《高等數(shù)學(xué)：第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用》由會(huì)員分享，可在線閱讀，更多相關(guān)《高等數(shù)學(xué)：第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用（228頁(yè)珍藏版）》請(qǐng)?jiān)谘b配圖網(wǎng)上搜索。

1、第八章第八章 多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用多元函數(shù)微分法及其應(yīng)用第一節(jié)第一節(jié) 多元函數(shù)的概念多元函數(shù)的概念第二節(jié)第二節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分第三節(jié)第三節(jié) 多元函數(shù)的微分法多元函數(shù)的微分法習(xí)題課習(xí)題課 一一第四節(jié)第四節(jié) 多元函數(shù)微分法在幾何上應(yīng)用多元函數(shù)微分法在幾何上應(yīng)用第五節(jié)第五節(jié) 方向?qū)?shù)與梯度方向?qū)?shù)與梯度習(xí)題課習(xí)題課 二二第六節(jié)第六節(jié) 多元函數(shù)的極值與最值多元函數(shù)的極值與最值吳新民吳新民第一第一節(jié)節(jié) 多元函數(shù)的基本概念多元函數(shù)的基本概念一一 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義二二 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性- 2 -吳新民吳新民一一 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義(1) 鄰域

2、鄰域0P ),(0 PU |0PPP .)()(| ),(2020 yyxxyx 1 有關(guān)有關(guān)區(qū)域的概念區(qū)域的概念定義定義1),(000yxPxoy ),(000yxP ),(yxP0P ),(0 PU設(shè)設(shè)是是平面上的一個(gè)點(diǎn)，平面上的一個(gè)點(diǎn)，一正數(shù)，一正數(shù)，距離小于距離小于的點(diǎn)的點(diǎn)的全的全的的鄰域鄰域，是某是某與點(diǎn)與點(diǎn)體，體，稱為點(diǎn)稱為點(diǎn)記為記為- 3 -吳新民吳新民(2) 區(qū)域區(qū)域().EPPU PEPE 設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，設(shè)是平面上的一個(gè)點(diǎn)集，是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在是平面上的一個(gè)點(diǎn)如果存在點(diǎn)的某一鄰域，則點(diǎn)的某一鄰域，則稱為稱為內(nèi)點(diǎn)內(nèi)點(diǎn)的的.EE的內(nèi)點(diǎn)屬于的內(nèi)點(diǎn)屬于EP .EE如果點(diǎn)

3、集的點(diǎn)都是內(nèi)，如果點(diǎn)集的點(diǎn)都是內(nèi)，則稱為則稱為開(kāi)集開(kāi)集點(diǎn)點(diǎn)41),(221 yxyxE例如，例如，即為開(kāi)集即為開(kāi)集P xyo- 4 -吳新民吳新民PEEPEEPE如果點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，如果點(diǎn)的任一個(gè)鄰域內(nèi)既有屬于的點(diǎn)，也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也也有不屬于的點(diǎn)（點(diǎn)本身可以屬于，也可以不屬于），則稱為的可以不屬于），則稱為的邊界點(diǎn)邊界點(diǎn)EP EE的邊界點(diǎn)的全體稱為的的邊界點(diǎn)的全體稱為的邊界邊界DDDD設(shè)是點(diǎn)集如果對(duì)于內(nèi)設(shè)是點(diǎn)集如果對(duì)于內(nèi)任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來(lái)，任何兩點(diǎn)，都可用折線連結(jié)起來(lái)，且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱且該折線上的點(diǎn)都屬于，則稱集合是集合是連通的連通的 - 5

4、 -吳新民吳新民連通的開(kāi)集稱為連通的開(kāi)集稱為區(qū)域區(qū)域或或開(kāi)區(qū)域開(kāi)區(qū)域.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo.41| ),(22 yxyx例如，例如，xyo連通的不是開(kāi)集連通的不是開(kāi)集是開(kāi)集不是連通的是開(kāi)集不是連通的xyo不是閉區(qū)域的例子：不是閉區(qū)域的例子：去掉邊界不是開(kāi)區(qū)域去掉邊界不是開(kāi)區(qū)域- 6 -吳新民吳新民0| ),( yxyx有界閉區(qū)域；有界閉區(qū)域；是無(wú)界開(kāi)區(qū)域是無(wú)界開(kāi)區(qū)域xyo例如，例如，EKPEAAPKAPKPEE 對(duì)于點(diǎn)集如果存在正數(shù)，使一切點(diǎn)與對(duì)于點(diǎn)集如果存在正數(shù)，使一切點(diǎn)與某一定點(diǎn)間的距離不超過(guò)，即某一定點(diǎn)間的距離不超過(guò)，即對(duì)一切成立，則稱為對(duì)一切成立，則稱為有界點(diǎn)

5、集有界點(diǎn)集，41| ),(22 yxyx無(wú)無(wú)否則稱為否則稱為界點(diǎn)集界點(diǎn)集- 7 -吳新民吳新民(3) 聚點(diǎn)聚點(diǎn) 內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；內(nèi)點(diǎn)一定是聚點(diǎn)；說(shuō)明說(shuō)明邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；邊界點(diǎn)可能是聚點(diǎn)；10| ),(22 yxyx例例(0,0)既是既是邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)邊界點(diǎn)也是聚點(diǎn)定義定義2- 8 -吳新民吳新民- 9 -點(diǎn)集點(diǎn)集E的聚點(diǎn)可以屬于的聚點(diǎn)可以屬于E，也可以不屬于，也可以不屬于E10| ),(22 yxyx例如例如,(0,0) 是聚點(diǎn)但不屬于集合是聚點(diǎn)但不屬于集合1| ),(22 yxyx例如例如,邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合邊界上的點(diǎn)都是聚點(diǎn)也都屬于集合吳新民吳新民- 10 -2 n維空間維空

6、間n維空間的記號(hào)為維空間的記號(hào)為說(shuō)明說(shuō)明：;nRn維空間中兩點(diǎn)間距離公式維空間中兩點(diǎn)間距離公式 n),(21nxxx元數(shù)元數(shù)稱為稱為維空間中的一個(gè)維空間中的一個(gè)點(diǎn)點(diǎn)，而每個(gè)而每個(gè)組組nnn),(21nxxxn設(shè)設(shè)為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱為取定的一個(gè)自然數(shù)，我們稱數(shù)組數(shù)組的全體為的全體為維空間維空間，元元ixi為該點(diǎn)的第為該點(diǎn)的第個(gè)個(gè)坐標(biāo)坐標(biāo).數(shù)數(shù)稱稱.)()()(|2222211nnxyxyxyPQ ),(21nxxxP),(21nyyyQ設(shè)兩點(diǎn)為設(shè)兩點(diǎn)為定義定義3吳新民吳新民- 11 -n維空間中鄰域、區(qū)域等概念維空間中鄰域、區(qū)域等概念 nRPPPPPU ,|),(00 特殊地當(dāng)特殊地當(dāng)3

7、, 2, 1 n內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義內(nèi)點(diǎn)、邊界點(diǎn)、區(qū)域、聚點(diǎn)等概念也可定義鄰域：鄰域：時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩時(shí)，便為數(shù)軸、平面、空間兩點(diǎn)間的距離點(diǎn)間的距離吳新民吳新民- 12 -D,),(DyxP 設(shè)設(shè)是是 平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)平面上的一個(gè)點(diǎn)集，如果對(duì)于每個(gè)點(diǎn)點(diǎn)3 多元函數(shù)的定義多元函數(shù)的定義n元函數(shù)元函數(shù)的定義，的定義，Dyxyxfz ),(),(記為記為定義定義4(1) 二元函數(shù)的定義二元函數(shù)的定義z是是的的二元函數(shù)二元函數(shù)，則稱則稱yx、或或DPPfz ),(變量變量z按照一定的法則按照一定的法則值和它對(duì)應(yīng)，值和它對(duì)應(yīng)，f總有唯一確定的總有唯一確定的其中其

8、中D稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的定義域定義域，yx、稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的自變量自變量，z稱為函數(shù)的稱為函數(shù)的因變量因變量。說(shuō)明說(shuō)明如果將如果將D換成換成)2( nRn中的點(diǎn)集，中的點(diǎn)集， 相應(yīng)的可相應(yīng)的可得出得出n元函數(shù)統(tǒng)稱為元函數(shù)統(tǒng)稱為多元函數(shù)多元函數(shù).吳新民吳新民- 13 -例例1 求求222)3arcsin(),(yxyxyxf 解解 所求定義域?yàn)樗蠖x域?yàn)?, 42| ),(222yxyxyxD 的定義域的定義域xyo1322 yx02 yx4222 yx2yx 吳新民吳新民- 14 -(2) 二元函數(shù)二元函數(shù)),(yxfz 的圖形的圖形),(yxfz ,D 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)?/p>

9、),(yxfz 對(duì)應(yīng)的函數(shù)值對(duì)應(yīng)的函數(shù)值這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形這個(gè)點(diǎn)集稱為二元函數(shù)的圖形.,),(DyxP 對(duì)于任意取定對(duì)于任意取定的的),(yxfz xyzo),(yxP ),(,(yxfyxMDyz),(zyxM為縱坐標(biāo)、為縱坐標(biāo)、為豎坐標(biāo)在空間就確為豎坐標(biāo)在空間就確x這樣以這樣以為橫坐標(biāo)、為橫坐標(biāo)、定一點(diǎn)定一點(diǎn)),(yxD,),(),(|),(Dyxyxfzzyx 當(dāng)當(dāng)取遍取遍個(gè)空間點(diǎn)集個(gè)空間點(diǎn)集 時(shí)，得一時(shí)，得一吳新民吳新民- 15 -xyzxyzsin 例如例如,224yxz o二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面二元函數(shù)的圖形通常是一張曲面.吳新民吳新民- 16 -例如例如,2222a

10、zyx 222yxaz (3) 多值函數(shù)多值函數(shù)xyzo在函數(shù)的定義中要求對(duì)每個(gè)在函數(shù)的定義中要求對(duì)每個(gè),),(Dyx 按照一確定按照一確定z法則有法則有唯一的唯一的一個(gè)數(shù)一個(gè)數(shù)與與),(yx對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，但在實(shí)際問(wèn)題中但在實(shí)際問(wèn)題中經(jīng)常存在多個(gè)數(shù)經(jīng)常存在多個(gè)數(shù)z與與),(yx對(duì)應(yīng)，對(duì)應(yīng)，這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為這樣的對(duì)應(yīng)關(guān)系稱為多值函數(shù)多值函數(shù)，因此因此我們說(shuō)由我們說(shuō)由2222azyx 確定確定了一個(gè)多值函數(shù)。了一個(gè)多值函數(shù)。對(duì)于多值函數(shù)可分成幾個(gè)對(duì)于多值函數(shù)可分成幾個(gè)(單值單值)函數(shù)來(lái)討論，函數(shù)來(lái)討論， 例如例如,2222azyx 可分成可分成222yxaz 對(duì)于每個(gè)點(diǎn)對(duì)于每個(gè)點(diǎn)),(yx)(22

11、2ayx 有兩個(gè)確定的數(shù)有兩個(gè)確定的數(shù)和和與之對(duì)應(yīng)，與之對(duì)應(yīng)，222yxaz 和和222yxaz 討論。討論。),(yx 吳新民吳新民第二第二節(jié)節(jié) 多元函數(shù)的極限與連續(xù)性多元函數(shù)的極限與連續(xù)性- 17 -1 多元函數(shù)的極限多元函數(shù)的極限, 20200)()(|0yyxxPP,PD |),(|Ayxf),(yxfz ,0 xx 0yy Ayxfyyxx ),(lim00)0(),( Ayxf|0PP 定義定義5),(000yxP是其聚點(diǎn)，是其聚點(diǎn)，總存在正數(shù)總存在正數(shù)使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式的一切點(diǎn)，且的一切點(diǎn)，且都有都有成立，成立，在在時(shí)的時(shí)的極限極限，或或這里這里, 如果對(duì)于任意

12、給定的正如果對(duì)于任意給定的正數(shù)數(shù)為函數(shù)為函數(shù)稱稱A記為記為則則),(yxfz ,D的定義域?yàn)榈亩x域?yàn)樵O(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)吳新民吳新民- 18 -說(shuō)明說(shuō)明：(1) 定義中定義中 的方式是任意的；的方式是任意的；0PP (2) 二元函數(shù)的極限也叫二重極限二元函數(shù)的極限也叫二重極限);,(lim00yxfyyxx(3) 二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似二元函數(shù)的極限運(yùn)算法則與一元函數(shù)類似確定極限不存在可以找多種確定極限不存在可以找多種),(yxP趨向于趨向于),(000yxP的路徑，的路徑，且且),(yxf的極限不相等。的極限不相等。 (4) 求二元函數(shù)的極限可以通過(guò)轉(zhuǎn)變求二元函數(shù)的極限可以通過(guò)轉(zhuǎn)變,

13、化為一元函數(shù)化為一元函數(shù)的極限來(lái)計(jì)算的極限來(lái)計(jì)算吳新民吳新民- 19 -例例2 求證求證 證證01sin)(lim222200 yxyxyx01sin)(2222 yxyx22221sinyxyx 22yx , 0 , 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)， 22)0()0(0yx 01sin)(2222yxyx原結(jié)論成立原結(jié)論成立吳新民吳新民- 20 -例例3 求極限求極限 .)sin(lim22200yxyxyx 解解22200)sin(limyxyxyx yxyx22)sin( 其中其中yxyxyx2200)sin(limuuusinlim0, 1 222yxyx x21 , 00 x. 0)sin(lim22

14、200 yxyxyxyxu2 0,222yxyx 00limyx吳新民吳新民- 21 -例例4 證明證明證證2200limyxxyyx 取取kxy 220limyxxykxyx 2220limxkxkxxx ,12kk 其值隨其值隨k的不同而變化，的不同而變化，故極限不存在故極限不存在 不存在不存在吳新民吳新民- 22 -類似可以定義類似可以定義n元函數(shù)的極限元函數(shù)的極限n)(Pf,D, , |00PPDP |)(|APfn)(Pf0PP APfPP )(lim0定義定義6元函數(shù)元函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集是其聚點(diǎn)，是其聚點(diǎn)，總存在正數(shù)總存在正數(shù)使得對(duì)于適合不等式使得對(duì)于適合不等式的一切

15、點(diǎn)的一切點(diǎn)都有都有成立，成立，元函數(shù)元函數(shù)在在時(shí)的時(shí)的極限極限，為為A記為記為 設(shè)設(shè)0P如果對(duì)于任意給定的正數(shù)如果對(duì)于任意給定的正數(shù)則稱則稱吳新民吳新民- 23 -2 多元函數(shù)的連續(xù)性多元函數(shù)的連續(xù)性定義定義7)()(lim00PfPfPP n)(Pf0Pn)(Pf,D設(shè)設(shè)元函數(shù)元函數(shù)的定義域?yàn)辄c(diǎn)集的定義域?yàn)辄c(diǎn)集如果如果則稱則稱元函數(shù)元函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處處連續(xù)連續(xù).0P)(Pf設(shè)設(shè)是函數(shù)是函數(shù)的定義域的聚點(diǎn)，的定義域的聚點(diǎn)，)(Pf0P在點(diǎn)在點(diǎn)處不連續(xù)，處不連續(xù)，如果如果0P)(Pf是函數(shù)是函數(shù)的的間斷點(diǎn)間斷點(diǎn).則稱則稱如果函數(shù)在如果函數(shù)在 D 上上各點(diǎn)處各點(diǎn)處都連續(xù)都連續(xù), 則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)

16、在在 D上連續(xù)上連續(xù).,0DP 是其聚點(diǎn)且是其聚點(diǎn)且0P吳新民吳新民- 24 -例例5 討論函數(shù)討論函數(shù) )0 , 0(),(, 0)0 , 0(),(,),(2233yxyxyxyxyxf在在(0,0)處的連續(xù)性處的連續(xù)性解解),(yxf),0 , 0(),(lim)0,0(),(fyxfyx 故函數(shù)在故函數(shù)在(0,0)處連續(xù)處連續(xù)0)0 . 0( f|222xyxx |222yyxy |yx 0000yx吳新民吳新民- 25 - 函數(shù)函數(shù) 0,00,),(222222yxyxyxyxyxf在點(diǎn)在點(diǎn)(0 , 0) 極限不存在極限不存在, 函數(shù)函數(shù)11),(22 yxyxf上間斷上間斷.122

17、 yx 故故 ( 0, 0 )為其間斷點(diǎn)為其間斷點(diǎn).在圓周在圓周吳新民吳新民 多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)多元初等函數(shù)：由多元多項(xiàng)式及基本初等函數(shù)經(jīng)過(guò)有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所有限次的四則運(yùn)算和復(fù)合步驟所構(gòu)成的可用一個(gè)式子所表示的多元函數(shù)叫表示的多元函數(shù)叫多元初等函數(shù)多元初等函數(shù)一切多元初等函數(shù)在其一切多元初等函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的是連續(xù)的定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域定義區(qū)域是指包含在定義域內(nèi)的區(qū)域或閉區(qū)域一般地一般地, ,求求0lim( )PPf P時(shí)時(shí), ,如果如果( )f P是初等函數(shù)是初等函數(shù), , 且且0P是是( )f

18、P的定義域的內(nèi)點(diǎn)的定義域的內(nèi)點(diǎn), ,則則( )f P在在0P處連續(xù)處連續(xù), , 于是于是0lim( )PPf P0().f P - 26 -吳新民吳新民- 27 -例例60011lim.xyxyxy求求解解0011lim(11)xyxyxyxy 原式原式111lim00 xyyx.21 222)3arcsin(),(yxyxyxf 例例7 求函數(shù)求函數(shù)的連續(xù)域的連續(xù)域.1322 yx4222 yx解解:02 yx2yx 即即為函數(shù)的連續(xù)域?yàn)楹瘮?shù)的連續(xù)域.吳新民吳新民- 28 -閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)閉區(qū)域上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì) 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，在上的多元連續(xù)函數(shù)，在D上至

19、少取上至少取得它的最大值和最小值各一次得它的最大值和最小值各一次 在有界閉區(qū)域在有界閉區(qū)域D上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在上的多元連續(xù)函數(shù)，如果在D上取上取得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在得兩個(gè)不同的函數(shù)值，則它在D上取得介于這兩值之上取得介于這兩值之間的任何值至少一次間的任何值至少一次(1) 最大值和最小值定理最大值和最小值定理(2) 介值定理介值定理吳新民吳新民第二第二節(jié)節(jié) 偏導(dǎo)數(shù)與全微分偏導(dǎo)數(shù)與全微分- 29 -一一 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)二二 全微分全微分吳新民吳新民一一 偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)- 30 -00(,)xy在點(diǎn)在點(diǎn)), (), (lim000yfyfx 存在存在,xyxyxfz對(duì)對(duì)在點(diǎn)在點(diǎn)),(),(0

20、0 的的偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù)，記為，記為;),(00yxxz 的某鄰域內(nèi)的某鄰域內(nèi);),(00yxxf xx 00 x則稱此極限為函數(shù)則稱此極限為函數(shù)如果極限如果極限設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)x;),(00yxfx;),(00yxxz100(,) .fxy1 偏導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算偏導(dǎo)數(shù)及其計(jì)算有定義，有定義，定義定義1( , )zf x y 吳新民吳新民- 31 -0),(dd0yyyxfy 同樣可定義對(duì)同樣可定義對(duì) lim0 y),(00yxfy) ,(0 xf),(0 xf yyy 00yy的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)xyxfyxxfx ),(),(lim000000),(dd0 xxyxfx ),(00yxfx注意注意:稱稱0

21、000(,)(,)f xx yf xy 為函數(shù)在為函數(shù)在00(,)xy關(guān)于關(guān)于x的偏增量的偏增量；0000(,)(,)f xyyf xy 為函數(shù)在為函數(shù)在00(,)xy關(guān)于關(guān)于y的偏增量的偏增量吳新民吳新民- 32 -),(zyxfx三元函數(shù)三元函數(shù)u = f (x, y, z) 在點(diǎn)在點(diǎn)(x , y , z)處對(duì)處對(duì) x的的偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)的概念可以推廣到二元以上的函數(shù) . lim0 x), (zyf),(zyf x xx?),( zyxfy?),( zyxfzx偏導(dǎo)數(shù)定義為偏導(dǎo)數(shù)定義為(請(qǐng)自己寫出請(qǐng)自己寫出),xzxfxz 則該偏導(dǎo)數(shù)稱為則該偏導(dǎo)數(shù)稱為偏導(dǎo)函數(shù)偏導(dǎo)

22、函數(shù), 也簡(jiǎn)稱為也簡(jiǎn)稱為偏導(dǎo)數(shù)偏導(dǎo)數(shù) ,1( , ) ,( , )xfx yfx y2( , ) ,( , )yfx yfx y記為記為,yzyfyz 或或若函數(shù)若函數(shù)),(yxfz 在區(qū)域在區(qū)域D 內(nèi)每一點(diǎn)內(nèi)每一點(diǎn)),(yx處對(duì)處對(duì) xy偏導(dǎo)數(shù)存在，偏導(dǎo)數(shù)存在，例如例如,吳新民吳新民- 33 -解解 xz;32yx yz.23yx 21yxxz,82312 21yxyz.72213 223yxyxz )2 , 1(例例1 求求 在點(diǎn)在點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)處的偏導(dǎo)數(shù)吳新民吳新民- 34 -證證 xz,1 yyx yz,ln xxyyzxxzyx ln1xxxyxyxyylnln11 yyxx .2z

23、原結(jié)論成立原結(jié)論成立yxz (0,1).xx zyzxxzyx2ln1 求證求證例例2 設(shè)設(shè)吳新民吳新民- 35 -解解 xz22211xxy |22yyx .|22yxy |)|(2yy xyxx223222)(yxy 22arcsin,xzxy ,zx .zy 例例3 設(shè)設(shè)求求22|xyy 222222xxyxyxxy 吳新民吳新民- 36 - yz22211xxy |22yyx yyxx1sgn22 )0( y00 yxyz不存在不存在 yyxx22322)()(yxxy 22arcsinyxxz 吳新民吳新民- 37 -例例4 設(shè)設(shè)(1)yzxy求求,zzxy解解zx ln(1)yxy

24、ze zy (1)yxy( ln(1)yyxy ln(1)1xyxyxy 21(1)yyxy xxy)1( 1(1)yyxyy 1(1)yyxy ln(1)yxye 吳新民吳新民- 38 -例例5 求求222zyxr 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù) . 解解: xr yr2222zyx x2rx zr,ry 2222zyx y22222zyx z2rz 吳新民吳新民- 39 -,( ,),(0, 0),(0, 0).xyzf x yxyff例如 設(shè)求例如 設(shè)求有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：有關(guān)偏導(dǎo)數(shù)的幾點(diǎn)說(shuō)明：12求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；求分界點(diǎn)、不連續(xù)點(diǎn)處的偏導(dǎo)數(shù)要用定義求；(0,0)xf0 ).

25、0 , 0(yf 0|0|0limxxx 0(0,0)(0,0)limxfxfx 吳新民吳新民- 40 -2 偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系偏導(dǎo)數(shù)存在與連續(xù)的關(guān)系所以函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù)所以函數(shù)在該點(diǎn)處并不連續(xù). .偏導(dǎo)數(shù)存在偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)連續(xù). .一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo)一元函數(shù)中在某點(diǎn)可導(dǎo) 連續(xù)，連續(xù)，多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)中在某點(diǎn)偏導(dǎo)數(shù)存在 連續(xù)，連續(xù)，因?yàn)橐驗(yàn)?200limyxxyyx 不存在不存在,吳新民吳新民- 41 -3 偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義偏導(dǎo)數(shù)的幾何意義00000(,(,)( , ),Mxyf xyzf x y 設(shè)設(shè)為為曲曲面面上上一一點(diǎn)點(diǎn)00),(dd00 xxyxfxxfx

26、xyy 0),(yyyxfzxTM000),(dd00yyyxfyyfxxyy 是曲線是曲線 0),(xxyxfzyTM0在點(diǎn)在點(diǎn) M0 處的切線處的切線對(duì)對(duì) x 軸的斜率軸的斜率.在點(diǎn)在點(diǎn)M0 處的切線處的切線斜率斜率.是曲線是曲線對(duì)對(duì) y 軸的軸的yxz0 xyTo0y0MxT吳新民吳新民- 42 -4 高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù)設(shè)設(shè) z = f (x , y)在域在域 D 內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)內(nèi)存在連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)),(, ),(yxfyzyxfxzyx 若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，若這兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)仍存在偏導(dǎo)數(shù)，)(xz )(yzx )(xzy ),()(22yxfyzyzyyy 則稱它們是則稱它們是

27、z = f ( x , y ) 的的二階偏導(dǎo)數(shù)二階偏導(dǎo)數(shù) . 按求導(dǎo)順序不同按求導(dǎo)順序不同, 有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)有下列四個(gè)二階偏導(dǎo)22xz );,(yxfxx yxz 2),(yxfyx );,(2yxfxyzxy x 數(shù)數(shù):二階混和偏導(dǎo)數(shù)吳新民吳新民- 43 -二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為二階及二階以上的偏導(dǎo)數(shù)統(tǒng)稱為高階偏導(dǎo)數(shù)高階偏導(dǎo)數(shù).類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù)類似可以定義更高階的偏導(dǎo)數(shù).例如，例如，z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的三階偏導(dǎo)數(shù)為的三階偏導(dǎo)數(shù)為3322)(xzxzx z = f (x , y) 關(guān)于關(guān)于 x 的的 n 1 階偏導(dǎo)數(shù)階偏導(dǎo)數(shù) ,再關(guān)于再關(guān)于 y 的一

28、的一) (y yxznn 1階偏導(dǎo)數(shù)為階偏導(dǎo)數(shù)為11 nnxz吳新民吳新民- 44 -解解xz ,33322yyyx yz ;9223xxyyx 22xz ,62xy 22yz ;1823xyx 33xz ,62y xyz 2. 19622 yyxyxz 2, 19622 yyx32331,zx yxyxy22,zx 2,zy x 2,zx y 22yz 33xz 例例6 設(shè)設(shè)求求及及吳新民吳新民- 45 -解解xu yu 22xu 22yu yxu 2xyu 2,cosbyaeax ;sinbybeax ,cos2byeaax ,cos2byebax ,sinbyabeax .sinbyab

29、eax 例例7 設(shè)設(shè)cos,axueby 求二階偏導(dǎo)數(shù)求二階偏導(dǎo)數(shù).吳新民吳新民- 46 -例例8設(shè)設(shè)sinzxxy 求求222,zzx yx 解解zx 22zx 2coscossinyxyyxyxyxy22 cossinyxyxyxy2zx y 2coscossinxxyxxyx yxy22 cossinxxyx yxysincosxyxyxy吳新民吳新民- 47 -解解),ln(21ln2222yxyx xu yu 22xu 22yu 2222yuxu. 0 0.xxyyuu)(222yx x2,22yxx ,22yxy 222)(yx ,)(22222yxxy xx 2 )(22yx .

30、)(22222yxyx 22222)(2)(yxyyyx 22222)(yxxy 22222)(yxyx 22ln),(yxyxu 例例9 驗(yàn)證函數(shù)驗(yàn)證函數(shù)滿足拉普拉斯?jié)M足拉普拉斯方程方程吳新民吳新民- 48 -例例10 設(shè)設(shè)2,xyuexyz求求22.uux yx z 解解ux 2xyyeyz 2ux y xyxyexye2z 2ux z 0 2yz 2yz 吳新民吳新民- 49 -問(wèn)題：?jiǎn)栴}：混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎混合偏導(dǎo)數(shù)都相等嗎?具備怎樣條件才相等？具備怎樣條件才相等？,),()()(00連續(xù)連續(xù)都在點(diǎn)都在點(diǎn)和和若若yxx,yfx,yfxyyx),(),(0000yxfyxfxyyx 則則

31、定理定理1例如例如, 對(duì)三元函數(shù)對(duì)三元函數(shù)u = f (x , y , z) ,),(),(),(zyxfzyxfzyxfyxzxzyzyx 說(shuō)明說(shuō)明:本定理對(duì)本定理對(duì) n 元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立元函數(shù)的高階混合導(dǎo)數(shù)也成立.函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的函數(shù)在其定義區(qū)域內(nèi)是連續(xù)的 , 故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)故求初等函數(shù)的高階導(dǎo)數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序數(shù)可以選擇方便的求導(dǎo)順序.),(),(),(zyxfzyxfzyxfxyzzxyyzx 因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù)因?yàn)槌醯群瘮?shù)的偏導(dǎo)數(shù)仍為初等函數(shù) ,當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)三階混合偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn) (x , y , z) 連續(xù)時(shí)連續(xù)時(shí), 有有而初等而

32、初等(證明略證明略) 吳新民吳新民二二 全微分全微分- 50 -1 全微分的定義全微分的定義, z ),(yxfz ),(yxP函數(shù)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某鄰域內(nèi)有定義，的某鄰域內(nèi)有定義，z ),(),(yxfyyxxf 即即 ),(yyxxP 為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，為這鄰域內(nèi)的任意一點(diǎn)，并設(shè)并設(shè)記為記為),(),(yxfyyxxf yx ,為函數(shù)在點(diǎn)為函數(shù)在點(diǎn)P 對(duì)應(yīng)于自變量增量對(duì)應(yīng)于自變量增量的的全增量全增量，稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差稱這兩點(diǎn)的函數(shù)值之差 則則),(),(yxfyxxf ),(),(yxfyyxf x二元函數(shù)對(duì)二元函數(shù)對(duì)的的偏增量偏增量y二元函數(shù)對(duì)二元函數(shù)對(duì)的的偏增量偏增量吳新民吳新民

33、- 51 -, )( oyBxAz 其中其中A , B 不依賴于不依賴于 x , y , 僅與僅與 x , y 有關(guān)，有關(guān)，若函數(shù)在域若函數(shù)在域 D 內(nèi)各點(diǎn)都可微內(nèi)各點(diǎn)都可微,22)()(yx 則稱函數(shù)則稱函數(shù) f ( x, y ) 在點(diǎn)在點(diǎn)( x, y) 可微可微，如果函數(shù)如果函數(shù)z = f ( x, y )在定義域在定義域D的內(nèi)點(diǎn)的內(nèi)點(diǎn)( x , y ),(),(yxfyyxxfz 可表示成可表示成處全增量處全增量則稱此函數(shù)則稱此函數(shù)在在D 內(nèi)可微內(nèi)可微.稱為函數(shù)稱為函數(shù)( , )f x y在點(diǎn)在點(diǎn) (x, y) 的的全微分全微分, yBxA 定義定義2yBxAfz dd記作記作dz 或或

34、d .f即即吳新民吳新民- 52 -事實(shí)上事實(shí)上),( oyBxAz , 0lim0 z ),(lim00yyxxfyx ),(lim0zyxf ),(yxf ),(yxfz ),(yx 如果函數(shù)如果函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)可微分可微分, 則則函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù)函數(shù)在該點(diǎn)連續(xù). ),(yxfz ),(yx故函數(shù)故函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處連續(xù)處連續(xù).吳新民吳新民- 53 -2 可微的條件可微的條件定理定理2（必要條件）（必要條件）),(yxfz ),(yx在點(diǎn)在點(diǎn)可微分，可微分，如果函數(shù)如果函數(shù)),(yx、xz yz 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)必存在，必存在，則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)),(yxfz ),(yxdzzzxyxy 在點(diǎn)

35、在點(diǎn)的全微分為的全微分為 且函數(shù)且函數(shù)),(),(yxfyxxfzx 證證: 由全增量公式由全增量公式, )( oyBxAz ,0 y令令)(xoxA 得到對(duì)得到對(duì) x 的偏增量的偏增量吳新民吳新民- 54 -xz 同理可證同理可證,Byz dzzzxyxy 因此有因此有 xzxx 0limA 一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在一元函數(shù)在某點(diǎn)的導(dǎo)數(shù)存在 微分存在微分存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在 全微分存在全微分存在吳新民吳新民- 55 -例如，例如，.000),(222222 yxyxyxxyyxf)0 , 0(xfxffxx )0 , 0()0 ,(lim)0 , 0(0在點(diǎn)在點(diǎn)處

36、有處有000lim0 xx(0,0)0.yf 同樣可得同樣可得)0 , 0()0 , 0(yfxfzyx ,)()(22yxyx 而而吳新民吳新民- 56 -則則 22)()(yxyx 22)()(xxxx ,21 0 當(dāng)當(dāng) 時(shí)，時(shí)，),()0 , 0()0 , 0( oyfxfzyx ),(yxP yx (0,0),如果考慮點(diǎn)如果考慮點(diǎn)沿著直線沿著直線趨近于趨近于所以函數(shù)在點(diǎn)所以函數(shù)在點(diǎn))0 , 0(處不可微處不可微. 說(shuō)明說(shuō)明：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分：多元函數(shù)的各偏導(dǎo)數(shù)存在并不能保證全微分存在存在.吳新民吳新民- 57 -證證),(),(yxfyyxxfz ),(),(yy

37、xfyyxxf ),(),(yxfyyxf ),(),(yyxfyyxxf xyyxxfx ),(1 )10(1 ),(yxfz ,zx yz ),(yx),(yx定理定理3 （充分條件）（充分條件）的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)連續(xù)，連續(xù)，一定可微一定可微 如果函數(shù)如果函數(shù)則該函數(shù)在點(diǎn)則該函數(shù)在點(diǎn)在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理在第一個(gè)方括號(hào)內(nèi)，應(yīng)用拉格朗日中值定理（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）（依偏導(dǎo)數(shù)的連續(xù)性）xxyxfx 1),( 吳新民吳新民- 58 -xxyxfx 1),( yyyxfy 2),( z 2121 yx, 00 同理同理),(),(yxfyyxf ,),(2yyyxfy 1 y

38、x ,其中其中為為的函數(shù)的函數(shù),0, 0 yx10. 且當(dāng)且當(dāng)時(shí)，時(shí)，0 y20. 當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，),(yxfz ),(yx故函數(shù)故函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處可微處可微. 吳新民吳新民- 59 -習(xí)慣上，當(dāng)習(xí)慣上，當(dāng)ddd .zzzxyxy全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)全微分的定義可推廣到三元及三元以上函數(shù)dddd .uuuuxyzxyz 通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)通常我們把二元函數(shù)的全微分等于它的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)與自變量的微分乘積之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符與自變量的微分乘積之和這件事稱為二元函數(shù)的微分符合合疊加原理疊加原理疊加原理也適用于二元以上函數(shù)的情況疊加原理也適用于二元以上函

39、數(shù)的情況全微分寫為全微分寫為,x y自變量時(shí)，自變量時(shí)，d,dxxyy 例如例如),(zyxuu 記記吳新民吳新民- 60 -解解 xzyz )1 , 2(xz )1 , 2(yz 22dd2d .zexey所求全微分所求全微分,xyye,xyxe ,2e ,22e xyez )1 , 2(例例11 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)處的全微分處的全微分.吳新民吳新民- 61 -解解xz yz (, )4(, )(, )44dddzzzxyxy 2(47 ).8),2sin(yxy ),2sin(2)2cos(yxyyx cos(2 )zyxy ,4x ,y d,4x dy 例例12 求函數(shù)求函數(shù)時(shí)的全

40、微分時(shí)的全微分.當(dāng)當(dāng)(, )4zx 2,2 (, )4zy 222 吳新民吳新民- 62 -解解xu yu ,yzyezu 所求全微分所求全微分1dd( cos)dd .22yzyzyuxzeyyez, 1 2cos21y ,yzze 例例13 計(jì)算函數(shù)計(jì)算函數(shù)yzeyxu 2sin的全微分的全微分.吳新民吳新民- 63 -多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系多元函數(shù)連續(xù)、可導(dǎo)、可微的關(guān)系函數(shù)可微函數(shù)可微函數(shù)連續(xù)函數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在函數(shù)偏導(dǎo)數(shù)存在吳新民吳新民- 64 -全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用全微分在近似計(jì)算中的應(yīng)用( , )( , )( , ),( , ),xyzf x yP

41、 x yfx yfx yxy 當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)當(dāng)二元函數(shù)在點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，且都較小時(shí)，有近似等連續(xù)，且都較小時(shí)，有近似等式式d( , )( , ).xyzzfx yxfx yy 也可寫成也可寫成(,)f xx yy ( , )( , )( , ).xyf x yfx yxfx yy 吳新民吳新民- 65 -解解( , ).yf x yx 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù).02. 0,04. 0, 2, 1 yxyx取取, 1)2 , 1( f,),(1 yxyxyxf,ln),(xxyxfyy , 2)2 , 1( xf, 0)2 , 1( yf由公式得由公式得02. 0004. 021)04. 1

42、(02. 2 .08. 1 例例15 計(jì)算計(jì)算02. 2)04. 1(的近似值的近似值.(1,2)fxy (1,2)(1,2)(1,2).xyffxfy 吳新民吳新民第三第三節(jié)節(jié) 多元函數(shù)的微分法多元函數(shù)的微分法- 66 -一一 復(fù)合函數(shù)微分法復(fù)合函數(shù)微分法二二 隱函數(shù)微分法隱函數(shù)微分法吳新民吳新民一一 多元函數(shù)的微分法多元函數(shù)的微分法- 67 -1 鏈?zhǔn)椒▌t鏈?zhǔn)椒▌t定理定理1( )ut )(tv t如果函數(shù)如果函數(shù)及及都在點(diǎn)都在點(diǎn)可導(dǎo)，可導(dǎo)，),(vufz ),(vu函數(shù)函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，導(dǎo)數(shù)， ( ),( )zftt t則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)可導(dǎo)，

43、可導(dǎo)，ddddddzzuzvtutvt且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：且其導(dǎo)數(shù)可用下列公式計(jì)算：zuvtddztuz ddutvz ddvt吳新民吳新民- 68 -,21vuvvzuuzz 01 ，02 tvtutvvztuuztz 21 d,duutt d,dvvtt 證證()( ),uttt );()(tttv tt 設(shè) 獲得增量，設(shè) 獲得增量，),(vufz ),(vu由于函數(shù)由于函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則則吳新民吳新民- 69 -0dddlim.dddtzzzuzvttutvt 上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況上定理的結(jié)論可推廣到中間變量多于兩個(gè)的情況.如如ddztuv

44、wtz以上公式中的導(dǎo)數(shù)以上公式中的導(dǎo)數(shù) 稱為稱為全導(dǎo)數(shù)全導(dǎo)數(shù)ddztuz ddutvz ddvtwz ddwt吳新民吳新民- 70 - 上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元上定理還可推廣到中間變量不是一元函數(shù)而是多元函數(shù)的情況：函數(shù)的情況： ( , ),( , ).zfx yx y ,xvvzxuuzxz yvvzyuuzyz ( , )ux y ),(yxv ),(yxxy如果如果及及都在點(diǎn)都在點(diǎn)對(duì)對(duì)具有具有和和的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)，),(vufz ),(vu且函數(shù)且函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)， ( , ),( , )zfx yx y ),(yx則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合

45、函數(shù)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算吳新民吳新民- 71 -uvxzy鏈?zhǔn)椒▌t如圖示鏈?zhǔn)椒▌t如圖示 xz uzxu vz,xv yz uzyu vz.yv 吳新民吳新民- 72 -zwvuyxxz 類似地再推廣，類似地再推廣， ( , ),( , ),( , )zfx yx y w x y ),(yx在對(duì)應(yīng)點(diǎn)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，的兩個(gè)偏導(dǎo)數(shù)存在，則復(fù)合函數(shù)則復(fù)合函數(shù)在對(duì)應(yīng)在對(duì)應(yīng)點(diǎn)點(diǎn)),(wvu處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，處一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)，uz xu vz xv wz xw yz yu vz yv wz ( , ),ux y 、),(yxv )

46、,(yxxy都在點(diǎn)都在點(diǎn)具有對(duì)具有對(duì)和和的偏導(dǎo)數(shù)，的偏導(dǎo)數(shù)，設(shè)設(shè)且可用下列公式計(jì)算且可用下列公式計(jì)算 uz wy 吳新民吳新民- 73 -特殊地特殊地),(yxufz ( , )ux y 即即 ( , ), , ,zfx yx y ,xfxuufxz .yfyuufyz 令令,xv , yw 其中其中, 1 xv, 0 xw, 0 yv. 1 yw兩者的區(qū)別兩者的區(qū)別區(qū)別類似區(qū)別類似 ( , ), , zfx yx y yx把復(fù)合函數(shù)把復(fù)合函數(shù)中的中的 看作不變而對(duì)看作不變而對(duì) 的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)),(yxufz yx把把中的中的u 及及看作不變看作不變的偏導(dǎo)數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)而對(duì)而對(duì)吳新民吳新民- 7

47、4 -解解 xzxu vzxv veusin ),cossin(vvyeu yz uzyu vzyv 1cossin vexveuu).cossin(vvxeu y veucos 1 sin ,uzev ,uxy yxv ,zx .zy 例例1 設(shè)設(shè)而而求求zu 吳新民吳新民- 75 -解解ddzt v ttetettcossincos .cos)sin(costttet ddzuut ddzvvt zt teu )sin(t tcos sin ,zuvt ,tue tvcos d.dzt例例2 設(shè)設(shè)而而求全導(dǎo)數(shù)求全導(dǎo)數(shù)吳新民吳新民- 76 -例例3設(shè)設(shè)(1),xyzxy 求求,zzxy解解令

48、令1,uxy vxy則則vzu zx 1vvu 1() (1)xyxy xxy (1)ln(1)xyxyxy 同理同理zy 1() (1)xyxy yxy (1)ln(1)xyxyxy zuu x zvv x ylnvuu 1 吳新民吳新民- 77 -例例4設(shè)設(shè)2(,),zf xy x y計(jì)算計(jì)算2,zx y 其中其中f二階二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。解解 令令2,uxy vx y為方便起見(jiàn)記為方便起見(jiàn)記1( , ),f u vfu 2112( , ),ff u vfvu v 同理有同理有21122,fff則則zx 1f 在計(jì)算含有抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是應(yīng)當(dāng)注意在計(jì)算含有抽象復(fù)合函數(shù)的偏導(dǎo)數(shù)是

49、應(yīng)當(dāng)注意1) 要學(xué)會(huì)分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系要學(xué)會(huì)分析函數(shù)的復(fù)合關(guān)系2) 將導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算分開(kāi)做，不宜混為將導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算復(fù)合運(yùn)算分開(kāi)做，不宜混為一談一談.2f 2xyfu ux fv vx 吳新民吳新民- 78 -3) 在計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí)在計(jì)算高階偏導(dǎo)數(shù)時(shí),要注意要注意12,ff仍保持仍保持f的的復(fù)合關(guān)系復(fù)合關(guān)系.2122zfxyfx yy 1fy 1fy 21112fx f2321112222(2)2xffxxy fx yf2x 11f 12f 2x22xf 221222()xy fx f2f2xy 2fy 1fu uy 1fv vy 2fy 21f 22f 2x2fu uy 2fv v

50、y 吳新民吳新民- 79 -例例5 設(shè)設(shè)( ,),yzxf xx 求求222,.zzx yx 解解zffxxxf 12yfxffx22zx 1f 1f 22yfx 1(x f 12 f 二階偏導(dǎo)連續(xù)二階偏導(dǎo)連續(xù)f1f 2yx x 1( f2)f 2()yx x 1fx 2fyx 2fx 2()yx 2f 11)f 22()yx 2(yfx 12)f 22()yx fx 11xf 122yfx 2223yfx 吳新民吳新民- 80 -2zx y fy 1fxy 1x 2f 1xf 21fx 2yfx 12f 12zyfxffxx 2fyx 2fy ( ,)yf xx1x1x21x2222yfx

51、吳新民吳新民- 81 -2xfyf 22zfxx yy f 2xf f y yffx例例6設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)( )f u二階可導(dǎo)，二階可導(dǎo)，2(),yzx fx 求求2.zx y 解解zx 注意這里出現(xiàn)的抽象函數(shù)注意這里出現(xiàn)的抽象函數(shù)( )f u為變量為變量()yux 的一元函數(shù)的一元函數(shù).2xf 2xf 2xf2x fx 2()yx y fy 1x1xf 吳新民吳新民- 82 -222d( , , ),ln ,ln1,dzzf t u v ut vtt求求ddzt例例7 設(shè)設(shè) 解解 其中其中),(vutf二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)。t12f ttln23f 1f 22ddzt21t t1 22

52、(1ln ) tt ttln2 )ln21(333231fttftf 11f 1f 1f 11t1f 22lntt32f2( f2f 11t2)f 22lntt33f212tf 4ln13ttf 212tf 2122tf 22(1 ln )3ttf 24ln23ttf 224ln33ttf 吳新民吳新民- 83 -解解 xw1f2f yz2wx z 1f y yz 11f 11f 2xy2f12)f 2xy2( f12()y xz f222.xy zf 2yf 吳新民吳新民- 84 -例例9 設(shè)設(shè)22,()yzf xy 其中其中)(uf恒不為零的可導(dǎo)恒不為零的可導(dǎo)函數(shù)函數(shù),驗(yàn)證驗(yàn)證211.zz

53、zx xy yy解解zx 2yf f 2x22xyff zy 2ffy f ( 2 )y 2212yfff 11zzx xy y 2.zy 22yff 212yfyff 1yf 吳新民吳新民- 85 - 2 全微分形式不變性全微分形式不變性),(vufz dddzzzuvuv( , ),ux y ),(yxv 設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)，當(dāng)當(dāng)時(shí)，時(shí)，則有全微分則有全微分如果如果vu,是自是自變量，變量，由于由于dddzzzxyxydzuzvxuxvxdzuzvyuyvyddzuuxyuxyddzvvxyvxydzuu d .zvv 吳新民吳新民- 86 -全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)

54、：全微分形式不變形的實(shí)質(zhì)：dddzzzuvuv它的全微分形式是一樣的它的全微分形式是一樣的.zvu、vu、是自變量是自變量的函數(shù)，的函數(shù)，的函數(shù)，的函數(shù)，或中間變量或中間變量無(wú)論無(wú)論一階全微分形式不變性一階全微分形式不變性吳新民吳新民- 87 -例例10利用全微分形式不變性可以計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的一階利用全微分形式不變性可以計(jì)算較復(fù)雜函數(shù)的一階(偏偏)導(dǎo)數(shù)導(dǎo)數(shù).設(shè)設(shè)( , , ,),zf x y u w ( , ),( , , )ug x y wh x y u求求,.zzxy解解dz 12ddfxfy12312dd(dd )fxfyfgxgy312(dd )fgxgy4123( ddd )fh x

55、hyhu412( ddfh xhy312(dd )h gxgy1234ddddfxfyfufw吳新民吳新民- 88 -13141431()dff gf hf h gx23242432()dff gf hf h gy13141431zff gf hf h gx 23242432zff gf hf h gy 12312dd(dd )fxfyfgxgy412( ddfh xhy312(dd )h gxgy吳新民吳新民二二 隱函數(shù)的微分法隱函數(shù)的微分法- 89 -1 一個(gè)方程的情形一個(gè)方程的情形0),( yxF1)ddxyFyxF (隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理1),(yxF),(00yxP設(shè)函數(shù)設(shè)函

56、數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，, 0),(00 yxF, 0),(00 yxFy且且0),( yxF),(00yxP),(xfy 一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)一確定一個(gè)單值連續(xù)且具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)的函數(shù)則方程則方程在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒能唯的某一鄰域內(nèi)恒能唯),(00 xfy 它滿足條件它滿足條件( ,( )0,F x f x 并有并有定理定理2吳新民吳新民- 90 -公式的推導(dǎo)，公式的推導(dǎo)， 由于由方程由于由方程( , )0F x y 所確定的隱所確定的隱函數(shù)函數(shù)( )yy x 滿足滿足( , ( )0,F x y x 因此我們可以視方因此我們可以

57、視方程程兩邊對(duì)兩邊對(duì)x 求導(dǎo)，求導(dǎo)，中的中的 y為為x的函數(shù)，的函數(shù)，( , )0F x y 得得xFyF ddyx0 所以所以d.dxyFyxF 吳新民吳新民- 91 -解法解法1令令則則221( , )ln()arctan,2yF x yxyx( , )xFx y ( , )yFx y ddxyFyxF .xyyx 22lnarctan,yxyxd.dyx例例11 已知已知求求22,xyxy 222()xy 2x211( )yx 2()yx 22,yxxy 222()xy 2y211( )yx 1()x吳新民吳新民- 92 -解法解法2視方程視方程y為為x函數(shù)，函數(shù)，方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x

58、求導(dǎo)求導(dǎo))(222yx 2x211yx 2x.xyyxy 221ln()arctan2yxyx中中2y y y xy 即即xyy xyy 所以所以吳新民吳新民- 93 -0),( zyxFzxFFxz zyFFyz (隱函數(shù)存在定理隱函數(shù)存在定理2),(zyxF),(000zyxP設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，的某一鄰域內(nèi)有連續(xù)的偏導(dǎo)數(shù)，, 0),(000 zyxF, 0),(000 zyxFz且且0),( zyxF),(000zyxP),(yxfz 在點(diǎn)在點(diǎn)的某一鄰域內(nèi)恒的某一鄰域內(nèi)恒則方程則方程),(000yxfz 且且, 0),(,( yxfyxF并有并有2)定理定理3

59、能唯一的確定一個(gè)單值能唯一的確定一個(gè)單值 連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)連續(xù)且具有連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)的函數(shù)它滿足它滿足吳新民吳新民- 94 -解法一解法一 視方程視方程02 zxyeze中中z為為yx,函數(shù)，函數(shù)，方程兩邊分別關(guān)于方程兩邊分別關(guān)于yx,求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，xye y 2zx ze xz 0 xz2xyzyee xye x 2zy ze yz 0 yz2xyzxee ddd22xyxyzzyexezxyee20,xyzeze xz ,yz d . z例例12 已知已知求求和和的的說(shuō)明說(shuō)明 解法一是將方程解法一是將方程( , , )0F x y z 中的中的z看成看成x與與y的函數(shù)，的函數(shù)，

60、方程兩邊分別對(duì)方程兩邊分別對(duì)x與與y 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo).吳新民吳新民- 95 -解法二解法二20,xyzeze 令令2,xyzFeze 則則xF,xye ()y yF,xye ()x zF2 ,ze 所以所以xzFzxF ,2xyzyee yzFzyF ,2xyzxee ddd22xyxyzzyexezxyee說(shuō)明說(shuō)明解法二是將函數(shù)解法二是將函數(shù)( , , )F x y z看成看成x, y, z的三元的三元函數(shù)分別求偏導(dǎo)函數(shù)分別求偏導(dǎo).吳新民吳新民- 96 -解法三解法三d(2)0,xyzeze d()2dd0,xyzexyzez (2)d( dd )zxyezex yy x ddd(2)(2)x

61、yxyzzyexezxyeexz ,2 zxyeyeyz .2 zxyexe20,xyzeze 說(shuō)明說(shuō)明解法二解法二, 解法三一般針對(duì)一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，解法三一般針對(duì)一階偏導(dǎo)數(shù)的計(jì)算，求高階偏導(dǎo)數(shù)一般使用解法一求高階偏導(dǎo)數(shù)一般使用解法一.吳新民吳新民- 97 -視方程視方程04222 zzyx中的中的z為為、xy函數(shù)，函數(shù)，解解22240,xyzz22.zx 例例13 設(shè)設(shè)求求 的的方程兩邊對(duì)方程兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，x2z2 xz xz 40 0 ,2zxxz 對(duì)上面第一個(gè)式子兩邊關(guān)于對(duì)上面第一個(gè)式子兩邊關(guān)于x再求一次偏導(dǎo)數(shù)，再求一次偏導(dǎo)數(shù)，2xz 2xz 222xzz 224xz 0

62、 22xz zxz 2)(12.)2()2(322zxz 221()2xzz 吳新民吳新民- 98 -例例14 設(shè)設(shè)(,),zf xz yz其中其中f 一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 求求,.zzxy解法一解法一將方程中的將方程中的z看成看成 x,y 的函數(shù)，的函數(shù)，兩邊分別對(duì)兩邊分別對(duì)x ,y 求偏導(dǎo)數(shù)，求偏導(dǎo)數(shù)，zx 1f (1)zx 2,f zyx zx 1121ffyfzy 1fzy 2,f (zy )zy zy 2121zffyf吳新民吳新民- 99 -例例14 設(shè)設(shè)(,),zf xz yz其中其中f 一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù), 求求,.zzxy解法二解法二令令(,),Fzf x

63、z yz則則xF 1,f yF 2,f zzF 11f 2f yxzFzxF yzFzyF 所以所以1121ffyf 2121zffyf 吳新民吳新民- 100 -解解(,),zf xyzxyz ,zx ,xy .yz 例例15 設(shè)設(shè)求求將方程中的將方程中的z看成看成x,y的函數(shù)，的函數(shù)，兩邊對(duì)兩邊對(duì)x求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)xz 1f 2f )1(xz ),(xzxyyz xz 1212,1fyzffxyf 將方程中的將方程中的x看成看成 y,z 的函數(shù)，的函數(shù)， 兩邊對(duì)兩邊對(duì) y 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)02f 1f )1( yx),(yxyzxz 1212,fxzffyzf yx 吳新民吳新民- 101 -),

64、(xyzzyxfz 將方程中的將方程中的y看成看成 z,x 的函數(shù)，的函數(shù)， 兩邊對(duì)兩邊對(duì)z 求偏導(dǎo)求偏導(dǎo)12f 1f )1( zy),(zyxzxy zy 12121.fxyffxzf 吳新民吳新民- 102 -2 方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)方程組所確定的隱函數(shù)組及其導(dǎo)數(shù)隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形隱函數(shù)存在定理還可以推廣到方程組的情形. 0),(0),(vuyxGvuyxF ),(),(yxvvyxuu由由 F,G 的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式的偏導(dǎo)數(shù)組成的行列式vuvuGGFFvuGFJ ),(),(個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例個(gè)方程確定兩個(gè)隱函數(shù)的情況為例 ,即即稱為稱為GF,

65、的的雅可比雅可比( Jacobi )行列式行列式.以兩以兩吳新民吳新民- 103 -定理定理4,0),(0000 vuyxF的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏的某一鄰域內(nèi)具有連續(xù)偏設(shè)函數(shù)設(shè)函數(shù)),(0000vuyxP),(, ),(vuyxGvuyxF則方程組則方程組0),(,0),( vuyxGvuyxF3),(00yx在點(diǎn)在點(diǎn)的單值連續(xù)且一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)的單值連續(xù)且一階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)的函數(shù)( , ),( , ).uu x yvv x y1) 在點(diǎn)在點(diǎn)2)的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件的某一鄰域內(nèi)可唯一確定一組滿足條件滿足滿足:0),(),( PvuGFPJ;0),(0000 vuyxG導(dǎo)數(shù)；導(dǎo)數(shù)；

66、, ),(000yxuu ),(000yxvv 吳新民吳新民- 104 -,122122222222 zyxzyx(1 ,1 ,3 )(1 ,1 ,3 )dd,ddyzxx 4x 例例16 求求解解 (1, 1,3)d1dzx 設(shè)設(shè)視方程組中的視方程組中的zy,為為x的函數(shù)，的函數(shù)，x求導(dǎo)求導(dǎo),yxy (1, 1,3)d1,dyx ,3zxz 0242 z zyyx兩邊對(duì)兩邊對(duì)2y y 2z z 0 吳新民吳新民- 105 -解解將所給方程的兩邊對(duì)將所給方程的兩邊對(duì)x求導(dǎo)并移項(xiàng)求導(dǎo)并移項(xiàng)uyx uxx 22yxvyuxxu 22yxuyvxxv x y y x 同理將所給方程的兩邊對(duì)同理將所給方程的兩邊對(duì)y求導(dǎo)可得求導(dǎo)可得22yxvxuyyu 22yxvyuxyv 0,xuyv 1,yuxv ,ux ,uy ,vx .vy 例例17 設(shè)設(shè)求求vyx u vxx v 吳新民吳新民- 106 -習(xí)題課一習(xí)題課一2()xy 一一 多元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)性多元函數(shù)的概念、極限、連續(xù)性多元函數(shù)的復(fù)合、定義域多元函數(shù)的復(fù)合、定義域例例1 已知已知22(,),f xy xyxy求求( , )f