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1、材料力學課件材料力學課件Fuzhou University材料力學課件材料力學課件Fuzhou University# 外力功：外力功：W# 應變能：應變能：Ve e功能原理：功能原理：W = Ve e( (略去其它形式，少量的能量損失）略去其它形式，少量的能量損失）材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityFl2122F lVWF lEA # 軸力軸力 FN 是是 x 的函數(shù)時的函數(shù)時2N( )dd2FxxVEA2N( )d2lFxxVEA# 應變能密度應變能密度2122Ee lF l lF材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitylMeMeMe2eep122

2、M lVWMGIepM lGI# 扭矩扭矩 T 是是 x 的函數(shù)時的函數(shù)時2p( )d2lTxxVGI2p( )dd2TxxVGI# 純剪切，應變能密度純剪切，應變能密度2122G材料力學課件材料力學課件Fuzhou University# 純彎曲純彎曲2ee122M lVWMEIeM lEIl MeMe Me材料力學課件材料力學課件Fuzhou University# 橫力彎曲橫力彎曲對于對于細長梁細長梁，剪力引起的，剪力引起的應變能應變能與彎矩引起的應與彎矩引起的應變能相比很小，通常可以變能相比很小，通?？梢院雎圆挥嫼雎圆挥嫞÷允÷詃M(x)純彎曲純彎曲2e2M lVEI2( )dd2M

3、xxVEI2( )d2lMxxVEIldxxF1F2FS(x)FS(x)M(x)M(x)+dM(x)dxd 材料力學課件材料力學課件Fuzhou University討論：討論： 應變能統(tǒng)一寫為應變能統(tǒng)一寫為12VWF廣義力廣義力F廣義位移廣義位移（可以代表一個力，一個力偶，一對（可以代表一個力，一個力偶，一對力或一對力偶）力或一對力偶）（可以代表一個線位移，一個角位移，（可以代表一個線位移，一個角位移，一對線位移或一對角位移）一對線位移或一對角位移） 非線性彈性固體非線性彈性固體F1F1Fd10dVWF10de e材料力學課件材料力學課件Fuzhou University例例1 1 簡支梁，

4、跨中受集中力簡支梁，跨中受集中力F 作用，計算其應變能及最大作用，計算其應變能及最大撓度。撓度。Fl / 2l / 2Fl / 4 max解解: : 彎矩方程彎矩方程( )2FxM x （1 1）應變能）應變能2 2 022 3 2 0( )2 d2()22 d296llMxVxEIFxF lxEIEI（2 2）最大撓度）最大撓度2 3max1296F lVFEI3max48FlEI材料力學課件材料力學課件Fuzhou University例例2 2 由應變能密度公式，導出橫力彎曲時的彎曲應變能和由應變能密度公式，導出橫力彎曲時的彎曲應變能和剪切應變能。剪切應變能。mdxxn解解: : mn截

5、面，距中性軸為截面，距中性軸為y 處的應力處的應力y( )M xyI22212( )22MxyEEIS( )zF x SIb222S222( )()22zFx SGGI b材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitymdxxnyzbhydAy單元體的體積：單元體的體積：dddVAx彎曲應變能：彎曲應變能：2212( )2MxyEI22S222( )()2zFx SGI b2212( )dd d2MxVyA xEI剪切應變能：剪切應變能：22S222( )()dd d2zFx SVA xGI b整個梁的彎曲應變能：整個梁的彎曲應變能：22212( )( )ddd22lAlMxMxx

6、VyAxEIEI材料力學課件材料力學課件Fuzhou University222SS222( )( )()ddd22zlAlFxkFxSVAxxGIbGAmdxxnyzbhydAy2212( )dd d2MxVyA xEI22S222( )()dd d2zFx SVA xGI b整個梁的彎曲應變能：整個梁的彎曲應變能：21( )d2lMxxVEI整個梁的剪切應變能：整個梁的剪切應變能：* 222()dzASAkAIb材料力學課件材料力學課件Fuzhou University橫力彎曲時梁的應變能：橫力彎曲時梁的應變能：22S( )( )dd22llkFxMxxVxEIGA討論：討論： k 量綱一

7、的因數(shù)量綱一的因數(shù)矩形截面：矩形截面：* 222()dzASAkAIb6/5k 圓形截面：圓形截面：10/9k bhFl / 2l / 2x 對于矩形截面對于矩形截面S( ), ( )22FFM xxF x2211215VhVl材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitybhFl / 2l / 2x2211215VhVl51 , 3 . 0lh(i)21:0.125VV 101 , 3 . 0lh(ii)21:0.0312VV l 所以，對細長梁，剪切應變能可所以，對細長梁，剪切應變能可忽略不計忽略不計材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityF3F1F2321l

8、 線彈性線彈性體體 l 無剛體位移無剛體位移l 廣義力廣義力 F1 , F2 , F3 l 力作用點沿力的方向的力作用點沿力的方向的廣義位移廣義位移 1 1 , , 2 , , 3 l 比例加載：比例加載：比例系數(shù)比例系數(shù) 時廣義力的大小為時廣義力的大小為: :01123,FFF相應的廣義位移為相應的廣義位移為: :123,材料力學課件材料力學課件Fuzhou University當當 有有d 增量時增量時, , 位移的增量為位移的增量為: :則外力在位移增量上做的功為則外力在位移增量上做的功為: :積分得到力的總功為積分得到力的總功為: :123,FFF123,F3F1F2321 Fn123

9、d ,d ,d , 1122331 12233dddddWFFFFFF 11 1223301 12233d111222WFFFFFF 材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityF3F1F2321 Fn力的總功為力的總功為: :1 12233111222WFFF由功能原理，應變能為由功能原理，應變能為: : 應變能的普遍表達式，又稱為應變能的普遍表達式，又稱為克拉貝依隆原理克拉貝依隆原理注意注意： i 是由是由F1 , F2 , F3 共同共同作用作用下產(chǎn)生下產(chǎn)生的位移的位移，1 12233111222VWFFFe可以證明該原理也適用于非比例加載情況可以證明該原理也適用于非比例加

10、載情況材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityN222Np111d( )d()( )d( )d222( )d( )d( )d222VFxlM xT xFxxMxxTxxEAEIGI222N p( )d( )d( )d 222lllFxxMxxTxxVEAEIGI小變形時，不計小變形時，不計FS產(chǎn)生的應變能產(chǎn)生的應變能dxFN(x)M(x)M(x)T(x)T(x)FN(x)材料力學課件材料力學課件Fuzhou University13. 4 互等定理互等定理F11 11112 2121F2 2222 121212兩種受力情況，兩種受力情況，1F1121,2F1222,F11 1

11、111 1212 2222F22 1111 2121 22222F21F1先加先加 F1 再加再加 F2 ，加載方式加載方式1 1：11 112221122VFF1 12F先加先加 F2 再加再加 F1 ，加載方式加載方式2 2：22221 111122VFF221F材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityF11 1111 1212 2222F22 1111 2121 22222F21F111 112221122VFF22221 111122VFF先加先加 F1 再加再加 F2 ，先加先加 F2 再加再加 F1 ，12VV1 12221FF1 12F221F功的互等定理：功的

12、互等定理：對于線彈性體，對于線彈性體，F(xiàn)1 在在 F2 引起的位移引起的位移 1212上所作的功，等于上所作的功，等于F2 在在F1引起的位移引起的位移 2121上所作的功上所作的功材料力學課件材料力學課件Fuzhou University討論：討論：位移互等定理：位移互等定理：lBAF112lBA12F212221 12221FF如果令如果令 F1 = F2 = F1221位移互等定理：位移互等定理：F力作用在力作用在 1 點處引起點處引起 2 點處點處的位移等的位移等于其作用在于其作用在 2 點處引起點處引起 1 點處的位移點處的位移1121材料力學課件材料力學課件Fuzhou Unive

13、rsity例例3. 3. 用互等定理求解超靜定梁。用互等定理求解超靜定梁。解：解：力力 位移位移EIlalEIa3),3(63221由功的互等定理由功的互等定理021BRPlPaCAB1XBRP ,0 (at point B)03)3(632EIlRalEIPaB)3(232allPaRBPRBCABX=1CAB21材料力學課件材料力學課件Fuzhou University13. 5 卡氏定理卡氏定理以梁彎曲問題為例，推導卡氏定理以梁彎曲問題為例，推導卡氏定理11212,niiiiVFf F FF令第令第i個載荷發(fā)生增量個載荷發(fā)生增量dFi，diiVVFF應變能應變能應變能增量應變能增量若先加

14、若先加dFi，1d d2iiF應變能應變能再加再加Fi，11d2niiiiiFF應變能增量應變能增量12ini材料力學課件材料力學課件Fuzhou University12ini注意到應變能與加載次序無關，注意到應變能與加載次序無關，11111dd dd222nniiiiiiiiiiiiVFFFFFF消去同類項，略去高階項，得到消去同類項，略去高階項，得到iiVF卡氏第二定理：卡氏第二定理：線彈性體線彈性體的應變能的應變能 Ve e 對第對第 i 個載荷個載荷 Fi 的偏導數(shù)的偏導數(shù) Ve e/ / Fi 等于等于Fi 作用點處沿作用點處沿Fi 作用方向的位移作用方向的位移 i材料力學課件材料

15、力學課件Fuzhou University討論：討論：橫力彎曲橫力彎曲橫力彎曲的應變能橫力彎曲的應變能2( )d2lMxxVEI代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiVF2( )d2liMxxFEI交換求導和積分的次序，有交換求導和積分的次序，有( )( )diliM xM xxEIF材料力學課件材料力學課件Fuzhou University 桁架、拉、壓桿桁架、拉、壓桿設有設有n 根桿，則應變能為根桿，則應變能為: :2N12nj jjjF lVEA代入卡氏第二定理代入卡氏第二定理iiVFNN1nj jjjjiF lFEAF材料力學課件材料力學課件Fuzhou University例例4.4.

16、 外伸梁受力如圖，已知外伸梁受力如圖，已知 P, m, EI, l, a，確定確定wC, A A解：解： 彎矩方程彎矩方程lmPlalRlPalmRBA ,AB段段：mxlPalmmxRxMA111)()(1)( ,)(1111lxmxMxlaPxMBC段段：22)(PxxM0)( ,)(222mxMxPxMPBAClamRARBx2x1材料力學課件材料力學課件Fuzhou University1)( ,)(1111lxmxMxlaPxMmxlPalmxM11)()(22)(PxxM0)( ,)(222mxMxPxM 確定確定C點的撓度點的撓度 22021011d1d 1xxPxEIxxlam

17、xlPalmEIal11221200( )( )d()()()()ddCllaVM xM xwxPEIPM xM xM xM xxxEIPEIP363132PamallPaEIPBAClamRARBx2x1材料力學課件材料力學課件Fuzhou University 確定截面確定截面A的轉角的轉角 2021011d01d11xPxEIxlxmxlPalmEIal20221011d )()(d)()( xmxMEIxMxmxMEIxMal( )( )dAlVM xM xxmEIm631PalmlEI1)( ,)(1111lxmxMxlaPxMmxlPalmxM11)()(22)(PxxM0)( ,

18、)(222mxMxPxMPBAClamRARBx2x1材料力學課件材料力學課件Fuzhou University例例5.5. 剛架受力如圖所示，試確定剛架受力如圖所示，試確定 C、 Dx，忽略軸力和剪，忽略軸力和剪力對應變能的影響。力對應變能的影響。解：解： 為求為求 C，在，在C 處施加一附加力偶矩處施加一附加力偶矩maammRRaDA2( (方向相反方向相反) )BACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityCD段：段：axmxMxammxRxMaaD2)( ;2)(11111CB段：段：0)( ;2)(22aaDmxMmma

19、RxMAB段：段：0)(; 0)(33amxMxMBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA材料力學課件材料力學課件Fuzhou University)(3200d22111201aaammEIaxaxxammEI令令 , 0amEImaC322331122123000( )( )d()()()()()()dddCaalaaaaaaVM xM xxmEImM xM xM xM xM xM xxxxEImEImEImeBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA討論：討論：可在積分前令可在積分前令0am材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityEImaDx161

20、72ACDBmx1x3x2PaRDRAyRAxBACDm2aaaACDBmx1x3x2maRDRA 為求為求 Dx，在，在D 處施加一附加力處施加一附加力Pa材料力學課件材料力學課件Fuzhou Universitysin)(;sin)(RPMPRM(在在 mm截面截面)20( )( )1 d(sin )( sin ) dBysVMMsPRRRPEIPEIeEIPRBy43RPBAmmds例例6.6. 軸線為軸線為四分之一圓周的平面曲桿如圖示，四分之一圓周的平面曲桿如圖示，EI為常量，求為常量，求B點的垂直和水平位移點的垂直和水平位移。解：解： (1) 計算計算B點的垂直位移點的垂直位移 B

21、By材料力學課件材料力學課件Fuzhou University（2）計算）計算B點的水平位移點的水平位移)cos1 ( );cos1 (sinRPMRPPRMaa20302d)cos1 (sin1dEIPRRRPREIsPMEIMPUaPsaaBx）（RPBAmmdsRPBAmmdsPa材料力學課件材料力學課件Fuzhou University13. 6 虛功原理虛功原理x x 虛位移虛位移 x ：滿足滿足邊界條件邊界條件和和連續(xù)性條件連續(xù)性條件的微小位移的微小位移微小位移微小位移 符合符合小變形小變形要求要求虛功：虛功：桿件上的力由于虛位移而完成的功桿件上的力由于虛位移而完成的功設想把桿件分

22、成無窮設想把桿件分成無窮多微段，任取一微段多微段，任取一微段qFSFNM材料力學課件材料力學課件Fuzhou University x FNqFSM總虛功總虛功 = 所有微段的內、外力虛功所有微段的內、外力虛功逐段相加（積分）逐段相加（積分）因為虛位移是連續(xù)的，兩個相鄰微段的公共截面因為虛位移是連續(xù)的，兩個相鄰微段的公共截面的位移和轉角是相同的，但相鄰微段公共截面上的位移和轉角是相同的，但相鄰微段公共截面上的內力卻是大小相等、方向相反的，故它們所作的內力卻是大小相等、方向相反的，故它們所作的虛功相互抵消。的虛功相互抵消?？偺摴偺摴?= = 外力在虛位移中所做的功外力在虛位移中所做的功廣義力：

23、廣義力：123, ( ),F FFq x力作用點沿力方向的力作用點沿力方向的廣義虛位移：廣義虛位移：*123,( ),x 總虛功：總虛功：*1 12233( )( )dlWFFFq xxx材料力學課件材料力學課件Fuzhou University+=+d l d dl l qFSM x FN另一方法計算總虛功：另一方法計算總虛功：剛性虛位移剛性虛位移虛變形虛變形微段上的平衡力系（包括外力和內微段上的平衡力系（包括外力和內力）在剛體虛位移上作功總和為零力）在剛體虛位移上作功總和為零只有兩端截面的內力在虛變形上作功只有兩端截面的內力在虛變形上作功*NSdd()ddWFlMFl總虛功：總虛功：*NS

24、d()ddlllWFlMFl材料力學課件材料力學課件Fuzhou University+=+d l d dl l qFSM x FN*1 12233*NS( )( )dd()ddllllFFFq xxxFlMFl虛功原理：虛功原理：在虛位移上，外力所作的虛功等于內力在相在虛位移上，外力所作的虛功等于內力在相應虛變形上所作的虛功應虛變形上所作的虛功虛功原理可用于虛功原理可用于線彈性線彈性材料，也可用于材料，也可用于非線性彈性非線性彈性材料材料材料力學課件材料力學課件Fuzhou University13. 7 單位載荷法莫爾積分單位載荷法莫爾積分aa AA aaA1為計算剛架上某一點為計算剛架上

25、某一點沿某方向的位移沿某方向的位移 加加一一單位力單位力把剛架在原有外力作用下把剛架在原有外力作用下的位移作為虛位移的位移作為虛位移由虛功原理由虛功原理NS( ),( ),( )FxM xFxNS1( )d()( )d( )dFxlM xFxl 其中，其中，NS( ),( ),( )FxM xFx為單位力引起的內力為單位力引起的內力d(), d , dll為原有外力引起的變形為原有外力引起的變形材料力學課件材料力學課件Fuzhou University由虛功原理由虛功原理其中，其中，為單位力引起的內力為單位力引起的內力d(), d , dll為原有外力引起的變形為原有外力引起的變形# 幾種簡化

26、的形式幾種簡化的形式 以彎曲變形為主的桿件以彎曲變形為主的桿件( )dlM x 拉壓桿拉壓桿Nd()Fl 軸力為常量軸力為常量NN( ) d()( )lFxlFxl n 根桿的桿系根桿的桿系N1niiiFl 扭轉扭轉( )dlT x NS1( )d()( )d( )dFxlM xFxl NS( ),( ),( )FxM xFx材料力學課件材料力學課件Fuzhou University對于對于線彈性線彈性材料，實際載荷引起的變形分別為材料，實際載荷引起的變形分別為( )ddM xxEINF llEA p( )ddT xxGI( )dlM x 則：則：( )( )dlM x M xxEI NN1n

27、ii iiiF F lEA N1niiiFl ( )dlT x p( ) ( )dlT x T xxGI 這些公式統(tǒng)稱為這些公式統(tǒng)稱為莫爾定理莫爾定理，式中的積分稱為，式中的積分稱為莫爾積分莫爾積分材料力學課件材料力學課件Fuzhou University式中：加一杠的內力是式中：加一杠的內力是單位力單位力引起的內力；引起的內力； 未加杠的內力是未加杠的內力是原外力原外力引起的內力。引起的內力。顯然，莫爾積分僅適用于顯然，莫爾積分僅適用于線彈性線彈性結構。結構。( )( )dlM x M xxEI NN1ni iiiF F lEA p( ) ( )dlT x T xxGI lBAlBA11AB

28、l 求相對位移求相對位移材料力學課件材料力學課件Fuzhou University例例7.7.確定懸臂梁確定懸臂梁B點的撓度。點的撓度。由莫爾積分，由莫爾積分，解：解：xBAx2( )2qxM xFx FABlq( )M xx 2 043( )( )1 d ()()d283lBlM x M xqxwxFxxxEIEIqlFlEIEI材料力學課件材料力學課件Fuzhou University解：解： (1) (1) 在在A點作用垂直向下的單位力點作用垂直向下的單位力AB段段: :BC段段: :ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x1例例8.8. 剛架受力剛架受力如圖示，各段如圖示，各段

29、EI 已于圖中標出，若不計軸力和已于圖中標出，若不計軸力和剪力對位移的影響，求剪力對位移的影響，求A點的垂直位移及截面點的垂直位移及截面B的轉角的轉角。1111(), ()M xFxM xx 22(), ()M xFaM xa 材料力學課件材料力學課件Fuzhou University由莫爾積分由莫爾積分ACFBalEI1EI21ACBx1x2x2x11111(), ()M xFxM xx 22(), ()M xFaM xa 1122120012111200123212()()()()d d11dd3alyalM x M xM x M xxxEIEIFxxxFaaxEIEIFaFa lEIEI

30、材料力學課件材料力學課件Fuzhou University(2) (2) 在在B截面上作用一單位力偶截面上作用一單位力偶: :AB段段: :BC段段: :ACB由莫爾積分由莫爾積分 （順時針）（順時針）1x1x21ACBx1x2ACFBalEI1EI2x2x1111(), ()0M xFxM x 22(), ()1M xFaM x 202211 dlBFalFaxEIEI 材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityBAORFFdds例例9.9. 活塞環(huán)活塞環(huán)如圖示，試計算在如圖示，試計算在F力作用下切口的張開量。力作用下切口的張開量。解：解： 對于曲桿可近似用直桿的公式；只考慮

31、彎矩的影響對于曲桿可近似用直桿的公式；只考慮彎矩的影響實際載荷的彎矩：實際載荷的彎矩：由于對稱性，計算時彎矩只列寫環(huán)的一半，計算結果乘由于對稱性，計算時彎矩只列寫環(huán)的一半，計算結果乘2 2 處截面處截面: :( )(1 cos )MFR 在在A、B兩點沿兩點沿AB方向加一對方向相反的單位力方向加一對方向相反的單位力加單位力加單位力 BAOR11材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversityBAORFFddsBAOR11dds單位力的彎矩單位力的彎矩: : 處截面處截面: :)cos1 ()(RM代入莫爾積分公式代入莫爾積分公式0( )( )2dABMMREI02(1 cos )(1

32、 cos )dFRRREI33FREI( )(1 cos )MFR 實際載荷的彎矩：實際載荷的彎矩：材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitylBACDl解：解： 對桿件編號對桿件編號, ,如圖示如圖示BACD12345BACD12345111例例10.10. 簡單桁架簡單桁架如圖示，各桿如圖示，各桿EA相同，試計算在圖示載荷作用相同，試計算在圖示載荷作用下節(jié)點下節(jié)點B的水平位移和的水平位移和A、D兩節(jié)點間的相對位移。兩節(jié)點間的相對位移。12345(1) (1) 計算各桿的軸力計算各桿的軸力2FFFF0F2F2F(2) (2) 為計算節(jié)點為計算節(jié)點B的水平位移，在的水平位移，在

33、B點加一水平單位力點加一水平單位力材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2F桿件編號桿件編號NiF12345F2FF02FNiFBACD12345100012ilNNii iF F l00102llll2l00Fl02 2Fl111NN12 2ii iF F lFl材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2FNN12 2ii iF F lFl(2) (2) 為計算節(jié)點為計算節(jié)點B的水平位移，在的水平位移，在B點加一水平單位力點加一水平單位力5NN112 23.828ii iBx

34、iF F lFlFlEAEAEA 代入莫爾積分公式代入莫爾積分公式BACD12345100012111( (向左向左) ) 材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2FBACD1234511(3) (3) 為計算為計算A、D間的相對位移，在間的相對位移，在A點和點和D點點沿沿AD聯(lián)聯(lián)線線作用一對相反的作用一對相反的單位力單位力1/21NiF桿件編號桿件編號12345NiFF2FF02FNNii iF F lilllll2l/2Fl2/2Fl/2Fl02FlNN2ii iF F lFl1/21/21/2材料力學課件材料力學課件Fuzhou UniversitylBACDl123452FFFF0F2F2FBACD1234511(3) (3) 為計算為計算A、D間的相對位移，在間的相對位移，在A點和點和D點點沿沿AD聯(lián)線聯(lián)線作用一對相反的單位力作用一對相反的單位力NN2ii iF F lFl（A D兩點距離伸長）兩點距離伸長）5NN12ii iADiF F lFlEAEA材料力學課件材料力學課件Fuzhou University材料力學課件材料力學課件Fuzhou University材料力學課件材料力學課件Fuzhou University材料力學課件材料力學課件Fuzhou University