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1、2021年 全國 高考 理科數學（甲卷）答案1. 設集合，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據交集定義運算即可【詳解】因為，所以,故選：B.【點睛】本題考查集合的運算，屬基礎題，在高考中要求不高，掌握集合的交并補的基本概念即可求解.2. 為了解某地農村經濟情況，對該地農戶家庭年收入進行抽樣調查，將農戶家庭年收入的調查數據整理得到如下頻率分布直方圖：根據此頻率分布直方圖，下面結論中不正確的是（ ）A. 該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶比率估計為6%B. 該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計為10%C. 估計該地農戶家庭年收入的平均值不超過6.5萬元D

2、. 估計該地有一半以上的農戶，其家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間【答案】C【解析】【分析】根據直方圖的意義直接計算相應范圍內的頻率，即可判定ABD,以各組的中間值作為代表乘以相應的頻率，然后求和即得到樣本的平均數的估計值，也就是總體平均值的估計值，計算后即可判定C.【詳解】因為頻率直方圖中的組距為1，所以各組的直方圖的高度等于頻率.樣本頻率直方圖中的頻率即可作為總體的相應比率的估計值.該地農戶家庭年收入低于4.5萬元的農戶的比率估計值為,故A正確；該地農戶家庭年收入不低于10.5萬元的農戶比率估計值為,故B正確；該地農戶家庭年收入介于4.5萬元至8.5萬元之間的比例估計值為,故D正確；

3、該地農戶家庭年收入的平均值的估計值為(萬元)，超過6.5萬元，故C錯誤.綜上，給出結論中不正確的是C.故選：C.【點睛】本題考查利用樣本頻率直方圖估計總體頻率和平均值，屬基礎題，樣本的頻率可作為總體的頻率的估計值，樣本的平均值的估計值是各組的中間值乘以其相應頻率然后求和所得值，可以作為總體的平均值的估計值.注意各組的頻率等于.3. 已知，則（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】由已知得，根據復數除法運算法則，即可求解.【詳解】，.故選：B.4. 青少年視力是社會普遍關注的問題，視力情況可借助視力表測量通常用五分記錄法和小數記錄法記錄視力數據，五分記錄法的數據L和小數記錄表的數

4、據V的滿足已知某同學視力的五分記錄法的數據為4.9，則其視力的小數記錄法的數據為（ ）（）A. 1.5B. 1.2C. 0.8D. 0.6【答案】C【解析】分析】根據關系，當時，求出，再用指數表示，即可求解.【詳解】由，當時，則.故選：C.5. 已知是雙曲線C的兩個焦點，P為C上一點，且，則C的離心率為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】根據雙曲線的定義及條件，表示出，結合余弦定理可得答案.【詳解】因為，由雙曲線的定義可得，所以，；因為,由余弦定理可得，整理可得，所以，即.故選：A【點睛】關鍵點睛：雙曲線的定義是入手點，利用余弦定理建立間的等量關系是求解的關鍵.6. 在一個

5、正方體中，過頂點A的三條棱的中點分別為E，F(xiàn)，G該正方體截去三棱錐后，所得多面體的三視圖中，正視圖如圖所示，則相應的側視圖是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】根據題意及題目所給的正視圖還原出幾何體的直觀圖，結合直觀圖進行判斷.【詳解】由題意及正視圖可得幾何體的直觀圖，如圖所示，所以其側視圖為故選：D7. 等比數列的公比為q，前n項和為，設甲：，乙：是遞增數列，則（ ）A. 甲是乙的充分條件但不是必要條件B. 甲是乙的必要條件但不是充分條件C. 甲是乙的充要條件D. 甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件【答案】B【解析】【分析】當時，通過舉反例說明甲不是乙的充分條件；當是

6、遞增數列時，必有成立即可說明成立，則甲是乙的必要條件，即可選出答案【詳解】由題，當數列時，滿足，但是不是遞增數列，所以甲不是乙的充分條件若是遞增數列，則必有成立，若不成立，則會出現(xiàn)一正一負的情況，是矛盾的，則成立，所以甲是乙的必要條件故選：B【點睛】在不成立的情況下，我們可以通過舉反例說明，但是在成立的情況下，我們必須要給予其證明過程8. 2020年12月8日，中國和尼泊爾聯(lián)合公布珠穆朗瑪峰最新高程為8848.86（單位：m），三角高程測量法是珠峰高程測量方法之一如圖是三角高程測量法的一個示意圖，現(xiàn)有A，B，C三點，且A，B，C在同一水平面上的投影滿足，由C點測得B點的仰角為，與的差為100；

7、由B點測得A點的仰角為，則A，C兩點到水平面的高度差約為（）（ ）A. 346B. 373C. 446D. 473【答案】B【解析】【分析】通過做輔助線，將已知所求量轉化到一個三角形中，借助正弦定理，求得，進而得到答案詳解】過作，過作，故，由題，易知為等腰直角三角形，所以所以因為，所以在中，由正弦定理得：，而，所以，所以故選：B【點睛】本題關鍵點在于如何正確將的長度通過作輔助線的方式轉化為9. 若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由二倍角公式可得，再結合已知可求得，利用同角三角函數的基本關系即可求解.【詳解】，解得，.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查三角函數的化簡

8、問題，解題的關鍵是利用二倍角公式化簡求出.10. 將4個1和2個0隨機排成一行，則2個0不相鄰的概率為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】采用插空法，4個1產生5個空，分2個0相鄰和2個0不相鄰進行求解.【詳解】將4個1和2個0隨機排成一行，可利用插空法，4個1產生5個空，若2個0相鄰，則有種排法，若2個0不相鄰，則有種排法，所以2個0不相鄰的概率為.故選：C.11. 已如A，B，C是半徑為1的球O的球面上的三個點，且，則三棱錐的體積為（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】【分析】由題可得為等腰直角三角形，得出外接圓的半徑，則可求得到平面的距離，進而求得體積.【詳

9、解】，為等腰直角三角形，則外接圓的半徑為，又球的半徑為1，設到平面的距離為，則，所以.故選：A.【點睛】關鍵點睛：本題考查球內幾何體問題，解題的關鍵是正確利用截面圓半徑、球半徑、球心到截面距離的勾股關系求解.12. 設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，若，則（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】【分析】通過是奇函數和是偶函數條件，可以確定出函數解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案【詳解】因為是奇函數，所以；因為是偶函數，所以令，由得：，由得：，因為，所以，令，由得：，所以思路一：從定義入手所以思路二：從周期性入手由兩個對稱性可知，函數的周期所以故選：D【點睛】在解

10、決函數性質類問題的時候，我們通常可以借助一些二級結論，求出其周期性進而達到簡便計算的效果二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分13. 曲線在點處的切線方程為_【答案】【解析】【分析】先驗證點在曲線上，再求導，代入切線方程公式即可【詳解】由題，當時，故點在曲線上求導得：，所以故切線方程為故答案為：14. 已知向量若，則_【答案】.【解析】【分析】利用向量的坐標運算法則求得向量的坐標，利用向量的數量積為零求得的值【詳解】,，解得,故答案為：.【點睛】本題考查平面向量的坐標運算，平面向量垂直的條件，屬基礎題，利用平面向量垂直的充分必要條件是其數量積.15. 已知為橢圓C：兩個焦點，P，Q為C

11、上關于坐標原點對稱的兩點，且，則四邊形的面積為_【答案】【解析】【分析】根據已知可得，設，利用勾股定理結合，求出，四邊形面積等于，即可求解.【詳解】因為為上關于坐標原點對稱的兩點，且，所以四邊形為矩形，設，則，所以， ，即四邊形面積等于.故答案：.16. 已知函數的部分圖像如圖所示，則滿足條件的最小正整數x為_【答案】2【解析】【分析】先根據圖象求出函數的解析式，再求出的值，然后求解三角不等式可得最小正整數或驗證數值可得.【詳解】由圖可知，即，所以；由五點法可得，即；所以.因為，；所以由可得或；因為，所以，方法一：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，即，解得，令，可得，可得的最小正整數為2.方法

12、二：結合圖形可知，最小正整數應該滿足，又，符合題意，可得的最小正整數為2.故答案為：2.【點睛】關鍵點睛：根據圖象求解函數的解析式是本題求解的關鍵，根據周期求解，根據特殊點求解.三、解答題：共70分解答應寫出交字說明、證明過程或演算步驟，第1721題為必考題，每個試題考生都必須作答第22、23題為選考題，考生根據要求作答（一）必考題：共60分17. 甲、乙兩臺機床生產同種產品，產品按質量分為一級品和二級品，為了比較兩臺機床產品的質量，分別用兩臺機床各生產了200件產品，產品的質量情況統(tǒng)計如下表：一級品二級品合計甲機床15050200乙機床12080200合計270130400（1）甲機床、乙機

13、床生產的產品中一級品的頻率分別是多少?（2）能否有99%的把握認為甲機床的產品質量與乙機床的產品質量有差異?附：0.0500.0100.001k3.8416.63510.828【答案】（1）75%；60%；（2）能.【解析】【分析】本題考查頻率統(tǒng)計和獨立性檢驗，屬基礎題，根據給出公式計算即可【詳解】（1）甲機床生產的產品中的一級品的頻率為,乙機床生產的產品中的一級品的頻率為.（2）,故能有99%的把握認為甲機床的產品與乙機床的產品質量有差異.18. 已知數列的各項均為正數，記為的前n項和，從下面中選取兩個作為條件，證明另外一個成立數列是等差數列：數列是等差數列；注：若選擇不同的組合分別解答，則

14、按第一個解答計分【答案】答案見解析【解析】【分析】選作條件證明時，可設出，結合的關系求出，利用是等差數列可證；選作條件證明時，根據等差數列的求和公式表示出，結合等差數列定義可證；選作條件證明時，設出，結合的關系求出，根據可求，然后可證是等差數列.【詳解】選作條件證明：設，則，當時，；當時，；因為也是等差數列，所以，解得；所以，所以.選作條件證明：因為，是等差數列，所以公差，所以，即，因為，所以是等差數列.選作條件證明：設，則，當時，；當時，；因為，所以，解得或；當時，當時，滿足等差數列的定義，此時為等差數列；當時，不合題意，舍去.綜上可知為等差數列.【點睛】這類題型在解答題中較為罕見，求解的關

15、鍵是牢牢抓住已知條件，結合相關公式，逐步推演，等差數列的證明通常采用定義法或者等差中項法.19. 已知直三棱柱中，側面為正方形，E，F(xiàn)分別為和的中點，D為棱上的點 （1）證明：；（2）當為何值時，面與面所成的二面角的正弦值最小?【答案】（1）見解析；（2）【解析】【分析】通過已知條件，確定三條互相垂直的直線，建立合適的空間直角坐標系，借助空間向量證明線線垂直和求出二面角的平面角的余弦值最大，進而可以確定出答案【詳解】因為三棱柱是直三棱柱，所以底面，所以因為，所以，又，所以平面所以兩兩垂直以為坐標原點，分別以所在直線為軸建立空間直角坐標系，如圖所以，由題設（）（1）因為，所以，所以（2）設平面的

16、法向量為，因為，所以，即令，則因為平面的法向量為，設平面與平面的二面角的平面角為，則當時，取最小值為，此時取最大值為所以，此時【點睛】本題考查空間向量的相關計算，能夠根據題意設出（），在第二問中通過余弦值最大，找到正弦值最小是關鍵一步20. 拋物線C的頂點為坐標原點O焦點在x軸上，直線l：交C于P，Q兩點，且已知點，且與l相切（1）求C，的方程；（2）設是C上的三個點，直線，均與相切判斷直線與的位置關系，并說明理由【答案】（1）拋物線，方程為；（2）相切，理由見解析【解析】【分析】（1）根據已知拋物線與相交，可得出拋物線開口向右，設出標準方程，再利用對稱性設出坐標，由，即可求出；由圓與直線相切

17、，求出半徑，即可得出結論；（2）先考慮斜率不存在，根據對稱性，即可得出結論；若斜率存在，由三點在拋物線上，將直線斜率分別用縱坐標表示，再由與圓相切，得出與的關系，最后求出點到直線的距離，即可得出結論.【詳解】（1）依題意設拋物線，所以拋物線的方程為，與相切，所以半徑為，所以的方程為；（2）設若斜率不存在，則方程為或，若方程為，根據對稱性不妨設，則過與圓相切的另一條直線方程為，此時該直線與拋物線只有一個交點，即不存在，不合題意；若方程為，根據對稱性不妨設則過與圓相切的直線為，又，此時直線關于軸對稱，所以直線與圓相切；若直線斜率均存在，則，所以直線方程為，整理得，同理直線的方程為，直線的方程為，與

18、圓相切，整理得，與圓相切，同理所以為方程的兩根，到直線的距離為：，所以直線與圓相切；綜上若直線與圓相切，則直線與圓相切.【點睛】關鍵點點睛：（1）過拋物線上的兩點直線斜率只需用其縱坐標（或橫坐標）表示，將問題轉化為只與縱坐標（或橫坐標）有關；（2）要充分利用的對稱性，抽象出與關系，把的關系轉化為用表示.21. 已知且，函數（1）當時，求的單調區(qū)間；（2）若曲線與直線有且僅有兩個交點，求a的取值范圍【答案】（1）上單調遞增；上單調遞減；（2）.【解析】【分析】（1）求得函數的導函數，利用導函數的正負與函數的單調性的關系即可得到函數的單調性；（2）利用指數對數的運算法則，可以將曲線與直線有且僅有兩

19、個交點等價轉化為方程有兩個不同的實數根，即曲線與直線有兩個交點，利用導函數研究的單調性，并結合的正負，零點和極限值分析的圖象，進而得到，發(fā)現(xiàn)這正好是，然后根據的圖象和單調性得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，,令得,當時，,當時，,函數在上單調遞增；上單調遞減；（2）,設函數,則,令，得,在內,單調遞增；在上,單調遞減；,又，當趨近于時，趨近于0，所以曲線與直線有且僅有兩個交點，即曲線與直線有兩個交點的充分必要條件是,這即是,所以的取值范圍是.【點睛】本題考查利用導數研究函數的單調性，根據曲線和直線的交點個數求參數的取值范圍問題，屬較難試題，關鍵是將問題進行等價轉化，分離參數，構造函數，利用導

20、數研究函數的單調性和最值，圖象，利用數形結合思想求解.（二）選考題：共10分請考生在第22、23題中任選一題作答如果多做，則按所做的第一題計分選修4-4：坐標系與參數方程（10分）22. 在直角坐標系中，以坐標原點為極點，x軸正半軸為極軸建立極坐標系，曲線C的極坐標方程為（1）將C的極坐標方程化為直角坐標方程；（2）設點A的直角坐標為，M為C上的動點，點P滿足，寫出的軌跡的參數方程，并判斷C與是否有公共點【答案】（1）；（2）P的軌跡的參數方程為（為參數），C與沒有公共點.【解析】【分析】（1）將曲線C的極坐標方程化為，將代入可得；（2）設，設，根據向量關系即可求得P的軌跡的參數方程，求出兩圓

21、圓心距，和半徑之差比較可得.【詳解】（1）由曲線C的極坐標方程可得，將代入可得，即，即曲線C的直角坐標方程為；（2）設，設，則，即，故P的軌跡的參數方程為（為參數）曲線C的圓心為，半徑為，曲線的圓心為，半徑為2，則圓心距為，兩圓內含，故曲線C與沒有公共點.【點睛】關鍵點睛：本題考查參數方程的求解，解題的關鍵是設出的參數坐標，利用向量關系求解.選修4-5：不等式選講（10分）23. 已知函數（1）畫出和的圖像；（2）若，求a的取值范圍【答案】（1）圖像見解析；（2）【解析】【分析】（1）分段去絕對值即可畫出圖像；（2）根據函數圖像數形結和可得需將向左平移可滿足同角，求得過時的值可求.【詳解】（1）可得，畫出圖像如下：，畫出函數圖像如下：（2），如圖，在同一個坐標系里畫出圖像，是平移了個單位得到，則要使，需將向左平移，即，當過時，解得或（舍去），則數形結合可得需至少將向左平移個單位，.【點睛】關鍵點睛：本題考查絕對值不等式的恒成立問題，解題的關鍵是根據函數圖像數形結合求解.第 22 頁 共 22 頁