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1、平新喬《微觀經(jīng)濟學(xué)十八講》答案 EatingNoodles 第四講 VNM效用函數(shù)與風(fēng)險升水 1 （單項選擇）一個消費者的效用函數(shù)為，則他的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)為： （A） （B） （C） （D） 解：B．計算過程為 ． 2 證明：若一個人的絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)為常數(shù)，則其效用函數(shù)形式必為，這里代表財產(chǎn)水平． 說明：這個結(jié)論是有問題的，若要成立需要加上條件． 證明：由已知得 ， 因此 ，其中，為任意實數(shù)． 如果，根據(jù)效用函數(shù)可單調(diào)變換的性質(zhì)，該偏好可以用效用函數(shù)形式表示．如果，那么該偏好可以用效用函數(shù)形式表示． 3 若一個人的效用函數(shù)為，證明：其絕對風(fēng)險規(guī)

2、避系數(shù)是財富的嚴(yán)格增函數(shù)． 說明：這個結(jié)論是有問題的．一個正確的結(jié)論是，補充條件，絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)在時，是財富的嚴(yán)格增函數(shù)． 證明：直接運用絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)的定義： 當(dāng)時， ，； 即，絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)在上是財富的嚴(yán)格增函數(shù)． 注意：，． [注]在出現(xiàn)從負(fù)無窮到正無窮的跳躍，與時，效用是財富的減函數(shù)，而時是財富的增函數(shù)有關(guān)．不過，也許正是為了避免很不符合實際又麻煩的情況，一般研究不確定情況下的選擇時，效用函數(shù)被認(rèn)定為財富的增函數(shù)；而下面的所有類似題目中，我均假設(shè)效用函數(shù)為財富的增函數(shù)． 另外，我在題目中沒有限制財富量為非負(fù)． 4 設(shè)一種彩票贏得900元的概率為，而獲得100元

3、的概率為．計算該彩票的期望收入．若一個人對該彩票的出價超過彩票的期望收入，請寫出這個人的效用函數(shù)形式．（形式不唯一） 解：彩票的期望收入為260元．這個人是風(fēng)險偏好的；要描述他的效用，最方便的形式之一就是有常絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)的效用函數(shù)形式，比如 ，其中為收入水平． 5 證明：在下列效用函數(shù)中，哪些顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為： 5.1 ，，． 由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為． [注] 這里規(guī)定，下同． 5.2 ． 由，知，因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為． 5.3 ，． 由，得到，因此該效用函數(shù)顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為． 5.4 ． 由，得到，

4、因此該效用函數(shù)不顯示出遞減的風(fēng)險規(guī)避行為． 6 一個具有VNM效用函數(shù)的人擁有160000單位的初始財產(chǎn)，但他面臨火災(zāi)風(fēng)險：一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會使其損失70000；另一種發(fā)生概率為5%的火災(zāi)會使其損失120000．他的效用函數(shù)形式是．若他購買保險，保險公司要求他自己承擔(dān)前7620單位的損失（若火災(zāi)發(fā)生）．什么是這個投保人愿支付的最高保險金？（需要補充的條件為：兩種火災(zāi)的發(fā)生是相斥事件） 解：如果保險人不購買保險，他不發(fā)生火災(zāi)損失的概率為他的期望效用水平為 ． 同時，他愿支付的最高保險金，就是使他在支付前后效用水平相等的保險金， 即有． 解得：，（舍去） 即，投保人愿意付

5、的最高保險金為22008元． [注] 一般的假定是，如果決策者在選擇間無差異的時候，就表示他在做一個隨機決策，也就是說，任何決策他都是愿意接受的．反過來，假定決策者在選擇間無差異時，卻出現(xiàn)了他不愿意選擇某一個決策的情況，那就是說明他在決策間不是無差異的．這種“無差異”方法在解題中使用很多． 支 付 賭 局 10000元 1000元 0元 1 2 3 4 7 考慮下列賭局 上表內(nèi)，矩陣中的數(shù)字代表每一種結(jié)果的發(fā)生概率（比如，在賭局1中，發(fā)生10000元的概率為）．如果有人告

6、訴你，他在賭局“1”與“2”之間嚴(yán)格偏好于“1”，在賭局“3”與“4”之間嚴(yán)格偏好于“3”．請問他的選擇一致嗎？請做出說明． 說明：設(shè)此人的效用函數(shù)為．令，，，其中． 計算出賭局所對應(yīng)的期望效用，． ，，，． 根據(jù)已知條件可以得到，． 由于，所以我們不能斷定他的選擇不是一致的． [注] 此前我對這道題的解答依賴于對風(fēng)險的偏好是否一致，不好．現(xiàn)在的解法中，判斷依據(jù)僅僅是關(guān)于不確定性下選擇的幾個公理，具有更廣的一般性． 8 兩匹馬賽跑．李某對該賽馬打賭．馬A與B之間，或A贏，或B贏，無平局．李某按下列偏好序?qū)Υ蛸€進行排序： 他在A上下賭注2元，如果A贏了，則會獲得元；若A輸了，則

7、分文無收． 不賭． 他在B上下賭注2元，如果B贏了，則會獲得元；若B輸了，則分文無收． 8.1 你能得出結(jié)論說，李某相信A獲勝的概率P大于嗎？ 解：記李某的效用函數(shù)為，不賭時的財富水平為．令，，． 那么在A身上下賭注，那么期望效用，在B身上下賭注，期望效用為，不下注，效用． 由李某的偏好關(guān)系，我們可以得到，即． [注] 一個比較瘋狂的想法是想看看時是否與相同的偏好關(guān)系相容．事實上，只要財富的邊際效用為正（這也是我一直假設(shè)的），這就是不可能的． 8.2 如果李某是風(fēng)險規(guī)避的，你能知道的值嗎？ 解：如果李某是風(fēng)險規(guī)避的，有，其中．由，那么存在一個，使得．即有，即得到． 9

8、一個消費者具有VNM效用函數(shù)，他面臨四種結(jié)局：A、B、C、D．其偏好序為．試驗顯示，他認(rèn)為 （這里的等號表示“無差異”） 請對A、B、C、D四種結(jié)局構(gòu)筑出一組VNM效用值． 解：令，，（由連續(xù)性公理）有 ， ． 10 近年來保險業(yè)在我國得到迅速發(fā)展，本題應(yīng)用經(jīng)濟學(xué)原理分析為什么人們愿意購買保險．假定有一戶居民擁有財富10萬元，包括一輛價值2萬元的摩托車．該戶居民所住地區(qū)時常發(fā)生盜竊，因此有25%的可能性該戶居民的摩托車被盜．假定該戶居民的效用函數(shù)為，其中表示財富價值． 10.1 計算該戶居民的效用期望值． 解：． 10.2 如何根據(jù)效用函數(shù)判斷該

9、戶居民是愿意避免風(fēng)險，還是愛好風(fēng)險？ 解：利用絕對風(fēng)險規(guī)避系數(shù)來計算，具體地，由 ，（） 可以得到該戶居民是愿意避免風(fēng)險的． 10.3 如果居民支付一定數(shù)額的保險費則可以在摩托車被盜時從保險公司得到與摩托車價值相等的賠償．試計算該戶居民最多愿意支付多少元的保險費． 解：思路同第六題．該戶居民最多愿意支付的保險費就是使他的期望效用在支付前后不變的保險費．設(shè)保險費為，有 元 即該戶居民最多愿意支付的保險費是6099元． 10.4 在該保險費中“公平”的保險費（即該戶居民的期望損失）是多少元？保險公司扣除“公平”的保險費后的純收入是多少元？ 解：公平保險為元．保險公司扣除公平

10、保險費的純收入R的期望值為 11 下列三個說法對嗎？請說明理由． 11.1 摸彩票的期望收益低于消費者付出的貨幣，而消費者卻常常熱衷于此，說明在這種情況下，摸彩票的人是喜愛風(fēng)險的． 對． [注] 小賭時可能是風(fēng)險趨向的，大賭就不一定了． 11.2 一個人面對兩種收入可能，一種是獲得2000元和1000元收入的概率均為0.5，另一種是獲得2500元和500元收入的概率各為0.5，兩種情況的期望收入相同，故消費者對二者的評價相同． 不全面．它沒有考慮風(fēng)險問題．假如消費者對不同的風(fēng)險水平不是無差異的，這兩種收入可能的風(fēng)險是不一樣的（比如，它們收入的標(biāo)準(zhǔn)差是不一樣的），因此，消費者

11、對二者的評價不一定會相同． 11.3 一個消費者的效用函數(shù)為，有兩種可能的收益，第一種是獲得4元和25元的概率均為0.5，另一種情況是他獲得9元和16元的概率分別為0.4和0.6，則他對第一種的評價好于第二種． 錯．在第一種情況下， ； 在第二種情況下， ． 即他對第二種的評價好于第一種． 12 一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)的原形是．他有機會參與擲硬幣，頭面向上的概率均為．如果他下賭注元，若頭面向上，他會擁有；反之，若背面向上，則他只擁有．請解出其作為的函數(shù)的最優(yōu)賭注量．當(dāng)，什么是他的關(guān)于的最佳選擇？ 解：設(shè)擲硬幣為賭局．那么該賭局的效用 使最大化的所滿足的一階

12、條件為： 解得 ． 又，因此他的最優(yōu)賭注為 當(dāng)時，直接應(yīng)用前面得到的結(jié)果，得出他的最佳選擇是． [注] 多說兩句．當(dāng)想強調(diào)是一個函數(shù)的時候，但又不愿意寫出它的自變量時，就常常采用的形式．如果只愿意寫出自變量，但又想說是多元函數(shù)，那么可以采用的形式． 13 一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為．他的財產(chǎn)初值為4元．他擁有一張獎券，該獎券值12元的概率為0.5，值零元．什么是這個人的期望效用？若要他出讓該彩票，他索取的最低價會是多少？ 解：擁有這張獎券意味著參加了抽獎的賭局，設(shè)該賭局為．他的期望效用為 若讓他出讓該彩票，他索取的最低價應(yīng)當(dāng)是使他出讓前后效用水平不變化的價格，設(shè)該價格為，有 ，即 解得．即他索取的最低價會是5元． 14 一個人具有期望效用函數(shù)，其效用函數(shù)原形為．他有機會參加一場賭博，若贏了，他的財產(chǎn)會達到，贏率為；但該賭局下他的財產(chǎn)為的概率為．為使他對持有當(dāng)前財產(chǎn)與參與賭博無差異，則他當(dāng)前的財產(chǎn)水平應(yīng)該是多少？ 解：他對持有當(dāng)前財產(chǎn)與參與賭博無差異，也就是說，有 ， 解得 ． 即，當(dāng)前財產(chǎn)水平應(yīng)當(dāng)為時，才使他對持有當(dāng)前財產(chǎn)與參與賭博無差異．