11y 11 2y y2() dyy 45 取取 x 為參數(shù)為參數(shù), 則則取取 y 為參數(shù)為參數(shù), 則則吳新民吳新民例例2. 計算計算其中其中L為為0,y yBAoaa x(1) 半徑為半徑為 a 圓心在原點的圓心在原點的 上半圓周上半圓周, 方向為逆時針方向方向為逆時針方向;(2) 從點從點 A ( a , 0 )沿沿 x 軸到點軸到點 B ( a , 0 ). 解解:2d,Lyx cos ,sin ,xat yat2dLyx 23302sindat t (2)2dLyx

26、0 (sin )datt 334a aa 0 則則則則22sinat:0t (1) 取取L的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為取取 L 的方程為的方程為:,x aa 0dx吳新民吳新民yxo例例3. 計算計算22dd ,Lxy xxy 其中其中L為為(1) 拋物線拋物線 ;10:,:2 xxyL(2) 拋物線拋物線 ;10:,:2 yyxL(3) 有向折線有向折線 .:ABOAL 解解:22xx 1304dxx (2)2(2y y1405dyy (3) yxxyxOAdd22 102d)002(xxx1 2yx 2xy 10( 2)x 10 4)y yxxyxABdd22 10d)102(yy1 1 (1

27、,0)A(0,1)B(1)原式原式2x dx1原式原式dy2y 1 原式原式吳新民吳新民例例4. 設(shè)在力場設(shè)在力場作用下作用下, 質(zhì)點由質(zhì)點由沿沿 移動到移動到(,0, 2),B Rk )0, 0,(RA.)2(AB(1)dddy xx yz z 20 (2),0,xR yztdddABy xx yz z 20k 試求力場對質(zhì)點所作的功試求力場對質(zhì)點所作的功.;,sin,cos)1(tkztRytRx )(222Rk 222k 其中其中 為為),(zxyF dWFs W解解:(sincos)RtRtktdtcosRt (sin )Rt k 2220()dk tRt 的參數(shù)方程為的參數(shù)方程為:0

28、2tk dt t吳新民吳新民222d,zxyz :cos ,xat 20 t20 例例5 計算曲線積分計算曲線積分其中其中相應(yīng)于相應(yīng)于的一段，依的一段，依t解解btztay ,sin增長的增長的方向。方向。222d,zxyz aba 2arctan21 22 21ab t db t吳新民吳新民例例6. 求求()d()d()d ,Izyxxzyxyz 其中其中,2122 zyxyx從從 z 軸正向看為順時針方向軸正向看為順時針方向.解解:,sin,costytx 2cossinztt02I ( 22cossin )tt (cossin )tt220(14cos)dtt (2cos ) t 2 o

29、xyz 取取 的參數(shù)方程的參數(shù)方程( :20)t ( sin ) t cost(cossin )tt dt吳新民吳新民四四 兩類曲線積分的關(guān)系兩類曲線積分的關(guān)系在曲線積分在曲線積分( , ) d( , )d( , )dLLF x ysP x yxQ x yy 中中,),(),(),(jyxQiyxPyxF 因此因此ddd,sxiyj 22|d |(d )(d )d ,sxys 其中其中ds為弧微分，為弧微分，記記0t為以為以ds 同向的單位向量，同向的單位向量，則則0d|d |sts ddddxyijss另一方面，另一方面，設(shè)有向光滑弧設(shè)有向光滑弧 L 以弧長為參數(shù)以弧長為參數(shù) 的參數(shù)的參數(shù)方

30、方程為程為),0()(, )(lssyysxx 則則L切向量為切向量為吳新民吳新民ddddxyijss 因此因此0t是這樣一個有向曲線是這樣一個有向曲線L的正向切向的單位的正向切向的單位向量，向量，記記,coscos0jit 則則 cos,cos為為L的正向切向的正向切向方向余弦，方向余弦， 所以所以( , )d( , )dLP x yxQ x yy ( , ) dLF x ys 0( , )dLF x yts ( ( , )cos( , )cos)dLP x yQ x ys 即有兩類曲線積分的關(guān)系：即有兩類曲線積分的關(guān)系：( , )d( , )dLP x yxQ x yy ( ( , )co

31、s( , )cos)dLP x yQ x ys 吳新民吳新民同理對于空間曲線的兩類曲線積分的關(guān)系：同理對于空間曲線的兩類曲線積分的關(guān)系：( , , )d( , , )d( , , )dP x y zxQ x y zyR x y zz (coscoscos )dPQRs 其中其中 cos,cos,cos為空間曲線為空間曲線L的正向切向的方向的正向切向的方向余弦。余弦。如果記如果記,FPiQjRk ddddsxiyjzk kjit coscoscos0 上式又可表示為上式又可表示為0ddFsF ts dtF s 為為F在在的正向切向的投影）的正向切向的投影）tF(吳新民吳新民二者夾角為二者夾角為

32、例例7. 設(shè)設(shè),max22QPM 曲線段曲線段 L 的長度為的長度為s, 證明證明),(, ),(yxQyxP續(xù)續(xù),ddLP xQ yM s 證證:ddLP xQ y coscosdLPQs 設(shè)設(shè)sM coscosdLPQs 說明說明: 上述證法可推廣到空間上第二類曲線積分上述證法可推廣到空間上第二類曲線積分.在在L上連上連 )cos,(cos, ),( tQPA|dLA ts |cos|dLAs 吳新民吳新民例例8. .將積分將積分( , )d( , )dLP x yxQ x yy 化為對弧長的積化為對弧長的積分分,0222 xyx).0 , 2()0 , 0(BO到到從從解：解：oyxB,

33、22xxy 21dd2xyxxx ds 21dyx 21d2xxx dcosdxs ,22xx dcosdys x 1( , )d( , )dLP x yxQ x yy ( , )( , )dLP x yQ x ys 22xx )1(x 其中其中L 沿上半圓周沿上半圓周吳新民吳新民第三節(jié)第三節(jié) 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用一一 格林公式格林公式二二 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件吳新民吳新民一一 格林公式格林公式設(shè)設(shè)D為平面區(qū)域為平面區(qū)域, 部分部分都屬于都屬于D, 通區(qū)域通區(qū)域. .DD單連通區(qū)域單連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域復(fù)連通區(qū)域區(qū)域區(qū)域D的正向邊界的正向邊界：

34、內(nèi)邊界順時針。外邊界逆時針內(nèi)邊界順時針。外邊界逆時針如果如果D內(nèi)任一簡單閉曲線所圍成的內(nèi)任一簡單閉曲線所圍成的則稱則稱D為平面為平面單連通區(qū)域單連通區(qū)域, 否則稱為否則稱為復(fù)連復(fù)連簡單曲線簡單曲線即為除曲線的兩端點外無重點的曲線即為除曲線的兩端點外無重點的曲線. .吳新民吳新民定理定理1 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成圍成,則有則有, ),(yxP),(yxQddd dLDQPP xQ yx yxy( 格林公式格林公式 )函數(shù)函數(shù)在在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),證明證明:1) 若若D 既是既是 Y - 型區(qū)域型區(qū)域 , dycyxyD)

35、()(:21 yxoD則則d dDQx yx 21( )( )dyyQxx ddcy 2( ),)ddcQyyy 1( ),)ddcQyyy ABCD1( )xy 2( )xy cd吳新民吳新民所以所以d dDQx yx ( , )dLQ x yy 同理可證如果同理可證如果D是是X型區(qū)域，型區(qū)域，d dDPx yy ( , )dLP x yx 因此，如果因此，如果D即是即是X型區(qū)域，又是型區(qū)域，又是Y型區(qū)域型區(qū)域 (d dddDLQPx yP xQ yxyyxoDABCD1( )xy 2( )xy cd( , )dLQ x yy AB 1( ), )dcdQyyy 2( ), )ddcQyyy

36、 BC CD DA 吳新民吳新民2) 若若D不滿足以上條件不滿足以上條件,則可通過加輔助線將其分割則可通過加輔助線將其分割為有限個上述形式的區(qū)域為有限個上述形式的區(qū)域 , LABFE1D2DDxyoxyo如圖如圖()d dDQPx yxy ddBAEBP xQ y 1()d dDQPx yxy 2()d dDQPx yxy ddBFABP xQ y BFA AB BA AEB ddLP xQ y 吳新民吳新民推論推論: 正向閉曲線正向閉曲線 L 所圍區(qū)域所圍區(qū)域 D 的面積的面積 A格林公式格林公式d dddDLQPx yP xQ yxy例如例如, 橢圓橢圓 20,sincos: byaxL所

37、圍面積所圍面積1dd2LAx yy x 22201(cossin)d2abab ab 1dd2Lx yy x dLx y dLy x 吳新民吳新民2(22 )d(4 )d ,Lxyyxxxy L. 922 yx( 2)d dDx y 例例1 計算曲線積分計算曲線積分其中其中為正向圓周為正向圓周解解 取取,22yxyP xxQ42 yPxQ)42( x)22( x2 xyoDL2(22 )d(4 )d ,Lxyyxxxy 18 吳新民吳新民22()d(2)d ,Lxyxxy L)1 , 0(),0 , 1(),0 , 0(BAO(12 )d dDyx y 例例2 計算曲線積分計算曲線積分其中其中

38、為以點為以點為頂點的三角形的正向為頂點的三角形的正向解解邊界。邊界。yxODL取取,22yxP 2 xQ yPxQ1y2 22()d(2)dLxyxxy 1100d(12 )dxxyy 61 吳新民吳新民22()d()d,Lxyxxyyxy L.222ayx 例例3 計算曲線積分計算曲線積分其中其中為逆時針方向的圓周為逆時針方向的圓周 解解21()d()dLxyxxyya xyoDL,22yxyx 22yxxy 在在222ayx 不滿足格林公式的條件，不滿足格林公式的條件，但在但在L上，上，222ayx 所以所以22()d()dLxyxxyyxy 212d dDx ya 2 吳新民吳新民(si

39、n)d(cos)dxxLeymyxeymy L)1 , 1( A2xy ).1 , 1(B例例4 計算積分計算積分其中其中為由點為由點沿曲線沿曲線到點到點解解xyO( 1,1)A (1,1)BL1L不是一條封閉曲線，不是一條封閉曲線，L格林公式不能直接應(yīng)用，格林公式不能直接應(yīng)用， 添線添線,1BAL 則則(sin)d(cos)dxxLeymyxeymy D1L L 1L (coscos)d dxxDeyeymx y 11(sin1)dxemx 2111ddxxm y mee21sin)(1 321sin)(1mee 段段吳新民吳新民xyO22( 2)d()dxxLxyexemxy L)0 ,

40、0(O22xxy ).1 , 1(B 例例5 計算曲線積分計算曲線積分其中其中為由點為由點沿曲線沿曲線到點到點L1L2LD解解L格林公式不能直接應(yīng)用，格林公式不能直接應(yīng)用，添添線段線段,1AOL 則則不是一條封閉曲線，不是一條封閉曲線，AB,2BAL 22( 2)d()dxxLxyexemxy 12L LL 1L 2L d dDm x y 010dx 011()demy 4m 1em 吳新民吳新民例例6 計算計算 22dd,Lx yy xxy 其中其中L為一無重點且不過原點為一無重點且不過原點的分段光滑正向閉曲線的分段光滑正向閉曲線.解解: 令令,022時時則當(dāng)則當(dāng) yx22222)(yxxy

41、xQ 設(shè)設(shè) L 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為D,)0 , 0(時時當(dāng)當(dāng)D 由格林公式知由格林公式知22dd0Lx yy xxy ,22yxyP 22yxxQ yP yxoL吳新民吳新民 dsincos2022222 rrr 2 ,)0 , 0(時時當(dāng)當(dāng)D 在在D 內(nèi)作圓周內(nèi)作圓周,:222ryxl 取逆時取逆時針方向針方向,1D, 對區(qū)域?qū)^(qū)域1D應(yīng)用格應(yīng)用格22ddLx yy xxy 22ddlx yy xxy 22ddL lx yy xxy 10d d0Dx y 2222ddddLlx yy xx yy xxyxyL1Dloyx記記 L 和和 l 所圍的區(qū)域為所圍的區(qū)域為林公式林公式 , 得得吳新

42、民吳新民二二 平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件平面上曲線積分與路徑無關(guān)的條件定理定理2 設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有dd0.LP xQ y (3) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 積分積分(4)ddP xQ y ),(yxud ( , )ddu x yP xQ y(1) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyP ddLP xQ y 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價:在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)

43、的全微分的全微分,即即 只與只與L起止點有關(guān)起止點有關(guān). 吳新民吳新民證明證明 (1) (2)設(shè)設(shè)L為為D中任一分段光滑閉曲線中任一分段光滑閉曲線,DD (如圖如圖) ,上上因為在因為在D xQyP 利用格林公式利用格林公式 , 得得()d dDQPx yxy 0 所圍區(qū)域為所圍區(qū)域為DLD ddLP xQ y 吳新民吳新民說明說明:證明證明 (2) (3)設(shè)設(shè)12,LL12ddddLLP xQ yP xQ y1ddLP xQ y 2ddLP xQ y 12ddLLP xQ y 0 AB1L2L2ddLP xQ y 1ddLP xQ y 為為D 內(nèi)任意兩條由內(nèi)任意兩條由A 到到B 的有向分段光

44、滑曲的有向分段光滑曲線線, 則則(根據(jù)條件根據(jù)條件(2) BAyQxPddddABP xQ y 積分與路徑無關(guān)時積分與路徑無關(guān)時, 曲線積分可記為曲線積分可記為吳新民吳新民證明證明 (3) (4)在在D內(nèi)取定點內(nèi)取定點),(00yxA因曲線積分因曲線積分 ),(),(00dd),(yxyxyQxPyxu),(),(yxuyxxuux 則則),(yxP xuxuxx 0lim0lim( , )xPy ),(),(ddyxxyxyQxPdxxxPx ( ,)Pyx 同理可證同理可證yu ),(yxQ 因此有因此有yQxPuddd 和動點和動點B( x, y ),與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),),(yxxC

45、),(yxB),(00yxA定義函數(shù)定義函數(shù) 吳新民吳新民證明證明 (4) (1)設(shè)存在函數(shù)設(shè)存在函數(shù) u ( x , y ) 使得使得yQxPuddd 則則),(),(yxQyuyxPxu P, Q 在在 D 內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù),xyuyxu 22所以所以從而在從而在D內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有xQyP xyuxQyxuyP 22,吳新民吳新民說明說明: 如果在單連通域內(nèi)曲線積分如果在單連通域內(nèi)曲線積分( , )d( , )dLP x yxQ x yy 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān),ddP xQ y 的原函數(shù)的原函數(shù)的計算公式為的計算公式為00( , )(,)( , )( , )d(

46、 , )dx yxyu x yP x yxQ x yy 00( ,)dxxP x yx 0( , )dyyQ x yy 00(, )dyyQ xyy 0( , )dxxP x yx 此時有此時有2211(,)(,)ddxyxyP xQ y ),(),(1122yxuyxu 則在此單連通域內(nèi)則在此單連通域內(nèi),吳新民吳新民xyO43224(54)d(65)dLxxyxx yyy L)0 , 1(A1422 yx).2 , 0(B,56,4542234yyxQxyxP 例例7 計算曲線積分計算曲線積分其中其中為從點為從點沿曲線沿曲線的第一象限部分的第一象限部分解解 因此積分與路徑無關(guān)。因此積分與路徑

47、無關(guān)。到點到點xyQxyP 212ABL43224(54)d(65)dLxxyxx yyy AO OB 0415dxx 240( 5)dyy 33 吳新民吳新民22(1cos)d(sincos)dLyyyyyxyxxxxx LLy2(2, )2(1, )(1cos)d(sincos)dyyyyyxyxxxxx yP 2221(1cos)dxxx 例例8 證明證明:積分積分只與只與的起點和終點有關(guān)的起點和終點有關(guān),而與所取路徑無關(guān)而與所取路徑無關(guān),其中其中不經(jīng)過不經(jīng)過軸。并計算曲線積分軸。并計算曲線積分解解 原式原式xyxyPcos122 xyxyxyQcossin 12232cossinyyy

48、yxxxx,xQ 取路徑取路徑,y :12x吳新民吳新民22()d()d,Lxyxxyyxy L)0 , 1(A14122 yx).0 , 1( ByP ,sin,cos:1tytxL t 1L例例9 計算曲線積分計算曲線積分其中其中為從點為從點沿橢圓沿橢圓的上半部分到點的上半部分到點解解 從從0 0到到一段，一段，22yxyxP 22yxxyQ xyOAB取取原式原式0 (cossin )sin(cossin )cos dttttttt 222222()xyxyxy xQ 吳新民吳新民22d(2 cossin )d(2 cossin )duxyyxxyxxyy).,(yxu u例例10 已知

49、已知求求解法一解法一( , )22(0,0)(2 cos)d(2 cossin )dx yxyyxyxxyyc 02 dxx x )0 ,()0 , 0(xcyxx ),()0 ,(20(2 cossin )dyyxxyyc 22coscosxyyxc吳新民吳新民22d2 cos dsin d2 cos dsin duxy xyx xyx yxy y22=d(coscos )xyyx cos dy x 2dcosyx 2cos dx y 2dcosxy 2d(cos )xy 2d(cos )yx 解法二解法二22coscosuxyyxc吳新民吳新民xyO例例11 驗證驗證22ddyxxyyx

50、在右半平面在右半平面 ( x 0 ) 內(nèi)存在內(nèi)存在原函數(shù)原函數(shù) , 并求出它并求出它. 證證:2222,yxxQyxyP 則則Py 由定理由定理 2 可知存在原函數(shù)可知存在原函數(shù)cyxxyyxyxuyx ),()0 , 1(22dd),( xx1d0)0(arctan xcxycyxyxy 022d)0 ,(x)0, 1(),(yx22222()yxxy (0 )x Qx 令令吳新民吳新民習(xí)題課一習(xí)題課一一一 對弧長的曲線積分的計算對弧長的曲線積分的計算)(),(),(: ttytxLL ),(yxfds )(),(ttf dttt)()(22 :( ),( ),( ),()xtytztt )

51、,(zyxfds )(),(),(tttf dtttt)()()(222 吳新民吳新民例例1 計算下列對弧長的曲線積分計算下列對弧長的曲線積分(1)22()d ,Lxys 其中其中L圓周圓周. 1)1(22 yx解解tytxLsin,cos1: 2 , 0 tL 20)(22yx )cos1(2t ds22( sin )cosdtt t202(1cos )dtt 4 (2)d ,y s 其中其中(sin ),:02 .(1cos ),xa tttyat 解解 20yds)cos1(ta 2222(1cos )sindatat t322202(1cos ) datt 22304sind2tat

52、2323a 吳新民吳新民(3)cos d ,Lyx s xxyL0 ,sin:解解L xycosds 0 xxcossin21cosdx x 122201(1cos) d(1cos)2xx 0 (4)2d ,xs 222:1,.xyzyz解解2221:xyzyz zyyx12222:cos ,sin ,2xt yt 2x ds 20t2cos22211sincoscosd22ttt t 2sin ,2zt 02t 吳新民吳新民(5)2() d ,Lxys 解解其中其中9:22 yxL原式原式22L(2)dxxyys 22()dLxys 9 dLs 54 (6)2d ,xs 2221:0 xyz

53、xyz 解解由對稱性由對稱性2dxs 2dys 2dzs 2dxs 1d3s 23 2221()d3xyzs 吳新民吳新民例例2 求橢圓周求橢圓周 12222 byax的質(zhì)量，已知線密度為的質(zhì)量，已知線密度為. |),(xyyx 解解由對稱性總質(zhì)量為橢圓周的第一象限部分由對稱性總質(zhì)量為橢圓周的第一象限部分質(zhì)量的質(zhì)量的4倍，倍，)20( ,sin,cos:1 ttbytaxL14dLMxy s 204 ttabsincos2222sincosdatbt t 22222202()sindsinabbabtt )(3)(422bababaab 吳新民吳新民例例3求均勻擺線求均勻擺線)0(),cos1

54、(),sin( ttayttax的質(zhì)心。的質(zhì)心。解解 不妨設(shè)不妨設(shè)1 dLMs 02222(1cos )sindatat ta4 dxLMy s 0)cos1(ta 2 sind2tat3162a dyLMx s 0)sin(tta 2 sind2tat3162a MMxy 34a 34aMMyx 吳新民吳新民二二 對坐標(biāo)的曲線積分的計算對坐標(biāo)的曲線積分的計算),(),(:tytxL tL的起點的起點 tL的終點的終點L ),(yxP),(yxQ dxdy )(),(ttP )(),(ttQ )(t ( )dtt )(),(),(:tztytxL tL的起點的起點 tL的終點的終點L ),(z

55、yxP),(zyxQ dxdy),(zyxR dz )(),(),(tttP Q R )(t )(t ( )dtt 吳新民吳新民例例4 計算曲線積分計算曲線積分(1)d ,Ly x 其中其中L逆時針圓周逆時針圓周1)1(22 yx解解tytxLsin,cos1: 20 ttL ydx 20tsin ( sin )dtt (2)2dd ,Lx yyx L從原點從原點)0 , 0(沿曲線沿曲線xysin 到到).0 ,( 解解L x2y dydx 0 xsin2x xcosdx22 吳新民吳新民(3)222222()d()d()d ,Lyzxzxyxyz 其中其中L為球面的一部分為球面的一部分0,

56、 0, 0, 1222 zyxzyx的圍線，其方向從的圍線，其方向從z正向看去是逆時針的。正向看去是逆時針的。xyzo2210 xyz 2210 xzy 2210yzx 解解321LLLL 1L2L3L1L 0sincosztytx20: t2L 0sincosxtzty20: t3L 0sincosytxtz20: t吳新民吳新民1222222()d()d()dLyzxzxyxyz 20 )0(sin2 t)cos0(2t )sin(cos22tt )sin(t tcos0dt3320(sincos)dttt 34 同理同理243L 343L 222222()d()d()dLyzxzxyxy

57、z 4 吳新民吳新民(4)d ,Lx y 其中其中L為由點為由點)1 , 1( 沿曲線沿曲線2xy 到點到點)1 , 1(一段。一段。解解xyo( 1,1) (1,1)dLx y 11x 2 dx x43 (5)2233dd,Ly xx yxy 其中其中L222333xya逆時針方向。逆時針方向。解解33:cos,sin,L xat yat:02 .t 原式原式2230a ta3sin)sincos3(2tta ta3cos 2(3 sincos )dattt4334a 4222303sincosdatt t 吳新民吳新民例例5 橢圓橢圓tbytaxsin,cos 上點上點),(yx處作用處作

58、用力力,F其方向為指向橢圓中心，其方向為指向橢圓中心，其模為此點到原點的距其模為此點到原點的距離，求當(dāng)質(zhì)點從離，求當(dāng)質(zhì)點從)0 ,(aA沿橢圓周第一象限的弧移動到沿橢圓周第一象限的弧移動到), 0(bB所做的功。所做的功。解解由于由于F的方向自點的方向自點),(yx指向原點，指向原點，所以所以)0()( kj yi xkF由于由于,|22yxF 所以所以, 1 kdABWFs ddABx xy y 20 tacos)sin(ta tbsin ( cos )dbtt222ba 吳新民吳新民三三 格林公式及其應(yīng)用格林公式及其應(yīng)用 設(shè)區(qū)域設(shè)區(qū)域 D 是由分段光滑正向曲線是由分段光滑正向曲線 L 圍成

59、圍成,則有則有, ),(yxP),(yxQddd dLDQPP xQ yx yxy函數(shù)函數(shù)在在 D 上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)上具有連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù),設(shè)設(shè)D 是單連通域是單連通域 ,),(),(yxQyxP在在D 內(nèi)內(nèi)具有具有一一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù),(2) 沿沿D 中任意光滑閉曲線中任意光滑閉曲線 L , 有有dd0.LP xQ y (3) 對對D 中任一分段光滑曲線中任一分段光滑曲線 L, 曲線積分曲線積分(1) 在在 D 內(nèi)每一點都有內(nèi)每一點都有.xQyP ddLP xQ y 與路徑無關(guān)與路徑無關(guān), 只與起止點有關(guān)只與起止點有關(guān). 函數(shù)函數(shù)則以下四個條件等價則以下四個條件等價:吳新民吳新民(

60、4)ddP xQ y ),(yxud ( , )ddu x yP xQ y在在 D 內(nèi)是某一函數(shù)內(nèi)是某一函數(shù)的全微分的全微分,即即 例例6 計算下列曲線積分計算下列曲線積分(1) 2222d(ln()dLxyxy xyxxyy 其中其中L為以為以)3 , 1(),2 , 2(),1 , 1(CBA為頂點的三角形正向邊界。為頂點的三角形正向邊界。解解 xoy(1,1)A(1,3)C(2,2)BD22yxP )ln(22yxxxyyQ yxPQ 2y 原式原式 2d dDyx y 2421dxxdxyy 23211( 2124864)d3xxxx 625 吳新民吳新民(2) 23d()d,|Lxy

61、xxyxyxy 其中其中L為以為以),1 , 0(),0 , 1(BA為頂點的正方形的正向邊界。為頂點的正方形的正向邊界。)1, 0(),0 , 1( DC解解 ABCDDxyo1D1|:| yxL逆時針逆時針23d()d|Lxyxxyxyxy 23d()dLxyxxyxy 2(32)d dDyxxyx y 23d dDxx y 1212d dDxx y 1120012ddxxxy 123012()dxxx 1 吳新民吳新民yxo例例7 計算下列曲線積分計算下列曲線積分(1)222(1)d(1)dyyLxexx ey 其中其中L為為2)2( x42 y在第一象限的半圓弧正向。在第一象限的半圓弧

62、正向。解法一解法一L1L4,12yxeP 122 yexQyxxeQ22 yP 以路徑無關(guān)，以路徑無關(guān)，, 0:1 yL04:xL 1L 04(1)dxx 12 解法二解法二 分項組合法分項組合法L dLx 222ddyyLxexx ey dLy (0,0)(4,0)dx )0 , 0()0 , 4(22d()2yx e(0,0)(4,0)dy 12 吳新民吳新民xyo3222(2cos )d(2 sin3)d ,Lxyyxxxyxx yy (2)1LL2LABD其中其中L為從原點沿曲線為從原點沿曲線22yx 到點到點2( ,1).A 解法一解法一 作輔助線作輔助線21:,Lx 2:0,Ly

63、原式原式12L LL 1L 2L d dDx y 01223(2)d24yyy020dx 2200ddxxy 4122 3 4122 4162 :10;y2:0.x 吳新民吳新民3222(2cos )d(2 sin3)d ,Lxyyxxxyxx yy (2)其中其中L為從原點沿曲線為從原點沿曲線22yx 到點到點2( ,1).A 解法二解法二分項組合法分項組合法L 3222d3dLxyxx yy 2cos d2 sin dLyx xyx y dLx y )1 ,2()0 , 0( )1 ,2()0 , 0( 23dx y2dsinyx 102d2yy )1 ,2()0 , 0(32 yx )1

64、 ,2()0 , 0(2sin xy 6 42 1 6 吳新民吳新民(2)22dd,4Lx yy xxy 222:(1)(1)LxyRR逆時針逆時針.xyo01R1R 解解224yxyP 224yxxQ 22222)4(4yxyxQx yP 當(dāng)當(dāng)1 R時，時，L 222(1)()d dxyxyRQPx y 0 )0(22 yx當(dāng)當(dāng)1 R時，時，1L22214:ryxL 逆時針方向逆時針方向L 1L L 1L ()d dxyDQPx y 121ddLx yy xr 0 2222412d dxyrx yr 22r rr2 吳新民吳新民xyo例例8設(shè)設(shè))(xf一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且一階導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且, 0)

65、0( f在任意在任意一條包圍原點的正向閉曲線一條包圍原點的正向閉曲線C上，曲線積分上，曲線積分2dd( )Cx xy yf xy 為定數(shù)，為定數(shù)，(1) 證明在任一個不含原點的單連通區(qū)域上曲線積證明在任一個不含原點的單連通區(qū)域上曲線積分分2dd( )Cx xy yf xy 與路徑無關(guān)；與路徑無關(guān)；(2) 求函數(shù)求函數(shù)).(xf1C2C3C解解(1) 設(shè)設(shè)21,CC是不含原點的是不含原點的單連通域內(nèi)的任意兩條以單連通域內(nèi)的任意兩條以A起點以起點以B為為終點的有向曲線，終點的有向曲線，AB作以作以B起點以起點以A為終點的有向曲線，使為終點的有向曲線，使31CC 包圍原點包圍原點吳新民吳新民(2)

66、因為曲線積分與路徑無關(guān)，因為曲線積分與路徑無關(guān)，2)(yxfxP 2)(yxfyQ 所以所以yP22)(2yxfxy xQ 22)()(yxfxf y 即即)(xf ,2x 所以所以cxxf 2)(又因為又因為, 0)0( f2)(xxf 所以所以則則1C 13CC 3C 23CC 3C 2C 所以曲線積分與路徑無關(guān)所以曲線積分與路徑無關(guān).吳新民吳新民第四節(jié)第四節(jié) 對面積的曲面積分對面積的曲面積分一一 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)二二 對面積的曲面積分的計算法對面積的曲面積分的計算法三三 積分的統(tǒng)一定義積分的統(tǒng)一定義吳新民吳新民一一 對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)對面積的曲面積分的概念與性質(zhì)xyzo引例引例: 設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度設(shè)曲面形構(gòu)件具有連續(xù)面密度),(zyx 類似求平面薄板質(zhì)量的思想類似求平面薄板質(zhì)量的思想, kkkkS ),( 可得可得 nk 10lim M “大化小大化小, 常代變常代變, 近似和近似和, 求極限求極限” 法法,求質(zhì)量求質(zhì)量 M.其中其中, 表示表示 n 小塊曲面的直徑的小塊曲面的直徑的最大值最大值 (曲面的直徑為其上任意兩