《2018-2019學年高中數學 第三章 空間向量與立體幾何練習 新人教A版選修2-1》由會員分享，可在線閱讀，更多相關《2018-2019學年高中數學 第三章 空間向量與立體幾何練習 新人教A版選修2-1（12頁珍藏版）》請在裝配圖網上搜索。

1、第三章 空間向量與立體幾何(時間：120分鐘，滿分：150分)一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的1已知A(3，2，1)，B(1，0，4)，則線段AB的中點坐標和|是()A.，B.，C.，D.，解析：選A.設P(x，y，z)是AB中點，則()(3，2，1)(1，0，4)，dAB|.2直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，則等于()Aabc BabcCabc D.abc解析：選D.如圖，bac.3平面的法向量u(1，2，1)，平面的法向量v(2，2，8)，若，則的值是()A2 B2C2 D.不存在解析：選C.uvuv024802.4在空

2、間四邊形ABCD中，若向量(3，5，2)，(7，1，4)，點E，F(xiàn)分別為線段BC，AD的中點，則的坐標為()A(2，3，3) B(2，3，3)C(5，2，1) D.(5，2，1)解析：選B.取AC中點M，連接ME，MF，則，所以(2，3，3)，故選B.5已知四面體ABCD的所有棱長都是2，點E，F(xiàn)分別是AD，DC的中點，則()A1 B1C. D.解析：選B.如圖所示，所以()22cos 601，故選B.6在正方體ABCDA1B1C1D1中，若E為A1C1的中點，則與直線CE垂直的直線是()AAC BBDCA1D D.A1A解析：選B.以A為原點，AB，AD，AA1所在直線分別為x軸、y軸、z軸

3、建立空間直角坐標系(圖略)設正方體的棱長為1，則A(0，0，0)，C(1，1，0)，B(1，0，0)，D(0，1，0)，A1(0，0，1)，E，所以，(1，1，0)，(1，1，0)，(0，1，1)，(0，0，1)顯然00，所以，即CEBD.7已知a3m2n4p0，b(x1)m8n2yp，且m，n，p不共面，若ab，則x，y的值為()Ax13，y8 Bx13，y5Cx7，y5 D.x7，y8解析：選A.因為ab且a0，所以ba，即(x1)m8n2yp3m2n4p.又因為m，n，p不共面，所以，所以x13，y8.8已知棱長為1的正方體ABCDA1B1C1D1的上底面A1B1C1D1的中心為O1，則

4、的值為()A1 B0C1 D.2解析：選C.由于()()，而，則()()()2(22)1.9已知直線l的方向向量為n(1，0，2)，點A(0，1，1)在直線l上，則點P(1，2，2)到直線l的距離為()A. B.C. D.2解析：選A.過P點作PHl于H點，則，由n，可設n(，0，2)所以(1，1，1)(，0，2)(1，1，21)，由n，得12(21)0，解得.所以.因此點P到l的距離為|，選A.10在四棱錐PABCD中，(4，2，3)，(4，1，0)，(6，2，8)，則這個四棱錐的高h()A1 B2C13 D.26解析：選B.設平面ABCD的法向量為n(x，y，z)，則，即，設y4，則n，所

5、以cosn，所以h22，故選B.11.如圖，將邊長為1的正方形ABCD沿對角線BD折成直二面角，若點P滿足，則|2的值為()A. B3C. D.解析：選D.由題可知|1，|1，|.，45，45，60.所以|2()222221111.12三棱柱ABCA1B1C1的側棱與底面垂直，AA1ABAC1，ABAC，N是BC的中點，點P在A1B1上，且滿足：，則直線PN與平面ABC所成角取最大值時的值為()A. B.C. D.解析：選A.如圖，分別以，為單位正交基底建立空間直角坐標系Axyz，則P(，0，1)，N，(，1)易得平面ABC的一個法向量n(0，0，1)，則直線PN與平面ABC所成的角滿足：si

6、n |cos，n|，于是問題轉化為二次函數求最值，而，所以當sin 最大時，最大所以當時，sin 最大，為，同時直線PN與平面ABC所成的角取到最大值二、填空題：本題共4小題，每小題5分13已知正方體ABCDA1B1C1D1的棱長為a，則_解析：|cos，aacos 60a2.答案：a214在空間直角坐標系Oxyz中，已知A(1，2，0)，B(2，1，)，則向量與平面xOz的法向量的夾角的正弦值為_解析：設平面xOz的法向量為n(0，t，0)(t0)又(1，3，)，所以cosn，因為n，0，所以sinn， .答案：15點P是底邊長為2，高為2的正三棱柱表面上的動點，MN是該棱柱內切球的一條直徑

7、，則的取值范圍是_解析：由題意知內切球的半徑為1，設球心為O，則()()()|21.因為1|，所以0，4答案：0，416如圖所示，在直三棱柱ABCA1B1C1中，底面是以ABC為直角的等腰三角形，AC2a，BB13a，D是A1C1的中點，點E在棱AA1上，要使CE平面B1DE，則AE_解析：建立如圖所示的空間直角坐標系，則A(a，0，0)，B1(0，0，3a)，C(0，a，0)設點E的坐標為(a，0，z)，則(a，a，z)，(a，0，z3a)由，得2a2z23az0，解得za或2a，即AEa或2a.答案：a或2a三、解答題：解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟17(本小題滿分10分)如圖所示

8、，在四棱錐MABCD中，底面ABCD是邊長為2的正方形，側棱AM的長為3，且AM和AB，AD的夾角都是60，N是CM的中點，設a，b，c，試以a，b，c為基向量表示出向量，并求BN的長解：()().所以abc，|22(a2b2c22ab2ac2bc)，所以|，即BN的長為.18(本小題滿分12分)四邊形ABCD為矩形，PA平面ABCD，PAAD，M、N分別是PC、AB的中點，求證：MN平面PCD.證明：建立空間直角坐標系如圖所示，設PAADa，ABb，則P(0，0，a)，D(0，a，0)，B(b，0，0)，C(b，a，0)，N，M，所以，(b，0，0)，(b，a，a)，所以0，0，所以，即MN

9、PC，MNDC，又因為PCDCC，MN平面PCD，所以MN平面PCD.19(本小題滿分12分)如圖所示，平行四邊形ABCD中，DAB60，AB2，AD4，將CBD沿BD折起到EBD的位置，使平面EBD平面ABD.(1)求證：ABDE；(2)若點F為BE的中點，求直線AF與平面ADE所成角的正弦值解：(1)證明：在ABD中，由余弦定理，得BD2AB2AD22ABADcosDAB，即BD24161612，所以BD2，所以BD2AB2AD2，所以ABD和EBD均為直角三角形，所以EDDB.又DB是平面EBD和平面ABD的交線，且平面EBD平面ABD，ED平面EBD，所以ED平面ABD.又AB平面AB

10、D，所以ABDE.(2)由(1)知ABDCDB90，以D為坐標原點，DB，DC，DE所在的直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系(圖略)，則D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，E(0，0，2)，A(2，2，0)，F(xiàn)(，0，1)，所以(2，2，0)，(0，0，2)，(，2，1)設平面ADE的法向量為n(x，y，z)，則有即令x1，則y.又z0，所以n(1，0)設直線AF與平面ADE所成的角為，則有sin |cosn，|.20(本小題滿分12分)如圖，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是平行四邊形，PG平面ABCD，垂足為G，G在AD上，且PG4，AGGD，BGGC，GBG

11、C2，E是BC的中點(1)求異面直線GE與PC所成角的余弦值；(2)若F是棱PC上一點，且DFGC，求的值解：(1)以G點為原點，GB，GC，GP所在直線分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標系，則B(2，0，0)，C(0，2，0)，P(0，0，4)，故E(1，1，0)，(1，1，0)，(0，2，4)因為cos，所以GE與PC所成角的余弦值為.(2)因為，所以D.設F(0，y，z)，則(0，y，z).因為，所以0，即(0，2，0)2y30，所以y.又點F在PC上，所以，即(0，2，4)，所以z1，故F，所以，所以3.21(本小題滿分12分)在ABC中，AB4，AC4，BAC45，以AC的中線B

12、D為折痕，將ABD沿BD折起，構成二面角ABDC，在平面BCD內作CECD，且CE，連接DE，AE，AC，如圖所示(1)求證：CE平面ABD；(2)若二面角ABDC的大小為90，求二面角BACE的余弦值解：(1)證明：由AB4，AC4，BAC45，得BC4，所以ABC為等腰直角三角形，又D為AC的中點，所以BDAC.所以折起后BDCD.又CECD，所以CEBD，因為CE平面ABD，BD平面ABD，所以CE平面ABD.(2)由二面角ABDC的大小為90，ADBD，得AD平面BCD，由(1)知BDCD，于是以D為坐標原點，分別以DB，DC，DA所在直線為x，y，z軸，建立如圖所示的空間直角坐標系設

13、F為AC的中點，連接DF，則DFAC，且DF2.因為CECD，AD平面BCD，所以CE平面ACD，所以DFCE，所以DF平面ACE.易求得BDCDAD2，所以D(0，0，0)，B(2，0，0)，C(0，2，0)，A(0，0，2)，F(xiàn)(0，)所以平面ACE的一個法向量為(0，)又(2，0，2)，(0，2，2)，設平面ABC的法向量為n(x，y，z)，則n0，n0，所以xyz，取n(1，1，1)為平面ABC的一個法向量所以cosn，根據圖形可知二面角BACE的余弦值為.22(本小題滿分12分)如圖，四邊形PDCE為矩形，四邊形ABCD為梯形，平面PDCE平面ABCD，BADADC90，ABADCD

14、1，PD.(1)若M為PA的中點，求證：AC平面MDE；(2)求直線PA與平面PBC所成角的正弦值；(3)在線段PC上是否存在一點Q(除去端點)，使得平面QAD與平面PBC所成的銳二面角的大小為？解：(1)證明：如圖，在矩形PDCE中，設PC交DE于點N，則點N為PC的中點連接MN.在APC中，點M為PA的中點，點N為PC的中點，所以ACMN.又MN平面MDE，AC平面MDE，所以AC平面MDE.(2)由ADC90，得ADCD，由平面PDCE平面ABCD，且平面PDCE平面ABCDCD，得AD平面PDCE，所以ADPD.在矩形PDCE中，PDCD，則DA，DC, DP兩兩垂直以D為坐標原點，D

15、A，DC，DP所在的直線分別為x，y，z軸，建立空間直角坐標系，則D(0，0，0)，A(1，0，0)，P(0，0，)，B(1，1，0)，C(0，2，0)，所以(1，0，)，(0，2，)，(1，1，0)設平面PBC的法向量為n(x，y，z)，則，取n(1，1，)設直線PA與平面PBC所成角為，則sin .所以直線PA與平面PBC所成角的正弦值為.(3)假設存在點Q滿足條件，則可設(01)，得Q(0，22，)又(1，0，0)，(0，22，)，設平面QAD的法向量為n1(x1，y1，z1)，則由，令y1，則n1(0，22)由平面QAD與平面PBC所成的銳二面角為，得cos ，所以或1(舍去)，所以所求點Q為線段CP上靠近點C的一個三等分點，即在線段PC上存在點Q滿足條件12